Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) cho trong hình bên. Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tìm mệnh đề đúng?
\(M = f\left( 2 \right)\).
\(M = f\left( { - 1} \right)\).
\(M = f\left( 3 \right)\).
\(M = f\left( 0 \right)\).
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có GTLN \(y = 5\) tại \(x = 0\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
Vậy \(M = f\left( 0 \right)\).
\[P\left( {0;2;0} \right)\].
\[N\left( {2;2;2} \right)\].
\[M\left( {0;2;2} \right)\].
\[Q\left( {2;2;0} \right)\].
Chọn C
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\). Suy ra \[M\left( {0;2;2} \right)\].
\({60^o}\).
\({135^o}\).
\({45^o}\).
\({120^o}\).
Chọn B
Ta có \(cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0}}{{\sqrt 2 .1}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {135^o}\).
Vậy góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là \({135^o}\).
\(y = {x^2} + 1\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\).
\(y = {x^4} + {x^2} - 1\).
\(y = {x^3} + x\).
Chọn D
Xét đáp án A có \(y = 3{x^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Xét đáp án B và D là hàm số bậc 2 và bậc 4 luôn có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến.
Xét đáp án C có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\) nên không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
(2;-3;-1).
(3;5; -2)
(2;3; -1).
(3; -5; -1)
Chọn D
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Chọn B
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,f\left( x \right) = 5\) \( \Rightarrow \)đường thẳng \(y = 5\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,f\left( x \right) = 2\) \( \Rightarrow \) đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,f\left( x \right) = + \infty \) \( \Rightarrow \)đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
KL: Đồ thị hàm số có tổng số ba đường tiệm cận.
\(m < - 10\).
\( - 10 < m \le - 7\).
\(0 < m < 10\).
\( - 7 < m < 0\).
Chọn C
Ta có \(y' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 0 \right);y\left( 3 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \min \left\{ {m\,;\,m - 9\,;\,m - 8} \right\} = m - 9\).
Theo giả thiết ta có \(m - 9 = - 1 \Leftrightarrow m = 8\).
Vậy \(0 < m < 10\).
\({30^0}\).
\({150^0}\).
\({60^0}\).
\({120^0}\).
Chọn B
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 \,;\,0\,;\,1} \right)\), ta có: \({\rm{cos}}\alpha = \frac{{\overrightarrow i \,.\,\overrightarrow u }}{{\left| {\overrightarrow i } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\, \Rightarrow \,\alpha \, = \,{150^0}\).
\(I( - 1; - 1)\).
\(I( - 1;1)\).
\(I(1; - 1)\).
\(I(1;1)\).
Chọn C
Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 5x - 4\)
\[ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x + 5\]
\[ \Rightarrow y'' = 6x - 6\]
Xét \[y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
Tại \[x = 1 \Rightarrow y = - 1\].Tọa độ điểm uốn \(I(1; - 1)\).
Suy ra đồ thị hàm số đã cho nhận điểm uốn \(I(1; - 1)\)làm tâm đối xứng.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Chọn B
Ta có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \ln 12\\x = 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Hàm số \(y = f(x)\) có hai điểm cực trị.
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{x - 2}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\).
\[f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{2 - x}}\].
\[f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\].
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta thấy:
+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \[x = 2\]và tiệm cận ngang \[y = 1 \Rightarrow \]loại B, D
+) Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\]và \[\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow \]loại C vì hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{x - 2}}\)có đạo hàm là \[f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\].
Hai vectơ \[\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z \] cùng phương
Hai vectơ \[\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z \] cùng phương.
3 vectơ \[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \] đồng phẳng.
Hai vectơ \[\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y \] cùng phương
Chọn D
Ta có \[\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = - 2\overrightarrow x \], Do đó hai vectơ \[\overrightarrow x ,\overrightarrow y \] cùng phương.
Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.
Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số không cắt trục \(Ox\).
Khi \[m < - 1\] thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong miền \(x > 0\).
Có 2 phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(x - y = 0\).
|
a) |
Đ |
b) |
Đ |
c) |
Đ |
d) |
Đ |
(a) Đúng: Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
(b) Đúng: Khi \(m = 1:y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{2}{{x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - \sqrt 2 \Rightarrow y = 2\sqrt 2 }\\{x = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow y = - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 \pm } y = \pm \infty :x = 1\)là tiệm cận đứng; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm x} y = - x + 1:y = - x + 1\) là tiệm cận xiên
Bảng biến thiên:
\(x = 0 \Rightarrow y = 3\); \(y = 0 \Rightarrow - {x^2} + 2x - 3 = 0\) (vô nghiệm) nên đồ thị hàm số không cắt trục \(Ox\)
(c) Đúng: \(y = \frac{{ - m{x^2} + \left( {4m - 2} \right)x + 1 - 4m}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - m{x^2} + 2mx - 4m + 2 - 1 + 4m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Suy ra \(y' = \frac{{ - m{x^2} + 2mx + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Dấu \(y'\) là dấu của tam thức \(g\left( x \right) = - m{x^2} + 2mx + 1\)
\(g\left( x \right){\rm{ c\'o }}\Delta ' = {m^2} + m\,;\,\,g\left( 1 \right) = - m + 2m + 1 = m + 1\)
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{m + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 1}\\{m > 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Lúc này hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại \(x = {x_1},x = {x_2}\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1} \cdot {x_2} = - \frac{1}{m}}\end{array}} \right.\).
