Đáp án đúng là: B

Ta có \[{x^3} - {x^2} + \frac{1}{3}x - \frac{1}{{27}} = {x^3} - 3.{x^2}.\frac{1}{3} + 3.x.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^3}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(4{x^3}y - \left( { - 2{x^3}y} \right) = 4{x^3}y + 2{x^3}y = \left( {4 + 2} \right){x^3}y = 6{x^3}y\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(H = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 7} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) - x\)

\( = \left( {2{x^2} + 14x - 3x - 21} \right) - \left( {2{x^2} + 10x} \right) - x\)

\( = 2{x^2} + 11x - 21 - 2{x^2} - 10x - x\)

\( = \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {11x - 10x - x} \right) - 21\)

\( =  - 21 <  - 1\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2}\)

         \( = \left( {{x^2} - {6^2}} \right) - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right)\)

         \( = {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9\)

         \( =  - 6x - 45\)

Khi đó \(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9\) hay \( - 6x - 45 = 9\), từ đó suy ra \(x =  - 9\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \[{x^2} - 9 + xy + 3y\]

\( = \left( {{x^2} - {3^2}} \right) + \left( {xy + 3y} \right)\)

\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + y\left( {x + 3} \right)\)

\( = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3 + y} \right)\).

Ta có \(A + B - C = \left( {5{x^2} - 2xy + 3x{y^2}} \right) + \left( { - 2{x^2} - 2x{y^2} + xy} \right) - \left( {{x^2} - 3{x^2}y + xy - 2{x^3}} \right)\)

                  \( = 5{x^2} - 2xy + 3x{y^2} - 2{x^2} - 2x{y^2} + xy - {x^2} + 3{x^2}y - xy + 2{x^3}\)

                  \( = 2{x^3} + \left( {5{x^2} - 2{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2xy + xy - xy} \right) + \left( {3x{y^2} - 2x{y^2}} \right) + 3{x^2}y\)

                  \( = 2{x^3} + 2{x^2} - 2xy + x{y^2} + 3{x^2}y\).

\(A - 2B + C = \left( {5{x^2} - 2xy + 3x{y^2}} \right) - 2\left( { - 2{x^2} - 2x{y^2} + xy} \right) + \left( {{x^2} - 3{x^2}y + xy - 2{x^3}} \right)\)

                  \( = 5{x^2} - 2xy + 3x{y^2} + 4{x^2} + 4x{y^2} - 2xy + {x^2} - 3{x^2}y + xy - 2{x^3}\)

                  \( =  - 2{x^3} + \left( {5{x^2} + 4{x^2} + {x^2}} \right) + \left( { - 2xy - 2xy + xy} \right) + \left( {3x{y^2} + 4x{y^2}} \right) - 3{x^2}y\)

                  \( =  - 2{x^3} + 10{x^2} - 3xy + 7x{y^2} - 3{x^2}y\).

a) Ta có \[{35^2} - 700 + {10^2} = {35^2} - 2.35.10 + {10^2} = {\left( {35 - 10} \right)^2} = {25^2} = 625\].

b) Ta có \[\frac{{{{12}^3} + {8^3}}}{{{{15}^3} + {5^3}}}\]\( = \frac{{\left( {12 + 8} \right).\left( {{{12}^2} - 12.8 + {8^2}} \right)}}{{\left( {15 + 5} \right).\left( {{{15}^2} - 15.5 + {5^2}} \right)}}\)\( = \frac{{20.\left( {144 - 96 + 64} \right)}}{{20.\left( {225 - 75 + 25} \right)}}\)\( = \frac{{112}}{{175}} = \frac{{16}}{{25}}\).

Ta có \({x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3}\).

Thay \(x = 77\) và \(y =  - 23\) vào biểu thức trên ta được \({\left( {77 - \left( { - 23} \right)} \right)^3} = {100^3} = 1\,000\,000\).

