Bài tập Phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

a. Xét phương trình 5x + 4y = 8

- Với cặp số (-2;1). Ta có 5(-2) + 4.1 = -6 ≠8.

Do đó cặp số (-2;1) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (0;2). Ta có 0 + 4.2 = 8.

Do đó cặp số (0;2) là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (-1;0). Ta có (-1) + 4.0 = -5 ≠8.

Do đó cặp số (-1;0) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (1,5;3). Ta có 1,5 + 4.3 = 19,5 ≠8.

Do đó cặp số (1,5;3) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (4;-3). Ta có 4 + 4.(-3) = 8.

Do đó cặp số (4;-3) là nghiệm của phương trình.

b. Xét phương trình 3x + 5y = -3

- Các cặp (-1;0); (4;-3) là nghiệm của phương trình.

- Các cặp (-2;1); (0;2); (1,5;3) không là nghiệm của phương trình.

Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng x – 2y = 6

Tới đây, cho y các giá trị tùy ý chúng ta sẽ tính được giá trị tương ứng của x, cụ thể:

- Với y = -4 => x = 2.(-4) + 6 = -2 => cặp (-2;-4) là một nghiệm.

- Với y = 0 => x = 2.0 + 6 = 6 => cặp (6;0) là một nghiệm.

Vì y có thể lấy giá trị tùy ý, nên phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là x=2y+6;y∈R hoặc viết (2y + 6; y)

Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng 2y = 12 <=> y = 6.

Tới đây, cho x các giá trị tùy ý ta luôn nhận được y = 6. Do đó các cặp số (-81;6), (33;6),... đều là nghiệm của phương trình.

Vậy, phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là x∈R;y=6 hoặc viết (x;6)

Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng 6x = 18 <=> x = 3

Tới đây, cho y các giá trị tùy ý ta luôn nhận được x = 3. Do đó, các cặp số

(3;2005), (3;1989),... đều là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là 3;y∈R hoặc viết (3;y)

Ta có

- Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x + 2y = 4 đi qua hai điểm A(0;2), B(4;0)

- Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x – y = 1 đi qua hai điểm C(0;-1), D(1;0)

Từ đồ thị hàm số, dễ dàng nhận thấy hai đường thẳng AB và CD giao nhau tại điểm M (2;1)

Vì M∈AB, M∈CD nên tọa độ M là nghiệm của cả hai phương trình x + 2y = 4 và x – y = 1.

a) Biến đổi phương trình về dạng x = 3y + 4
Nhận xét rằng, với mọi y∈Z, ta luôn có x = 3y + 4∈Z
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (3y +4;y) với y∈Z
b) Biến đổi phương trình về dạng y = -3x + 6
Nhận xét rằng, với mọi x∈Z, ta luôn có y = -3x + 6∈Z
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (x;-3x + 6) với x∈Z
c) Biến đổi phương trình về dạng 4x = 5y + 8 <=> x = y + 2 + y4 (1)

Đặt k = y4, k∈Z <=> y = 4k, k∈Z
Thay y = 4k vào (1) ta được x = 4k + 2 + k = 5k + 2∈Z, k∈Z
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (5k +2;4k) với kZ

1. Với đường thẳng (d), ta có a = m, b = -(m+4), c = m

a) Để (d) cắt cả hai trục tọa độ, điều kiện là:

a≠0b≠0c≠0⇔m≠0−m+4≠0m≠0⇔m≠0m≠−4

Vậy với m≠0 và m≠2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Để (d) song song với Ox, điều kiện là:

 a=0b≠0c≠0⇔m=0−m+4≠0m≠0(vô nghiệm)

Vậy không tồn tại m để (d) song song với Ox.

