Bài tập về số nguyên tố - tổ hợp số

Phân tích các số đó cho thành tích các thừa số nguyên tố

Ta có:

-                     Ước nguyên tố(30) = {1, 2, 3, 5}

  Và 30 = 1.2.3.5

-                     Ước nguyên tố(210) = {1, 2, 3, 5,7}

  Và 210 = 1.2.3.5.7

-                     Ước nguyên tố(2310) = {1, 2, 3, 5, 7, 11}

  Và 30 = 1.2.3.5.7.11

Chỳ ý:  Khi phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau :

210 = 21.10 . Ta đó biết 10 = 2.5 nên chỉ cần phân tích  21  = 3.7 và có

210 = 2.7.2.5

   Cách này hoàn toàn có lợi khi phân tích các số là bội của 10

Chẳng hạn khi phân tích số 3200 ta viết

3200 = 32.100 cho ta 32 = 2⁵ và  100 = 2².5²

Vậy 3200 = 2⁷.5²

Dể thấy 31 = 30 + 1

                       = 1.2.3.5 + 1

Số 31 không chia hết các số nguyên tố 2, 3, 5 ma 5² = 25 < 35 là ước nguyên tố lớn nhất mà 5² < 31

Suy ra 31 là số nguyên tố

Các số khác ta củng chứng minh tương tự.

Ta có: 

Vậy 360 = 2.2.2.3.3.5

              = 2³.3².5

Ta có  360  = 2³.3².5

Vậy số các ước của 360 là

(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước

Dể thấy các số 1,  2,  2²,  2³,                (1) là ước của 360

Ta Tìm các ước còn lại theo cách sau

Bước 1: Nhân các số hạng dãy (1) theo thứ tự với 3 và 3² ta được các ước

Bước 2: Nhân các số trong dãy (1) và (2) theo thứ tự với 5 ta đước các ước

Vậy ta có tất cả 24 ước của 360 là

Viết A dưới dạng phân tích ra thừa số nguyên tố

A = $a^m{b}^n{c}^t....$

Số các ước của A sẻ là (m + 1)(n + 1)(t + 1)…

Ta có 6 = 6.1  hoặc 6 = 2.3

-  Trường hợp A chỉ có một số nguyên tố dạng A = $a^m$ thì

Vì A là số nhỏ nhất hay a = 2. Suy ra

-  Trương hợp A có hai thừa số nguyên tố A = $a^m{b}^n$

Ta có

Và A = $a^2{b}^1$

Để có số A nhỏ nhất ta chọn các số nguyên tố nhỏ nhất là a = 2, b = 3

Vậy A = $2^2.3$ hay A = 12

Xét 2 trường hợp trên ta thấy số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước là 12

1.  Số 676767 có tổng các chử số là 39 chia hết cho 3 nên  676767 : 3

Vậy nó là hợp số

2. Tương tự số 10⁸ + 10⁷ + 7 có tổng chia hết cho 9 nên

 10⁸ + 10⁷ + 7 : 9 là hợp số

3. Số  17⁵ + 24⁴ + 13²¹  có:

Số  17⁵ có tận cùng là 7

Số   24⁴ có tận cung là 6

Số   13²¹  có tận cùng là 3

Vậy 10⁸ + 10⁷ + 7  có tận cùng là 0, chia hết cho 10 nên nó là hợp số.

1.  $A⋮3$. Hợp số

2.  $B⋮11$. Hợp số

3.  $C⋮ 101$. Hợp số

4.  D = 1112111 = 1111000 + 1111

$\Rightarrow D⋮ 1111$ . Hợp số

5   E = 1! + 2! + 3! + … + 100!

Suy ra $E⋮3$. Vậy E là hợp số

6. G chia hết cho 7.G là hợp số

7. H = 311141111 = 31111000 + 31111

$H⋮31111$. Vậy H là hợp số.

Ta thấy   a = 720 = 2⁴.3².5

b = 36 =  2².3²

c = 54 = 2.3³

vậy A = {2, 3, 5},    B = {2, 3},    C = {2, 3}

Dễ thấy B, C là hai tập con của A

2. Vì  a  = 2⁴.3².5 và b =  2².3² nên $a ⋮ b$

    Vì  a  = 2⁴.3².5 và c  = 2.3³  nên a không chia hết cho c

Ta có:

 a.b.c.d = 59007

c +d = 102

Phân tích ra thừa số nguyên tố a.b.c.d = 3.13.17.89

Trông các ước của abcd chỉ có hai số 13 và 89 có tổng bằng 102. Tuổi của Long không thể là 89 vậy d = 13, c = 89

Còn lại  a.b = 3.17 do $b\le 12$  nên b = 3, a = 17

Vậy long sinh ngày 17 – 3 – 1989 .

