Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có đáp án

Xét phương trình (2) của hệ, ta biến đổi y = -2x -1

5x + 3y = 1

<=> 5x + 3(-2x-1) = 1

<=> x = -4

Thay x = -4 vào (1) ta được:

y = -2.(-4)-1 = 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-4;7)

a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\sqrt{5}\mathrm{y}=0\left(1\right)\\ \sqrt{5}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1-\sqrt{5}\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (1) suy ra $\mathrm{x}=-\sqrt{5}\mathrm{y}$. Thay vào (2) ta có:

Khi $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $\Rightarrow \mathrm{x}=\left(-\sqrt{5}\right).\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{\sqrt{5}-5}{2};\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\left(2-\sqrt{3}\right)\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2+5\sqrt{3}\left(1\right)\\ 4\mathrm{x}+\mathrm{y}=4-2\sqrt{3}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2) ta suy ra $\mathrm{y}=4-2\sqrt{3}-4\mathrm{x}$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Khi x = 1 suy ra $\mathrm{y}=-2\sqrt{3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(1;-2\sqrt{3}\right)$

a) Khi a = -1, ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{x}+6\mathrm{y}=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=11\end{array}\right.\right.$

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

b) Khi a = 0, ta được hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+6\mathrm{y}=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ 3\mathrm{y}=-1\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(2;-\frac{1}{3}\right)$

c) Khi a = 1, ta được hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{x}+6\mathrm{y}=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\end{array}\right.\right. \\ \iff \mathrm{x}+3\mathrm{y}=1 \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn x = 1 – 3y, $\mathrm{y}\in \mathrm{R}$

a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\sqrt{2}\mathrm{x}-\sqrt{3}\mathrm{y}=1\left(1\right)\\ \mathrm{x}+\sqrt{3}\mathrm{y}=\sqrt{2}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2) suy ra $\mathrm{x}=\sqrt{2}-\sqrt{3}\mathrm{y}$. Thay vào phương trình (1) ta có

Khi $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}$ thay vào (2) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(1;\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\right)$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-2\sqrt{2}\mathrm{y}=\sqrt{5}\left(1\right)\\ \sqrt{2}\mathrm{x}+\mathrm{y}=1-\sqrt{10}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) suy ra $\mathrm{x}=\sqrt{5}+2\sqrt{2}\mathrm{y}$ thay vào phương trình (2) ta có

Khi $\mathrm{y}=\frac{1-2\sqrt{10}}{5}$ thay vào (1) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5};\frac{1-2\sqrt{10}}{5}\right)$

c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{x}-\mathrm{y}=\sqrt{2}\left(1\right)\\ \mathrm{x}+\left(\sqrt{2}+1\right)\mathrm{y}=1 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta suy ra $\mathrm{y}=\left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{2}$. Thay vào phương trình (2) ta có:

Khi $\mathrm{x}=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$ thay vào (2) ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2}\right)$

a) Do (1;-2) là nghiệm của hệ phương trình nên:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2-2\mathrm{b}=-4\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{a}=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với a = - 4 và b = 3 thỏa mãn bài toán.

b) Do là nghiệm của hệ phương trình nên

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2\left(\sqrt{2}-1\right)+\sqrt{2}\mathrm{b}=-4\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}+\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\sqrt{2}\mathrm{b}=-2-2\sqrt{2}\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}-\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right.$ thỏa mãn đề bài.

a) Khi m = 2 hệ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-2\\ 4\mathrm{x}-6\mathrm{y}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-2\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(0;-\frac{2}{3}\right)$

b) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mx}+3\mathrm{y}=-2\left(1\right)\\ {\mathrm{m}}^2\mathrm{x}-6\mathrm{y}=4\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) suy ra $3\mathrm{y}=-2-\mathrm{mx}\iff \mathrm{y}=-\frac{1}{3}\left(2+\mathrm{mx}\right)$. Thay vào phương trình (2) ta có:

${\mathrm{m}}^2\mathrm{x}+6.\frac{1}{3}\left(2+\mathrm{mx}\right)=4$

$\iff \left({\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}\right)\mathrm{x}=0$ (3)

Để hệ phương trình vô số nghiệm khi (3) vô số nghiệm.

