Bài tập Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét hai tam giác BAM và NCM có:

\(\widehat {{\rm{AMB}}} = \widehat {{\rm{CMN}}}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{NCM}}}\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}}} \right)\)

Suy ra ΔBAM ᔕΔNCM (g – g).

Suy ra \(\widehat {{\rm{ABM}}} = \widehat {{\rm{CNM}}}\).

Xét hai tam giác ABM và ANC có:

\(\widehat {{\rm{ABM}}} = \widehat {{\rm{CNM}}}\)

\(\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{NAC}}}\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}}} \right)\)

Suy ra ΔABM ᔕΔANC (g – g).

Đáp án đúng là: A

Xét hai tam giác GCF và GDA có:

\(\widehat {{\rm{AGD}}} = \widehat {{\rm{FGC}}}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {{\rm{DAG}}} = \widehat {{\rm{GFC}}}\) (AD // BF, hai góc so le trong)

Suy ra ΔGCF ᔕΔGDA (g – g) (1).

Xét hai tam giác GCF và ABF có:

\(\widehat {\rm{F}}\): Góc chung

\(\widehat {{\rm{FCG}}} = \widehat {{\rm{FBA}}}\) (GC // BA, hai góc đồng vị)

Suy ra ΔGCF ᔕΔABF (g – g) (2).

Từ (1) và (2) suy ra ΔGDA ᔕΔABF.

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: D

Xét hai tam giác BHA và BAC có:

\(\widehat {{\rm{BHA}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \)

\(\widehat {\rm{B}}\): Góc chung

Suy ra ΔBHA ᔕΔBAC (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{BA}}}} = \frac{{{\rm{BA}}}}{{{\rm{BC}}}}\).

Suy ra AB² = BH ⋅ BC.

Đáp án đúng là: C

Xét hai tam giác ABM và ACN có:

\(\widehat {{\rm{AMB}}} = \widehat {{\rm{ANC}}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{CAN}}}\) (do AD là phân giác của góc A)

Suy ra ΔABM ᔕΔACN (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{CN}}}}\).

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác AKD vuông tại K và tam giác CHB vuông tại H có:

AD = BC (do ABCD là hình bình hành)

\(\widehat {DAK} = \widehat {BCH}\) (AD // BC, hai góc so le trong)

Do đó, ∆AKD = ∆CHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AK = HC.

Xét hai tam giác AHB và AEC có:

\(\widehat {{\rm{AHB}}} = \widehat {{\rm{AEC}}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{\rm{EAC}}}\): Góc chung

Do đó, ΔAHB ᔕΔAEC (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AE}}}}\).

Suy ra AB ⋅ AE = AC ⋅ AH (1).

Xét hai tam giác ADK và ACF có:

\(\widehat {{\rm{AKD}}} = \widehat {{\rm{AFC}}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{\rm{FAC}}}\): Góc chung

Do đó, ΔADK ᔕΔACF (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AF}}}}\).

Suy ra AD ⋅ AF = AC ⋅ AK (2).

Lấy (1) + (2) ta được AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC ⋅ AH + AC ⋅ AK

Lại có AC ⋅ AH + AC ⋅ AK = AC ⋅ (AH + AK) = AC ⋅ (AH + HC) = AC ⋅ AC = AC².

Vậy AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC².

Đáp án đúng là: A

Xét tứ giác BFED có: EF // BD và BF // DE.

Suy ra BFDE là hình bình hành.

Suy ra BF = ED, EF = BD.

Suy ra BF ⋅ BD = EF ⋅ ED (1).

Xét hai tam giác BFN và MDB có:

\(\widehat {{\rm{NBF}}} = \widehat {{\rm{BMD}}}\) (AB // EM, hai góc đồng vị)

\(\widehat {{\rm{NFB}}} = \widehat {{\rm{BDM}}}\,\,\,\left( { = \widehat {{\rm{FED}}}} \right)\)

Do đó, ΔBFN ᔕΔMDB (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{BF}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{BD}}}}\).

Suy ra NF ⋅ DM = BD ⋅ BF (2).

Xét hai tam giác AEF và ECD có:

\(\widehat {{\rm{AEF}}} = \widehat {{\rm{ECD}}}\) (EF // BC, hai góc đồng vị)

\(\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{EDC}}}\,\,\,\left( { = \widehat {{\rm{ABC}}}} \right)\)

Do đó, ΔAEF ᔕΔECD (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{ED}}}} = \frac{{{\rm{EF}}}}{{{\rm{CD}}}}\).

Suy ra AF ⋅ CD = EF ⋅ ED (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra AF ⋅ CD = NF ⋅ DM hay \(\frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{CD}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{DM}}}}\).

Ta có \(\widehat {AFN} = \widehat {BFE}\) (đối đỉnh); \(\widehat {MDC} = \widehat {BDE}\) (đối đỉnh); \(\widehat {BFE} = \widehat {BDE}\) (do BFDE là hình bình hành). Suy ra \(\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {{\rm{MDC}}}\).

Xét hai tam giác AFN và MDC có:

\(\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {{\rm{MDC}}}\)

\(\frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{CD}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{DM}}}}\)

Suy ra ΔAFN ᔕΔMDC (c – g – c).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\widehat {{\rm{ANM}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Xét hai tam giác AMN và ABC có:

\(\widehat {\rm{A}}\): Góc chung

\(\widehat {{\rm{ANM}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\)

Do đó, ΔAMN ᔕΔABC (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AC}}}}\).

Suy ra AM ⋅ AC = AN ⋅ AB.

Vậy B sai.

Đáp án đúng là: C

Xét hai tam giác EAB và BCD có:

\(\widehat {{\rm{EAB}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{\rm{EBA}}} = \widehat {{\rm{BDC}}}\)

Do đó, ΔEAB ᔕΔBCD (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{EA}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{CD}}}}\) hay \(\frac{5}{6} = \frac{{{\rm{7,5}}}}{{{\rm{CD}}}}\).

Suy ra \({\rm{CD}} = \frac{{6 \cdot 7,5}}{5} = 9\)(cm).

Đáp án đúng là: B

Xét hai tam giác DAB và CBD có:

\(\widehat {{\rm{DAB}}} = \widehat {{\rm{DBC}}}\) (gt)

\(\widehat {{\rm{ABD}}} = \widehat {{\rm{BDC}}}\) (AB // CD, hai góc so le trong)

Do đó, ΔDAB ᔕΔCBD (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{DB}}}}{{{\rm{CD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{12}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{18}}}}\).

Khi đó, BD² = 12 ⋅ 18 = 216.

Suy ra BD = \(\sqrt {216} \) ≈ 14,7 (cm).

Đáp án đúng là: D

Xét hai tam giác ABD và ACB có:

\(\widehat {{\rm{ABD}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\)

\(\widehat {\rm{A}}\): Góc chung

Do đó, ΔABD ᔕΔACB (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}}\) hay \(\frac{3}{{{\rm{4,5}}}} = \frac{{\rm{x}}}{{\rm{3}}}\).

Khi đó, \({\rm{x}} = \frac{{3 \cdot 3}}{{4,5}} = 2\) (cm).

Suy ra y = 4,5 – 2 = 2,5 (cm).