Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng có đáp án

a) Thực hiện phép khử x:

3x+4y=184x−3y=−1⇔12x+16y=7212x−9y=−3

⇔25y=754x−3y=−1⇔y=34x−3.3=−1

⇔x=2y=3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 3)

b) Ta thực hiện:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 3;2

a) Kí hiệu các phương trình của hệ theo thứ tự là (1), (2)

Nhân hai vế của (1) với −2, ta có hệ phương trình tương đương:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2−68;−1−24

b) Kí hiệu các phương trình của hệ theo thứ tự là (1), (2).

Nhân hai vế của (1) với 2, ta có hệ phương trình tương đương:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 66;−22

a) Nhận xét rằng với m = 0, hệ có dạng x=1y=0⇒m=0 hệ có nghiệm duy nhất.

Với m≠0, biến đổi hệ về dạng

Tức là, với m≠0 hệ cũng có nghiệm duy nhất

Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất.

b) Để nghiệm (x; y) của hệ thỏa mãn x < 1 và y < 1, điều kiện là:

Vậy với m≠0m≠1 thoả mãn điều kiện đề bài.

c) Nhận xét rằng

Vậy ta thu được hệ thức x2+y2=1

a) Với m = 1, hệ có dạng x+y=2x+y=2⇔ hệ có vô số nghiệm thỏa mãn (x; 2 – x)

b) Nhận xét rằng với m = 0, hệ có dạng x=2y=1⇒m=0 hệ có nghiệm duy nhất. Với m≠0, biến đổi hệ về dạng:

Tức là, với m≠0,m≠±1 hệ cũng có nghiệm duy nhất.

Vậy, với mọi m≠±1 hệ luôn có nghiệm duy nhất.

c) Để nghiệm duy nhất của hệ thỏa mãn x + y < 0, điều kiện là:

Thỏa mãn điều kiện duy nhất của nghiệm.

Vậy với −3<m<−1 thỏa mãn điều kện đề bài.

d) Để nghiệm nguyên duy nhất của hệ nguyên điều kiện cần là m + 1 là ước của 1, ta lập bảng

Vậy với m = -2 hoặc m = 0 hệ có nghiệm nguyên duy nhất.

Điều kiện: y≠0

Ta thực hiện

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3; 2)

a) Ta thực hiện việc rút gọn các phương trình của hệ đã cho rồi đưa về hệ:

5x−y=43x−y=5⇔5x−y=42x=−1⇔x=−12y=−132

Vây hệ phương trình có nghiệm duy nhất −12;−132

b)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -1)

a) Đặt u=1xv=1y ta đưa hệ phương trình về dạng

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 79;72

b) Đặt u=1x−2v=1y−1 ta đưa hệ phương trình về dạng

- Từ u=75⇒1x−2=75 ⇔x=57+2⇔x=197

- Từ v=35⇒1y−1=35 ⇔y=53+1⇔y=83

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 197;83

a) Giải hệ thứ nhất ta được nghiệm duy nhất x=3,y=4

Do đó, muốn hai hệ tương đương thì (3; 4) cũng phải là nghiệm của hệ cnf lại, tức là:

Thử lại với m = 2 hệ có dạng 2x−y=2x−y=−1

Dễ thấy, hệ trên có nghiệm duy nhất (3; 4)

Vậy với m = 2 hai hệ phương trình đã cho tương đương.

b) Giải hệ thứ nhất ta được nghiệm duy nhất x=−1,y=1

Do đó, muốn hai hệ tương đương thì (-1; 1) cũng phải là nghiệm của hệ còn lại, tức là:

Thử lại với m = 4 hệ có dạng x+2y=12x+4y=2

Dễ thấy, hệ trên có vô số nghiệm, do đó không thỏa mãn

Vậy không tồn tại m để hai hệ phương trình đã cho tương đương.

a) Ta có:

- A2;−2∈d:y=ax+b ⇔−2=2a+b   (1)

- B−1;3∈d:y=ax+b ⇔3=−a+b   (2)

Từ (1) và (2), ta có

Vậy đồ thị cần tìm là (d): y=−53x+43

b) Ta có:

- A−4;−2∈d:y=ax+b ⇔−2=−4a+b   (3)