Khi đó 

$$\begin{gathered} {\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}=0\iff \mathrm{m}\left(\mathrm{m}+2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{m}=0\\ \mathrm{m}=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với m = 0 và m = -2 hệ có vô số nghiệm.

a) Từ phương trình (1) suy ra y = -x + 1. Thay vào (2) ta có:

Dể hệ phương trình vô số nghiệm khi phương trình (3) vô số nghiệm, suy ra $\mathrm{m}-2=0\iff \mathrm{m}=2$

b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (3) có nghiệm duy nhất

Do đó  $\mathrm{m}-2\ne 0\iff \mathrm{m}\ne 2$

Vậy $\mathrm{m}\ne 2$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Khi $\mathrm{m}\ne 2$ ta có (3) $\iff \mathrm{x}=1$. Thay vào (1) suy ra y = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;0)

a) Từ phương trình (2) suy ra $\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{m}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Khi $\mathrm{x}=\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}$ thay vào (3) ta được: $\mathrm{y}=\mathrm{m}.\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}+\mathrm{m}\iff \mathrm{y}=\frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}$

Vậy với mọi giá trị của m hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2};\frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}\right)$

b) Để thỏa mãn bài toán khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}>0\\ \frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}1-{\mathrm{m}}^2>0\\ 2\mathrm{m}>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{m}}^2<1\\ \mathrm{m}>0\end{array}\right.\iff 0<\mathrm{m}<1 \end{gathered}$$

Vậy với 0 < m < 1 hệ có nghiệm thỏa mãn bài toán.

Xét phương trình (1), ta có (1) $\iff \mathrm{x}=\frac{2\mathrm{y}}{3}$. Thay vào phương trình (2) ta có:

Khi y = 6 suy ra x = 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (4;6).

- Nếu $\mathrm{x}\ge 0$ hệ phương trình trở thành:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}-\mathrm{x}=1\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}-\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=3\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

So sánh với điều kiện thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2;3).

- Nếu x < 0 hệ phương trình trở thành

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}+\mathrm{x}=1\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}-\mathrm{x}=1\\ 3\mathrm{x}=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=\frac{5}{3}\\ \mathrm{x}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

So sánh với điều kiện không thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;3).

Xét phương trình (1) ta có $\left(1\right)\iff \mathrm{y}=4-2\mathrm{x}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (2) ta có:

- Khi x = 1 thay vào (3) suy ra y = 2.

- Khi $\mathrm{x}=\frac{11}{5}$ thay vào (3) suy ra $\mathrm{y}=-\frac{2}{5}$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1;2) và $\left(\frac{11}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

Do giả thiết đa thức P(x) chia hết cho x + 1 nên ta có:

$\mathrm{P}(-1)=0\iff -\mathrm{m}+\left(\mathrm{m}-2\right)+\left(3\mathrm{n}-5\right)-4\mathrm{n}=0$

$\iff -\mathrm{n}-7=0\iff \mathrm{n}=-7\left(1\right)$

Lập luận tương tự ta có:

$\mathrm{P}\left(3\right)=0\iff 27\mathrm{m}+9\left(\mathrm{m}-2\right)-3\left(3\mathrm{n}-5\right)-4\mathrm{n}=0$

$\iff 36\mathrm{m}-13\mathrm{n}-3=0\left(2\right)$

Thay (1) vào (2) ta có:

$36\mathrm{m}+91-3=0\iff \mathrm{m}=-\frac{22}{9}$

Vậy với $\mathrm{m}=-\frac{22}{9},\mathrm{n}=-7$ thỏa mãn bài toán.

Đặt $\mathrm{u}={\mathrm{x}}^2$, điều kiện $\mathrm{u}\ge 0$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{u}+3\mathrm{y}=17\left(1\right)\\ 3\mathrm{u}-2\mathrm{y}=6\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) suy ra $2\mathrm{u}=17-3\mathrm{y}\iff \mathrm{u}=\frac{17-3\mathrm{y}}{2}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (2) ta được

Khi y = 3 thay vào (3) suy ra u = 4.

Khi u = 4 suy ra ${\mathrm{x}}^2=4\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=-2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2;3) và (-2;3).

Để hệ phương trình xác định khi $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}\ge 0\\ 3\mathrm{x}-1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}\ge -3\mathrm{y}\\ \mathrm{x}\ge \frac{1}{3}\end{array}\right.$(*)

Với điều kiện (*) ta có

Từ phương trình (2) suy ra $\mathrm{y}=5\mathrm{x}-9\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta được:

Khi x = 2 thay vào (3) suy ra y = 1. So sánh với điều kiện (*) thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2;1).

