Bài tập Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân có đáp án

Chứng minh các bất đẳng thức: $x^2+y^2\ge \frac{(x+y{)}^2}{2}\ge 2xy$

Chứng minh các bất đẳng thức: $x+\frac{1}{x}\ge 2$ với x>0

Chứng minh các bất đẳng thức: $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ với a>0, b>0

Chứng minh bất đẳng thức: $4x^2+4x+5>0$

Chứng minh bất đẳng thức: $x^2-x+1>0$

Chứng minh bất đẳng thức: $x^2+ab+b^2 \ge 0$

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{x-x^2+1}{x-x^2-1}<1$

Rút gọn rồi chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của x: $\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2x^2-x+1}$

Chứng minh bất đẳng thức: $a^3+b^3\ge ab(a+b)$ với a,b>0

Chứng minh bất đẳng thức: $a^4+b^4 \ge ab(a^2+b^2)$

Chứng minh bất đẳng thức: $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$

(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai cặp số a, b và x, y)

Chứng minh bất đẳng thức: $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (ax+by+cz{)}^2$

(bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với hai bộ ba số a, b và x, y)

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: Nếu a>b thì $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

Cho a và b cùng dấu. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$

Gọi $\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}$ là trung bình điều hòa của a và b. Chứng minh rằng trung bình điều hòa của hai số dương a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai số ấy.

Chứng minh bất đẳng thức: $2(a^2+b^2)\ge (a+b{)}^2$

Chứng minh bất đẳng thức: $3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c{)}^2\ge 3(ab+bc+ca)$

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a^4+b^4}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^4$

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge {\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^2$