- B2;1∈d:y=ax+b⇔1=2a+b   (4)

Từ (3) và (4), ta có

Vậy đồ thị cần tìm là (d): y=12x

c) Tương tự, ta có đồ thị cần tìm là d:y=12x+12

d) Tương tự, ta có đồ thị cần tìm là d:y=2

Giả sử đường thẳng có phương trình ax + by = c, từ giả thiết:

- A (-2; -6) thuộc đường thẳng, suy ra a.−2+b.−6=c⇔−2a−6b=c   (1)

- B (4; 3) thuộc đường thẳng, suy ra a.4+b.3=c⇔4a+3b=c   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy đường thẳng có phương trình c2x−c3y=c⇔3x−2y=6

Với giả thiết:

+) x1=−2 là nghiệm của phương trình, suy ra

a.−22−−2+b=0⇔4a+b=−2 (1)

+) x2=3 là nghiệm của phương trình, suy ra

a.32−3+b=0⇔9a+b=3  (2)

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

Vậy phương trình có dạng x2−x−6=0

Ta có:

Vậy với m = 3 và n = 2 thì da thức P(x) thỏa mãn đề bài.

a) Với giả thiết:

- f(x) chia hết cho x – 3, suy ra

- f(x) chia hết cho x + 1, suy ra:

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

b) Với kết quả trên, f(x) có dạng:

a) Điều kiện x,y≠0

Đặt 1x=u1y=v hệ được chuyển về dạng

Vậy hệ có nghiệm duy nhất −14;17

b) Điều kiện: x≠−3,y≠2

Đặt 1x+3=2u1y−2=2v hệ được chuyển về dạng

Vậy hệ có nghiệm x=−16356;y=4920

a) Với giả thiết:

- A1,3 thuộc đồ thị hàm số, suy ra

3=a.1+b⇔a+b=3   (1)

- B3;2 thuộc đồ thị hàm số, suy ra

2=a.3+b⇔3a+b=2   (2)

Từ (1) và (2) ta có

Vậy hàm số có dạng y=−12x+72.

b) Với giả thiết:

- A1;−1 thuộc đồ thị hàm số, suy ra

−1=a.1+b⇔a+b=−1   (3)

- B3;3 thuộc đồ thị hàm số, suy ra

3=a.3+b⇔3a+b=3   (4)

Từ (3) và (4) ta có:

Vậy hàm số có dạng y=2x−3

Giả sử đường thẳng có phương trình ax + b + c = 0

a) Với giả thiết:

- A1,3 thuộc đường thẳng, suy ra

a.1+b.3=c⇔a+3b=c   (1)

- B3;2 thuộc đường thẳng, suy ra

a.3+b.2=c⇔3a+2b=c   (2)

Từ (1) và (2) ta có

Vậy đường thẳng có phương trình c7x+2c7y=c⇔x+2y=7

b) Với giả thiết:

- A1;−1 thuộc đường thẳng, suy ra

a.1+b.−1=c⇔a−b=c   (3)

- B3;3 thuộc đường thẳng, suy ra

a.3+b.3=c⇔3a+3b=c   (4)

Từ (3) và (4) ta có:

Vậy đường thẳng có phương trình 2c3x−c3y=c⇔2x−y=3

Theo giả thiết, ta có:

- x1=1 là nghiệm của phương trình, suy ra:

- x2=3 là nghiệm của phương trình, suy ra:

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

Vậy phương trình có dạng x2−4x+3=0

Lời giải:

Với giả thiết

f(x) chia hết cho (x – 1) suy ra:

f (1) = 0

\( \Leftrightarrow \)1³ – a.1² + b.1 – a = 0

\( \Leftrightarrow \)2a – b = 1 (1)

f(x) chia hết cho (x – 3) suy ra:

f (3) = 0

\( \Leftrightarrow \)3³ – a.3² + b.3 – a = 0

\( \Leftrightarrow \)10a – 3b = 27 (2)

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2a - b = 1\\10a - 3a = 27\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}6a - 3a = 3\\10a - 3b = 27\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}4a = 24\\2a - b = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\2.6 - b = 1\end{array} \right.\)          

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 11\end{array} \right.\)

Vậy đa thức cần tìm là f = x³ −6 x²  + bx – c