Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có đáp án

Xét phương trình (2) của hệ, ta biến đổi y = -2x -1

5x + 3y = 1

<=> 5x + 3(-2x-1) = 1

<=> x = -4

Thay x = -4 vào (1) ta được:

y = -2.(-4)-1 = 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-4;7)

a) Giải hệ phương trình x+5y=0              (1)5x+3y=1−5   (2)

Xét phương trình (1) suy ra x=−5y. Thay vào (2) ta có:

Khi y=5−12 ⇒x=−5.5−12⇒x=5−52

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 5−52;5−12

b) Giải hệ phương trình 2−3x−3y=2+53   (1)4x+y=4−23                (2)

Từ phương trình (2) ta suy ra y=4−23−4x. Thay vào phương trình (1) ta có:

Khi x = 1 suy ra y=−23

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;−23

a) Khi a = -1, ta được hệ phương trình x+3y=12x+6y=−2⇔x+3y=1x+3y=11

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

b) Khi a = 0, ta được hệ phương trình

x+3y=1x+6y=0⇔x+3y=13y=−1⇔x=2y=−13

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 2;−13

c) Khi a = 1, ta được hệ phương trình

x+3y=12x+6y=2⇔x+3y=1x+3y=1⇔x+3y=1

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn x = 1 – 3y, y∈R

a) Giải hệ phương trình 2x−3y=1   (1)x+3y=2   (2)

Từ phương trình (2) suy ra x=2−3y. Thay vào phương trình (1) ta có

Khi y=6−33 thay vào (2) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;6−33

b) Giải hệ phương trình x−22y=5        (1)2x+y=1−10   (2)

Từ phương trình (1) suy ra x=5+22y thay vào phương trình (2) ta có

Khi y=1−2105 thay vào (1) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 22−355;1−2105

c) Giải hệ phương trình 2−1x−y=2   (1)x+2+1y=1       (2)

Từ phương trình (1) ta suy ra y=2−1x−2. Thay vào phương trình (2) ta có:

Khi x=3+22 thay vào (2) ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y=3+22;−12

a) Do (1;-2) là nghiệm của hệ phương trình nên:

2−2b=−4b+2a=−5⇔b=3b+2a=−5⇔b=3a=−4

Vậy với a = - 4 và b = 3 thỏa mãn bài toán.

b) Do là nghiệm của hệ phương trình nên

22−1+2b=−42−1b+2a=−5⇔2b=−2−222−1b−2a=−5⇔b=−2−2a=52−22

Vậy với b=−2−2a=52−22 thỏa mãn đề bài.

a) Khi m = 2 hệ phương trình trở thành:

2x+3y=−24x−6y=4⇔2x+3y=−22x−3y=2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 0;−23

b) Xét hệ phương trình mx+3y=−2  (1)m2x−6y=4   (2)

Từ phương trình (1) suy ra 3y=−2−mx⇔y=−132+mx. Thay vào phương trình (2) ta có:

m2x+6.132+mx=4

⇔m2+2mx=0 (3)

Để hệ phương trình vô số nghiệm khi (3) vô số nghiệm.

Khi đó 

m2+2m=0⇔mm+2=0⇔m=0m=−2

Vậy với m = 0 và m = -2 hệ có vô số nghiệm.

a) Từ phương trình (1) suy ra y = -x + 1. Thay vào (2) ta có:

Dể hệ phương trình vô số nghiệm khi phương trình (3) vô số nghiệm, suy ra m−2=0⇔m=2

b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (3) có nghiệm duy nhất

Do đó  m−2≠0⇔m≠2

Vậy m≠2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Khi m≠2 ta có (3) ⇔x=1. Thay vào (1) suy ra y = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;0)

a) Từ phương trình (2) suy ra y=mx+m   (3). Thay vào phương trình (1) ta có:

Khi x=1−m21+m2 thay vào (3) ta được: y=m.1−m21+m2+m⇔y=2m1+m2

Vậy với mọi giá trị của m hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1−m21+m2;2m1+m2

b) Để thỏa mãn bài toán khi

1−m21+m2>02m1+m2>0⇔1−m2>02m>0⇔m2<1m>0⇔0<m<1

Vậy với 0 < m < 1 hệ có nghiệm thỏa mãn bài toán.

