Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 7
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
\[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\cos \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\].
\[\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \vec 0\] \[ \Leftrightarrow \]\[\vec u\], \[\vec v\] cùng phương.
Nếu \[\vec u\], \[\vec v\] không cùng phương thì giá của vectơ \[\left[ {\vec u,\vec v} \right]\] vuông góc với mọi mặt phẳng song song với giá của các vectơ \[\vec u\] và \[\,\vec v\].
\[\left[ {\vec u,\vec v} \right].\,\vec u = \left[ {\vec u,\vec v} \right].\,\vec v = \vec 0\].
Chọn A
Ta chứng minh \[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\].
Giả sử \[\vec u = \left( {{u_1};\,{u_2};\,{u_3}} \right)\] và \[\vec v = \left( {{v_1};\,{v_2};\,{v_3}} \right)\].
+) Nếu một trong hai vectơ \[\vec u\] và \[\,\vec v\] là vectơ \[\vec 0\] thì ta có \[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\].
+) Nếu cả hai vectơ \[\vec u\] và \[\,\vec v\] đều khác vectơ \[\vec 0\]. Khi đó ta có
\[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\]\[ = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( {\vec u,\,\vec v} \right)} \]\[ = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sqrt {1 - \frac{{{{\left( {\vec u.\,\vec v} \right)}^2}}}{{{{\left| {\vec u} \right|}^2}.{{\left| {\vec v} \right|}^2}}}} \]\[ = \sqrt {{{\vec u}^2}.{{\vec v}^2} - {{\left( {\vec u.\,\vec v} \right)}^2}} \]\[ = \sqrt {{{\left( {{u_2}{v_3} - {v_2}{u_3}} \right)}^2} + {{\left( {{u_3}{v_1} - {v_3}{u_1}} \right)}^2} + {{\left( {{u_1}{v_2} - {v_1}{u_2}} \right)}^2}} \]\[ = \left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right|\].
Ta có \[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\] nên khẳng định C sai.
\(x + 2\).
\(3x - 2\).
\(3x + 2\).
\( - 2 - x\)
Chọn B
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v \)\( = x.1 + 2\left( { - 1} \right) + 1.2x\)\( = 3x - 2\).
\(M'\left( { - 1;2;3} \right)\).
\(M'\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).
\(M'\left( {1;2; - 3} \right)\).
\(M'\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
Chọn B
Tọa độ điểm \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) qua gốc tọa độ \(O\) là \(M'\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).
Phương án nhiễu A: Học sinh nhầm:
Điểm \[M'\] là điểm đối xứng của điểm \[M(3;2;1)\] qua mặt phẳng \[(Oyz)\]\( \Rightarrow M'\left( { - 1;2;3} \right)\).
Phương án nhiễu B: Học sinh nhầm:
Điểm \[M'\] là điểm đối xứng của điểm \[M(3;2;1)\] qua trục \[Oz\]\( \Rightarrow M'\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
Phương án nhiễu D: Học sinh nhầm:
Điểm \[M'\] là điểm đối xứng của điểm \[M(3;2;1)\] qua mặt phẳng \[(Oxy)\]\( \Rightarrow M'\left( {1;2; - 3} \right)\).
Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\].
Hàm số đã cho nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Chọn A
Ta có
\[y = \frac{{x + 1}}{{2 - x}} = \frac{{x + 1}}{{ - x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{3}{{{{\left( { - x + 2} \right)}^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall x \ne 2.\]
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\].
\(y = 1\).
\(y = 2\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 1\), tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\). Do vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là \(y = 1\).
8.
9.
6.
4.
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), ta thấy \(M = 6,m = 0\), do đó \(M + m = 6\).
\(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{1 - x}}\).
\(y = \frac{{x + 5}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x - 6}}{{x - 2}}\).
Chọn A
Bảng biến thiên trên là của hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và có đồ thị nhận các đường thẳng \[x = 1\], \[y = 2\]lần lượt là TCĐ và TCN. Chỉ có đáp án \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{1 - x}}\)thỏa mãn.