Hệ phương trình xác định khi $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-1\ne 0\\ \mathrm{y}-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}\ne 1\\ \mathrm{y}\ne 2\end{array}\right.$ (*)

Với điều kiện (*) ta đặt $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=\frac{1}{\mathrm{x}-1}\\ \mathrm{v}=\frac{1}{\mathrm{y}-2}\end{array}\right.$, khi đó hệ phương trình trở thành

Khi $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=2\\ \mathrm{v}=-1\end{array}\right.$ suy ra

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\mathrm{x}-1}=2\\ \frac{1}{\mathrm{y}-2}=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-1=\frac{1}{2}\\ \mathrm{y}-2=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{3}{2}\\ \mathrm{y}=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

So sánh với điều kiện (*) thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{3}{2};1\right)$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=\left|\mathrm{x}-1\right|\\ \mathrm{v}=\left|\mathrm{y}-1\right|\end{array}\right.$, điều kiện $\mathrm{u},\mathrm{v}\ge 0$

Khi đó hệ phương trình trở thành:

So sánh với điều kiện thỏa mãn.

Khi u = 1 suy ra

$$\begin{gathered} \left|\mathrm{x}-1\right|=1\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}-1=1\\ \mathrm{x}-1=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi v = 1 suy ra

$$\begin{gathered} \left|\mathrm{y}-1\right|=1\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{y}-1=1\\ \mathrm{y}-1=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{y}=2\\ \mathrm{y}=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là $\left(2;2\right);\left(2;0\right);\left(0;2\right);\left(0;0\right)$

Để hệ phươngtrình xác định khi $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-1\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}\ge 1\\ \mathrm{y}\ge 0\end{array}\right.$(*)

Với điều kiện (*) ta đặt  $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=\sqrt{\mathrm{x}-1}\\ \mathrm{v}=\sqrt{\mathrm{y}}\end{array}\right.$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{u}+2\mathrm{v}=13\left(1\right)\\ 2\mathrm{u}-\mathrm{v}=4\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (2) ta suy ra $\mathrm{v}=2\mathrm{u}-4\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta có

Khi u = 3 thay vào (3) suy ra v = 2.

Khi $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=3\\ \mathrm{v}=2\end{array}\right.$ ta suy ra $\left\{\begin{array}{c}\sqrt{\mathrm{x}-1}=3\\ \sqrt{\mathrm{y}}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-1=9\\ \mathrm{y}=4\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=10\\ \mathrm{y}=4\end{array}\right.$

So sánh với điều kiện (*) thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (10;4).

Xét hệ phương trình (I) ta có:

Suy ra hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất là (3;0)

Để thỏa mãn bài toán khi (3; 0) là nghiệm của hệ (II) do đó: $\left\{\begin{array}{c}2.3-0=6\\ 0=\mathrm{m}\end{array}\right.\iff \mathrm{m}=0$

Khi m = 0 hệ phương trình (II) trở thành $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=6\\ \mathrm{y}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{y}=0\end{array}\right.$

Vậy với m = 0 hai hệ phương trình tương đương.

Để thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{mx}-1=0\\ {\mathrm{mx}}^2-\mathrm{x}+2=0\end{array}\right.$ (*)

Có nghiệm

Đặt $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$, điều kiện $\mathrm{y}\ge 0$

Khi đó hệ phương trình (*) trở thành $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mx}+2\mathrm{y}-1=0\left(1\right)\\ -\mathrm{x}+\mathrm{my}+2=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (2) suy ra $\mathrm{x}=\mathrm{my}+2\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay $\mathrm{y}=\frac{1-2\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+2}$ vào (3) ta có

So sánh với điều kiện suy ra $1-2\mathrm{m}\ge 0\iff \mathrm{m}\le \frac{1}{2}$

Do $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$ nên ${\left(\frac{\mathrm{m}+4}{{\mathrm{m}}^2+2}\right)}^2=\frac{1-2\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+2}$ $\iff {\left(\mathrm{m}+4\right)}^2=\left(1-2\mathrm{m}\right)\left({\mathrm{m}}^2+2\right)$

Do ${\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}+1={\left(\mathrm{m}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall \mathrm{m}$ nên (3) $\iff \mathrm{m}+1=0\iff \mathrm{m}=-1$ 

So sánh với điều kiện thỏa mãn.