Giả sử \({x_1} < {x_2}\)
Theo yêu cầu bài toán: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 0}\\{{x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} > 0}\\{{x_1} \cdot {x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 > 0{\rm{ (lu\^o n d\'u ng) }}}\\{ - \frac{1}{m} > 0}\end{array} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.} \right.\)
Giao với điều kiện \(\Delta ' > 0\) được \(m < - 1\)
(d) Đúng: \({y'_x} = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Đường thẳng \(x - y = 0\) có hệ số góc \(k = 1\)
Để tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = x\) cần và đủ là \({y'_x} = 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{\frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{ - {x^2} + 2x + 1 = {x^2} - 2x + 1}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{2{x^2} - 4x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 3}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.} \right.\)
Có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán:
\(\left( {{T_1}} \right):y = 1\left( {x - 0} \right) + 3 \Leftrightarrow y = x + 3\,;\,\,\left( {{T_2}} \right):y = 1\left( {x - 2} \right) - 3 \Leftrightarrow y = x - 5\)
không nghịch biến trên R.
\(y = - 5x + \sin x\)không nghịch biến trên R.
không nghịch biến trên R.
\(y = {\left( {\frac{\pi }{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}} \right)^x}\) không nghịch biến trên R.
(a) Chọn S
(b) Chọn S
(c) Phương án C, Ta có: 
. Nên và đổi dấu khi đi qua \(x = 0\). Suy ra hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Phương án A, Hàm số: 
.
nên và hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Phương án B, Hàm số: . Nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Phương án D, Hàm số: Nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Chọn Đ
(d) Chọn S
Dân số của quốc gia này ở năm \[2030\] vượt mức \[110\] triệu người.
Dân số của quốc gia này ở năm \[2035\] vượt mức \[115\] triệu người.
Vào năm \[2030\] thì tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.
Vào năm \[2026\] thì tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.
|
a) |
S |
b) |
Đ |
c) |
S |
d) |
Đ |
Dân số của quốc gia này ở năm \[2030\] là \[N\left( 7 \right) = 100{e^{0,012.7}} \approx 108,8\] triệu người.Dân số của quốc gia này ở năm \[2035\] là \[N\left( {12} \right) = 100{e^{0,012.12}} \approx 115,5\] triệu người.Hàm tốc độ tăng dân số là \[N'\left( t \right) = 1,2{e^{0,012t}}\]. Ta có:
\[1,2{e^{0,012t}} = 1,6 \Leftrightarrow t \approx 2,34\].
Vậy thời vào năm \[2026\], tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/nămHàm tốc độ tăng dân số là \[N'\left( t \right) = 1,2{e^{0,012t}}\]. Ta có:
\[1,2{e^{0,012t}} = 1,6 \Leftrightarrow t \approx 2,34\].
Vậy thời vào năm \[2026\], tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {BC'} = \left( {2; - 6;6} \right)\)Gọi \(H,K\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(OA'O'\) và \(CB'C'\).
Tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {HK} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).
Tọa độ véc to \(\overrightarrow {AB'} = \left( { - 2;3; - 6} \right)\).
Tọa độ điểm \(O'\) là \(\left( {3; - 5;5} \right)\).
Tọa độ điểm \(C'\) là \(\left( {2; - 3;6} \right)\)
(a) Đúng: Gọi \(C'\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {BC'} = \left( {2; - 6;6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = 2}\\{y - 3 = - 6}\\{z - 0 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 3}\\{z = 6}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {2; - 3;6} \right)\).
(b) Đúng: Gọi \(O'\left( {x;y;z} \right)\). Theo hình vẽ thì \(\overrightarrow {AO'} = \overrightarrow {BC'} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 2}\\{y - 1 = - 6}\\{z + 1 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = - 5}\\{z = 5}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow O'\left( {3; - 5;5} \right)\)
(c) Sai: Theo hình vẽ thì \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {OC'} = \left( {2; - 3;6} \right)\).
(d) Sai: Ta có \(\overrightarrow {HK} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Ta có \[P'\left( t \right) = \frac{{ - 8{t^2} - 8t + 6}}{{{{\left( {4{t^2} + 2t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {2t - 1} \right)\left( { - 2t - 3} \right)}}{{{{\left( {4{t^2} + 2t + 4} \right)}^2}}}\]
\[P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{3}{2}\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại \[t = \frac{1}{2}\] và \[P'\left( t \right) < 0,\forall t > \frac{1}{2}\] nên sau \[0,5\left( h \right)\] thì vi khuẩn bắt đầu giảm.
Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm \[A,B\] của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \[AA' = 118m\], \[BB' = 487m\] và \[A'B' = 492\,m\] (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \[M\] của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \[A'B'\] sao cho tổng khoảngcách từ hai vị trí \[A,B\] đến vị trí \[M\] là nhỏ nhất. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
______
Ta đặt \(A'M = x\), khi đó ta được:
\(MB' = 492 - x,AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} ,BM = \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} {\rm{.}}\)
Như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(MB\):
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} {\rm{\;}}\)với\(x \in \left[ {0;492} \right]\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).
\(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}{\rm{.\;}}\)
\(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} = \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left[ {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right] = {{(492 - x)}^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right)}\\{0 \le x \le 492}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(487x)}^2} = {{(58056 - 118x)}^2}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{58056}}{{605}}{\rm{\;hay\;}}x = - \frac{{58056}}{{369}} \Leftrightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right]\). So sánh các giá trị của \(f\left( 0 \right),f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right),f\left( {492} \right)\) ta có giá trị nhỏ nhất là \(f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8{\rm{\;m}}\)
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ \(779,8{\rm{\;m}}\).
Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{m}{2}} \right\}\]
\[y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {2x + m} \right)}^2}}}\].
Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\\frac{{ - m}}{2} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}\frac{{ - m}}{2} \le 0\\\frac{{ - m}}{2} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow 0 \le m < 2\].
Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan \(C{H_4}\) được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết \(H - C - H\) là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Tính số đo góc liên kết này (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
____
Xét tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\) và \(GA = GB = GC = x\)
Ta có: \( - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \), bình phương hai vế ta được \(G{A^2} = G{B^2} + G{C^2} + G{D^2} + 2\overrightarrow {GB} \cdot \overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {GB} \cdot \overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {GC} \cdot \overrightarrow {GD} \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{x^2} + 2{x^2}\cos \alpha + 2{x^2}\cos \alpha + 2{x^2}\cos \alpha \Leftrightarrow - 2{x^2} = 6{x^2} \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ - 1}}{3} \Rightarrow \alpha \approx {109^\circ }\).
Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \[A\left( {800\,;\,500\,;7} \right)\] đến điểm \[B\left( {940\,;\,550\,;\,9} \right)\] trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là điểm \[C\left( {x\,;\,y\,;z} \right)\]. Tính \[x\, + \,y\, + z\]
_____
Do máy bay giữ nguyên tốc độ nên vận tốc của máy bay trên quãng đường \[AB\] và \[BC\] là như nhau. Ta có: \[\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{BC}}{5} \Leftrightarrow AB = 2BC\].
Và máy bay giữ nguyên hướng bay nên hai vectơ \[\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {BC} \] cùng hướng.
Do đó \[\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}140 = 2\left( {x - 940} \right)\\50 = 2\left( {y - 550} \right)\\2 = 2\left( {z - 9} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1010\\y = 575\\z = 10\end{array} \right.\]
Vậy \[x\, + \,y\, + z = 1595\]
Một tay lái mô tô nặng 180 (lb), di chuyển với vận tốc không đổi 30 dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị \(y = 100{e^{0,01x}},\quad - 200 \le x \le 50\)
Có thể chứng minh rằng độ lớn của lực pháp tuyến tác dụng lên tay lái mô tô xấp xỉ
\[F(x) = \frac{{10890{e^{0,1x}}}}{{{{\left( {1 + 100{e^{0,2x}}} \right)}^{3/2}}}}\](đơn vị lb)
Hãy tìm lực pháp tuyến lớn nhất tác dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
____
Đặt \(u = {e^{0,2x}}\left( { \Rightarrow {e^{0,1x}} = {u^{1/2}}} \right)\) khi đó \(F(x) = 10890\frac{{{u^{1/2}}}}{{{{(1 + 100u)}^{3/2}}}}\)
Để tìm cực đại, xét \(G(u) = \frac{{{u^{1/2}}}}{{{{(1 + 100u)}^{3/2}}}},\quad u > 0\)
Tính \(\ln G = \frac{1}{2}\ln u - \frac{3}{2}\ln (1 + 100u) \Rightarrow \left( {\ln G} \right)\prime = \frac{1}{{2u}} - \frac{{150}}{{1 + 100u}}\)
Cho đạo hàm bằng 0: \(\frac{1}{{2u}} = \frac{{150}}{{1 + 100u}} \Rightarrow 1 + 100u = 300u \Rightarrow 200u = 1 \Rightarrow u = 0,005\)
Lập bảng biến thiên cho hàm số \(G(u),u > 0\) ta có được hàm số đạt cực đại tại \(u = 0,005\)
Trả về biến \(x\): \({e^{0,2x}} = 0,005 \Rightarrow 0,2x = \ln (0,005) \approx - 5,298 \Rightarrow x \approx - 26,49.\)
(thuộc miền \([ - 200,50]\)).
Giá trị cực đại
- Lực pháp tuyến đạt cực đại khi \(x \approx - 26.5\).
- Giá trị cực đại là khoảng \[419\](lb).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
