Đáp án đúng là: D

Ta có \[{x^3} + 125{y^3} = {x^3} + {\left( {5y} \right)^3} = \left( {x + 5y} \right)\left( {{x^2} - 5xy + 25{y^2}} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = 5{x^2}y - 3xy + \frac{1}{2}{x^2}y - xy + 5xy - \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} + \frac{4}{3}x - \frac{1}{4}\)

\( = \left( {5{x^2}y + \frac{1}{2}{x^2}y} \right) + \left( { - 3xy - xy + 5xy} \right) + \left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}x} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right)\)

\( = \left( {5 + \frac{1}{2}} \right){x^2}y + \left( { - 3 - 1 + 5} \right)xy + \left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}} \right)x + \left( {\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \right)\)

\( = \frac{{11}}{2}{x^2}y + xy + x + \frac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(A = xy\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - xy} \right)\)

         \( = {x^2}y + xy + 3x - {x^2}y\)

         \( = \left( {{x^2}y - {x^2}y} \right) + xy + 3x\)

         \( = xy + 3x\).

Khi đó \(A.B = \left( {xy + 3x} \right)\left( {5 + xy} \right) = 5xy + {x^2}{y^2} + 15x + 3{x^2}y\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\left( {5x + 4} \right)\left( {5x - 4} \right) - {\left( {5x + 1} \right)^2} + 123\)

         \( = \left( {25{x^2} - 16} \right) - \left( {25{x^2} + 10x + 1} \right) + 123\)

         \( = \left( {25{x^2} - 25{x^2}} \right) - 10x + \left( {123 - 16 - 1} \right)\)

         \( =  - 10x + 106\)

Giá trị của biểu thức đã cho tại \(x =  - 1\) là \( - 10.\left( { - 1} \right) + 106 = 10 + 106 = 116\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[{x^3}\left( {13xy - 5} \right) - {y^3}\left( {5 - 13xy} \right)\]

\( = {x^3}\left( {13xy - 5} \right) + {y^3}\left( {13xy - 5} \right)\)

\( = \left( {13xy - 5} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\)

\( = \left( {13xy - 5} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\).

a) Thay \(x = 0;\,y =  - 2\) vào đa thức \(M\) ta được

\(M = {23.0^{23}}.\left( { - 2} \right) - 22.0.{\left( { - 2} \right)^{23}} + 21.\left( { - 2} \right) - 1 = 0 - 0 - 42 - 1 =  - 43\).

Thay \(x = 0;\,y =  - 2\) vào đa thức \(N\) ta được

\(N =  - 22.0.{\left( { - 2} \right)^3} - 42.\left( { - 2} \right) - 1 = 0 + 84 - 1 = 83\).

Vậy \(M =  - 43;\,N = 83\) tại \(x = 0;\,y =  - 2\).

b) Ta có:

\(M + N = \left( {23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1} \right) + \left( { - 22x{y^3} - 42y - 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1 - 22x{y^3} - 42y - 1\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} - 22x{y^3} + \left( {21y - 42y} \right) + \left( { - 1 - 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} - 22x{y^3} - 21y - 2\).

\(M - N = \left( {23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1} \right) - \left( { - 22x{y^3} - 42y - 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1 + 22x{y^3} + 42y + 1\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + \left( {21y + 42y} \right) + \left( { - 1 + 1} \right)\)

         \( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + 63y\).

c) Từ \(M - N - P = 63y + 1\) suy ra

\(P = \left( {M - N} \right) - \left( {63y + 1} \right)\)

\( = \left( {23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + 63y} \right) - \left( {63y + 1} \right)\)

\( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} + 63y - 63y - 1\)

\( = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} - 1\).

