10 Bài tập Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D sao cho OA ⋅ OD = OB ⋅ OC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
ΔAOB ᔕΔCOD;
ΔABO ᔕΔCOD;
ΔBAO ᔕΔOCD;
ΔOBA ᔕΔDCO.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì OA ⋅ OD = OB ⋅ OC nên .
Xét hai tam giác AOB và COD có:
: Góc chung
Suy ra ΔAOB ᔕΔCOD (c – g – c).
Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 9 cm, BD = 12 cm, DC =16 cm. Tam giác BDC đồng dạng với tam giác nào dưới đây?
Tam giác ACD;
Tam giác ABC;
Tam giác ABD;
Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì AB // CD nên (so le trong).
Ta có .
Suy ra .
Xét hai tam giác BDC và ABD có:
Suy ra ΔBDC ᔕΔABD (c – g – c).
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 15 cm. Trên cạnh AB lấy D sao cho AD = 6 cm, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 4 cm. Khẳng định nào sau đây là sai?
ΔABC ᔕΔAED;
\(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{AED}}}\);
\(\widehat {{\rm{BCA}}} = \widehat {{\rm{EDA}}}\);
\(\widehat {{\rm{AED}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2},\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\).
Suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}}\).
Xét hai tam giác ABC và AED có:
\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}}\)
\(\widehat {\rm{A}}\): Góc chung
Do đó, ΔABC ᔕΔAED (c – g – c).
Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{AED}}}\), \(\widehat {{\rm{BCA}}} = \widehat {{\rm{EDA}}}\).
Vậy D sai.
Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Trên cạnh AD lấy I sao cho AB ⋅ DC = AI ⋅ DI. Khi đó bằng
120°;
90°;
30°;
75°.
Đáp án đúng là: B
Vì AB ⋅ DC = AI ⋅ DI nên \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{DC}}}}\).
Xét hai tam giác ABI và DIC có:
\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{DC}}}}\)
\(\widehat {{\rm{BAI}}} = \widehat {{\rm{CDI}}} = 90^\circ \)
Do đó, ΔABI ᔕΔDIC (c – g – c).
Suy ra \(\widehat {{\rm{AIB}}} = \widehat {{\rm{DCI}}}\).
Mà \(\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{DCI}}} = 90^\circ \) (do tam giác DIC vuông tại D)
Suy ra \(\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{AIB}}} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {{\rm{BIC}}} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{AIB}}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Điền vào chỗ chấm. Cho hình thoi MNPQ có . Qua P kẻ đường thẳng d bất kì cắt các tia đối của các tia NM, QM theo thứ tự tại E và F. Khi đó tam giác NQF đồng dạng với tam giác ……
MNQ;
ENQ;
MPF;
NEP.
Đáp án đúng là: B
Vì MNPQ là hình thoi nên MN = MQ, mà \(\widehat {\rm{M}} = 60^\circ \), do đó tam giác MNQ đều.
Do đó, MN = NQ = MQ = QP = PM.
Ta có NP // MF (NP // MQ) nên \(\frac{{NE}}{{NM}} = \frac{{{\rm{PE}}}}{{{\rm{PF}}}}\) (định lí Thalès).
QP // ME (PQ // MN) nên \(\frac{{{\rm{EP}}}}{{{\rm{FP}}}} = \frac{{{\rm{MQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\) (định lí Thalès).
Suy ra \(\frac{{NE}}{{NM}} = \frac{{{\rm{MQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{NE}}}}{{{\rm{QN}}}} = \frac{{{\rm{NQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\).
Ta có \(\widehat {ENQ} + \widehat {QNM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).
Suy ra \(\widehat {ENQ} = 180^\circ - \widehat {QNM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) (do ∆MNQ đều nên \(\widehat {QNM} = 60^\circ \)).
Tương tự, ta tính được \(\widehat {NQF} = 120^\circ \).
Xét hai tam giác ENQ và NQF có:
\(\frac{{{\rm{NE}}}}{{{\rm{QN}}}} = \frac{{{\rm{NQ}}}}{{{\rm{QF}}}}\)
\(\widehat {{\rm{ENQ}}} = \widehat {{\rm{NQF}}} = 120^\circ \)
Suy ra ΔENQ ᔕΔNQF (c – g – c).
Cho tam giác MNP có MN = 12 cm, MP = 15 cm, NP = 18 cm. Trên các cạnh MN, MP lần lượt lấy R, S sao cho MR = 10 cm và MS = 8 cm. Độ dài đoạn thẳng RS là
12 cm;
15 cm;
14,2 cm;
16,1 cm.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3},\frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}} = \frac{2}{3}\).
Xét hai tam giác MRS và MPN có:
\(\widehat {\rm{M}}\): Góc chung
\(\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}}\)
Do đó, ΔMRS ᔕΔMPN (c – g – c).
Suy ra \(\frac{{{\rm{RS}}}}{{{\rm{PN}}}} = \frac{{MS}}{{MN}} = \frac{2}{3}\) hay \(\frac{{{\rm{RS}}}}{{{\rm{18}}}} = \frac{2}{3}\). Suy ra \({\rm{RS}} = \frac{{18 \cdot 2}}{3} = 12\) (cm).
Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 7 cm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Trên tia đối của tia BA lấy điểm I sao cho BI = BC = 7 cm.
Suy ra AI = AB + BI = 9 + 7 = 16 (cm).
Ta có .
Suy ra .
Xét hai tam giác ABC và ACI có:
: Góc chung
Do đó, ΔABC ᔕΔACI (c – g – c).
Suy ra .
Mà (góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó).
Và (tam giác BCI cân tại B).
Suy ra hay .
Cho tam giác MNP có MN = 18 cm, MP = 27 cm, NP = 30 cm. Gọi D là trung điểm của MN, E thuộc MP sao cho ME = 6 cm. Độ dài DE bằng
8 cm;
12 cm;
9 cm;
10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì D là trung điểm của MN nên MD = MN = 9 cm.
Ta có .
Suy ra .
Xét hai tam giác MED và MNP có:
: Góc chung
Do đó, ΔMED ᔕΔMNP (c – g – c).
Suy ra hay .
Suy ra DE = 10 (cm).
Cho hình thang ABCD (AB // CD), , AB = 2 cm, CD = 4,5 cm, BD = 3 cm. Khi đó BC vuông góc với
BD;
AD;
AC;
DC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có .
Suy ra .
Xét hai tam giác BAD và DBC có:
(AB // CD, hai góc so le trong)
Khi đó, ΔBAD ᔕΔDBC (c – g – c).
Suy ra .
Do đó, DB ⊥ BC.
Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH ⊥ CD tại H, AK ⊥ BC tại K. Tam giác KAH đồng dạng với tam giác nào dưới đây?
Tam giác ACK;
Tam giác ABH;
Tam giác ABC;
Tam giác AHC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có SABCD = AH ⋅ DC = AK ⋅ BC.
Mà DC = AB (ABCD là hình bình hành).
Do đó, AH ⋅ AB = AK ⋅ BC.
Suy ra .
Xét hai tam giác ABC và KAH có:
(cùng phụ với ).
Suy ra ΔABC ᔕΔKAH (c – g – c).