Xét phương trình (1), ta có (1) ⇔x=2y3. Thay vào phương trình (2) ta có:

Khi y = 6 suy ra x = 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (4;6).

- Nếu x≥0 hệ phương trình trở thành:

y−x=12x−y=1⇔y−x=1x=2⇔y=3x=2

So sánh với điều kiện thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2;3).

- Nếu x < 0 hệ phương trình trở thành

y+x=12x−y=1⇔y−x=13x=2⇔y=53x=23

So sánh với điều kiện không thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;3).

Xét phương trình (1) ta có 1⇔y=4−2x   (3). Thay vào phương trình (2) ta có:

- Khi x = 1 thay vào (3) suy ra y = 2.

- Khi x=115 thay vào (3) suy ra y=−25

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1;2) và 115;−25.

Do giả thiết đa thức P(x) chia hết cho x + 1 nên ta có:

P(−1)=0⇔−m+m−2+3n−5−4n=0

⇔−n−7=0⇔n=−7   (1)

Lập luận tương tự ta có:

P(3)=0⇔27m+9m−2−33n−5−4n=0

⇔36m−13n−3=0   (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

36m+91−3=0⇔m=−229

Vậy với m=−229,n=−7 thỏa mãn bài toán.

Đặt u=x2, điều kiện u≥0

Khi đó hệ phương trình trở thành 2u+3y=17   (1)3u−2y=6     (2)

Từ phương trình (1) suy ra 2u=17−3y⇔u=17−3y2   (3). Thay vào phương trình (2) ta được

Khi y = 3 thay vào (3) suy ra u = 4.

Khi u = 4 suy ra x2=4⇔x=2x=−2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2;3) và (-2;3).

Để hệ phương trình xác định khi x+3y≥03x−1≥0⇔x≥−3yx≥13(*)

Với điều kiện (*) ta có

Từ phương trình (2) suy ra y=5x−9   (3). Thay vào phương trình (1) ta được:

Khi x = 2 thay vào (3) suy ra y = 1. So sánh với điều kiện (*) thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2;1).

Hệ phương trình xác định khi x−1≠0y−2≠0⇔x≠1y≠2 (*)

Với điều kiện (*) ta đặt u=1x−1v=1y−2, khi đó hệ phương trình trở thành

Khi u=2v=−1 suy ra

1x−1=21y−2=−1⇔x−1=12y−2=−1⇔x=32y=1

So sánh với điều kiện (*) thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 32;1

Đặt u=x−1v=y−1, điều kiện u,v≥0

Khi đó hệ phương trình trở thành:

So sánh với điều kiện thỏa mãn.

Khi u = 1 suy ra

x−1=1⇔x−1=1x−1=−1⇔x=2x=0

Khi v = 1 suy ra

y−1=1⇔y−1=1y−1=−1⇔y=2y=0

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là 2;2;2;0;0;2;0;0

Để hệ phươngtrình xác định khi x−1≥0y≥0⇔x≥1y≥0(*)

Với điều kiện (*) ta đặt  u=x−1v=y

Khi đó hệ phương trình trở thành 3u+2v=13   (1)2u−v=4   (2)

Xét phương trình (2) ta suy ra v=2u−4   (3). Thay vào phương trình (1) ta có

Khi u = 3 thay vào (3) suy ra v = 2.

Khi u=3v=2 ta suy ra x−1=3y=2⇔x−1=9y=4 ⇔x=10y=4

So sánh với điều kiện (*) thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (10;4).

Xét hệ phương trình (I) ta có:

Suy ra hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất là (3;0)

Để thỏa mãn bài toán khi (3; 0) là nghiệm của hệ (II) do đó: 2.3−0=60=m⇔m=0

Khi m = 0 hệ phương trình (II) trở thành 2x−y=6y=0⇔x=3y=0

Vậy với m = 0 hai hệ phương trình tương đương.

