Bài tập Phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

a. Xét phương trình 5x + 4y = 8

- Với cặp số (-2;1). Ta có 5(-2) + 4.1 = -6 $\ne$8.

Do đó cặp số (-2;1) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (0;2). Ta có 0 + 4.2 = 8.

Do đó cặp số (0;2) là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (-1;0). Ta có (-1) + 4.0 = -5 $\ne$8.

Do đó cặp số (-1;0) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (1,5;3). Ta có 1,5 + 4.3 = 19,5 $\ne$8.

Do đó cặp số (1,5;3) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (4;-3). Ta có 4 + 4.(-3) = 8.

Do đó cặp số (4;-3) là nghiệm của phương trình.

b. Xét phương trình 3x + 5y = -3

- Các cặp (-1;0); (4;-3) là nghiệm của phương trình.

- Các cặp (-2;1); (0;2); (1,5;3) không là nghiệm của phương trình.

Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng x – 2y = 6

Tới đây, cho y các giá trị tùy ý chúng ta sẽ tính được giá trị tương ứng của x, cụ thể:

- Với y = -4 => x = 2.(-4) + 6 = -2 => cặp (-2;-4) là một nghiệm.

- Với y = 0 => x = 2.0 + 6 = 6 => cặp (6;0) là một nghiệm.

Vì y có thể lấy giá trị tùy ý, nên phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là $\left(\mathrm{x}=2\mathrm{y}+6;\mathrm{y}\in \mathrm{R}\right)$ hoặc viết (2y + 6; y)

Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng 2y = 12 <=> y = 6.

Tới đây, cho x các giá trị tùy ý ta luôn nhận được y = 6. Do đó các cặp số (-81;6), (33;6),... đều là nghiệm của phương trình.

Vậy, phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là $\left(\mathrm{x}\in \mathrm{R};\mathrm{y}=6\right)$ hoặc viết (x;6)

Thực hiện việc biến đổi phương trình về dạng 6x = 18 <=> x = 3

Tới đây, cho y các giá trị tùy ý ta luôn nhận được x = 3. Do đó, các cặp số

(3;2005), (3;1989),... đều là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát của nghiệm là $\left(3;\mathrm{y}\in \mathrm{R}\right)$ hoặc viết (3;y)

Ta có

- Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x + 2y = 4 đi qua hai điểm A(0;2), B(4;0)

- Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x – y = 1 đi qua hai điểm C(0;-1), D(1;0)

Từ đồ thị hàm số, dễ dàng nhận thấy hai đường thẳng AB và CD giao nhau tại điểm M (2;1)

Vì $\mathrm{M}\in \mathrm{AB}, \mathrm{M}\in \mathrm{CD}$ nên tọa độ M là nghiệm của cả hai phương trình x + 2y = 4 và x – y = 1.

a) Biến đổi phương trình về dạng x = 3y + 4
Nhận xét rằng, với mọi y$\in \mathrm{Z}$, ta luôn có x = 3y + 4$\in \mathrm{Z}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (3y +4;y) với y$\in \mathrm{Z}$
b) Biến đổi phương trình về dạng y = -3x + 6
Nhận xét rằng, với mọi x$\in \mathrm{Z}$, ta luôn có y = -3x + 6$\in \mathrm{Z}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (x;-3x + 6) với x$\in \mathrm{Z}$
c) Biến đổi phương trình về dạng 4x = 5y + 8 <=> x = y + 2 + $\frac{\mathrm{y}}{4}$ (1)

Đặt k = $\frac{\mathrm{y}}{4}$, k$\in \mathrm{Z}$ <=> y = 4k, k$\in \mathrm{Z}$
Thay y = 4k vào (1) ta được x = 4k + 2 + k = 5k + 2$\in \mathrm{Z}$, k$\in \mathrm{Z}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (5k +2;4k) với kZ

1. Với đường thẳng (d), ta có a = m, b = -(m+4), c = m

a) Để (d) cắt cả hai trục tọa độ, điều kiện là:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{b}\ne 0\\ \mathrm{c}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ -\left(\mathrm{m}+4\right)\ne 0\\ \mathrm{m}\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ \mathrm{m}\ne -4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với $\mathrm{m}\ne 0$ và $\mathrm{m}\ne 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Để (d) song song với Ox, điều kiện là:

 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}=0\\ \mathrm{b}\ne 0\\ \mathrm{c}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}=0\\ -\left(\mathrm{m}+4\right)\ne 0\\ \mathrm{m}\ne 0\end{array}\right.$(vô nghiệm)

Vậy không tồn tại m để (d) song song với Ox.

c) Để (d) song song với Oy, điều kiện là:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{b}=0\\ \mathrm{c}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ -\left(\mathrm{m}+4\right)=0\\ \mathrm{m}\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \mathrm{m}=-4 \end{gathered}$$

