Bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình có đáp án

Lập hệ phương trình

- Lựa chọn ẩn

Gọi x là thời gian dự định đi lúc đầu, điều kiện x > 0 (giờ)

Gọi y là độ dài quãng đường AB, điều kiện y >  0 (km)

- Thiết lập hai phương trình

Với giả thiết

+ Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm 2 giờ, ta được:

+ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm 1 giờ, ta được:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 35x−y=−7050x−y=50

Giải hệ phương trình

1⇔15x=12050x−y=50⇔x=8y=350 thỏa mãn điều kiện.

Kết luận: vậy quãng đường AB là 350 km, thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.

Ta thực hiện đổi đơn vị: 8 giờ 30 phút = 8+3060=172 (giờ)

Gọi x là thời gian hai người gặp nhau, điều kiện x>172 (giờ)

Gọi y là độ dài quãng đường từ A tới điểm gặp nhau, điều kiện y > 0.

Với giả thiết:

- Người thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và xuất phát lúc 7 giờ, ta được:

- Người thứ hai đi với vận tốc 60 km/h và xuất phát lúc 8 giờ 30 phút, ta được:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình 40x−y=28060x−y=510⇔x=1112y=180

Vậy họ gặp nhau lúc 11 giờ 30 phút.

Đổi 6 phút = 110 giờ.

Gọi x là vận tốc của người đi nhanh hơn (x > 0, đơn vị km/h)

Gọi y là vận tốc của người đi chậm hơn (y > 0, đơn vị km/h)

Hai người khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km (nghĩa là cách B 1,6 km). Lúc đó:

- Người đi nhanh mất 2xh

- Người đi chậm mất 1,6yh

Do đó, ta có phương trình  2x=1,6y   (1)

Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau chính giữa quãng đường. Lúc đó:

- Người đi nhanh mất 1,8xh

- Người đi chậm mất 1,8y+110h

Do đó, ta có phương trình: 1,8x=1,8y+110  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ 2x=1,6y1,8x=1,8y+110⇔x=2,5y=2

Vậy vận tốc của người đi nhanh là 2,5 km/h và vận tốc của người đi chậm là 2 km/h.

Ta thực hiện biến đổi đơn vị: 1 giờ 40 phút = 1+4060=53 giờ

Gọi x là vận tốc riêng của cano đi xuôi dòng, điều kiện x > 0. Do đó, khi đi xuôi dòng nó đi với vận tốc (x + 3) km/h.

Gọi y là vận tốc riêng của cano đi ngược dòng, điều kiện y > 3. Do đó, khi đi ngược dòng nó đi với vận tốc (y – 3) km/h.

Với giả thiết:

- Vận tốc riêng của cano đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của cano đi ngược 9 km/h, ta được x−y=9   (1)

- Sau 1 giờ 40 phút hai cano gặp nhau, ta được:

53x+3+y−3=85

⇔x+y=51   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x−y=9x+y=51⇔x=30y=21

Vận tốc riêng của cano đi xuôi bằng 30 km/h, vận tốc riêng của cano đi ngược bằng 21 km/h.

Gọi x và y là vận tốc của các vật (x, y > 0, đơn vị cm/s)

- Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau

Do đó, ta có 20πx−y=20

- Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau.

Do đó, ta có 20πx+y=4

Ta có hệ phương trình

20πx−y=2020πx+y=4⇔20π=20x−20y20π=4x+4y⇔x=3πy=2π

Vậy vận tốc vật thứ nhất là  và vận tốc vật thứ hai là 2πm/s

Gọi số có hai chữ số là xy¯=10x+y, với x,y∈N,1≤x,y≤9

Với giả thiết:

- Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục bằng 10, ta được: 2x+y=10   (1)

- Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ được số mới yx¯=10y+x nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị, ta được: xy¯−yx¯=18

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

2x+y=10x−y=2⇔x=4y=2 thỏa mãn điều kiện.

Vậy số cần tìm là 42.

Gọi số có hai chữ số là xy¯=10x+y, với x,y∈N,1≤x≤9,0≤y≤9

Với giả thiết

- Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 6 đơn vị, ta được: x−y=6   (1)

- Khi viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng đơn vị (được số x0y¯=100x+y) thì số tự nhiên đó tăng 720 đơn vị, ta được:

100x+y−10x+y=720⇔x=8   (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình

x−y=6x=8⇔x=8y=2

Vậy số cần tìm là 82.

Ta thực hiện đổi đơn vị 48 phút  = 4860=1215 giờ.

Gọi x (giờ) là thời gian quy định để bơm đầy bể, điều kiện x > 0.

Gọi ym3 là thể tích của bể, điều kiện y > 0.

Với giả thiết:

- Muốn bơm đầy nước vào bể trong thời gian x mỗi giờ phải bơm 10m3, ta được: 10x=y   (1)

- Sau khi bơm được 13 bể (tức bơm được y3m3 và tốn y3.10 giờ và còn lại 2y3m3), người công nhân vận hành máy cho hoạt động với công suất 15m3/h (tức là tốn 2y3.15 giờ). Do vậy, so với quy định bể được bơm đầy trước 48 phút (tức là mất x−1215), ta được:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

 thỏa mãn điều kiện

Vậy thể tích của bể bằng 36m3 

Gọi x và y là thời gian để vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể

(x > 0, y > 0, đơn vị giờ).

Do đó:

- Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1x phần của bể.

- Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được 1y phần của bể.

- Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1x+1y phần của bể.

Hai vòi cùng chảy thì trong 445=245 giờ sẽ đầy bể, nên mỗi giờ hai vòi chảy được:

1:245=524 (bể)

Do đó, ta có phương trình: 1x+1y=524  1

Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thư hai thì sau 65 giờ nữa mới đầy bể.

Do đó, ta có phương trình 9x+524.65=1  2

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình

Vậy nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.

Giả sử mỗi giờ vòi I chảy được x phần bể, điều kiện x > 0

Giả sử mỗi giờ vòi II chảy được y phần bể, điều kiện y > 0.

Với giả thiết:

- Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy, ta được

- Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy 215 bể, ta được

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy vòi I chảy trong 2 giờ sẽ đầy bể, vòi II chảy trong 4 giờ sẽ đầy bể.