Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn có đáp án

Thử x = -1 vào các bất phương trình ta thấy x = -1 là nghiệm của bất phương trình 2x + 1 < 0.

Cũng có thể giải các bất phương trình, từ đó thấy x = -1 chỉ là nghiệm của phương trình 2x + 1 < 0. Đáp án là B.

Cách 1: Điều kiện xác định của bất phương trình là x < 3. Khi đó:

$\frac{\left|1-x\right|}{\sqrt{3-x}}>\frac{x-1}{\sqrt{3-x}}\iff \left|1-x\right|>x-1\iff x-1<0\iff x<1$.

Kết hợp lại, suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

 Đáp án là C.

Cách 2: Có thể thay các giá trị trên vào bất phương trình, thực chất chỉ cần thay vào x - 1  ( bỏ đi) rồi suy ra kết luận.

Cách 1:

* Ta có: 2x > 1$\iff$x > $\frac{1}{2}$

* Xét: $2x+\sqrt{x+2}>1+\sqrt{x+2}$

Điều kiện: $x\ge -2$

Với điều kiện trên, (1) tương đương:  $2x>1\iff x>\frac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình này là: $x>\frac{1}{2}$

Do đó, bất phương trình đã cho tương đương bất phương trình D.

Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ.

·       x = 1 là nghiệm của bất phương trình 2x > 1 nhưng không là nghiệm của bất phương trình $2x+\sqrt{x-2}>1+\sqrt{x-2}$, do đó hai bất phương trình không tương đương.

·       x= -2 là nghiệm của bất phương trình 4x² > 1 nhưng không là nghiệm bất phương trình 2x > 1.

                ·    x = 3 là nghiệm của bất phương trình  2x > 1 nhưng không là nghiệm của bất phương trình $2x-\frac{1}{x-3}>1-\frac{1}{x-3}$, do đó hai bất phương trình không tương đương. Đáp án là D

Ta có :

$$\begin{gathered} 2x+2>3(2-x)+1\iff 2x+2>6-3x+1 \\ \iff 5x>5\iff x>1 \end{gathered}$$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x+2>3(2-x)+1$ là $\left(1;+\infty \right)$.

Đáp án là A.

Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ xác định khi và chỉ khi $2-x>0\iff x<2$.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ là $(-\infty ;2)$.

Đáp án là C.

Điều kiện xác định của phương trình là x > 4. 

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với

$\left|x-2\right|=x-2\iff x-2=x-2\iff 0x=0 ( luôn đúng)$.

Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm x > 4.

Đáp án là A.

Ta có$\left\{\begin{array}{l}3x+2>2x+3\\ 2-2x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-2x>3-2\\ -2x>-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x<1\end{array}\right.$.

Do đó hệ bất phương trình trên vô nghiệm. Đáp án là D.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}2x-5\ge 0\\ 16-6x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{5}{2}\\ x\le \frac{8}{3}\end{array}\right.\iff \frac{5}{2}\le x\le \frac{8}{3}$.

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-5\ge 0\\ 16-6x\ge 0\end{array}\right.$ là $\left[\frac{5}{2};\frac{8}{3}\right]$.

Đáp án là A.

Điều kiện xác định của hàm số $y=\sqrt{6-4x}+\sqrt{5-6x}$ là

$\left\{\begin{array}{l}6-4x\ge 0\\ 5-6x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-4x\ge -6\\ -6x\ge -5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{3}{2}\\ x\le \frac{5}{6}\end{array}\right.\iff x\le \frac{5}{6}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{6-4x}+\sqrt{5-6x}$ là $(-\infty ;\frac{5}{6}]$

Đáp án là B.

Ta có: $\left(1\right)\iff x\le -m$. Tập nghiệm của (1) là $(-\infty ;-m]$.

$\left(2\right)\iff x>5$. Tập nghiệm của (2) là $\left(5;+\infty \right)$.

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $(-\infty ;-m]\cap \left(5;+\infty \right)\ne \varnothing$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $5<-m\iff m<-5$.

Đáp án là A.

Cách 1: Ta có :

$\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=3a-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x=3a\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2-\frac{3a}{2}\\ x=\frac{3a}{2}\end{array}\right.$.

Để $x<y\iff \frac{3a}{2}<2-\frac{3a}{2}\iff 3a<2\iff a<\frac{2}{3}$

Đáp án là D.

Cách 2: Có thể không cần tìm nghiệm của hệ bất phương trình , chỉ cần lập luận nếu x, y là nghiệm của hệ thì: $x<y\iff x-y<0\iff 3a-2<0\iff a<\frac{2}{3}$.

Đáp án là D.

Thay x= 3 vào các bất phương trình ta thấy x= 3 chỉ thỏa mãn bất phương trình 2x – 1 > 3.

Chọn D.

Do x= 1  là nghiệm của bất phương trình 2x - 1 > 3  nên:

$2m-3m.1\ge 1\iff \ge 1\iff m\le -1$

Chọn A.

Ta thấy x= 1 không là nghiệm của bất phương trình đã cho nhưng x= 1 là nghiệm của bất phương trình 4(x -1)+ 1> 2x(x-1) – 1.

