Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng có đáp án

a) Thực hiện phép khử x:

$\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=18\\ 4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}12\mathrm{x}+16\mathrm{y}=72\\ 12\mathrm{x}-9\mathrm{y}=-3\end{array}\right.$

$\text{⇔}\left\{\begin{array}{c}25y=75\\ 4x-3y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y=3\\ 4x-3.3=-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=3\end{array}\right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 3)

b) Ta thực hiện:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(\sqrt{3};\sqrt{2}\right)$

a) Kí hiệu các phương trình của hệ theo thứ tự là (1), (2)

Nhân hai vế của (1) với $-\sqrt{2}$, ta có hệ phương trình tương đương:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{\sqrt{2}-6}{8};\frac{-1-\sqrt{2}}{4}\right)$

b) Kí hiệu các phương trình của hệ theo thứ tự là (1), (2).

Nhân hai vế của (1) với $\sqrt{2}$, ta có hệ phương trình tương đương:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{\sqrt{6}}{6};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

a) Nhận xét rằng với m = 0, hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=0\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{m}=0$ hệ có nghiệm duy nhất.

Với $\mathrm{m}\ne 0$, biến đổi hệ về dạng

Tức là, với $\mathrm{m}\ne 0$ hệ cũng có nghiệm duy nhất

Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất.

b) Để nghiệm (x; y) của hệ thỏa mãn x < 1 và y < 1, điều kiện là:

Vậy với $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\ne 0\\ \mathrm{m}\ne 1\end{array}\right.$ thoả mãn điều kiện đề bài.

c) Nhận xét rằng

Vậy ta thu được hệ thức ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=1$

a) Với m = 1, hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=2\end{array}\right.\iff$ hệ có vô số nghiệm thỏa mãn (x; 2 – x)

b) Nhận xét rằng với m = 0, hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=1\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{m}=0$ hệ có nghiệm duy nhất. Với $\mathrm{m}\ne 0$, biến đổi hệ về dạng:

Tức là, với $\text{m≠0,m≠±1}$ hệ cũng có nghiệm duy nhất.

Vậy, với mọi $\mathrm{m}\ne \pm 1$ hệ luôn có nghiệm duy nhất.

c) Để nghiệm duy nhất của hệ thỏa mãn x + y < 0, điều kiện là:

Thỏa mãn điều kiện duy nhất của nghiệm.

Vậy với $-3<\mathrm{m}<-1$ thỏa mãn điều kện đề bài.

d) Để nghiệm nguyên duy nhất của hệ nguyên điều kiện cần là m + 1 là ước của 1, ta lập bảng

Vậy với m = -2 hoặc m = 0 hệ có nghiệm nguyên duy nhất.

Điều kiện: $\mathrm{y}\ne 0$

Ta thực hiện

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3; 2)

a) Ta thực hiện việc rút gọn các phương trình của hệ đã cho rồi đưa về hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 3\mathrm{x}-\mathrm{y}=5\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{c}5\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\frac{1}{2}\\ \mathrm{y}=-\frac{13}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vây hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{1}{2};-\frac{13}{2}\right)$

b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -1)

a) Đặt $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=\frac{1}{\mathrm{x}}\\ \mathrm{v}=\frac{1}{\mathrm{y}}\end{array}\right.$ ta đưa hệ phương trình về dạng

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{7}{9};\frac{7}{2}\right)$

b) Đặt $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=\frac{1}{\mathrm{x}-2}\\ \mathrm{v}=\frac{1}{\mathrm{y}-1}\end{array}\right.$ ta đưa hệ phương trình về dạng

- Từ $\mathrm{u}=\frac{7}{5}\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}-2}=\frac{7}{5}$ $\iff \mathrm{x}=\frac{5}{7}+2\iff \mathrm{x}=\frac{19}{7}$

- Từ $\mathrm{v}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{y}-1}=\frac{3}{5}$ $\iff \mathrm{y}=\frac{5}{3}+1\iff \mathrm{y}=\frac{8}{3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{19}{7};\frac{8}{3}\right)$

a) Giải hệ thứ nhất ta được nghiệm duy nhất $\mathrm{x}=3,\mathrm{y}=4$

Do đó, muốn hai hệ tương đương thì (3; 4) cũng phải là nghiệm của hệ cnf lại, tức là:

Thử lại với m = 2 hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=-1\end{array}\right.$

Dễ thấy, hệ trên có nghiệm duy nhất (3; 4)

Vậy với m = 2 hai hệ phương trình đã cho tương đương.

b) Giải hệ thứ nhất ta được nghiệm duy nhất $\mathrm{x}=-1,\mathrm{y}=1$

Do đó, muốn hai hệ tương đương thì (-1; 1) cũng phải là nghiệm của hệ còn lại, tức là:

Thử lại với m = 4 hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{x}+4\mathrm{y}=2\end{array}\right.$

Dễ thấy, hệ trên có vô số nghiệm, do đó không thỏa mãn

Vậy không tồn tại m để hai hệ phương trình đã cho tương đương.

a) Ta có:

- $\mathrm{A}\left(2;-2\right)\in \left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ $\iff -2=2\mathrm{a}+\mathrm{b}\left(1\right)$

- $\mathrm{B}\left(-1;3\right)\in \left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ $\iff 3=-\mathrm{a}+\mathrm{b}\left(2\right)$

Từ (1) và (2), ta có

Vậy đồ thị cần tìm là (d): $\mathrm{y}=-\frac{5}{3}\mathrm{x}+\frac{4}{3}$

b) Ta có:

- $\mathrm{A}\left(-4;-2\right)\in \left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ $\iff -2=-4\mathrm{a}+\mathrm{b}\left(3\right)$

- $\mathrm{B}\left(2;1\right)\in \left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$$\iff 1=2\mathrm{a}+\mathrm{b}\left(4\right)$

