Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn có đáp án

Thử x = -1 vào các bất phương trình ta thấy x = -1 là nghiệm của bất phương trình 2x + 1 < 0.

Cũng có thể giải các bất phương trình, từ đó thấy x = -1 chỉ là nghiệm của phương trình 2x + 1 < 0. Đáp án là B.

Cách 1: Điều kiện xác định của bất phương trình là x < 3. Khi đó:

1-x3-x>x-13-x⇔1-x>x-1⇔x-1<0⇔x<1.

Kết hợp lại, suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

 Đáp án là C.

Cách 2: Có thể thay các giá trị trên vào bất phương trình, thực chất chỉ cần thay vào x - 1  ( bỏ đi) rồi suy ra kết luận.

Cách 1:

* Ta có: 2x > 1⇔x > 12

* Xét: 2x+x+2>1+x+2

Điều kiện: x≥-2

Với điều kiện trên, (1) tương đương:  2x>1⇔x>12

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình này là: x>12

Do đó, bất phương trình đã cho tương đương bất phương trình D.

Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ.

·       x = 1 là nghiệm của bất phương trình 2x > 1 nhưng không là nghiệm của bất phương trình 2x+x-2>1+x-2, do đó hai bất phương trình không tương đương.

·       x= -2 là nghiệm của bất phương trình 4x² > 1 nhưng không là nghiệm bất phương trình 2x > 1.

                ·    x = 3 là nghiệm của bất phương trình  2x > 1 nhưng không là nghiệm của bất phương trình 2x-1x-3>1-1x-3, do đó hai bất phương trình không tương đương. Đáp án là D

Ta có :

2x+2>3(2-x)+1⇔2x+2>6-3x+1⇔5x>5⇔x>1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x+2>3(2-x)+1 là 1;+∞.

Đáp án là A.

Hàm số y=12-x xác định khi và chỉ khi 2-x>0⇔x<2.

Vậy tập xác định của hàm số y=12-x là (-∞;2).

Đáp án là C.

Điều kiện xác định của phương trình là x > 4. 

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với

x-2=x-2⇔x-2=x-2⇔0x=0 ( luôn đúng).

Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm x > 4.

Đáp án là A.

Ta có3x+2>2x+32-2x>0⇔3x-2x>3-2-2x>-2⇔x>1x<1.

Do đó hệ bất phương trình trên vô nghiệm. Đáp án là D.

Ta có 2x-5≥016-6x≥0⇔x≥52x≤83⇔52≤x≤83.

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình 2x-5≥016-6x≥0 là 52;83.

Đáp án là A.

Điều kiện xác định của hàm số y=6-4x+5-6x là

6-4x≥05-6x≥0⇔-4x≥-6-6x≥-5⇔x≤32x≤56⇔x≤56.

Vậy tập xác định của hàm số y=6-4x+5-6x là (-∞;56]

Đáp án là B.

Ta có: (1)⇔x≤-m. Tập nghiệm của (1) là (-∞;-m].

(2)⇔x>5. Tập nghiệm của (2) là 5;+∞.

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (-∞;-m]∩5;+∞≠∅. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 5<-m⇔m<-5.

Đáp án là A.

Cách 1: Ta có :

x+y=2x-y=3a-2⇔x+y=22x=3a⇔y=2-3a2x=3a2.

Để x<y⇔3a2<2-3a2⇔3a<2⇔a<23

Đáp án là D.

Cách 2: Có thể không cần tìm nghiệm của hệ bất phương trình , chỉ cần lập luận nếu x, y là nghiệm của hệ thì: x<y⇔x-y<0⇔3a-2<0⇔a<23.

Đáp án là D.

Thay x= 3 vào các bất phương trình ta thấy x= 3 chỉ thỏa mãn bất phương trình 2x – 1 > 3.

Chọn D.

Do x= 1  là nghiệm của bất phương trình 2x - 1 > 3  nên:

2m-3m.1≥1⇔≥1⇔m≤-1

Chọn A.

