Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 23
18 câu hỏi
Cho AB, AC là hai dây cung trong đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cung AB và N là trung điểm của cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại D và cắt dây AC tại E. Chứng minh AD = AE.
AM⏜=MB⏜(gt),AN⏜=NC⏜(gt)
⇒∠ADE=sdAN⏜+sdMB⏜2 (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
∠AED=sdNC⏜+sdAM⏜2 (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
⇒∠ADE=∠AED⇒ΔADE cân tại A⇒AD=AE
Cho đường tròn (O), các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó ở trên đường tròn. Điểm M ở trên cung AB và MA = MB. Giao điểm của MC, MD với dây AB là E, K.
Chứng minh ∠KEC+∠KDC=1800
AM=MB(gt)⇒AM⏜=MB⏜∠KEC=sdMB⏜+sdAC⏜2 (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
∠KDC=sdMC⏜2 (góc nội tiếp). Do đó:
∠KEC+∠KDC=sdMB⏜+sdAC⏜+sdMC⏜2=sdMA⏜+sdAC⏜+sdMC⏜2=36002=1800
Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung AB, BC, AC. Gọi I là giao điểm của AB và MN, K là giao điểm của AN, BP. Chứng minh rằng:
a)ΔBNK cân b)IK//BCc)AI.BN=IB.AN
Ta có: ∠PBN=12sdPC⏜+sdCN⏜ (góc nội tiếp cùng chắn PN⏜)
∠BCN=12sdAP⏜+sdBN⏜ (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
Mà PC = AP và CN=BN(gt)⇒∠PBN=∠BCN
Dễ thấy ∠ANM=∠BNM (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) nên NI là phân giác ∠ANB
Ta có: AIIB=ANBN⇒AI.BN=IB.AN
Theo chứng minh trên (câu a, b) , ΔBNK cân có NI là đường phân giác . Do đó IN cũng là đường trung trực của cạnh BK⇒IB=IK⇒ΔBIK cân ⇒∠IBK=∠IKB hay ∠ABD=∠IKB1 mà ∠APB=∠CBP(2) (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
Từ (1) và (2) suy ra ∠CBD=∠IKP⇒IK//BC
Cho đường tròn (O). Một dây AB lấy C thuộc tia đối của tia BA. Từ C kẻ các tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M∈AB⏜nhỏ, N∈AB⏜ lớn), lấy D là điểm chính giữa của cung lớn AB.DM cắt AB tại E
a) Chứng minh CM = CE
b) Chứng minh EA.NB=NA.EB
c) Gọi I là trung điểm của dây ab. Chứng minh rằng 5 điểm M,C,N,O,I cùng thuộc một đường tròn.
a) Ta có:
∠CMD=12sdDBM⏜=12sdBM⏜+12sdBND⏜∠CEM=12sdBM⏜+12sdAD⏜
Mà D là điểm chính giữa cung AB⇒sdAD⏜=sdBND⏜
⇒∠CMD=∠CEM⇒ΔCME cân tại A⇒CM=CE
b) Xét ΔCNB,ΔCAN có: ∠NCA chung; ∠CNB=∠CAN⇒ΔCNB~ΔCAN(g−g)
⇒NBNA=NCAC=MCAC=ECAC*. Lại có: CN2=CA.CB
⇒CE2=CA.CB (Do CN=CM=CE)⇒CE2=EC−BE.CA=CE.CA−CA.BE⇒CE.CA−CE2=CA.BE⇒CE.CA−CE=CA.BE⇒CE.EA=CA.BE⇒EAEB=CACE**
Từ *,**⇒NBNA=EBEA⇒EA.NB=EB.NA
c) I là trung điểm của dây AB⇒OI⊥AB tại I⇒∠OIC=900
Ta có: ∠ONC=∠OMC=∠OIC=900⇒5 điểm M,C,N,O,I thuộc đường tròn đường kính OC.
Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của ∠A của tam giác ABC lần lượt cắt BC tại D, E có AD = AE
Chứng minh AB2+AC2=4R2 với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC
AD cắt cung BC tại F. Vẽ đường kính AC của đường tròn (ABC)
Ta có: ∠ABG=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
sdGB⏜+sdFC⏜+sdAC⏜+sdBF⏜=sdACG⏜=1800
∠BAF=∠FAC (AD là phân giác)⇒sdBF⏜=sdFC⏜
Nên AD, AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù ∠BAC,∠CAx nên ∠DAE=9001
ΔDAE vuông góc có AD=AE(gt)⇒ΔDAE vuông cân ⇒∠ADE=4502
sđADE⏜=sdAC⏜+sdBF⏜2⇒sdAC⏜+sdBF⏜=9003
Từ (1), (2), (3) có GB⏜=AC⏜⇒GB=AC
ΔBAG vuông tại B nên AB2+BG2=AG2=AB2+AC2=4R2
Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc 3km/hthì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.
Gọi x là vận tốc dự định ban đầu (km/h) (x > 3)
y là thời gian dự định ban đầu (y > 0), độ dài khúc sông là xy (km)
Nếu ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2h nên ta có phương trình: x+3y−2=xy1
Nếu cano giảm vận tốc 3km/h thì đến nơi chậm 3h⇒x−3y+3=xy2
Từ (1), (2) ta có hệ x+3y−2=xyx−3y+3=xy⇔−2x+3y=63x−3y=9⇔x=12y=15
Vậy khúc sông AB=12.15=180(km)
Một hình chữ nhật có chu vi 110m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 10m. Tính diện tích hình chữ nhật
Gọi chiều dài hình chữ nhật là a (m) (a > 0), chiều rộng hình chữ nhật b (m) (b > 0)
Ta có: a+b=1102=55(1)
Ta lại có 2 lần chiều dài hơn 3 lần chiều rộng là 10m⇒2a−3b=102
Từ (1) và (2) suy ra a+b=552a−3b=10⇔a=35b=20(tm)
Vậy diện tích hình chữ nhật : 35.20=700(m2)
Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghỉ 30 phút. Vì muốn đến được điểm B kịp giờ nên người đó đi với vận tốc 15 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB.
Thời gian đi nửa quãng đường đầu là : AB2:10=AB20(giờ)
Thời gian đi nửa quãng đường sau là : AB2:15=AB30(giờ)
⇒AB20−AB30=0,5⇔AB=30(km). Vậy AB = 30 km.
Hai người cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong mấy giờ thì xong công việc ?
Gọi thời gian người thư nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ), (x, y > 7)
Mỗi giờ người thứ nhất và người thứ hai làm được 1x,1yCV, nên ta có hệ phương trình:
1x+1y=5364x+3y=50%⇔x=12y=18(tm)
Vậy người thứ nhất 12 giờ làm xong, người thứ hai 18 giờ làm xong.
Một đoàn xe vận tải có 15 xe tải lớn và 4 xe tải nhỏ tất cả chở 178 tấn hàng. Biết mỗi xe tải lớn chở nhiều hơn xe tải nhỏ là 3 tấn. Tính số tấn hàng mỗi xe tải từng loại đã chở.
Giả sử xe tải lớn chở a (tấn), xe tải nhỏ chở b (tấn)
Theo đề ta có hệ phương trình 15a+4b=178a−b=3⇔a=10b=7(tm)
Vậy xe tải lớn: 10 tấn, xe tải nhỏ: 30 tấn.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định. Nếu vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn 30 phút so với dự đinh. Nếu vận tốc ô tô giảm đi 5 km/h thì đến B muộn hơn 20 phút so với dự định. Tìm quãng đường AB.
Gọi vận tốc dự định là x (x > 0), thời gian dự định là t (t > 0). Ta có:
Nếu tăng vận tốc lên 10 km/h thì sớm hơn 12 giờ nên xt=x+10t−12(1)
Nếu giảm đi 5 km/hthì muộn hơn 13 giờ nên xt=x−5t+132
Từ (1) và (2) ta có hệ −12x+10t=513x−5t=53⇔x=50t=3(tm)⇒AB=50.3=150(km)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90m. Nếu giảm chiều dài 5m và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 140m2. Tính diện tích mảnh đất đó.
