Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 22
18 câu hỏi
Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường.
Gọi thời gian ô tô đi trên AB, BC lần lượt là x, y (x, y > 0)
Quãng đường AB: 50x, quãng đường BC=45y⇒50x+45y=165(1)
Vì thời gian đi trên AB ít hơn trên BC là 30'=12h⇒x−y=−122
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x−y=−1250x+45y=165⇔x=32y=2(tm)
Vậy ô tô đi trên AB hết 32h, trên BC hết 2h
Một đội công nhân theo kế hoạch mỗi ngày là 400 chi tiết máy. Do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày làm được 520 chi tiết máy, vì vậy đội không những xong kế hoạch trước 2 ngày mà còn làm được thêm 40 chi tiết máy. Tính thời gian và tổng số chi tiết máy mà đội công nhân phải làm theo kế hoạch
Gọi x là thời gian đội làm theo kế hoạch, y là thời gian thực tế (x > y > 2)
Vì thực tế xong trước 2 ngày nên x - y = 2 (1)
Số sản phẩm dự định: 400x số sản phẩm thực tế: 520y. Vì làm thêm 40 chi tiết nên 400x - 520y = -40 (2)
Từ 1,2⇒x−y=2400x−520y=−40⇔x=9y=7(tm)
Vậy theo kế hoạch thời gian là 7 ngày, số sản phẩm dự định:400.7 = 2800 (chi tiết)
Một bè gỗ thả trôi sông từ A. Sau khi bè gỗ trôi được 3 giờ 20 phút, một người chèo thuyền từ A đuổi theo và đi được 10km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ, biết vận tốc người chèo thuyền lớn hơn vận tốc bè gỗ là 4km/h
Gọi x (km/h) là vận tốc chèo (x > 4)
y (km/h) là vận tốc bè gỗ (y > 4)
Vì vận tốc chèo lớn hơn vận tốc bè là 4km nên x - y = 4 (1)
Thời gian chèo : 10x3h20'=103
Thời gian bè trôi: 10y⇒10y−10x=103⇒1y−1x=13(2)
Từ (1) và (2) ⇒x=y+41y−1x=13⇔x=6y=2(tm)x=−2y=−6(ktm)
Vậy vận tốc bè gỗ là 2 km/h.
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 34 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Gọi x (giờ) là thời gian chảy đầy của vòi I
y (giờ) là thời gian chảy đầy của vòi II (x > 4,8; y > 4,8)
4h48'=245⇒ Trong 1 giờ 2 vòi chảy được : 1x+1y=5241
Vòi I chảy 4h, vòi II chảy 3 giờ được 34 bể nên 4x+3y=342
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình 1x+1y=5244x+3y=34⇔x=8y=12(tm)
Vậy, vòi I: 8 giờ, vòi II: 12 giờ.
Một tam giác có chiều cao bằng 34 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Gọi x (dm) là chiều cao, y (dm) là cạnh đáy (y > x > 0, y > 3)
Vì chiều cao =34 cạnh đáy ⇒x−34y=0(1)
Nếu tăng chiều cao thêm 3dm, giảm đáy 3dm thì diện tích tăng 12dm2
⇒x+3y−32−xy2=12⇔xy+3y−3x−9−xy=24⇔x−y=−11(2)
Từ (1), (2) suy ra x−34y=0x−y=11⇔x=33y=44(tm)
Vậy chiều cao: 33dm, cạnh đáy: 44dm
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48m. Nếu tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
Gọi x (m) là chiều dài, y (m) là chiều rộng (0 < y < x < 24)
Vì chu vi là 48m⇒x+y=24(1)
Tăng chiều dài 4 lần, chiều rộng 3 lần được chu vi 162m⇒4x+3y=812
Từ (1), (2) ta có hệ x+y=244x+3y=81⇔x=9y=15(tm)
Vậy diện tích ban đầu: 15.9=135(m2)
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị, nếu viết thêm chữ số 1 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 460 đơn vị.
Gọi a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị a,b∈ℕ,3<a<b<10
Vì hàng đơn vị hơn hàng chục 3 đơn vị nên -a + b = 3 (1)
Nếu viết 1 vào giữa hai số được số mới tăng 460⇒a1b¯−ab¯=460
⇔100a+10b−10b−b=5=460⇔a=5⇒b=8(tm)
Vậy số cần tìm là 58.
Trong hội trường có một số băng ghế, mỗi băng ghế quy định ngồi một số người như nhau. Nếu bớt 2 băng ghế và mỗi băng ghế ngồi thêm 1 người thì thêm được 8 người. Nếu thêm 3 băng ghế và mỗi băng ghế bớt 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số băng ghế trong hội trường.
Gọi x (ghế) là số ghế 1 hàng x,y∈ℕ*, y là số hàng
Theo bài ta có hệ phương trình:
y−2x+1=xy+8y+3x−1=xy+8⇔−2x+y=103x−y=11⇔x=21y=52(tm)
Vây có 52 băng ghế.
Trong một kỳ thi, hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có 338 học sinh trúng tuyển, tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi
Gọi x, y lần lượt là số thí sin trường A, B x,y∈ℕ*,0<x<y<350
Vì tổng có 350 học sinh nên x + y = 350 (1)
Số học sinh trúng tuyển : 338⇒0,97x+0,96y=3382
Từ (1) và (2) ta có hệ x+y=3500,97x+0,96y=338⇔x=200y=150(tm)
Vậy trường A: 200 em, trường B: 150 em.
Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Cho biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km. Hãy tính vận tốc dòng nước.
Gọi x là vận tốc ca nô thực , y là vận tốc nước (x > y > 0)
Tổng thời gian đi và về: 4h30'=92h
Thời gian xuôi: 5x+y; thời gian ngược: 4x−y⇒5x+y−4x−y=0(1)
Thời gian xuôi: 40x+y; thời gian ngược: 40x−y⇒40x+y+40x−y=922
Từ (1), (2)⇒5x+y−4x−y=040x+y+40x−y=92⇔1x+y=1201x−y=116⇔x=18y=2(tm)
Vậy vận tốc nước là 2 km/h
Cho hai vòi chảy nước cùng 1 lúc vào 1 cái bể cạn thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu cho vòi nước I chảy trong 4 giờ rồi khóa vòi I lại, cho vòi II chảy tiếp trong 6 giờ nữa thì được 25 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể.
Gọi x, y lần lượt là thời gian vòi I, II chảy đầy bể (x, y > 12)
Vì chảy 12 giờ đầy bể nên 1x+1y=112(1)
Vòi I chảy 4 giờ, vòi II chảy 6 giờ được 25 bể nên 4x+6y=25(2)
Từ (1), (2) ta có hệ 1x+1y=1124x+6y=25⇔x=20y=30(tm)
Vậy vòi I: 20 giờ , vòi II: 30 giờ.
Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O), ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn. Chứng minh MT2=MA.MB
Xét ΔBTM và ΔTAM có: ∠B=∠T,∠M⇒ΔBTM~ΔTAMg.g⇒MTMB=MAMT⇒MT2=MA.MB
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I
a) Chứng minh : IBIC=AB2AC2
b) Tính IA, IC biết rằng AB=20cm,AC=28cm,BC=24cm
a) Ta có: ∠BAI=∠C,∠I chung⇒ΔBAI~ΔACI(g.g)
⇒ABAC=IBIC⇒AB2AC2=IB2IA2
Ta lại có : IA2=IB.IC⇒AB2AC2=IBIC
b) Đặt IA = x, IC = y. Ta có: ΔBAI~ΔACI(g.g)
⇒AICI=BIAI=ABCA⇒xy=y−24x=2028=57⇒x=35y=49
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P
a) Chứng minh ΔPAC~ΔPBA
b) Chứng minh : PA2=PB.PC
c) Tia phân giác trong của góc ∠A cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh MB2=MA.MD
∠PAC=∠ABP (tính chất tiếp tuyến); ∠P chung ⇒ΔPAC~ΔPBA(g−g)
ΔPAC~ΔPBA(cmt)⇒PAPB=PCPA⇒PA2=PB.PC
∠BAM=∠CAM (phân giác) ⇒∠CAM=∠CBM⇒∠BAM=∠DBM và ∠M chung nên ΔABM~ΔBDM⇒MADM=MAMB⇒MB2=MA.MD
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường tròn (O) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA⊥BD
Vẽ tiếp tuyến Ax của (O), có:
∠xAB=12sdAB⏜ (tiếp tuyến dây cung); ∠ACB=12sdAB⏜ (góc nội tiếp) nên ∠xAB=∠ACB 1, có: ∠ABD và ∠ACB>∠xAC
Ax//By∠ABD=12sdBC⏜∠ACB=12sdBD⏜⇒∠ABD=∠ACB(2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠xAB=∠ABD⇒Ax//BD mà OA⊥Ax⇒OA⊥BD
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn, Hai tiếp tuyến này gặp (O) ở C và gặp (O') ở D. Chứng minh rằng ∠CBA=∠DBA
ΔABC,ΔPBA có ∠A1=∠D, ∠C=∠BAD(cùng chắn cung AB)⇒ΔABC~ΔDBA(g.g)⇒∠CBA=∠DBA
Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ một đường tròn (O') tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt các dây TA, TB, TC lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng:
a)EF//BC,DF//AC,DE//ABb)TC=TA+TB
Qua T vẽ tiếp tuyến chung tTt'với hai đường tròn
Ta có: ∠BTt=∠EFT (tiếp tuyến – dây cung)
Tương tự: ∠BTt=∠BCT⇒∠EFT=∠BCT⇒EF//BC
Chứng minh tương tự : DF//AC,DE//AB
Lấy G thuộc tia TC sao cho TG = TB
ΔTBG cân (TG = TB) và ∠BTG=600⇒ΔTBG đều⇒∠BGT=600
Xét ΔATB,ΔCGB có: ∠TAB=∠TCB (cùng chắn TB⏜),AB=BC(gt),∠TBA=∠GBC
Do đó: ΔATB=ΔCGB(g.c.g)⇒TA=GC mà TG+GC=TC=TA+TB (đpcm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại P. Từ một điểm A của (O) kẻ hai tiếp tuyến (O') với (O) cắt AP tại C. Tia AP cắt (O') tại D.
Chứng minh : ∠CPB=∠BPD
Vẽ tiếp tuyến chung Pt của đường tròn (O) và (O'). Ta có: ∠CPt=∠ACP
Mà ∠CBP=∠BPt (cùng chắn cung PB của (O))
⇒∠CPt+∠BPt=∠CAP+∠CBP hay ∠CPB=∠CAP+∠CBP
Mặt khác ΔABP có ∠BPD là góc ngoài ⇒∠BPD=∠CAP+∠CBP
Vậy ∠CPB=∠BPD