Vậy giá trị của biểu thức đã cho tại \(x = 77\) và \(y =  - 23\) là \(1\,000\,000\).

Ta có

\[A = {a^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\]

\( = \left( {{a^4} + {a^2}{b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\)

\( = {a^6} + {a^4}{c^2} + {a^4}{b^2} + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {a^4}\left( {{a^2} + {c^2} + {b^2}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {a^4}.0 + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {a^2}{b^2}{c^2}\).           (1)

\(B = {b^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {a^2}} \right)\)

\( = \left( {{b^4} + {b^2}{c^2}} \right)\left( {{b^2} + {a^2}} \right)\)

\( = {b^6} + {b^4}{a^2} + {b^4}{c^2} + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {b^4}\left( {{b^2} + {a^2} + {c^2}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {b^4}.0 + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {a^2}{b^2}{c^2}\).           (2)

\(C = {c^2}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {b^2}} \right)\)

\( = \left( {{c^4} + {c^2}{a^2}} \right)\left( {{c^2} + {b^2}} \right)\)

\( = {c^6} + {c^4}{b^2} + {c^4}{a^2} + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {c^4}\left( {{c^2} + {b^2} + {a^2}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {c^4}.0 + {a^2}{b^2}{c^2}\)

\( = {a^2}{b^2}{c^2}\).           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A = B = C\).

\({a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2} + ab - a - b\)

\( = \left( {{a^2} - {a^2}{b^2}} \right) - \left( {b - {b^2}} \right) - \left( {a - ab} \right)\)

\( = {a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) - b\left( {1 - b} \right) - a\left( {1 - b} \right)\)

\( = {a^2}\left( {1 - b} \right)\left( {1 + b} \right) - b\left( {1 - b} \right) - a\left( {1 - b} \right)\)

\( = \left( {1 - b} \right)\left( {{a^2} + {a^2}b - b - a} \right)\)

\( = \left( {1 - b} \right)\left[ {\left( {{a^2} - a} \right) + \left( {{a^2}b - b} \right)} \right]\)

\( = \left( {1 - b} \right)\left[ {a\left( {a - 1} \right) + b\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)} \right]\)

\( = \left( {1 - b} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + ab + b} \right)\).

\(xy\left( {x + y} \right) - yz\left( {y + z} \right) + xz\left( {x - z} \right)\)

\( = {x^2}y + x{y^2} - {y^2}z - y{z^2} + xz\left( {x - z} \right)\)

\( = \left( {{x^2}y - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2} - {y^2}z} \right) + xz\left( {x - z} \right)\)

\( = y\left( {{x^2} - {z^2}} \right) + {y^2}\left( {x - z} \right) + xz\left( {x - z} \right)\)

\( = y\left( {x - z} \right)\left( {x + z} \right) + {y^2}\left( {x - z} \right) + xz\left( {x - z} \right)\)

\( = \left( {x - z} \right)\left( {xy + yz + {y^2} + xz} \right)\)

\( = \left( {x - z} \right)\left[ {\left( {xy + xz} \right) + \left( {yz + {y^2}} \right)} \right]\)

\( = \left( {x - z} \right)\left[ {x\left( {y + z} \right) + y\left( {y + z} \right)} \right]\)

\( = \left( {x - z} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\).

Ta có \[a = \underbrace {11...1}_n2,b = \underbrace {11...1}_n4.\]

Vì \[\underbrace {11...1}_n4 - \underbrace {11...1}_n2 = 2\] nên \(b - a = 2\) hay \(b = a + 2\).

Do đó \(ab + 1 = a\left( {a + 2} \right) + 1 = {a^2} + 2a + 1\)

\( = {\left( {a + 1} \right)^2} = {\left( {\underbrace {11....1}_n2 + 1} \right)^2} = {\left( {\underbrace {11....1}_n3} \right)^2}.\)

Vậy \[ab + 1\] là số chính phương.