\(0 < a < b\).
\(0 < b < a\).
\(b < 0 < a\).
\(b < a < 0\).
Chọn D
Nhìn vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = a\) và tiệm cận đứng \(x = 1\).Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = \frac{b}{a} > 1\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{ - 1}} = 1\\\frac{b}{a} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow b < a = - 1 < 0\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
\(0\).
Chọn C
Từ \(f'(x) = x{(x + 3)^2},\forall x \in R\)
Ta suy ra bảng xét dấu của \(f'(x)\) là
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f'(x)\) chỉ đổi dấu khi \(x\) qua \(x = 0\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đạt cực trị tại \(x = 0\)
\( \Rightarrow \) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1.
\(\left( {20;25} \right)\).
\(\left( {2;5} \right)\).
\(\left( {6;9} \right)\).
\(\left( {1;4} \right)\).
Chọn A
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 8} \right\}\).
+
Vậy hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}\) đồng biến trên \(\left[ {0;3} \right]\).
\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y(0) = \frac{{ - {m^2}}}{8}\]
Để \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - {m^2}}}{8} = - 3 \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 6 .\]
\( \Rightarrow {m_0} = 2\sqrt 6 \in \left( {2;5} \right)\). Vậy chọnA.
\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
\[\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
Chọn A
Gọi M là trung điểm CD
Ta có:
\[\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\]
\[ = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - 2\overrightarrow a } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
\(C\left( {0\,;\, - 9\,;\,0} \right)\).
\(C\left( {\frac{4}{3}\,;\,\frac{7}{3}\,;\,\frac{8}{3}} \right)\).
\(C\left( {0\,;\,0\,;\,9} \right)\).
\(C\left( {0\,;\,9\,;\,0} \right)\).
Chọn D
Do \(G\left( {1\,;\,4\,;\,2} \right)\)là trọng tâm tam giác \(ABC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - \left( {{x_A} + {x_B}} \right) = 0\\{y_C} = 3{y_G} - \left( {{y_A} + {y_B}} \right) = 9\\{z_C} = 3{z_G} - \left( {{z_A} + {z_B}} \right) = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {0\,;\,9\,;\,0} \right)\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[y = \left( {m - 1} \right){x^4} - 2\left( {m - 3} \right){x^2} + 1\](\(m\) là tham số). Khi đó:
Nếu \(m = 1\) thì hàm số không có cực đại
Nếu \(m = 2\) thì hàm số có 1 điểm cực trị
Nếu \(m = 0\) thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(M\left( {a;b} \right)\) khi đó \(ab = 1\)
Để hàm số \[y = \left( {m - 1} \right){x^4} - 2\left( {m - 3} \right){x^2} + 1\] không có cực đại thì \(m \in \left[ {a;b} \right]\) khi đó \(a + b = 3\)
a) | Đ | b) | Đ | c) | S | d) | S |
Nếu \(m = 0\) thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(M\left( {0;1} \right)\) khi đó \(ab = 0\)
TH1: Nếu \[m = 1 \Rightarrow y = 4{x^2} + 1\]. Suy ra hàm số không có cực đại.
TH2: Nếu \[m > 1\].
Để hàm số không có cực đại thì \( - 2\left( {m - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\). Suy ra \(1 < m \le 3\).
Vậy \(1 \le m \le 3\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm \[A\left( { - 2\,;3\,;1} \right)\], \[B\left( {5\,;\, - 3\,;\,2} \right)\] và \(C( - 2\,;\,2\,;\,4)\). Đường thẳng \[AB\]cắt mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] tại điểm \[M\].
Tọa độ của điểm \(M\) là \(\left( {0\,;\,\frac{9}{7}\,;\,\frac{9}{7}} \right)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 7\,;\, - 6\,;\,1} \right)\).
Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{1}{3}\,;\,\frac{2}{3}\,;\,\frac{7}{3}} \right)\).
a) | Đ | b) | S | c) | S | d) | Đ |
Đúng.