1. Khi chia một số tự nhiên A lớn hơn 2 cho 4 thì ta được các số dư 0, 1, 2, 3 . Trường hợp số dư là 0 và 2 hai thì A là hợp số, ta không xột chỉ xột trường hợp số dư là 1 hoặc 3

  Với mọi trường hợp số dư là 1 ta có  A = $4n \pm 1$

  Với trường hợp số dư là 3 ta có A = $6n \pm 1$

Ta có thể viết  A = 4m + 4 – 1

                           =  4(m + 1) – 1

Đặt  m + 1 = n, ta có  A = 4n – 1

2.     Khi chia số tự nhiên A cho 6 ta có các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5. Trường hợp số dư 0, 2, 3, 4. Ta có A chia hết cho 2 hoặc A chia hết cho 3 nên A là hợp số

Trường hợp dư 1 thì  A = 6n + 1

Trường hợp dư 5 thì   A = 6m + 5    

                                       = 6m + 6 – 1

                                       6(m + 1 ) – 1

Đặt m + 1 = n     Ta có  A = 6n – 1

Ta có  A = 26460 = 2².3³.5.7²

Ta củng có  

21 = 3.7

60 = 2².3.5

91 = 7.13

140 = 2².5.7

150 = 2.3.5²

270 = 2.3³.5

Vậy

 A chia hết cho 21, 60, 140

A không chia hếtt cho 91, 150, 270.

Chỳ ý rằng , các số nguyên tố (trừ số 2) đều là các số lẽ

- Nếu n lẽ thì  n + a là số chẵn là một hợp số trỏi với giả thiết n + a là số nguyên tố. vậy n là số chẳn

-  Ta dặt n = 2k, $k \in N^{*}$

+   Nếu  k chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6

+   Nếu k = 3p + 1 , $p \in N^{*}$ thì 3 số theo thứ tự bằng a, a + 6p + 2,

a + 12p + 4

+  Do a là số lẽ nên nếu a chia cho 3 dư 1 thì  a + 6p + 2 chia hết cho 3,

 Nếu a chia 3 dư 2 thì a + 12p + 4 chia hết cho 3

+  Nếu k = 3p + 2  $p \in N^{*}$ thì 3 số theo thứ tự bằng

a + 6p +4, a + 12p +8

với a chia cho 3 dư 1 thì  a + 12p +8  chia hết cho 3

với a chia cho 3 dư 2 thì  a + 6p +4  chia hếtt cho 3

Vậy để 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố thì n phải chia hết cho 6.

Ta có $\left(p-1\right)p\left(p+1\right) ⋮ 3$   mà (p, 3) = 1 nên

           $\left(p-1\right)\left(p+1\right) ⋮ 3$                    (1)

 p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẽ, p – 1 và p + 1 là hai số chẳn liên tiếp , có một số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8  (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p – 1)(p + 1) chia hết cho 2 nguyên tố cùng nhau là 3 và 8

Vậy (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24.

Ta có

Với $n \ge 4$ thì n + 3 > 6 và n² + 2 > 17. Trong hai số n + 3 và n² + 2 hoặc có một số chia hết cho 6 hoặc một số chia hết cho 2, và một số chia hết cho 3 thì p sẽ là hợp số

    Thực vậy :

-                     Với n = 3k thì (n + 3)(n² + 2) = 27k²(k + 1) + 6(k + 1)  6

-                     Với n = 3k + 1 thì  (n + 3)(n² + 2) = 27k³ + 54k² + 33k 12

                                                            = BC 6 + 3k(k² + 1)

-    Với n = 3k – 1 thì  (n + 3)(n² + 2) = BC 6 + 3k(k² + 1)

Mà 3k(k² + 1) $⋮$ 6 nên với mọi $n \ge 1$ thì p đều là hợp số

Còn lại    

n = 1 thì p = 2

n = 2 thì p = 5

n = 3 thì p = 11

Đó là các số nguyên tố p cầc tìm.

