Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 23

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\angle CMD=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{DBM}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BM}+\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BND}\\ \angle CEM=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BM}+\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AD}\end{array}$

Mà D là điểm chính giữa cung AB$\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{AD}=sd\stackrel{⏜}{BND}$

$\Rightarrow \angle CMD=\angle CEM\Rightarrow \Delta CME$ cân tại A$\Rightarrow CM=CE$

b) Xét $\Delta CNB,\Delta CAN$ có: $\angle NCA$ chung; $\angle CNB=\angle CAN\Rightarrow \Delta CNB~\Delta CAN(g-g)$

$\Rightarrow \frac{NB}{NA}=\frac{NC}{AC}=\frac{MC}{AC}=\frac{EC}{AC}\left(*\right)$. Lại có: $C{N}^2=CA.CB$

$\begin{array}{l}\Rightarrow C{E}^2=CA.CB(DoCN=CM=CE)\\ \Rightarrow C{E}^2=\left(EC-BE\right).CA=CE.CA-CA.BE\\ \Rightarrow CE.CA-C{E}^2=CA.BE\\ \Rightarrow CE.\left(CA-CE\right)=CA.BE\Rightarrow CE.EA=CA.BE\Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{CA}{CE}\left(**\right)\end{array}$

Từ $\left(*\right),\left(**\right)\Rightarrow \frac{NB}{NA}=\frac{EB}{EA}\Rightarrow EA.NB=EB.NA$

c) I là trung điểm của dây AB$\Rightarrow OI\perp AB$ tại I$\Rightarrow \angle OIC={90}^0$

Ta có: $\angle ONC=\angle OMC=\angle OIC={90}^0\Rightarrow 5$ điểm $M,C,N,O,I$ thuộc đường tròn đường kính OC.

AD cắt cung BC tại F. Vẽ đường kính AC của đường tròn (ABC)

Ta có: $\angle ABG={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$sd\stackrel{⏜}{GB}+sd\stackrel{⏜}{FC}+sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BF}=sd\stackrel{⏜}{ACG}={180}^0$

$\angle BAF=\angle FAC$ (AD là phân giác)$\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{BF}=sd\stackrel{⏜}{FC}$

Nên AD, AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù $\angle BAC,\angle CAx$ nên $\angle DAE={90}^0\left(1\right)$
$\Delta DAE$ vuông góc có $AD=AE\left(gt\right)\Rightarrow \Delta DAE$ vuông cân $\Rightarrow \angle ADE={45}^0\left(2\right)$

sđ$\stackrel{⏜}{ADE}=\frac{sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BF}}{2}\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BF}={90}^0\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) có $\stackrel{⏜}{GB}=\stackrel{⏜}{AC}\Rightarrow GB=AC$

$\Delta BAG$ vuông tại B nên $A{B}^2+B{G}^2=A{G}^2=A{B}^2+A{C}^2=4R^2$

Gọi x là vận tốc dự định ban đầu (km/h) (x > 3)

y là thời gian dự định ban đầu (y > 0), độ dài khúc sông là xy (km)

Nếu ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2h nên ta có phương trình: $\left(x+3\right)\left(y-2\right)=xy\left(1\right)$

Nếu cano giảm vận tốc 3km/h thì đến nơi chậm $3h\Rightarrow \left(x-3\right)\left(y+3\right)=xy\left(2\right)$

Từ (1), (2) ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}\left(x+3\right)\left(y-2\right)=xy\\ \left(x-3\right)\left(y+3\right)=xy\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2x+3y=6\\ 3x-3y=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=12\\ y=15\end{array}\right.$

Vậy khúc sông $AB=12.15=180\left(km\right)$

Gọi chiều dài hình chữ nhật là a (m) (a > 0), chiều rộng hình chữ nhật b (m) (b > 0)

Ta có: $a+b=\frac{110}{2}=55\left(1\right)$

Ta lại có 2 lần chiều dài hơn 3 lần chiều rộng là $10m\Rightarrow 2a-3b=10\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{array}{l}a+b=55\\ 2a-3b=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=35\\ b=20\end{array}\right.\left(tm\right)$

Vậy diện tích hình chữ nhật : $35.20=700\left(m^2\right)$

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là : $\frac{AB}{2}:10=\frac{AB}{20}$(giờ)

Thời gian đi nửa quãng đường sau là : $\frac{AB}{2}:15=\frac{AB}{30}$(giờ)

$\Rightarrow \frac{AB}{20}-\frac{AB}{30}=0,5\iff AB=30\left(km\right)$. Vậy AB = 30 km.

Gọi thời gian người thư nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (giờ), (x, y > 7)

Mỗi giờ người thứ nhất và người thứ hai làm được $\frac{1}{x},\frac{1}{y}\left(CV\right)$, nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{36}\\ \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=50\%\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=12\\ y=18\end{array}\right.\left(tm\right)$

Vậy người thứ nhất 12 giờ làm xong, người thứ hai 18 giờ làm xong.