Để thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi hệ phương trình:

2x2+mx−1=0mx2−x+2=0 (*)

Có nghiệm

Đặt y=x2, điều kiện y≥0

Khi đó hệ phương trình (*) trở thành mx+2y−1=0   (1)−x+my+2=0   (2)

Xét phương trình (2) suy ra x=my+2   (3). Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay y=1−2mm2+2 vào (3) ta có

So sánh với điều kiện suy ra 1−2m≥0⇔m≤12

Do y=x2 nên m+4m2+22=1−2mm2+2 ⇔m+42=1−2mm2+2

Do m2−m+1=m−122+34>0∀m nên (3) ⇔m+1=0⇔m=−1 

So sánh với điều kiện thỏa mãn.

Vậy m = -1 hai phương trình có nghiệm chung.

a) Giải hệ phương trình 3x+5y=1   (1)2x+y=−4   (2)

Xét phương trình (2) ta suy ra y=−2x−4   (3). Thay vào phương trình (1) ta được:

Thay vào (3) ta có y = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất −3;2

Vẽ đồ thị hai hàm số y=−2x−4  và y=151−3x trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

b) Giải hệ phương trình 2x−3y=−6   (1)−4x−6y=12   (2)

Xét phương trình (1) ta suy ra y=2x+63   (3). Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay vào (3) ta có y = 0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất −3;0

Vẽ đồ thị hai hàm số y=132x+6 và y=13−2x−6 trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

c) Giải hệ phương trình x+y=6   (1)2x−3y=12   (2)

Xét phương trình (1) ta suy ra y=6−x   (3). Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay vào (3) ta có y = 0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 6;0

Vẽ đồ thị hai hàm số y=6−x   và y=132x−12 trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

d) Giải hệ phương trình x+2y=11   (1)5x−3y=3   (2)

Xét phương trình (1) ta suy ra y=11−2x   (3). Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay vào (3) ta có x = 3.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3;4

Vẽ đồ thị hai hàm số y=1211−x và y=135x−3 trên cùng hệ trục tọa độ

Ta có

a) Ta có

3x+4y=−412x+16y−5=0⇔3x+4y=−43x+4y=54

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

b) Ta có

Dễ thấy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-1;-6)

c) Ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (16;18).

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A (1;2) nên 2 = a + b (1)

Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên 1 = b (2)

Thay (2) vào (1) suy ra a+1=2⇔a=1

Vậy hàm số là y = x + 1.

a) Do đường thẳng đi qua A (0; 3) và B (1; 2) suy ra phương trình có dạng y = ax + b

khi đó ta có hệ phương trình b=3a+b=2⇔b=3a=−1

vậy phương trình đường thẳng là y=−x+3⇔x+y=3

b) Do đường thẳng đi qua A (1; 6) và B (2; 0) suy ra phương trình có dạng y = ax + b

khi đó ta có hệ phương trình

a+b=62a+b=0⇔a+b=6a=−6⇔b=12a=−6

vậy phương trình đường thẳng là y=−6x+12⇔6x+y=12

c) Do đường thẳng đi qua A (-3; 14) và B (2; - 1) suy ra phương trình có dạng y = ax + b

khi đó ta có hệ phương trình

−3a+b=142a+b=−1⇔5a=−152a+b=−1⇔a=−3b=5

vậy phương trình đường thẳng là y=−3x+5⇔3x+y=5

a) Khi m = 2 hệ phương trình trở thành

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; 4)

b) Xét phương trình (1) suy ra x=11−my. Thay vào phương trình (2) ta có

- Nếu 5m+3=0⇔m=−35 phương trình (3) trở thành 0.y=2735

Dễ thấy phương trình vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm.

- Nếu 5m+3≠0⇔m≠−35 thì (3) có nghiệm duy nhất suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi m≠−35

a) Khi m = 2 hệ trở thành

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (11; - 13).

b) Xét phương trình (1) suy ra

5y=1−3mx⇔y=1−3mx5

Thay vào phương trình (2) ta có:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất

Khi đó 3m2−10≠⇔m2≠103⇔m≠±103

Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi m≠±103

a) Xét phương trình (1) suy ra x = m + 3y.