c) Để (d) song song với Oy, điều kiện là:

a≠0b=0c≠0⇔m≠0−m+4=0m≠0⇔m=−4

Vậy với m = - 4 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

d) Viết lại hai phương trình đường thẳng (d) và ∆ dưới dạng:

d:y=mm+4x−mm+4 với m≠−4 và Δ:y=−x+6 

Khi đó, để (d) song song với ∆, điều kiện là:

mm+4=−1⇔m=−m−4⇔m=−2

Vậy với m = - 2, thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2. Giả sử là điểm cố điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

mx0−m+4y0=m,∀m⇔x0−y0−1m−4y0=0,∀m

⇔x0−y0−1=0−4y0=0⇔x0=1y0=0

Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định là M(1; 0)

1. Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a = 0 và b≠0

Khi đó, đường thẳng có dạng by+c=0⇔y=−cb. Do đó, khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng bằng −cb=cb

Trường hợp 2: nếu a≠0 và b = 0.

Khi đó, đường thẳng có dạngax+c=0⇔x=−cb . Do đó, khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng bằng −ca=ca

Trường hợp 3: Nếu a≠0,b≠0

Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục Ox, Oy ta được:

- Với điểm A: x=0⇒y=−cb⇒A0;−cb

- Với điểm B: y=0⇒x=−ca⇒B−ca;0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d)

Trong ∆OAB vuông tại O, ta có 1OH2=1OA2+1OB2

⇔OH=OA.OBOA2+OB2=cb.−cacb2+−ca2=ca2+b2 *

2. Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng, ta có ngay h=−1032+−42=2

Như ta đã học ở phần trước, với hai đường thẳng d1:y=m1x+n1 và d2:y=m2x+n2

Ta có các kết quả:

- d1//d2⇔m1=m2,n1≠n2

- d1≡d2⇔m1=m2,n1=n2

- d1∩d2⇔m1≠m2

Viết lại các đường thẳng dưới dạng: d1:y=−a1b1x+c1b1 và d2:y=−a2b2x+c2b2

1. d1,d2 cắt nhau khi −a1b1≠−a2b2⇔a1b1≠a2b2

2. d1,d2 song song với nhau khi

−a1b1=−a2b2c1b1≠c2b2⇔a1a2=b1b2b1b2≠c1c2⇔a1a2=b1b2≠c1c2

3. d1,d2 trùng nhau khi

−a1b1=−a2b2c1b1=c2b2⇔a1a2=b1b2b1b2=c1c2⇔a1a2=b1b2=c1c2

a) Biến đổi phương trình về dạng y = 4x – 1.

Suy ra các cặp số (1;3), (0;-1),…. là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có vô số nghiệm, với dạng tổng quát (x;4x - 1)

b) Biến đổi phương trình về dạng x = -2y

Suy ra các cặp số (0;0), (-4;2),… là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có vô số nghiệm, với dạng tổng quát (-2y;y)

c) Biến đổi phương trình về dạng 2y = 6 <=> y = 3

Suy ra các cặp số (0;3), (1;3), … là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có vô số nghiệm, với dạng tổng quát (x;3)

d) Biến đổi phương trình về dạng 3x = 12 <=> x = 4

Suy ra các cặp số (4;33), (4;89),… là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có vô số nghiệm, với dạng tổng quát (4;y).

a) Với x = 0 => y = -3

Với y = 0 => x = 4

Đồ thị của hàm số 3x – 4y = 12 là một đường thẳng đi qua 2 điểm (0;-3), (4;0)

b) Với x = 0 => y = 0

Với x = 2 => y = 3

Đồ thị của hàm số 3x – 2y = 0 là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm (2;3)

c) Đồ thị hàm số y = -2 là một đường thẳng đi qua (0;-2) và song song với trục Ox

d) Đồ thị hàm số x = -2 là một đường thẳng đi qua (-2;0) và song song với trục Oy

Ta lần lượt xét:

- Thay (3;-1) vào phương trình, ta được 3 + (-1) = 1 ⇔2=1(vô lí)

Vậy cặp (3;-1) không là nghiệm của phương trình.

- Thay 2;1−2 vào phương trình, ta được 2+1−2=1 (đúng)

Vậy cặp 2;1−2 là nghiệm của phương trình.

- Thay (81;-80) vào phương trình, ta được 81 – 80 = 1 (đúng)

Vậy cặp (81;-80) là nghiệm của phương trình.

