Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat {A\,\,}\) và \(\widehat {C\,};\) \(\widehat {B\,}\) và \(\widehat {D\,}\).

Do đó phương án C là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: A

\[\widehat {CDE}\] là góc ngoài tại đỉnh \(D\). Tứ giác \(ABCD\) có:

\[\widehat {ADC} = 360^\circ  - \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right)\]

\[\widehat {ADC} = 360^\circ  - \left( {50^\circ {\rm{ }} + 117^\circ \; + 71^\circ } \right) = 122^\circ \]

Vì \[\widehat {ADC}\] và \[\widehat {CDE}\] là hai góc kề bù nên:

\[\widehat {CDE} = {\rm{180^\circ }} - \widehat {ADC} = 180^\circ  - 122^\circ  = {\rm{58^\circ }}\].

Đáp án đúng là: B

Hình thang cân \[ABCD\] có \(AB\,{\mkern 1mu} {\rm{//}}\,{\mkern 1mu} CD\) nên \[AB\] và \[CD\] là hai đáy.

Theo tính chất của hình thang cân ta có \[\widehat A = \widehat B = 125^\circ \].

Đáp án đúng là: C

Dựa vào dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành nên A đúng.

+ Hình thang có hai cạnh đáy song song, thêm hai cạnh bên song song thì nó là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song nên B đúng.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành nên D đúng.

+ Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải là hình bình hành nên C sai.

Đáp án đúng là: C

• Hình \({\rm{1}}\) là hình thoi vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

• Hình \(2\) không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

• Hình 3  không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

a) \(\frac{3}{4}{x^3}{y^3}:\left( { - \frac{1}{2}{x^2}{y^2}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{3}{4}:\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right] \cdot \left( {{x^3}:{x^2}} \right) \cdot \left( {{y^3}:{y^2}} \right)\]

a) \(16{x^2} - 16x + 4 = 0\)

\(4{x^2} - 4x + 1 = 0\)

\({\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)

\(2x - 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{2}\)

Ta có \[4{x^2}y\,.\,M = 8{x^5}{y^2}\].

Do đó \[M = 8{x^5}{y^2}:4{x^2}y\, = 2{x^3}y\].

Với \[M\, = 2{x^3}y\], ta có \[\left( {P - 5{x^2}y} \right)\,.\,2{x^3}y = 6{x^5}{y^2} + 10{x^4}y\]

\[P - 5{x^2}y = \left( {6{x^5}{y^2} + 10{x^4}y} \right):2{x^3}y\]

\[P - 5{x^2}y = 3{x^2}y + 5x\]

\[P = 3{x^2}y + 5x + 5{x^2}y\]

\[P = 8{x^2}y + 5x\]

Vậy \[P = 8{x^2}y + 5x\].

a) Do \[MNBA\] và \[MNCB\] là hình bình hành

Suy ra \[AB{\rm{ // }}MN,{\rm{ }}BC{\rm{ // }}MN\] nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng \[AB\] và \[BC\] trùng nhau.

Do đó ba điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] thẳng hàng.

Do \[MNBA\] và \[MNCB\] là hình bình hành nên \[AB = MN,{\rm{ }}BC = MN\]. Suy ra \(AB = BC\).

Mà \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] thẳng hàng nên \[B\] là trung điểm của \[AC\].

b) Từ câu a, ta suy ra \(MN{\rm{//}}\,AC\) nên \[MNCA\] là hình thang.

Do \[MNCB\] là hình bình hành nên \[NC{\rm{ // }}MB\], từ đó \[\widehat {NCB} = \widehat {MBA}\] (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang \[MNCA\] là hình thang cân là \[\widehat {MAB} = \widehat {NCB}\] tức là \[\widehat {MAB} = \widehat {MBA}.\]

Vậy điều kiện để \[MNCA\] là hình thang cân là tam giác \[MAB\] cân tại \[M\].

c) 

Chứng minh tương tự câu a, ta có \(MN\,{\rm{//}}\,AD\) và bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) thẳng hàng. Do đó \[MNDA\] là hình thang.

Do \[MNDC\] là hình bình hành nên \[ND{\rm{ // }}MC\], từ đó \[\widehat {NDC} = \widehat {MCA}\] (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang \[MNDA\] là hình thang cân là \[\widehat {NDC} = \widehat {MAC}\].

Khi đó điều kiện để \[MNDA\] là hình thang cân là \[\widehat {MCA} = \widehat {MAC}\] tức là tam giác \[MAC\] cân tại \[M\].

Do \[MB\] là đường trung tuyến của tam giác \[MAC\] nên điều kiện để tam giác \[MAC\] cân tại \[M\] là \[MB\] vuông góc với \[AC\].

Vậy điều kiện để hình thang \[MNDA\] là hình thang cân đó là tam giác \[MAB\] vuông tại \[B\].

Ta có: \(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\)

\(\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {2x + 2y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\) \(\left( * \right)\)

Với mọi \(x,y\) ta có: \({\left( {2x + 2y} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x + 2y} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\\,{\left( {y + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 0\\x - 1 = 0\\\,y + 1 = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x = 1\\\,y =  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(M = {\left( {x + y} \right)^{2023}} + {\left( {x - 2} \right)^{2024}} + {\left( {y + 1} \right)^{2025}}\)

\( = {0^{2023}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2024}} + {\left( { - 1 + 1} \right)^{2025}} = 1.\)

Vậy \(M = 1\).