Đáp án đúng là: C

Ta có \(4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Thay \(x = 2;\,y = \frac{1}{3}\) vào đa thức \(4{x^2}y - \frac{2}{3}x{y^2} + 5xy - x\) ta được

\({4.2^2}.\frac{1}{3} - \frac{2}{3}.2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + 5.2.\frac{1}{3} - 2 = \frac{{176}}{{27}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left( {a{x^2} + bx - c} \right).2{a^2}x\)

\( = a{x^2}.2{a^2}x + bx.2{a^2}x - c.2{a^2}x\)

\( = 2{a^3}{x^3} + 2{a^2}b{x^2} - 2{a^2}cx\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)

\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right)\)

\( = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x\)

\( =  - 15x + 1\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\)

\( = \left( {{a^4} + {a^3}} \right) + \left( {{a^3}b + {a^2}b} \right)\)

\( = {a^3}\left( {a + 1} \right) + {a^2}b\left( {a + 1} \right)\)

\( = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^3} + {a^2}b} \right)\)

\( = \left( {a + 1} \right){a^2}\left( {a + b} \right)\)

\( = {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

a) Với \(x,\,y,\,z\) là các biến, ta có đa thức \(P\) có 4 hạng tử:

+ Hạng tử \(5xyz\) có bậc là 3.

+ Hạng tử \( - 2{x^2}\) có bậc là 2.

+ Hạng tử \(4xy\) có bậc là 2.

+ Hạng tử \( - 5\) có bậc là 0.

Vậy bậc của đa thức \(P\) bằng 3.

b) Ta có:

\[P + Q = \left( {5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5} \right) + \left( { - xyz + 4{x^2} + 2xy - 7} \right)\]

\[ = 5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5 - xyz + 4{x^2} + 2xy - 7\]

\( = \left( {5xyz - xyz} \right) + \left( { - 2{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4xy + 2xy} \right) - \left( {5 + 7} \right)\)

\[ = 4xyz + 2{x^2} + 6xy - 12\].

\[P - Q = \left( {5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5} \right) - \left( { - xyz + 4{x^2} + 2xy - 7} \right)\]

\[ = 5xyz - 2x{}^2 + \,4xy - 5 + xyz - 4{x^2} - 2xy + 7\]

\( = \left( {5xyz + xyz} \right) + \left( { - 2{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( {4xy - 2xy} \right) + \left( { - 5 + 7} \right)\)

\[ = 6xyz - 6{x^2} + 2xy + 2\].

Ta có \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {x^3} + 3{x^2}.1 + 3x{.1^3} + {1^3} = {\left( {x + 1} \right)^3}\).

Thay \(x = 99\) vào biểu thức \({\left( {x + 1} \right)^3}\) ta được \({\left( {99 + 1} \right)^3} = {100^3} = 1\,000\,000\).

Vậy giá trị của biểu thức \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) tại \(x = 99\) là \(1\,000\,000\).

Ta có \[A = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\]

\( = \left( {{x^3} + {1^3}} \right) - \left( {{x^3} - {1^3}} \right)\)

\( = {x^3} + 1 - {x^3} + 1\)

\( = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {1 + 1} \right)\)

\( = 2\) với mọi \(x\).

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) không phụ thuộc vào biến \(x\).

Ta có \(VT = \left( {x + y} \right)\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right)\)

         \( = x\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right) + y\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right)\)

         \( = {x^5} - {x^4}y + {x^3}{y^2} - {x^2}{y^3} + x{y^4} + {x^4}y - {x^3}{y^2} + {x^2}{y^3} - x{y^4} + {y^5}\)

         \( = \left( {{x^5} + {y^5}} \right) + \left( { - {x^4}y + {x^4}y} \right) + \left( {{x^3}{y^2} - {x^3}{y^2}} \right) + \left( { - {x^2}{y^3} + {x^2}{y^3}} \right) + \left( {x{y^4} - x{y^4}} \right)\)

         \( = {x^5} + {y^5} = VP\).

Suy ra điều phải chứng minh.

Ta có \[A = {\left( {xy + 1} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2}\]

         \( = \left[ {\left( {xy + 1} \right) + \left( {x + y} \right)} \right].\left[ {\left( {xy + 1} \right) - \left( {x + y} \right)} \right]\)

         \( = \left( {xy + 1 + x + y} \right)\left( {xy + 1 - x - y} \right)\)

         \( = \left[ {\left( {xy + x} \right) + \left( {y + 1} \right)} \right].\left[ {\left( {xy - x} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\)

         \( = \left[ {x\left( {y + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)} \right].\left[ {x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\)

         \( = \left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Do đó \(A = \left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Thay \(x = 2,\,y = 2\) vào biểu thức \(A\) ta được

\(A = \left( {2 + 1} \right).\left( {2 + 1} \right).\left( {2 - 1} \right).\left( {2 - 1} \right) = 3.3.1.1 = 9\).

Vậy \(A = 9\) tại \(x = 2,\,y = 2\).

Ta có \[B = xyz - \left( {xy + yz + zx} \right) + x + y + z - 1\]

         \( = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1\)

         \( = \left[ {\left( {xyz - xy} \right) + \left( {z - 1} \right)} \right] + \left[ {\left( {x + y} \right) - \left( {zx + yz} \right)} \right]\)

         \( = \left[ {xy\left( {z - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)} \right] + \left[ {\left( {x + y} \right) - z\left( {x + y} \right)} \right]\)

         \( = \left( {z - 1} \right)\left( {xy + 1} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {1 - z} \right)\)

         \( = \left( {z - 1} \right)\left( {xy + 1} \right) - \left( {x + y} \right)\left( {z - 1} \right)\)

         \( = \left( {z - 1} \right)\left( {xy + 1 - x - y} \right)\)

         \( = \left( {z - 1} \right)\left[ {\left( {xy - x} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\)

         \( = \left( {z - 1} \right)\left[ {x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\)

         \( = \left( {z - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Do đó \(B = \left( {z - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Thay \[x = 9,y = 10,z = 11\] vào biểu thức \(B\) ta được

\(B = \left( {11 - 1} \right).\left( {10 - 1} \right).\left( {9 - 1} \right) = 10.9.8 = 720\).

Vậy \(B = 720\) tại \[x = 9,y = 10,z = 11\].

Để đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\) thì mọi hạng tử của đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) đều phải chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\), khi đó ta cần có:

Số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong \( - 4{x^m}{y^n}\) nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong mọi hạng tử của \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\); tức là phải có \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m \le 5\\m \le 4\\n \le 7\\n \le 6\\n \le 5\end{array} \right.\), khi đó ta tìm được \(m \le 4\) và \(n \le 5\), mà \(m,n \in \mathbb{N}\), do đó \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;4;\,5} \right\}\).

Vậy \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;4;\,5} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.