Thay vào phương trình (2) ta có:

Để hệ phương trình có vô số nghiệm khi phương trình (3) có vô số nghiệm suy ra m = 4.

Vậy với m = 4 thỏa mãn bài toán.

Theo kết quả trên để hệ phương trình vô nghiệm khi m≠4

a) Xét phương trình (2) suy ra y = m – 2x.

Thay vào phương trình (1) ta có:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất.

Suy ra m−4≠0⇔m≠4.

Vậy với m≠4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Nếu m−4=0⇔m=4 thì phương trình (3) trở thành 0.x = - 3

Dễ thấy phương trình vô nghiệm suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

Theo kết quả trên khi m≠4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy không tồn tại giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) Theo kết quả trên để hệ phương trình vô nghiệm khi m = 4.

a) Xét phương trình (1) suy ra x = m + my (3)

Thay vào phương trình (2) ta có:

Do m2+1>0∀m nên phương trình (4) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

Khi đó m2+1y=1−m2⇔y=1−m2m2+1

Do đó hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Theo kết quả trên ta có y=1−m2m2+1 thay vào (3) ta được:

Do đó hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất 2mm2+1;1−m2m2+1

Để thỏa mãn bài toán khi

a) Xét hệ phương trình

Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là (5; 3)

Để thỏa mãn bài toán suy ra (5; 3) là nghiệm của hệ (*).

Thay vào (*) suy ra m = 4.

Khi m = 4 hệ (*) trở thành

Vậy hệ (*) có nghiệm duy nhất (5; 3). Do đó m = 4 thỏa mãn.

b) Tương tự ta suy ra (5; 3) là nghiệm của hệ (**)

Do đó

Khi m = 2 hệ phương trình (**) trở thành 2x−2y=43x−2y=9

Dựa vào kết quả trên suy ra m = 2 thỏa mãn.

a) Ta có:

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1; 1) và 75;35

b) Ta có:

⇔y=2x−1x=45x=23⇔x=45y=35x=23y=13

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là 45;35 và 23;13

c) Ta có:

x−y=12y−112x−y=1⇔x−y=12y−11y=2x−1

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là 2223;2123 và 2425;2325

a) Nếu y≥0 hệ trở thành

Xét phương trình (1) ta có:

Khi x = 2 thay vào (2) suy ra 3−y=0⇔y=3

So sánh điều kiện suy ra (2; 3) là nghiệm của hệ phương trình.

- Nếu y < 0 hệ trở thành

Xét phương trình (3) ta có:

Khi x = 0 thay vào (4) suy ra −y−1=0⇔y=−1 so sánh điều kiện suy ra (0; - 1) là nghiệm của hệ phương trình.

b) Nếu x≥0 hệ trở thành

Xét phương trình (1’) ta có

+ khi y = -1 thay vào (2’) suy ra 7x−5=2⇔x=1

+ khi y=199 thay vào (2’) suy ra 7x+959=2⇔x=−119

So sánh điều kiện suy ra (1; -1) là nghiệm của hệ phương trình.

- Nếu x < 0 hệ trở thành

Xét phương trình (3') ta có

Khi y=236 thay vào (4’)  suy ra 7x+1156=2⇔x=−11342

So sánh điều kiện suy ra −11342;236 là nghiệm của hệ phương trình.

Bài toán thỏa mãn khi hệ phương trình mx2+x+1=0x2+mx+1=0 có nghiệm

Mà

- Khi m−1=0⇔m=1 thay vào (*) suy ra x2+x+1=0. Dễ thấy phương trình vô nghiệm.

- Khi x2−x=0⇔x=0x=1

+ Khi x = 0 thay vào (*) không thỏa mãn

+ Khi x = 1 thay vào (*) suy ra m+2=0⇔m=−2

Giá trị của m = -2.