- Thay (2;1) vào phương trình, ta được 2 + 1 = 1 ⇔3=1(vô lí)

Vậy cặp (2;1) không là nghiệm của phương trình.

Ta lần lượt xét:

- Thay A(2;4) vào phương trình, ta được 2.2 – 4 = -4 ⇔0=−4(vô lí)

Vậy đường thẳng 2x – y = -4 không đi qua điểm A.

- Thay B12;4+2 vào phương trình, ta được:

2.12−4+2=−4⇔−4=−4 (đúng)

Vậy đường thẳng 2x – y = -4 đi qua điểm B.

- Thay C(1;-2) vào phương trình, ta được 2.1−−2=−4⇔4=−4 (vô lí)

Vậy đường thẳng 2x – y = -4 không đi qua điểm C.

- Thay D13−2;−23 vào phương trình, ta được

2.13−2−−23=−4

⇔2.3+2−1+23=−4⇔−4=−4 (đúng)

Vậy đường thẳng 2x – y = -4 đi qua điểm D.

1. Với m = 2, ta có 2x+2y=4⇔y=−x+2

Với x=0⇒y=2, với y=0⇒x=4

Đồ thị hàm số y = -x + 4 là một đường thẳng đi qua (0;4) và (4;0) 

2. Xét phương trình y=−m2x+2. Ta có

a) (d) cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm phân biệt ⇔−m2≠0⇔m≠0

b) (d) song song với Ox ⇔−m2=0⇔m=0

c) (d) song song với Oy ⇔m≠0−2m=0 (vô nghiệm)

Vậy không tồn tại m để (d) // Oy

d) (d) // Δ⇔−m2=−1⇔m=2

e) (d) có hướng đi lên ⇔−m2>0⇔m<0

f) (d) có hướng đi xuống ⇔−m2<0⇔m>0

3. Giả sử là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

mx0+2y0=4∀m⇔x0=02y0−4=0⇔x0=0y0=2

Vậy M (0;2) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi m thay đổi.

1. Giả sử là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

3x0+my0−1−2=0∀m

⇔3x0−2=0y0−1=0⇔x0=23y0=1

Vậy M23;1 là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi m thay đổi.

2. Giả sử là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

Vậy M1;0 là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi m thay đổi.

3. Giả sử là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

m(x0−5)−2y0=6∀m

⇔x0−5=0−2y0−6=0⇔x0=5y0=−3

Vậy M5;−3 là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi m thay đổi.

4. Giả sử là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

mx0−2y0=6

⇔x0=0−2y0−6=0⇔x0=0y0=−3

Vậy M0;−3 là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi m thay đổi.

a) Biến đổi phương trình về dạng y = -2x + 4

Nhận xét rằng, với mọi x∈Z, ta luôn có y=−2x+4∈Z

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn x;−2x+4 với x∈Z

b) Biến đổi phương trình về dạng x = 7y + 9

Nhận xét rằng, với mọi y∈Z, ta luôn có x=7y+9∈Z

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn 7y+9;y với y∈Z

c) Biến đổi phương trình về dạng x = 2y + 3

Nhận xét rằng, với mọi y∈Z, ta luôn có x=2y+3∈Z

Vậy phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn 2y+3;y với y∈Z

d) Biến đổi phương trình về dạng 2y = 3x - 4⇔y=−2+x+12x  (1)

Đặt k=12x,k∈Z⇔x=2k,k∈Z

Thay x = 2k vào (1) ta được y = -2 + 2k + k = -2 + 3k∈Z,k∈Z

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn 2k;−2+3k với k∈Z

e) Biến đổi phương trình về dạng y = -3x + 8

Nhận xét rằng, với mọi x∈Z, ta luôn có y=−3x+8∈Z

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (x; -3x + 8) với x∈Z

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  ở ví dụ 8.

a) Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng, ta có h=−2042+32=205=4

b) Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng, ta có h=422+−12=45

c) Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng, ta có h=23=23

d) Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng, ta có h=1−2=12