Từ (3) và (4), ta có

Vậy đồ thị cần tìm là (d): $\mathrm{y}=\frac{1}{2}\mathrm{x}$

c) Tương tự, ta có đồ thị cần tìm là $\left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\frac{1}{2}\mathrm{x}+\frac{1}{2}$

d) Tương tự, ta có đồ thị cần tìm là $\left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=2$

Giả sử đường thẳng có phương trình ax + by = c, từ giả thiết:

- A (-2; -6) thuộc đường thẳng, suy ra $\mathrm{a}.\left(-2\right)+\mathrm{b}.\left(-6\right)=\mathrm{c}$$\iff -2\mathrm{a}-6\mathrm{b}=\mathrm{c}\left(1\right)$

- B (4; 3) thuộc đường thẳng, suy ra $\mathrm{a}.4+\mathrm{b}.3=\mathrm{c}\iff 4\mathrm{a}+3\mathrm{b}=\mathrm{c}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy đường thẳng có phương trình $\frac{\mathrm{c}}{2}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{c}}{3}\mathrm{y}=\mathrm{c}\iff 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=6$

Với giả thiết:

+) ${\mathrm{x}}_1=-2$ là nghiệm của phương trình, suy ra

$$\begin{gathered} \mathrm{a}.{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+\mathrm{b}=0\iff 4\mathrm{a}+\mathrm{b}=-2 \\ \hspace{0.17em}\left(1\right) \end{gathered}$$

+) ${\mathrm{x}}_2=3$ là nghiệm của phương trình, suy ra

$\mathrm{a}.3^2-3+\mathrm{b}=0\iff 9\mathrm{a}+\mathrm{b}=3\left(2\right)$

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

Vậy phương trình có dạng ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-6=0$

Ta có:

Vậy với m = 3 và n = 2 thì da thức P(x) thỏa mãn đề bài.

a) Với giả thiết:

- f(x) chia hết cho x – 3, suy ra

- f(x) chia hết cho x + 1, suy ra:

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

b) Với kết quả trên, f(x) có dạng:

a) Điều kiện $\mathrm{x},\mathrm{y}\ne 0$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{u}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}=\mathrm{v}\end{array}\right.$ hệ được chuyển về dạng

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{1}{4};\frac{1}{7}\right)$

b) Điều kiện: $\mathrm{x}\ne -3,\mathrm{y}\ne 2$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\mathrm{x}+3}=2\mathrm{u}\\ \frac{1}{\mathrm{y}-2}=2\mathrm{v}\end{array}\right.$ hệ được chuyển về dạng

Vậy hệ có nghiệm $\mathrm{x}=-\frac{163}{56};\mathrm{y}=\frac{49}{20}$

a) Với giả thiết:

- $\mathrm{A}\left(1,3\right)$ thuộc đồ thị hàm số, suy ra

$3=\mathrm{a}.1+\mathrm{b}\iff \mathrm{a}+\mathrm{b}=3\left(1\right)$

- $\mathrm{B}\left(3;2\right)$ thuộc đồ thị hàm số, suy ra

$2=\mathrm{a}.3+\mathrm{b}\iff 3\mathrm{a}+\mathrm{b}=2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có

Vậy hàm số có dạng $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+\frac{7}{2}$.

b) Với giả thiết:

- $\text{A}\left(1;-1\right)$ thuộc đồ thị hàm số, suy ra

$-1=\mathrm{a}.1+\mathrm{b}\iff \mathrm{a}+\mathrm{b}=-1\left(3\right)$

- $\mathrm{B}\left(3;3\right)$ thuộc đồ thị hàm số, suy ra

$3=\mathrm{a}.3+\mathrm{b}\iff 3\mathrm{a}+\mathrm{b}=3\left(4\right)$

Từ (3) và (4) ta có:

Vậy hàm số có dạng $\mathrm{y}=2\mathrm{x}-3$

Giả sử đường thẳng có phương trình ax + b + c = 0

a) Với giả thiết:

- $\mathrm{A}\left(1,3\right)$ thuộc đường thẳng, suy ra

$\mathrm{a}.1+\mathrm{b}.3=\mathrm{c}\iff \mathrm{a}+3\mathrm{b}=\mathrm{c}\left(1\right)$

- $\mathrm{B}\left(3;2\right)$ thuộc đường thẳng, suy ra

$\mathrm{a}.3+\mathrm{b}.2=\mathrm{c}\iff 3\mathrm{a}+2\mathrm{b}=\mathrm{c}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có

Vậy đường thẳng có phương trình $\frac{\mathrm{c}}{7}\mathrm{x}+\frac{2\mathrm{c}}{7}\mathrm{y}=\mathrm{c}$$\iff \mathrm{x}+2\mathrm{y}=7$

b) Với giả thiết:

- $\mathrm{A}\left(1;-1\right)$ thuộc đường thẳng, suy ra

$\mathrm{a}.1+\mathrm{b}.\left(-1\right)=\mathrm{c}\iff \mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{c}\left(3\right)$

- $\mathrm{B}\left(3;3\right)$ thuộc đường thẳng, suy ra

$\mathrm{a}.3+\mathrm{b}.3=\mathrm{c}\iff 3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=\mathrm{c}\left(4\right)$

Từ (3) và (4) ta có:

Vậy đường thẳng có phương trình $\frac{2\mathrm{c}}{3}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{c}}{3}\mathrm{y}=\mathrm{c}$$\iff 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=3$

Theo giả thiết, ta có:

- ${\mathrm{x}}_1=1$ là nghiệm của phương trình, suy ra:

- ${\mathrm{x}}_2=3$ là nghiệm của phương trình, suy ra:

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

Vậy phương trình có dạng ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3=0$