Bài tập Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Thực hiện phép biến đổi tương đương $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-2\mathrm{y}=3\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x-2y=3\\ 3x-6y=12\end{array}\right.$

a) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{1}{2}$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-3}{1}=-3$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{4}{3}$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-3}{4}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

a) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{1}{3}$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{1}{3}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\ne 2=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

Vậy hệ vô nghiệm

b) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}=\frac{1}{3}$

Vậy hệ có vô số nghiệm

a) Nhận xét rằng

${\mathrm{a}}_1.{\mathrm{b}}_2\ne {\mathrm{b}}_1.{\mathrm{a}}_2$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{a}}_1}=\frac{0}{1}$ và $\frac{{\mathrm{b}}_2}{{\mathrm{b}}_1}=\frac{6}{-2}=-3$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{a}}_1}\ne \frac{{\mathrm{b}}_2}{{\mathrm{b}}_1}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

a) 

Với a = 2, hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{x}-2\mathrm{y}=-3\end{array}\right.$

Nhận xét rằng $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{3}{2}$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Với $\mathrm{a}=\frac{2}{3}$, hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{x}-\frac{2}{3}\mathrm{y}=-3\end{array}\right.$

Nhận xét rằng $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\ne \frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

Vậy hệ vô nghiệm

a) Với a = 3, hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+4\mathrm{y}=6\end{array}\right.$

Nhận xét rằng $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}=\frac{1}{2}$

Vậy hệ có vô số nghiệm.

b) Với $\mathrm{a}\ne 3$, hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{y}=\mathrm{a}\\ 2\mathrm{x}+4\mathrm{y}=6\end{array}\right.$

Nhận xét rằng $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\ne \frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

Vậy hệ vô nghiệm.

a) Vì x + 2y = 9 là đường xiên, x = n là đường thẳng song song với Oy nên đồ thị của x + 2y = 9 luôn cắt đồ thị của x = n tại một điểm duy nhất

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất x = n và $\mathrm{y}=\frac{1}{2}\left(9-\mathrm{n}\right)$

b) Vì 3x – 2y = 8 là đường xiên, y = m là đường thẳng song song với Ox nên đồ thị của 3x – 2y = 8 luôn cắt đồ thị của y = m tại một điểm duy nhất.

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất y = m và $\mathrm{x}=\frac{1}{3}\left(8+2\mathrm{m}\right)$

a) Biến đổi hệ về dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}={\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_1\right)\\ \mathrm{y}=2\mathrm{ax}-\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_2\right)\end{array}\right.$

Nhận xét rằng, hai đường thẳng $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ và $\left({\mathrm{d}}_2\right)$ ứng với hai phương trình trong hệ luôn cắt trục tung Oy tại điểm $\mathrm{I}\left(0;\mathrm{b}\right)$

Vậy hệ luôn có nghiệm (0; b) với mọi a, b bất kì.

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ cắt $\left({\mathrm{d}}_2\right)$

$$\begin{gathered} \iff {\mathrm{a}}^2\ne 2\mathrm{a}\iff {\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}\ne 0 \\ \iff \mathrm{a}\left(\mathrm{a}-2\right)\ne 0\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{a}\ne 2\end{array}\right. \end{gathered}$$

c) Hệ có vô số nghiệm khi $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ trùng $\left({\mathrm{d}}_2\right)$

$$\begin{gathered} \iff {\mathrm{a}}^2=2\mathrm{a}\iff {\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}=0 \\ \iff \mathrm{a}\left(\mathrm{a}-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{a}=0\\ \mathrm{a}=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta kí hiệu $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\left(1\right)\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=2\left(2\right)\\ \mathrm{ax}-\mathrm{y}=-3\left(3\right)\end{array}\right.$

Xét hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) là $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=1\end{array}\right.$ (*)

Để hệ có nghiệm, điều kiện (*) phải thỏa mãn phương trình (3), nghĩa là: $\mathrm{a}.1-1=-3\iff \mathrm{a}=-2$

Vậy a = - 2 thỏa yêu cầu.