1. Vì p là số nguyên tố và p + 10 và p + 14 còng là số nguyên tố nên p > 2 .Mặt khỏc p có thể rơi vào một trong 3 khả năng hoặc p = 3k , p = 3k + 1, p = 3k – 1

-  Với p = 3k + 1 thì

        p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5 ) $⋮$ 3

-   Với p = 3k – 1 thì

        p + 10 = 3k + 9 = 3 (k + 3) $⋮$3

  Vậy p = 3k . Do p là nguyên tố nên p = 3

2. Xét các trường hợp sau.

-  Với p = 5 thì        

p + 2 = 7

 p + 6 =  11

p + 8 =  13

p + 12 =  17

p + 14 =  19

-  Với p > 5 thì p = 5k +1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k +4

+  Nếu  p= 5k +1 thì p + 14 = 5k + 15 $⋮$5

+  Nếu p = 5k + 2 thì  p + 8 = 5k + 10 $⋮$5

+  Nếu  p = 5k + 3  thì  p + 12 = 5k + 15 $⋮$5

+  Nếu  p = 5k +4   thì  p + 6 = 5k + 10 $⋮$ 5

Suy ra nguyên tố cần Tìm là p = 5.

Gọi hai số nguyên tố sinh đội là p và p + 2. Vậy số tự nhiên nằm giữa chúng là p + 1

-p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số nguyên tố lẻ vậy p + 1 là số chẳn

 p + 1 $⋮$2 (1)

-    p, p + 1, p + 2 là 3 số  nguyên liờn tiếp nên có một số chia hết cho 3. Mà p và p +2 là số nguyên tố nên không chia hếtt cho 3 ,vậy

 p + 1$⋮$3  (2)

Từ (1) và (2) : (2, 3) = 1 suy ra  p + 1 6 (đpcm)

Bài toỏn có thể mở rụng thành :

Chứng minh rằng và p + 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng

Của chúng chia hết cho 12.

Ta có p =42k + r = 2.3.7.k + r  $\left(k; r \in N ; 0 <r < 42\right)$

Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, 7

Các hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2 là 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 29

Loại đi các sô chia hết cho 3, cho 7 chỉ con 25

   Vậy r = 25.

Ta có:

Suy ra n = 2 do đo e = 5, c = 3

Vì   $\overline{fcga }.5= \overline{abcd}$ nên f = 1

Vậy 

Ta được

Gọi số tự nhiên cần Tìm là n, theo đề bài chử số hàng nghin bằng chử số hàng đơn vị, chử số hàng trăm bằng chử số hàng chục vậy n có dạng $\overline{abba}$

   Có $\overline{abba}⋮11$  mà  $\overline{abba}$  là tích của 3 số nguyên tố liờn tiếp  nên một trụng các số nguyên tố này phải là 11

Xột các tích

5.7.11 = 385 (loại)

1.11.13    = 1001 (đúng)

11.13.17 = 2431 (loại)

Vậy số tự nhiên cần Tìm là 1001

Xột số   A = (2ⁿ – 1)2ⁿ(2ⁿ + 1)

A là tích của 3 số tự nhiên liờn tiệp nên $A ⋮ 3$ 

Mặt khỏc 2ⁿ – 1 là số nguyên tố   ( theo giả thiết )

                2ⁿ  không chia hết cho 3

Vậy 2ⁿ + 1 phải chia hết cho 3 $\Rightarrow$ 2ⁿ + 1 là hợp số.

Với k = 0  ta có dãy 1, 2, 3,…,10 chứa 4 số nguyên tố 2, 3, 5, 7

Với k = 1 ta có dãy 2, 3, 4,…, 11 chứa 5 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11

Với k = 2 ta có dãy 3, 4, 5,…, 12  chứa 4 số nguyên tố là 3, 5, 7, 11

Với  $k \ge 3$  dãy k + 1, k + 2,…,k + 10  chứa 5 số lẽ liờn tiếp, dãy số này đều lớn hơn 3 nên có một số chia hết cho 3, trong dãy có 5 số chẵn hiễn nhiên không phải là số nguyên tố nếu  $k \ge 3$

Vậy k = 1 thì dãy k + 1, k + 2,…,k + 10  chứa nhiều số nguyên tố nhất.

1.Giả sử p là số nguyên tố và p = 30k + r (0 < r < 30)

Nếu r là hợp số thì r co ước nguyên tố $q \le \sqrt{30}\Rightarrow$ q = 2, 3, 5

Nhưng với q = 3, 3, 5 thì p lần lượt chia hết cho 2, 3, 5  vô lí . Vậy r = 1 hoặc r là số nguyên tố.

Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa

 Chẳng hạn p = 109 = 60.1 + 49       ( 49 là hợp số )

2. Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Với r = 1, 11, 19, 29 thì p²  1 (mod 30 )

Với r = 7, 13, 17, 23 thì  p²  19  (mod 30 )

Suy ra  p⁴   1  (mod 30 )

Giả sử p_1, p_2,…, p_n   là các số nguyen tố lớn hơn 5

Khi đó

   (mod 30)

Suy ra p = 30k + n là số nguyên tố nên (n, 30 ) = 1

Với p = 2 ta có  2^p + p² = 12 không là số nguyên tố

Với p = 3 ta có 2^p + p² = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p² + 2^p = (p² – 1) + (2^p + 1 )

Vậy với p = 3 thì 2^p + p² là số nguyên tố.

Vì a, b, c có vai trũ như nhau nên giả sử $a \le b \le c$ khi đó

 ( Vì a là số nguyên tố )

Với a = 2 ta có

-    Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c  thoả món với c là nguyên tố bất kỡ

-  Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5

Vậy các cạp số (a, b, c) càn Tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị vủa chúng , với p là số nguyên tố .

Ta có :

Nếu n = 1 suy ra A = 0

Nếu n = 2 suy ra A = 5 là số nguyên tố

Nếu n>2 thì A là tích của hai thừa số mà mỗi thừa số đều lớn hơn hai . Vậy A là hợp số

Vậy để A = n³ – n² + n – 1 là số nguyên tố thì n = 2.

Tích của hai số tự nhiên là số nguyên tố nên một số là 1 , số còn lại kớ hiệu là a là số nguyên tố

Theo đề bài 1 + a củng là số nguyên tố. Xét hai trường hợp:

-  Nếu 1 + a là số lẽ thì a là số chẵn. Do a là số nguyên tố nên a =2

-   Nếu 1 + a la số chẵn thì 1 + a = 2 Vì  1 + a là số nguyên tụ . Khi đó a= 1 không là số nguyên tố ( loại )

Vậy hai số tự nhiên phải Tìm 1 và 2

Từ abc = 3(a + b + c)  suy ra a chia hết cho 3 hoạc b chia hết cho 3 hoặc c chia hết cho 3. Vậy

Do b và c là các sốnguyên tố  $b - 1 \ge 1; c -1 \ge 1$   và b – 1 , c – 1 là ước của 4 vậy chúng nhận 1 trông các giá trị là 1, 2, 4. Vậy ta có các trường hợp sau:

Các cặp số (a, b, c) phải Tìm là : (3, 3, 3) ; (3, 2, 5) ; (3, 5, 2) ; (5, 3, 2 ) ; (5, 2, 3) ; (2, 3, 5) ; (2, 5, 3)

1.Với  a = 2 ta có 2a + 1 = 5 không thích hợp

Với $a \ne 2$ do a là số nguyên tố nên a lẽ

Vậy 2a + 1 là lập phương của một số lẽ nghĩa là

Từ đó k là ước của a. Do k là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = a

-Nếu k = 1 thì 2a + 1 = (2.1 + 1)³ suy ra a = 13 thớch hợp

-   Nếu a = k từ a = a(4a² + 6a + 3) do a là nguyên tố nên suy ra

 1 = 4a² + 6a + 3  không có số nguyên tố a nào thoả món phương trỡnh này  Vì vế phải luụn lớn hơn 1

Vậy a = 13

2.Giả sử  

13 và p là các số nguyên tố , mà n – 1 > 1 và n² + n + 1 > 1

Nên n – 1 = 13 hoặc  n – 1 = p

-    Với n – 1 =13 thì n = 14 khi đó 13p = n³ – 1 = 2743 suy ta p = 211 là số nguyên tố

- Với n – 1 = p thi n² + n + 1 = 13 suy ra n = 3 . Khi đó p = 2 là số nguyên tố

 Vậy  p = 2, p = 211 thì 13p + 1  là lập phương của một số tự nhiên

Vì a, b có vai trò như nhau nên có thể giả sử a > b

Giả sử $\frac{ab}{\left|a-b\right|}= p$ , với p là số nguyên tố

Suy ra

Ta có :

-  Với p = 2 ta có

-  Với p = 3 ta có

-    Với p = 5 hoặc p = 7 ta có a có hai chử số  (loại)

Vậy các số  $\overline{ab}$ cần Tìm là 21, 12, 62, 26

Vì x, y là các số nguyên tố nên $x \ge 2; y\ge 2 \Rightarrow z\ge 5$  vậy z là số nguyên tố lẽ

$x^y +1 = z\Rightarrow x^y= z-1$

Suy ra x^y là số chẵn vậy x = 2 khi đó  z = 2^y + 1

Nếu y lẽ thì $2^y\equiv 2$ (mod 3)

$2^y+1 ⋮ 3\Rightarrow z⋮3$(vụ lớ Vì z là nguyên tố )

Vậy y chẵn , suy ra y = z

z = 2² + 1 = 5

Vậy các số nguyên tố cần tìm là x = y = z , z = 5

Xét các trường hợp chẵn

-   n chẵn thì A chia hết cho 2

-  n lẽ đặt n = 2k + 1 $\left(k\in N*\right)$  .

Ta có   

A phân tích được tích của 2 thừa số vậy A là hợp số .

1.Ta có

   n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n²

             = (n² + 2 )² – (2n)²

            = (n² + 2 – 2n )(n² + 2 + 2n)

Vì n⁴ + 4 là số nguyên tố nên  n² + 2 – 2n = 1 hoặc  n² + 2 + 2n = 1

Mà   n² + 2 + 2n > 1 vậy  n² + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1

Thử lại : n = 1 thì 1⁴ + 4 = 5 là số nguyên tố

Vậy với n = 1 thì  n⁴ + 4  là số nguyên tố./

2.Ta có :

n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1 = n²(n²⁰⁰¹ – 1) + n(n²⁰⁰¹ – 1) + n² + n + 1

Với n > 1 ta có :

Do đó  

 Mà n² + n + 1 > 1 nên  n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1  là hợp số

Với n = 1 ta có

       n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1 = 1²⁰⁰³ + 1²⁰⁰² + 1 = 3 là số nguyên tố .

Giả sử n₁, n₂, …n₁₅ là các số thoả món yờu cầu bài toỏn. Giả sử tất cả chỳng là hợp số. Gọi p_i là ước nguyên tố nhỏ nhất của n_i (i = 1, 2, …, 15).

Gọi p là số lớn nhất trong các số  p₁, p₂, …,p₁₅

Do các số n₁, n₂, …n₁₅  là đôi nguyên tố cùng nhau nên các số  p₁, p₂, …,p₁₅  khỏc nhau tất cả.

Số nguyên tố thứ 15 là số 47 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ) ta có $p\ge 47$ . Đối  với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì $p\le \sqrt{n}$  suy ra  $n\ge p^2 \ge {47}^2>2004$ (vụ lớ)

Vậy trong 15 số  n₁, n₂, …n₁₅  ta Tìm được một số nguyên tố.

Vì  $\overline{abcd} ; \overline{ab }; \overline{ac}$  là số nguyên tố nên là số lẽ hay b, c, d, lẽ và khỏc 5 . Ta có:

Suy ra b = 7 hoặc b = 9

-    Với b = 7 . Ta có : 

$9c + d = 42$$\Rightarrow d⋮3$  suy ra d = 3 hoặc d = 9

+ Nếu d = 3 thì $c=\frac{39}{9}\notin N$  (loại)

+ Nếu d = 9 thì $c=\frac{33}{9}\notin N$   (loại)

-  Với b = 9 thì 9c + d=72 $\Rightarrow$d=9; d=7  

$\overline{a9}$ và $\overline{a7}$  là số nguyên tố thì a = 1

Vậy số $\overline{abcd}=1979$  thoả mãn yêu cầu bài toán

n = 3.

Chứng minh  $A ⋮ 7; B ⋮9; C ⋮29$.

240 = 2⁴.3.5

n = 6k + 4   

p = 2 lấy n chẳn; p > 2 lấy n = (pk – 1)(p – 1),   

Trong 25 số nguyên tố (từ 2 đến 97) có một số chẳn duy nhất, còn 24 số kia là số lẻ. Do đú tổng của 25 số là số chẳn.

Trong 3 số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẳn, là số 2, đú là số nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố trờn.

Bốn số đó là 2, 3, 5, 7

Tổng của hai số nguyên tố bằng 2003 là số lẻ, nên một trong hai số phải là 2. khi đó số kia là 2001 là hợp số. Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2003.

Một số có 3 chử số là lập phương của một số tự nhiên, đó là 125, 126, 343, 512, 729 chỉ có số 125 thoả mãn bài tóan (521 là số nguyên tố)