Vậy với m = - 4 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

d) Viết lại hai phương trình đường thẳng (d) và $\left(∆\right)$ dưới dạng:

$\left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+4}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+4}$ với $\mathrm{m}\ne -4$ và $\left(\mathrm{\Delta }\right):\mathrm{y}=-\mathrm{x}+6$ 

Khi đó, để (d) song song với $\left(∆\right)$, điều kiện là:

$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+4}=-1\iff \mathrm{m}=-\mathrm{m}-4\iff \mathrm{m}=-2$

Vậy với m = - 2, thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2. Giả sử là điểm cố điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{mx}}_0-\left(\mathrm{m}+4\right){\mathrm{y}}_0=\mathrm{m},\forall \mathrm{m} \\ \iff \left({\mathrm{x}}_0-{\mathrm{y}}_0-1\right)\mathrm{m}-4{\mathrm{y}}_0=0,\forall \mathrm{m} \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_0-{\mathrm{y}}_0-1=0\\ -4{\mathrm{y}}_0=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_0=1\\ {\mathrm{y}}_0=0\end{array}\right.\right.$

Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định là M(1; 0)

1. Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a = 0 và $\mathrm{b}\ne 0$

Khi đó, đường thẳng có dạng $\mathrm{by}+\mathrm{c}=0\iff \mathrm{y}=-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$. Do đó, khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng bằng $\left|-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right|=\left|\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right|$

Trường hợp 2: nếu $\mathrm{a}\ne 0$ và b = 0.

Khi đó, đường thẳng có dạng$\mathrm{ax}+\mathrm{c}=0\iff \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$ . Do đó, khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng bằng $\left|-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right|=\left|\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right|$

Trường hợp 3: Nếu $\mathrm{a}\ne 0,\mathrm{b}\ne 0$

Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục Ox, Oy ta được:

- Với điểm A: $\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{y}=-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\Rightarrow \mathrm{A}\left(0;-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)$

- Với điểm B: $\mathrm{y}=0\Rightarrow \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\Rightarrow \mathrm{B}\left(-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}};0\right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d)

Trong $∆\mathrm{OAB}$ vuông tại O, ta có $\frac{1}{{\mathrm{OH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{OA}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OB}}^2}$

$$\begin{gathered} \iff \mathrm{OH}=\frac{\mathrm{OA}.\mathrm{OB}}{\sqrt{{\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2}}=\frac{\left|\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right|.\left|-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right|}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\right)}^2+{\left(-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right)}^2}} \\ =\frac{\left|\mathrm{c}\right|}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}} \left(*\right) \end{gathered}$$

2. Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng, ta có ngay $\mathrm{h}=\frac{\left|-10\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=2$

Như ta đã học ở phần trước, với hai đường thẳng $\left({\mathrm{d}}_1\right):\mathrm{y}={\mathrm{m}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{n}}_1$ và $\left({\mathrm{d}}_2\right):\mathrm{y}={\mathrm{m}}_2\mathrm{x}+{\mathrm{n}}_2$

Ta có các kết quả:

- $\left({\mathrm{d}}_1\right)//\left({\mathrm{d}}_2\right)\iff {\mathrm{m}}_1={\mathrm{m}}_2,{\mathrm{n}}_1\ne {\mathrm{n}}_2$

- $\left({\mathrm{d}}_1\right)\equiv \left({\mathrm{d}}_2\right)\iff {\mathrm{m}}_1={\mathrm{m}}_2,{\mathrm{n}}_1={\mathrm{n}}_2$

- $\left({\mathrm{d}}_1\right)\cap \left({\mathrm{d}}_2\right)\iff {\mathrm{m}}_1\ne {\mathrm{m}}_2$

Viết lại các đường thẳng dưới dạng: $\left({\mathrm{d}}_1\right):\mathrm{y}=-\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{b}}_1}\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{b}}_1}$ và $\left({\mathrm{d}}_2\right):\mathrm{y}=-\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{b}}_2}\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{b}}_2}$

1. ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ cắt nhau khi $-\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{b}}_1}\ne -\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{b}}_2}\iff \frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{b}}_1}\ne \frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{b}}_2}$

2. ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ song song với nhau khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}-\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{b}}_1}=-\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{b}}_2}\\ \frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{b}}_1}\ne \frac{{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{b}}_2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\\ \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\ne \frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}\end{array}\right. \\ \iff \frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\ne \frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2} \end{gathered}$$

3. ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ trùng nhau khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}-\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{b}}_1}=-\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{b}}_2}\\ \frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{b}}_1}=\frac{{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{b}}_2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\\ \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}\end{array}\right. \\ \iff \frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2} \end{gathered}$$