Bài tập Phương pháp quy về phương trình bậc hai có đáp án

a) Ta có:

- Giải (1) ta được

3x2−5x+1=0⇔x=5+136x=5−136

- Giải (2) ta được: x2-4=0⇔x=±2

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

b) Ta có:

a) Ta có:

Vậy phương trình có 4 nghiệm,

b) Ta có:

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Đặt x2=t≥0, ta được

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

a) Đặt x2-2x=t. Ta được 2t2+3t+1=0

- Với t = -1 => x2-2x+1=0⇔x=1

- Với t=-12 => 2x2-4x+1=0⇔x=2±22

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

b) Đặt x+1x=t. Ta được t2-4t+3=0

- Với t = 1 => x+1x=1⇔x2-x+1=0 (vô nghiệm)

- Với t = 3 => x+1x=3⇔x2-3x+1=0⇔x=3±52

Vậy phương trình có hai nghiệm.

a) Đặt x2+x=t, ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm.

b) Đặt x2-4x+2=t, ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm.

c) Đặt x=t≥0, ta được

Vậy phương trình có một nghiệm.

d) Điều kiện x≠0,x≠-1

Đặt xx+1=t≠0, ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm.

a) Điều kiện x≠0,x≠2

Ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm.

b) Điều kiện x≠±13

Ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm.

a) Tập xác định: x≠5;x≠2

Ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm.

b) Tập xác định: x≠-1;x≠-2. Biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có một nghiệm.

Điều kiện x2-2x+2≠0x2+3x+2≠0⇔x≠-1x≠-2 (*)

Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của VT của phương trình cho x≠0, ta được

Đặt t=x+2x, khi đó phương trình được chuyển về dạng

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Điều kiện x+2≠0⇔x≠-2. Viết lại phương trình dưới dạng

Đặt t=x2x+2, khi đó phương trình được chuyển về dạng 

- Với t = 1, ta được:

x2x+2=1⇔x2=x+2⇔x2−x−2=0⇔x=−1x=2

- Với t = -5, ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = 2.

a) Nhận xét rằng a + b + c + d = 0, do đó phương trình có nghiệm x = 1.

Biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x = 1; x=12; x=-2

b) Nhận xét rằng a - b + c - d = 0 do đó phương trình có nghiệm x = -1.

Biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

a) Ta có:

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

b) Ta có

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

a) Nhận xét rằng a = 3 có ước là ±1;±3 và d = 2 có ước là  do đó phương trình nếu có nghiệm hữu tỉ thì chỉ có thể là một trong các giá trị ±1;±2;±13;±23

Nhận thấy x=23 là nghiệm của phương trình. Biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x=23; x=1+3; x=1-3

b) Nhận xét rằng ac3=1.-23=-22=bd3

Do đó phương trình có nghiệm x=-cb=2

Biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Ta có:

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Biến đổi phương trình về dạng

a) Với m = -12, hệ (I) có dạng

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt x = 1, x = 0, x = -24.

b) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

⇔Δg'>0g1≠0⇔m2−m−12>013−m≠0⇔m<−34<m≠13

Vậy với m < -3 hoặc 4<m≠13 phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Viết lại phương trình về dạng:

x3+xm2−3x2+1m+2x=0

Coi m là ẩn, x là tham số, ta được phương trình bậc hai theo m.

Giải ra ta được m=1x hoặc m=2xx2+1

Do đó phương trình được chuyển về dạng

mx−1mx2−2x+m=0⇔mx−1=0fx=mx2−2x+m=0

Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi fx=0 có hai nghiệm phân biệt khác 1m

⇔a≠0Δ'>0f−1m≠0⇔m≠01−m2>0m−1m≠0⇔m≠0m<1

Vậy với m∈−1;1\0 phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Ta có

a) Đặt x2=t≥0. Ta được

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

b) Đặt x2=t≥0. Ta được

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

c) Đặt x2=t≥0. Ta được

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

a) Đặt t=x2 với điều kiện t≥0. Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:

ft=mt2−2m−1t+m−1=02

Ta xét hai trường hợp:

TH1: với m = 0, ta được:

Vậy với m = 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

TH2: với m≠0 thì:

a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

⇔2 có nghiệm t1≤0=t2

⇔S≤0P=0⇔2m−1m≤0m−1m=0

⇔m=1

Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm

Vậy với 0≤m<1 phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Hệ trên vô nghiệm, vậy không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

Vậy m < 0 để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2≠0, ta được:

Đặt t=x+1x, điều kiện t≥2, suy ra x2+1x2=t2−2

Khi đó phương trình có dạng:

t2−12t−3=0⇔t=2t=−32(l)

Với t = 2 ta có 2=x+1x⇔x2−2x+1=0⇔x=1

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Nhạn xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2≠0 ta được:

Đặt t=x−1x, điều kiện t≥2, suy ra x2+1x2=t2+2

Khi đó phương trình có dạng:

Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt x = 2, x=−12, x=−9+974, x=−9−974

Nhận xét rằng x = 0 không là nghiệm phương trình. Chia cả hai vế phương trình cho x2≠0, ta được 2x2+25x2−21x+5x+74=0

Đặt t=x+5x, suy ra x2+25x2=t2−10

Khi đó phương trình có dạng:

2t2−21t+54=0⇔t=6t=92

Với t = 6 ta có 6=x+5x

⇔x2−6x+5=0⇔x=1x=5

Với t=92 ta có x+5x=92

⇔2x2−9x+10=0⇔x=2x=52

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Nhận xét rằng đây không phải là một phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu dặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy.

Thật vậy, đặt y = x – 2, phương trình đươc biến đổi về dạng:

y4+y5y+22−14y+2+13+1=0

⇔y4+5y3+6y2+5y+1=0 (2)

Nhận xét rằng y = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho y2≠o, ta được phương trình tương đương

y2+1y2+5y+1y+6=0

Đặt t=y+1y⇒y2+1y2=t2−2

Khi đó phương trình có dạng:

t2+5t+4=0⇔t=−1t=−4

Với t = -1⇒y+1y=−1⇔y2+y+1=0 vô nghiệm

Với t = -4⇒y+1y=−4⇔y2+4y+1=0

⇔y=−2−3y=−2+3⇒x=−3x=3

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x=−3,x=3.

Nhận xét rằng đây không phải là phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy.

Thật vậy, đặt y = x – 1. Phương trình được biến đổi về dạng:

Nhận xét rằng y = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho y2≠0, ta được phương trình tương đương

y2+1y2+2y−1y−5=0

Đặt t=y−1y⇒y2+1y2=t2+2

Khi đó phương trình có dạng:

t2+2t−3=0⇔t=1t=−3

Với t = -1, ta có y−1y=1⇔y2−y−1=0

⇔y=1+52y=1−52

Với t = -3, ta có y−1y=−3⇔y2+3y+1=0

⇔y=−3+132y=−3−132

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Viết lại phương trình dạng: x2+12x+32x2+12x+35=4

Đặt t=x2+12x+32, suy ra x2+12x+35=t+3

Khi đó, phương trình có dạng:

tt+3=4⇔t2+3t−4=0⇔t=−4t=1

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Viết lại phương trình dạng: 2x2−3x+12x2−3x−9=−9

Đặt t=2x2−3x+1⇒2x2−3x−9=t−10

Khi đó, phương trình có dạng:

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Đặt t=x+4+62=x+5⇒x+4=t−1x+6=t+1

Khi đó, phương trình được chuyển về dạng:

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -3 và x = -7.

Đặt t=x+1+32=x+2⇒x+1=t−1x+3=t+1

Khi đó phương trình (1) được chuyển về dạng:

Đặt u=t2, điều kiện u≥0. Khi đó, phương trình (2) được chuyển về dạng

fu=u2+6u+1−m=0   (3)

a) Với m = 1, phương trình (3) trở thành:

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là (3) có hai nghiệm trái dấu

⇔P<0⇔1−m<0

Vậy với m > 1, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình tương đương với:

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Phương trình tương đương với:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đặt t=x−1, điều kiện t≥0

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = 4

a) Điều kiện x≠±1. Phương trình tương đương với

b) Điều kiện x≠1. Phương trình tương đương với

a) Điều kiện x2−2x≠0⇔xx−2≠0⇔x≠0x≠2

Đặt t=x2−2x, phương trình biến đổi thành:

b) Đặt t=x2−3x+4 với t≠0;±1, phương trình trở thành

a) Điều kiện: 2x2+3x+8≠02x2+7x+8≠0

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x.