Điểm \(G\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Khi đó
\(x = \frac{{ - 2 + 5 + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{1}{3}\)
\(y = \frac{{3 + \left( { - 3} \right) + \left( 2 \right)}}{3} = \frac{2}{3}\)
\(z = \frac{{1 + 2 + 4}}{3} = \frac{7}{3}\)Sai.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 6;1} \right)\) ; \[\overrightarrow {AC} = \left( {0\,; - 1\,;3} \right)\].
Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 + 6 + 3 = 9 \ne 0\)Sai.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 6;1} \right)\)Đúng.
Ta có \[M \in \left( {Oyz} \right)\] nên \[M\left( {0;y;z} \right)\]
Đường thẳng \[AB\]cắt mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] tại điểm \[M\] nên \(\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 6;1} \right)\) cùng phương với \[\overrightarrow {AM} = \left( {2\,;y - 3\,;z - 1} \right)\] hay \(\frac{2}{7} = \frac{{y - 3}}{{ - 6}} = \frac{{z - 1}}{1}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 3 = - \frac{{12}}{7}\\z - 1 = \frac{2}{7}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{9}{7}\\z = \frac{9}{7}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;\frac{9}{7};\frac{9}{7}} \right)\)
Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá \[2\,000\,000\,\]đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \[50\,000\] đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi:
Thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là \[101250000\] đồng?
Thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là \[105250000\] đồng?
Có 5 căn hộ bị bỏ trống thì công ty có thu nhập cao nhất?
Để công ty có thu nhập cao nhất trong 1 tháng thì giá cho thuê là \[2500000\] đồng?
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | S |
Gọi \[x\] \[\left( {x > 0} \right)\] là số tiền tăng giá
\[ \Rightarrow \]Số căn hộ bị bỏ trống là \[\frac{x}{{50{\rm{ }}000}}\] căn hộ
\[ \Rightarrow \]Số tiền công ty thu được \[T\left( x \right) = \left( {2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 + x} \right)\left( {50 - \frac{x}{{50{\rm{ }}000}}} \right)\]
Khảo sát hàm số \[T\left( x \right)\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]
\[ \Rightarrow \]\[T'\left( x \right) = 10 - \frac{x}{{25{\rm{ }}000}}\]\[ \Rightarrow \]\[T'\left( x \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 250{\rm{ }}000\].
Bảng biến thiên
Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là: \[T = 101250000\].
Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x - 2}}\] có đồ thị \((C)\).
Tập xác định:\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\].
Đường thẳng \(x = 2\)là tiệm cận đứng của \((C)\).
Đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của \((C)\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (\( - \infty ;1)\)và (\(3; + \infty )\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
a) | Đ | b) | Đ | c) | Đ | d) | Đ |
a,b,c,d: đúngTa có:
+ Đạo hàm: \(y' = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\\x = 3\,\end{array} \right.\).
+ Bảng biến thiên:
![- 5}}{{x - 2}}\] có đồ thị \((C)\).Mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/36-1761618544.png)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (\( - \infty ;1)\)và (\(3; + \infty )\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;2) và (2;3).
Mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một bể ban đầu chứa 10 gal dung dịch muối với 2 lb muối. Dung dịch vào có nồng độ \(1.5lb/gal\) chảy vào với tốc độ \(3gal/\) phút, và hỗn hợp trong bể chảy ra với tốc độ \(4gal/\) phút. Người ta cho biết lượng muối trong bể sau \(t\) phút là \(x\) (pound), với\(x = f(t) = 1,5(10 - t) - 0,0013{(10 - t)^4},\quad 0 \le t \le 10.\) Hỏi lượng muối tối đa có thể có trong bể tại một thời điểm nào đó là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
_____
Ta có công thức lượng muối \(x\) (pound) trong bể sau \(t\) phút:
\(x(t) = 1,5(10 - t) - 0,0013{(10 - t)^4};\quad 0 \le t \le 10\)
Đặt \(u = 10 - t\). Khi \(t\) chạy từ 0 đến 10 thì \(u\) chạy từ 10 xuống 0.