Vậy m = -1 hai phương trình có nghiệm chung.

a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=1\left(1\right)\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=-4\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (2) ta suy ra $\mathrm{y}=-2\mathrm{x}-4\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta được:

Thay vào (3) ta có y = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\left(-3;2\right)$

Vẽ đồ thị hai hàm số $\mathrm{y}=-2\mathrm{x}-4$và $\mathrm{y}=\frac{1}{5}\left(1-3\mathrm{x}\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-6\left(1\right)\\ -4\mathrm{x}-6\mathrm{y}=12\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (1) ta suy ra $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+6}{3}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay vào (3) ta có y = 0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\left(-3;0\right)$

Vẽ đồ thị hai hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3}\left(2\mathrm{x}+6\right)$ và $\mathrm{y}=\frac{1}{3}\left(-2\mathrm{x}-6\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=6\left(1\right)\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=12\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (1) ta suy ra $\mathrm{y}=6-\mathrm{x}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay vào (3) ta có y = 0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\left(6;0\right)$

Vẽ đồ thị hai hàm số $\mathrm{y}=6-\mathrm{x}$và $\mathrm{y}=\frac{1}{3}\left(2\mathrm{x}-12\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

d) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{y}=11\left(1\right)\\ 5\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (1) ta suy ra $\mathrm{y}=11-2\mathrm{x}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay vào (3) ta có x = 3.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\left(3;4\right)$

Vẽ đồ thị hai hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{2}\left(11-\mathrm{x}\right)$ và $\mathrm{y}=\frac{1}{3}\left(5\mathrm{x}-3\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

a) Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=-4\\ 12\mathrm{x}+16\mathrm{y}-5=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=-4\\ 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=\frac{5}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

b) Ta có

Dễ thấy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-1;-6)

c) Ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (16;18).

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A (1;2) nên 2 = a + b (1)

Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên 1 = b (2)

Thay (2) vào (1) suy ra $\mathrm{a}+1=2\iff \mathrm{a}=1$

Vậy hàm số là y = x + 1.

a) Do đường thẳng đi qua A (0; 3) và B (1; 2) suy ra phương trình có dạng y = ax + b

khi đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{a}+\mathrm{b}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{a}=-1\end{array}\right.$

vậy phương trình đường thẳng là $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+3\iff \mathrm{x}+\mathrm{y}=3$

b) Do đường thẳng đi qua A (1; 6) và B (2; 0) suy ra phương trình có dạng y = ax + b

khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}+\mathrm{b}=6\\ 2\mathrm{a}+\mathrm{b}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}+\mathrm{b}=6\\ \mathrm{a}=-6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=12\\ \mathrm{a}=-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

vậy phương trình đường thẳng là $\mathrm{y}=-6\mathrm{x}+12\iff 6\mathrm{x}+\mathrm{y}=12$

c) Do đường thẳng đi qua A (-3; 14) và B (2; - 1) suy ra phương trình có dạng y = ax + b

khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}-3\mathrm{a}+\mathrm{b}=14\\ 2\mathrm{a}+\mathrm{b}=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}5\mathrm{a}=-15\\ 2\mathrm{a}+\mathrm{b}=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}=-3\\ \mathrm{b}=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

vậy phương trình đường thẳng là $\mathrm{y}=-3\mathrm{x}+5\iff 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=5$

a) Khi m = 2 hệ phương trình trở thành

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; 4)

b) Xét phương trình (1) suy ra $\mathrm{x}=11-\mathrm{my}$. Thay vào phương trình (2) ta có

- Nếu $5\mathrm{m}+3=0\iff \mathrm{m}=-\frac{3}{5}$ phương trình (3) trở thành $0.\mathrm{y}=\frac{273}{5}$

Dễ thấy phương trình vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm.

- Nếu $5\mathrm{m}+3\ne 0\iff \mathrm{m}\ne -\frac{3}{5}$ thì (3) có nghiệm duy nhất suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi $\mathrm{m}\ne -\frac{3}{5}$

a) Khi m = 2 hệ trở thành

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (11; - 13).

b) Xét phương trình (1) suy ra

$5\mathrm{y}=1-3\mathrm{mx}\iff \mathrm{y}=\frac{1-3\mathrm{mx}}{5}$

Thay vào phương trình (2) ta có:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất

Khi đó $3{\mathrm{m}}^2-10\ne \iff {\mathrm{m}}^2\ne \frac{10}{3}$$\iff \mathrm{m}\ne \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$

Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi $\mathrm{m}\ne \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$

a) Xét phương trình (1) suy ra x = m + 3y.

Thay vào phương trình (2) ta có:

Để hệ phương trình có vô số nghiệm khi phương trình (3) có vô số nghiệm suy ra m = 4.

Vậy với m = 4 thỏa mãn bài toán.

Theo kết quả trên để hệ phương trình vô nghiệm khi $\mathrm{m}\ne 4$

a) Xét phương trình (2) suy ra y = m – 2x.

Thay vào phương trình (1) ta có:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất.

Suy ra $\mathrm{m}-4\ne 0\iff \mathrm{m}\ne 4$.