Phương trình tương đương với 2x+5+8x2x+3+8x+2x+3+8x2x+7+8x=0

Đặt t=2x+8x+3. Phương trình trở thành:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

b) Phương trình tương đương với 5x+6+9x5x+4+9x+5x+10+9x5x+7+9x=0

Đặt t=5x+9x⇒t≥65. Phương trình trở thành

a) Điều kiện: x≠−5±172x≠5±172

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả tử và mẫu của hai phân thức cho x ta được phương trình trương đương:

Đặt t=x+2x thay vào (1) ta được:

t2−6t+25t2−25=0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Điều kiện x≠3x≠12x≠−3±32

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả tử và mẫu của hai phân thức cho x ta được phương trình tương đương:

Đặt t=2x+3x thay vào (1) ta được:

Với t=−5+210 ta có phương trình

Với t=−5-210 ta có phương trình

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

a) Điều kiện x≠−3

Ta biến đổi phương trình đã cho ta được:

Đặt t=x2x+3, phương trình đã cho trở thành:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

b) Điều kiện x≠−12

Biến đổi phương trình trên ta có:

Đặt t=4x22x+1, phương trình đã cho trở thành

Từ đó suy ra phương trình có hai nghiệm.

a) Điều kiện x≠ax≠b

Khi đó ta có

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chì khi Δ'=a+b2>0⇔a≠−b

Kết hợp với điều kiện suy ra để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì a≠0,b≠0,a≠±b

b) Tương tự phần a, ta suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a và b không đồng thời bằng 0.

a) Điều kiện: x2+5x+2≠0x2−5x+2≠0

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả tử và mẫu của hai phân thức cho x ta được phương trình trương đương:

Đặt t=x+2x thay vào (1) ta được:

t2−6t+25t2−25=0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

b) Điều kiện 2x2−7x+3≠02x2+6x+3≠0

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả tử và mẫu của hai phân thức cho x ta được phương trình tương đương:

Đặt t=2x+3x⇒t≥26 thay vào (1) ta được:

t+1t−7+3t+6=0

⇔t2+10t+27=0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Điều kiện: x≠−12. Phương trình tương đương với:

Đặt t=x22x+1⇒4t2+2t+5=0 (vô nghiệm)

Điều kiện x≠ax≠b

Khi đó

(1) Có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác a,b

a)

b)

Phương trình tương đương với

Phương trình tương đương với

a) Với m = 3 thì (1) ⇔x=−13x2+2x=0⇔x=−1x=0x=−23

b) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt không dương ⇔2 có hai nghiệm phân biệt không dương (x1<x2≤0) khác – 1.

⇔a≠0Δ'>0P≥0S<0g−1≠0⇔m≠04−m>0m−3m≥0−m−2m<01≠0⇔3≤m<4

Ta có

Có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Ta có

a) (1) có 3 nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt dương khác m và m > 0

Δ>0S>0P>0m>0⇔4−3m2>0m>0m2−1>0m>0⇔1<m<23

b) (1) có 3 nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt âm khác m và m < 0

Δ>0S<0P>0m<0⇔4−3m2>0m<0m2−1>0m<0⇔−23<m<−1

Phương trình tương đương với

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm x = - m hoặc (2) có nghiệm kép khác – m.

- (2) có hai nghiệm phân biệt và nhận x = -m làm nghiệm

- (2) có nghiệm kép khác –m

Phương trình tương đương với

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔2 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Khi đó (2) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1+x2=−6mx1.x2=31+2m2

Theo giả thiết suy ra

Vậy m = 1 thỏa mãn bài.

a) Phương trình tương đương với

b) Phương trình tương đương với