Khi đó \(x = 1,5u - 0,0013{u^4};\quad 0 \le u \le 10\)
Tính đạo hàm theo \(u\) ta được: \(1,5 - 0,0013 \cdot 4{u^3} = 1,5 - 0,0052{u^3}\)
Xét \(1,5 - 0,0052{u^3} = 0 \Rightarrow {u^3} = \frac{{1,5}}{{0,0052}} \approx 288,46 \Rightarrow u \approx \sqrt[3]{{288,46}} \approx 6,62\)
Lập bảng xét dấu ta được:
Suy ra tại \(u \approx 6,62\):
Lượng muối trong bể đạt tối đa khoảng 7,43 lb tại thời điểm \(t \approx 3,38\) phút kể từ lúc bắt đầu.
Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng \(x\) của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
_____
Gọi \(y\) là chiều dài của miếng phụ.
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là \(S = {S_{MNPQ}} + 4xy\).
Cạnh hình vuông \(MN = \frac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \)cm \( \Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy\)
Ta có \(2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2 < BD - 20\sqrt 2 = 40 - 20\sqrt 2 \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2 \).
Lại có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600\).
Thế vào (1), ta được
\(S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}} = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}} \)
Xét hàm số \(f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}\), với \(x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )\) có
\({f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2 - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right)\).
Ta có bảng biến thiên
Vậy \(x = \frac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2} \approx 3,97\) chính là giá trị cần tìm.
Ta có doanh thu của doanh nghiệp khi bán \(x\) máy tính bảng là: \(D\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x\left( {4000 - 10x} \right) = 4000x - 10{x^2}\).
Chi phí của doanh nghiệp để sản xuất \(x\) máy tính bảng là: \(C\left( x \right) = x.c\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right) = {x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000\).
Lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán \(x\) máy tính bảng là: \(L\left( x \right) = D\left( x \right) - C\left( x \right) = 4000x - 10{x^2} - \left( {{x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000} \right)\)\( = - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\).
Xét hàm \(L\left( x \right) = - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\left( {1 \le x \le 200;x \in \mathbb{N}} \right)\).
Có \(y' = - 3{x^2} + 120x + 3600\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\,\,\,\,\,\,\left( N \right)\\x = - 20\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh nghiệp đó sẽ bán \(60\) máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất.
Một em nhỏ cân nặng \(m = 25\;\)kg trượt trên cầu trượt dài \(3,5\;\)m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \).
Tính độ lớn của trọng lực \(\vec P = m\vec g\) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\vec g\) có độ lớn là \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\). (làm tròn đến hàng đơn vị)
______
Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt \(DF = x\), \(x > 0\), ta có \(\Delta ADF\) đồng dạng với \(\Delta BED\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}\)\( \Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}\).
Gọi \[l\] là chiều dài của que sào, ta có \({l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)\).
\(f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 12\).
Xét bảng sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là \(l = \sqrt {1125} \). Giá trị \({l^2} = 1125\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị đo lấy theo \(km\)), một Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {812;\,600\,;\,5} \right)\) đến điểm \(B\left( {950\,;\,530\,;\,6} \right)\) trong 10 phút.
Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là \(C\left( {x;\,y\,;\,z} \right)\). Khi đó \(x + y + z\) bằng bao nhiêu?
_____
Do chiếc may bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ \(A\) đến \(B\) trong 10 phút và từ \(B\) đến \(C\) trong 10 phút.
Nên suy ra \(AB = BC\) và \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng.
Suy ra \(B\) là trung điểm của \(AC\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}950 = \frac{{812 + x}}{2}\\530 = \frac{{600 + y}}{2}\\6 = \frac{{5 + z}}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1088\\y = 460\\z = 7\end{array} \right.\).
Vậy \(x + y + z = 1555\).