Gọi chiều dài mảnh đất là x (m), chiều rộng mảnh đất là y (m) (x, y > 0)
Theo bài ta có: 2x+y=90x−5y−2=xy−140⇔x+y=452x+5y=150⇔x=25y=20(tm)
Diện tích mảnh đất: 25.20=500(m2)
Có hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 105km. Nếu đi ngược chiều hai xe gặp nhau sau 5 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe, biết rằng xe đi từ A nhanh hơn xe kia 10km mỗi giờ.
Gọi x, y lần lượt là vận tốc 2 xe (x > 0, y > 0), tổng vận tốc 2 xe: 1055=21
Ta có hệ phương trình: x+y=21x−y=10⇔x=15,5y=5,5(tm)
Vậy vận tốc xe A: 15,5(km/h) vận tốc xe B: 5,5 (km/h)
Trong một trang sách, nếu bớt đi 5 dòng và mỗi dòng bớt đi 2 chữ thì cả trang sách sẽ bớt đi 150 chữ. Nếu tăng thêm 6 dòng và mỗi dòng thêm 3 chữ thì cả trang sách sẽ tăng thêm 228 chữ. Tính số dòng trong trach sách và số chữ mỗi dòng, biết số chữ của mỗi dòng đều bằng nhau.
Gọi x là số dòng, y là số chữ mỗi dòng (x, y > 0)
Theo đề bớt 5 dòng , mỗi dòng bớt 2 chữ thì bớt 150 chữ
⇒x−5y−2=xy−150⇒−2x−5y=−160(1)
Tăng 6 chữ, mỗi dòng thêm 3 chữ thì thêm 228 chữ
⇒x+6y+3=xy+228⇒3x+6y=2102
Từ (1) và (2) ta có hệ: −2x−5y=−1603x+6y=210⇔x=30y=20(tm)
Vậy có 30 dòng, 20 chữ.
Một ô tô và một mô tô khởi hành cùng một lúc từ 2 địa điểm A, B cách nhau 200km đi ngược chiều và gặp nhau sau 2,5 giờ. Tính vận tốc của ô tô và mô tô, biết rằng vận tốc mô tô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 20 km/h.
Gọi x (km/h) là vận tốc mô tô, y (km/h) là vận tốc ô tô (y > x > 0)
Tổng vận tốc =2002,5=80⇒x+y=80
Theo bài ta có hệ y+x=80y−x=20⇔x=30y=50(tm)
Vậy vận tốc ô tô: 50 km/h, vận tốc mô tô: 30km/h
Một ô tô đi trên đoạn đường AB với vận tốc 55 km/h, rồi tiếp tục từ B đến C với vận tốc tăng thêm 5km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 290km và thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB ít hơn thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC là 1 giờ. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC.
Gọi thời gian đi trên AB là t (t > 0), thời gian đi trên BC là t+1⇒AB=t.v=55t
BC=t+1v+5=60t+60
SBC=290⇔55t+60t+60=290⇔t=2
Vậy ô tô đi trên AB hết 2h , đi trên BC hết 3 giờ
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 7 và tổng nghịch đảo bằng 712
Gọi 2 số đó là x, y theo bài ta có hệ
x+y=71x+1y=712⇔x+y=7x+y=712xy⇔x=4y=4x=3y=4. Vậy 2 số cần tìm là 3; 4.
Một ca nô xuôi dòng 108km, rồi ngược dòng 63km mất 7 giờ. Lần thứ hai, ca nô đó xuôi dòng 81km rồi ngược dòng 84km cũng mất 7 giờ. Tính vận tốc dòng nước và vận tốc thực của ca nô.
Gọi vận tốc cano là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h) (x > y > 0)
Thời gian xuôi dòng 108km:108x+y(h)
Thời gian ngược dòng 63km:63x−y⇒108x+y+63x−y=7(1)
Chứng minh tương tự ⇒81x+y+84x−y=72
Từ (1) và (2) ta có hệ:
108x+y+63x−y=781x+y+84x−y=7⇔x=24y=3(tm)
Vậy vận tốc nước: 3 km/h, vận tốc ca nô : 24 km/h.