Ta thấy x= 1 không là nghiệm của bất phương trình đã cho nhưng x= 1 là nghiệm của bất phương trình 4(x -1)+ 1> 2x(x-1) – 1.

Do đó, hai bất phương  trình này không tương đương với nhau.

Chọn C.

Ta có: 3-x<2x⇔-x-2x<-3⇔-3x<3⇔x>1

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=1;+∞

Điều kiện xác định: 6-9x>0⇔-9x>-6⇔x<23Do đó, tập xác định của hàm số là (-∞;23)

Ta có: 5x – 2(4- x) >0

⇔5x-8+2x>0⇔7x>8⇔x>87

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=87;+∞

Ta có:  2x + 1 < 6. (1 – x)

⇔2x+1<6-6x⇔2x+6x<6-1⇔8x<5⇔x<58

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là -∞;58

Điều kiện: x≤2

Với điều kiện trên ,bất phương trình đã cho trở thành:

3- 2x < x ⇔-3x<-3⇔x>1

Kết hợp điều kiện ta được: 1<x≤2

Tập nghiệm của bất phương trình  là S = (1; 2]

Bất phương trình (m2+2m)x≤m2 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi m2+2m=0m2≥0⇔m2+2m=0⇔[m=0m=-2.

Bất phương trình (m2-m)x<m vô nghiệm khi và chỉ khi m2-m=0m≤0⇔[m=0m=1⇔m=0m≤0

Ta có:  ∆'=m2-(m2+3m-1)=-3m+1

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: 

∆'≥0⇔-3m+1≥0⇔m≤13

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi ac < 0

Hay (m²+ 1). (- 2m + 3 )< 0

Lại có,  m² + 1 > 0 với mọi m

Suy ra:  -2m + 3 < 0 ⇔m>32

Ta có:3x+1>4-x3-x>9-6x⇔4x>35x>6⇔x>34x>65⇔x>65

Do đó, tập nghiệm của hệ bất phương trình  là  S=65;+∞

Điều kiện xác định của hàm số: x-1≥03-x≥0⇔x≥1x≤3⇔1≤x≤3

Tập xác định của hàm số là:  D= [1; 3]

Điều kiện xác định:2-x≥05-x≥0⇔x≤2x≤5⇔x≤2

Tập xác định của hàm số là: D = (-∞;2]

Ta có 2x-1>0x-m<3⇔x>12x<3+m .

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi: m+3≤12⇔x≤-52.

Vì 3x-1≥0x+m≤2⇔x≥13x≤2-m.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 13=2-m⇔m=53 .

Ta có:x+y=2x-y=5a-2⇔x+y=22x=5a⇔x=5a2y=2-5a2

Để x< y thì 5a2<2-5a2⇔5a<2⇔a<25.

Ta có 2x – 4 >0

* Xét bất phương  trình:  mx – 1 <0  (*)

    + Nếu m = 0 thì  ( *) luôn đúng với mọi x.

Khi đó, tập nghiệm của hệ bất phương trình là (2;+∞).

  + Nếu m > 0 thì từ (*) ⇔mx<1⇔x<1m

Trong trường hợp này thì tập nghiệm của hệ bất phương trình không thể là (2;+∞).

    + Nếu m < 0 thì từ (*)⇔mx<1⇔x>1m

Do đó, để hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (2;+∞) khi và chỉ khi 1m<2( luôn đúng vì m < 0).

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn là m≤0 .

Ta có:  2x-1>0⇔2x>1⇔x>12

* Xét bất phương trình mx – 3 < 0   (*)

   + Nếu m = 0 thì (*) luôn đúng với mọi x. khi đó, nghiệm của hệ bất phương  trình là: 12;+∞ 

  + Nếu m < 0 thì (*):mx<3⇔x>3m

Khi đó, tập nghiệm của hệ bất phương trình là:max12;3m;+∞

   + Nếu m >0  thì (*)mx<3⇔x<3m

  Để hệ bất phương trình có tập nghiệm là khoảng 12;2 thì3m=2⇔m=32

Kết  luận:  Để hệ bất phương trình có tập nghiệm là khoảng 12;2 thì m=32