Bài tập chuyên đề chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh rằng $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\ge -1$

Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge 9$

Cho $a+b > 1$. Chứng minh rằng $a^4+b^4>\frac{1}{8}$

Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge \frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}$

Chứng minh bất đẳng thức với a, b, c là các số dương: $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9$

Chứng minh bất đẳng thức với a, b, c là các số dương: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge 1,5$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho $a^2+b^2\le 2$. Chứng minh rằng $a+b\le 2$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$ ta có: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^n-1}<n$

Giải phương trình $x^2+y^2+z^2=x(y+z)$

Chứng minh bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

Chứng minh bất đẳng thức $a^4+b^4+c^4+d^4\ge 4abcd$

Chứng minh bất đẳng thức $a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)$

Chứng minh bất đẳng thức $a^2+b^2\ge ab$

Chứng minh bất đẳng thức $a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2{c}^2\ge 0$

Chứng minh bất đẳng thức $(a^2+b^2)(a^4+b^4)\ge {(a^3+b^3)}^2$

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b)(a^3+b^3)\ge 2(a^4+b^4)$

Chứng minh bất đẳng thức $2\left(a^3+b^3\right)\ge (a+b)\left(a^2+b^2\right)$ với a,b>0

Chứng minh bất đẳng thức $4(a^3+b^3)\ge (a+b{)}^3$ với a,b>0

Chứng minh bất đẳng thức $a^3+b^3+abc\ge ab(a+b+c)$ với a,b,c>0

Chứng minh bất đẳng thức $8(a^4+b^4)\ge (a+b{)}^4$

Chứng minh bất đẳng thức $(a^2+b^2)\ge ab(a+b{)}^2$

Chứng minh bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2\ge a(b+c)$

Chứng minh bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2+d^2\ge a(b+c+d)$

Chứng minh bất đẳng thức $x^4-4x+5>0$

Chứng minh bất đẳng thức $x^4-x+\frac{1}{2}>0$

Chứng minh bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c$

Chứng minh bất đẳng thức $a^4+b^4+2\ge 4ab$

Chứng minh bất đẳng thức $x^3+4x+1>3x^2$ với $x\ge 0$

Chứng minh bất đẳng thức $a^2+4b^2+4c^2\ge 4ab-4ac+8bc$

Chứng minh rằng $\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)\ge (a+c)(b+d)$

Chứng minh bất đẳng thức $8(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3$ với a, b, c > 0.

Chứng minh bất đẳng thức ${\left(a+b+c\right)}^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc$ với $a,b,c\ge 0$

Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca\le 0$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam minh giác. Chứng rằng $a^2+b^2+c^2<2\left(ab+bc+ca\right)$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam minh giác. Chứng rằng $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3$

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam minh giác. Chứng rằng $\frac{1}{a+b},\frac{a}{b+c},\frac{1}{c+a}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng: $\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge 8$

Cho các số a và b không âm. Chứng minh rằng $(a+b)(ab+1)\ge 4ab$

Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge 6$

Cho các số dương a và b thỏa mãn $a^3+b^3=a-b$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+ab<1$

Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng cách xét từng khoảng giá trị của biến $A=x^4+x^3+x^2+x+1>0$