Vậy \(P = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 22x{y^3} - 1\).

a) \({202^2} = {\left( {200 + 2} \right)^2} = {200^2} + 2.200.2 + {2^2} = 40\,\,000 + 800 + 4 = 40\,\,804\).

b) \(299\,.\,301 = \left( {300 - 1} \right).\left( {300 + 1} \right) = {300^2} - 1 = 90\,\,000 - 1 = 89\,\,999\).

c) \({95^3} + {15.95^2} + 3.95.25 + {5^3}\)

\( = {95^3} + {3.95^2}.5 + {3.95.5^2} + {5^3}\)

\( = {\left( {95 + 5} \right)^3} = {100^3} = 1\,\,000\,\,000\).

d) \(9\left( {{{10}^2} + 10 + 1} \right) + 100\left( {{{98}^2} + 392 + {2^2}} \right)\)

\( = \left( {10 - 1} \right)\left( {{{10}^2} + 10 + 1} \right) + 100\left( {{{98}^2} + 2.98.2 + {2^2}} \right)\)

\( = {10^3} - 1 + 100{\left( {98 + 2} \right)^2}\)

\( = 1\,000 - 1 + {100.100^2}\)

\( = 999 + 100.10\,\,000\)

\( = 999 + 1\,\,000\,\,000\)

\[ = 1\,\,000\,\,999\].

Chiều dài của hộp giấy đó là: \(x + y\) (cm).

Diện tích xung quanh của hộp giấy đó là:

\({S_{xq}} = 2\left[ {\left( {x + y} \right) + x} \right].\left( {y + 3} \right)\)\( = 2\left( {2x + y} \right)\left( {y + 3} \right)\)

                                    \( = \left( {4x + 2y} \right)\left( {y + 3} \right)\)

                                    \( = 4xy + 12x + 2{y^2} + 6y\) (cm2).

Thể tích của hộp giấy đó là:

\(V = x\left( {x + y} \right)\left( {y + 3} \right) = \left( {{x^2} + xy} \right)\left( {y + 3} \right) = {x^2}y + 3{x^2} + x{y^2} + 3xy\) (cm3).

Vậy đa thức biểu thị diện tích xung quanh của hộp giấy đó là \({S_{xq}} = 4xy + 12x + 2{y^2} + 6y\) (cm2) và đa thức biểu thị thể tích của hộp giấy đó là \(V = {x^2}y + 3{x^2} + x{y^2} + 3xy\) (cm3).

a) \(3{x^2} - \sqrt 3 x + \frac{1}{4}\)

\( = {\sqrt 3 ^2}.{x^2} - 2.\sqrt 3 x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 3 x} \right)^2} - 2.\sqrt 3 x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 3 x - \frac{1}{2}} \right)^2}\).

b) \({x^2} - x - {y^2} + y\)

\( = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {x - y} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right)\).

c) \[{x^4} + {x^3} + 2{x^2} + x + 1\]

\[ = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) + \left( {{x^3} + x} \right)\]

\[ = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2{x^2} + 1} \right] + \left( {{x^3} + x} \right)\]

\[ = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + x\left( {{x^2} + 1} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\].

d) \({x^3} + 2{x^2} + x - 16x{y^2}\)

\( = x\left( {{x^2} + 2x + 1 - 16{y^2}} \right)\)

\( = x\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {4^2}.{y^2}} \right]\)

\( = x\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {4y} \right)}^2}} \right]\)

\( = x\left( {x - 4y + 1} \right)\left( {x + 4y + 1} \right)\).

Vì \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\)

\( \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd = 0\). (*)

Ta có \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd\)

\( = \left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + \left( {{c^4} - 2{c^2}{d^2} + {d^4}} \right) + \left( {2{a^2}{b^2} - 4abcd + 2{c^2}{d^{^2}}} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - 2{a^2}{b^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {{c^2}} \right)}^2} - 2{c^2}{d^2} + {{\left( {{d^2}} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} - 2ab.cd + {{\left( {cd} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2}\).

Từ (*) suy ra \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2} = 0\). (**)

Mà \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,2{\left( {ab - cd} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,\,b,\,c,\,d\).

Do đó (**) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\{c^2} - {d^2} = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a =  \pm b\\c =  \pm d\\ab = cd\end{array} \right.\).

Mà \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số dương nên \(a = b = c = d\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.