Do đó, hai bất phương  trình này không tương đương với nhau.

Chọn C.

Ta có: $3-x<2x\iff -x-2x<-3\iff -3x<3\iff x>1$

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(1;+\infty \right)$

Điều kiện xác định: $6-9x>0\iff -9x>-6\iff x<\frac{2}{3}$Do đó, tập xác định của hàm số là $(-\infty ;\frac{2}{3})$

Ta có: 5x – 2(4- x) >0

$$\begin{gathered} \iff 5x-8+2x>0 \\ \iff 7x>8\iff x>\frac{8}{7} \end{gathered}$$

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S=\left(\frac{8}{7};+\infty \right)$

Ta có:  2x + 1 < 6. (1 – x)

$$\begin{gathered} \iff 2x+1<6-6x\iff 2x+6x<6-1 \\ \iff 8x<5\iff x<\frac{5}{8} \end{gathered}$$

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\left(-\infty ;\frac{5}{8}\right)$

Điều kiện: $x\le 2$

Với điều kiện trên ,bất phương trình đã cho trở thành:

3- 2x < x $\iff -3x<-3\iff x>1$

Kết hợp điều kiện ta được: $1<x\le 2$

Tập nghiệm của bất phương trình  là S = (1; 2]

Bất phương trình $(m^2+2m)x\le m^2$ nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{m}^2+2m=0\\ m^2\ge 0\end{array}\right.\iff m^2+2m=0\iff [\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}$.

Bất phương trình $(m^2-m)x<m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{m}^2-m=0\\ m\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\iff m=0\end{array}\\ m\le 0\end{array}\right.$

Ta có:  $∆\text{'}=m^2-(m^2+3m-1)=-3m+1$

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: 

$∆\text{'}\ge 0\iff -3m+1\ge 0\iff m\le \frac{1}{3}$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi ac < 0

Hay (m²+ 1). (- 2m + 3 )< 0

Lại có,  m² + 1 > 0 với mọi m

Suy ra:  -2m + 3 < 0 $\iff m>\frac{3}{2}$

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}3x+1>4-x\\ 3-x>9-6x\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}4x>3\\ 5x>6\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{3}{4}\\ x>\frac{6}{5}\end{array}\right.\iff x>\frac{6}{5}$

Do đó, tập nghiệm của hệ bất phương trình  là  $S=\left(\frac{6}{5};+\infty \right)$

Điều kiện xác định của hàm số: $\left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ 3-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 3\end{array}\right.\iff 1\le x\le 3$

Tập xác định của hàm số là:  D= [1; 3]

Điều kiện xác định:$\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ 5-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x\le 5\end{array}\right.\iff x\le 2$

Tập xác định của hàm số là: D = ($-\infty$;2]

Ta có $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x-m<3\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x<3+m\end{array}\right.$ .

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi: $m+3\le \frac{1}{2}\iff x\le -\frac{5}{2}$.

Vì $\left\{\begin{array}{l}3x-1\ge 0\\ x+m\le 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{3}\\ x\le 2-m\end{array}\right.$.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\frac{1}{3}=2-m\iff m=\frac{5}{3}$ .

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=5a-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x=5a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5a}{2}\\ y=2-\frac{5a}{2}\end{array}\right.$

Để x< y thì $\frac{5a}{2}<2-\frac{5a}{2}\iff 5a<2\iff a<\frac{2}{5}$.

Ta có 2x – 4 >0

* Xét bất phương  trình:  mx – 1 <0  (*)

    + Nếu m = 0 thì  ( *) luôn đúng với mọi x.

Khi đó, tập nghiệm của hệ bất phương trình là $(2;+\infty )$.

  + Nếu m > 0 thì từ (*) $\iff mx<1\iff x<\frac{1}{m}$

Trong trường hợp này thì tập nghiệm của hệ bất phương trình không thể là $(2;+\infty )$.

    + Nếu m < 0 thì từ (*)$\iff mx<1\iff x>\frac{1}{m}$

Do đó, để hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $(2;+\infty )$ khi và chỉ khi $\frac{1}{m}<2$( luôn đúng vì m < 0).

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn là $m\le 0$ .

Ta có:  $2x-1>0\iff 2x>1\iff x>\frac{1}{2}$

* Xét bất phương trình mx – 3 < 0   (*)

   + Nếu m = 0 thì (*) luôn đúng với mọi x. khi đó, nghiệm của hệ bất phương  trình là: $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ 

  + Nếu m < 0 thì (*):$mx<3\iff x>\frac{3}{m}$

Khi đó, tập nghiệm của hệ bất phương trình là:$\left(max\left(\frac{1}{2};\frac{3}{m}\right);+\infty \right)$

   + Nếu m >0  thì (*)$mx<3\iff x<\frac{3}{m}$

  Để hệ bất phương trình có tập nghiệm là khoảng $\left(\frac{1}{2};2\right)$ thì$\frac{3}{m}=2\iff m=\frac{3}{2}$

Kết  luận:  Để hệ bất phương trình có tập nghiệm là khoảng $\left(\frac{1}{2};2\right)$ thì $m=\frac{3}{2}$