Vậy với $\mathrm{m}\ne 4$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Nếu $\text{m−4=0⇔m=4}$ thì phương trình (3) trở thành 0.x = - 3

Dễ thấy phương trình vô nghiệm suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

Theo kết quả trên khi $\mathrm{m}\ne 4$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy không tồn tại giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) Theo kết quả trên để hệ phương trình vô nghiệm khi m = 4.

a) Xét phương trình (1) suy ra x = m + my (3)

Thay vào phương trình (2) ta có:

Do ${\mathrm{m}}^2+1>0\forall \mathrm{m}$ nên phương trình (4) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

Khi đó $\left({\mathrm{m}}^2+1\right)\mathrm{y}=1-{\mathrm{m}}^2\iff \mathrm{y}=\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{m}}^2+1}$

Do đó hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Theo kết quả trên ta có $\mathrm{y}=\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{m}}^2+1}$ thay vào (3) ta được:

Do đó hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left(\frac{2\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+1};\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{m}}^2+1}\right)$

Để thỏa mãn bài toán khi

a) Xét hệ phương trình

Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là (5; 3)

Để thỏa mãn bài toán suy ra (5; 3) là nghiệm của hệ (*).

Thay vào (*) suy ra m = 4.

Khi m = 4 hệ (*) trở thành

Vậy hệ (*) có nghiệm duy nhất (5; 3). Do đó m = 4 thỏa mãn.

b) Tương tự ta suy ra (5; 3) là nghiệm của hệ (**)

Do đó

Khi m = 2 hệ phương trình (**) trở thành $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-2\mathrm{y}=4\\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=9\end{array}\right.$

Dựa vào kết quả trên suy ra m = 2 thỏa mãn.

a) Ta có:

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1; 1) và $\left(\frac{7}{5};\frac{3}{5}\right)$

b) Ta có:

$\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-1\\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{4}{5}\\ \mathrm{x}=\frac{2}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{4}{5}\\ \mathrm{y}=\frac{3}{5}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{y}=\frac{1}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là $\left(\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$ và $\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$

c) Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{x}-\mathrm{y}\right|=12\mathrm{y}-11\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\left|\mathrm{x}-\mathrm{y}\right|=12\mathrm{y}-11\\ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là $\left(\frac{22}{23};\frac{21}{23}\right)$ và $\left(\frac{24}{25};\frac{23}{25}\right)$

a) Nếu $\mathrm{y}\ge 0$ hệ trở thành

Xét phương trình (1) ta có:

Khi x = 2 thay vào (2) suy ra $3-\mathrm{y}=0\iff \mathrm{y}=3$

So sánh điều kiện suy ra (2; 3) là nghiệm của hệ phương trình.

- Nếu y < 0 hệ trở thành

Xét phương trình (3) ta có:

Khi x = 0 thay vào (4) suy ra $-\mathrm{y}-1=0\iff \mathrm{y}=-1$ so sánh điều kiện suy ra (0; - 1) là nghiệm của hệ phương trình.

b) Nếu $\mathrm{x}\ge 0$ hệ trở thành

Xét phương trình (1’) ta có

+ khi y = -1 thay vào (2’) suy ra $7\mathrm{x}-5=2\iff \mathrm{x}=1$

+ khi $\mathrm{y}=\frac{19}{9}$ thay vào (2’) suy ra $7\mathrm{x}+\frac{95}{9}=2\iff \mathrm{x}=-\frac{11}{9}$

So sánh điều kiện suy ra (1; -1) là nghiệm của hệ phương trình.

- Nếu x < 0 hệ trở thành

Xét phương trình (3') ta có

Khi $\mathrm{y}=\frac{23}{6}$ thay vào (4’)  suy ra $7\mathrm{x}+\frac{115}{6}=2\iff \mathrm{x}=-\frac{113}{42}$

So sánh điều kiện suy ra $\left(-\frac{113}{42};\frac{23}{6}\right)$ là nghiệm của hệ phương trình.

Bài toán thỏa mãn khi hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{mx}}^2+\mathrm{x}+1=0\\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{mx}+1=0\end{array}\right.$ có nghiệm

Mà

- Khi $\text{m−1=0⇔m=1}$ thay vào (*) suy ra ${\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1=0$. Dễ thấy phương trình vô nghiệm.

- Khi ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=1\end{array}\right.$

+ Khi x = 0 thay vào (*) không thỏa mãn

+ Khi x = 1 thay vào (*) suy ra $\mathrm{m}+2=0\iff \mathrm{m}=-2$

Giá trị của m = -2.