a) Sử dụng định lí 1, ta được $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2\\ 3\mathrm{x}+8\mathrm{y}=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}\mathrm{x}+\frac{3}{2}\mathrm{y}=1\\ 3\mathrm{x}+8\mathrm{y}=5\end{array}\right.$

Sử dụng định lí 2, ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2\\ 3\mathrm{x}+8\mathrm{y}=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2\\ \left(3\mathrm{x}+8\mathrm{y}\right)-\left(\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)=5-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2\\ 2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Sử dụng định lí 3, ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2\\ 3\mathrm{x}+8\mathrm{y}=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2-3\mathrm{y}\\ 3\left(2-3\mathrm{y}\right)+8\mathrm{y}=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2-3\mathrm{y}\\ -9\mathrm{y}+8\mathrm{y}=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

b) Sử dụng định lí 1, ta được $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\\ 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{x}}{7}+\frac{\mathrm{y}}{7}=1\\ 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=25\end{array}\right.$

Sử dụng định lí 2, ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\\ 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=25\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\\ \left(3\mathrm{x}+4\mathrm{y}\right)-\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=25-7\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=18\end{array}\right. \end{gathered}$$

Sử dụng định lí 3, ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\\ 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=7-\mathrm{y}\\ 3\left(7-\mathrm{y}\right)+4\mathrm{y}=25\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=7-\mathrm{y}\\ \mathrm{y}=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

a) Thực hiện phép biến đổi tương đương

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=7\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=7\\ 2\mathrm{x}+4\mathrm{y}=8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+4\mathrm{y}=8\\ \mathrm{y}=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

b) Thực hiện phép biến đổi tương đương

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+\mathrm{y}=2\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}6\mathrm{x}+2\mathrm{y}=4\\ 6\mathrm{x}+9\mathrm{y}=18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}6\mathrm{x}+2\mathrm{y}=4\\ 7\mathrm{y}=14\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}6\mathrm{x}+2\mathrm{y}=4\\ \mathrm{y}=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

a) Sử dụng định nghĩa

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy hệ có vô số nghiệm thỏa mãn $\left(\mathrm{x};\frac{2\mathrm{x}-1}{3}\right)$

- Giải hệ thứ hai, ta thấy hệ có vô số nghiệm thỏa mãn $\left(\mathrm{x};\frac{2\mathrm{x}-1}{3}\right)$

Vậy hai hệ phương trình là tương đương.

b) Sử dụng định nghĩa

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

Vậy hệ hai phương trình là tương đương

c) Sử dụng định nghĩa

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

Vậy hệ hai phương trình là tương đương.

a) Giải hệ thứ nhất, ta được nghiệm duy nhất x = 2 và y = 1

Hai hệ tương đương khi (2;1) cũng là nghiệm của hệ còn lại, nghĩa là:

$\left\{\begin{array}{c}2+1=3\\ 2.2-1=\mathrm{m}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3=3\\ \mathrm{m}=3\end{array}\right.\iff \mathrm{m}=3$

Thử lại với m = 3, hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\end{array}\right.$. Giải hệ này, ta có nghiệm duy nhất (2;1)

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu.

b) Giải hệ thứ nhất, ta được nghiệm duy nhất x = -1 và y = 1.

Hai hệ tương đương khi (-1;1) là nghiệm của hệ còn lại, nghĩa là

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}-1+3.1=2\\ 3\mathrm{m}\left(-1\right)+\left({\mathrm{m}}^2+8\right).1=4\mathrm{m}+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2=2\\ {\mathrm{m}}^2-7\mathrm{m}+6=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left(\mathrm{m}-1\right)\left(\mathrm{m}-6\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{m}=1\\ \mathrm{m}=6\end{array}\right.$

Thử lại:

- Với m = 1 hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2\\ 3\mathrm{x}+9\mathrm{y}=6\end{array}\right.$. Hệ có vô số nghiệm nên m = 1 không thỏa mãn

- Với m = 6 hệ có dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2\\ 18\mathrm{x}+44\mathrm{y}=26\end{array}\right.$. Hệ có nghiệm duy nhất (-1;1)

Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu.