Bài tập Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Ta có đồ thị sau:

Dựa vào đồ thị, hai đường thẳng trùng nhau nên có vô số điểm chung.

Vậy hệ có vô số nghiệm, mỗi nghiệm là tọa độ (x; y) của một điểm trên đường thẳng 4x + 3y = 12.

a) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng y = 3 – 2x có hệ số góc a1=−2

Đường thẳng y = 3x – 1 có hệ số góc a2=3

Vì a1≠a2 nên hai đường thẳng này cắt nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất.

b) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng y=−12x+3 có hệ số góc a1=−12,b1=3

Đường thẳng y=−12x+1 có hệ số góc a2=−12,b2=1

Vì a1=a2,b1≠b2 nên hai đường thẳng này song song. Vậy hệ vô nghiệm.

c) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng y=−32x có hệ số góc a1=−32

Đường thẳng y=23x có hệ số góc a2=23

Vì a1.a2=−1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất.

d) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng 3x−y=3⇔y=3x−3

Đường thẳng x−13y=1⇔y=3x−3

Ta thấy hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ có vô số nghiệm.

a) Nhận xét rằng

a1a2=21=2 và b1b2=−1−1=1 suy ra a1a2≠b1b2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

a1a2=112=2 và b1b2=−1−12=2 suy ra a1a2=b1b2=2=c1c2

Vậy hệ có nghiệm vô số nghiệm

c) Nhận xét rằng

a1a2=31=3 và b1b2=62=3 suy ra a1a2=b1b2=3≠2=c1c2

Vậy hệ vô nghiệm

a) Nhận xét rằng

a1a2=41=4 và b1b2=0−1=0 suy ra a1a2≠b1b2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

a2a1=01=0 và b2b1=−13 suy ra a2a1≠b2b1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

a) Với a = 3, hệ phương trình có dạng 3x−y=2x+2y=3

Nhận xét rằng

a1a2=31=3 và b1b2=−12 suy ra a1a2≠b1b2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Với a=−12, hệ phương trình có dạng

Nhận xét rằng

a1a2=−12 và b1b2=−12 suy ra a1a2=b1b2=−12≠23=c1c2

Vậy hệ vô nghiệm

a) Biến đổi hệ về dạng y=−a1x+b  (d1)y=−a2x+b  (d2)

Nhận xét rằng, hai đường thẳng d1 và d2 ứng với hai phương trình trong hệ luôn cắt trục Oy (vì hệ số tự do bằng nhau) tại điểm I0;b

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm 0;b với mọi a1;a2;b bất kì.

b) Hệ có vô số nghiệm khi d1≡d2⇔a1=a2

Sử dụng định lí 1, ta được x−y=2x−3y=8⇔x2−y2=1x−3y=8

Sử dụng định lí 2, ta được

x−y=2x−3y=8⇔x−y=2x−y−x−3y=2−8⇔x−y=22y=−6

Sử dụng định lí 3, ta được

x−y=2x−3y=8⇔x=y+2y+2−3y=8⇔x=y+2−2y=6

- Giải hệ thứ nhất, ta được nghiệm duy nhất 25;−15

- Giải hệ thứ hai, ta được nghiệm duy nhất 25;−15

Vậy hai hệ phương trình là tương đương.

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy hệ có vô số nghiệm thỏa mãn 2−2y;y

- Giải hệ thứ hai, ta thấy hệ có vô số nghiệm thỏa mãn 2−2y;y

Vậy hai hệ phương trình là tương đương.

Thực hiện phép biến đổi tương đương x−2y=3x−2y=4⇔x−2y=33x−6y=12

a) Nhận xét rằng

a1a2=12 và b1b2=−31=−3 suy ra a1a2≠b1b2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

a1a2=43 và b1b2=−34 suy ra a1a2≠b1b2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

a) Nhận xét rằng

a1a2=13 và b1b2=13 suy ra a1a2=b1b2≠2=c1c2

Vậy hệ vô nghiệm

b) Nhận xét rằng

a1a2=b1b2=c1c2=13

Vậy hệ có vô số nghiệm

a) Nhận xét rằng

a1.b2≠b1.a2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

a2a1=01 và b2b1=6−2=−3 suy ra a2a1≠b2b1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

a) 

Với a = 2, hệ phương trình có dạng 3x−y=12x−2y=−3

Nhận xét rằng a1a2=32 và b1b2=12 suy ra a1a2≠b1b2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Với a=23, hệ phương trình có dạng 3x−y=12x−23y=−3

Nhận xét rằng a1a2=b1b2≠c1c2

Vậy hệ vô nghiệm

a) Với a = 3, hệ phương trình có dạng x+2y=32x+4y=6

Nhận xét rằng a1a2=b1b2=c1c2=12

Vậy hệ có vô số nghiệm.

b) Với a≠3, hệ phương trình có dạng x+2y=a2x+4y=6

Nhận xét rằng a1a2=b1b2≠c1c2

Vậy hệ vô nghiệm.

a) Vì x + 2y = 9 là đường xiên, x = n là đường thẳng song song với Oy nên đồ thị của x + 2y = 9 luôn cắt đồ thị của x = n tại một điểm duy nhất

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất x = n và y=129−n

b) Vì 3x – 2y = 8 là đường xiên, y = m là đường thẳng song song với Ox nên đồ thị của 3x – 2y = 8 luôn cắt đồ thị của y = m tại một điểm duy nhất.

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất y = m và x=138+2m

a) Biến đổi hệ về dạng y=a2x−b   (d1)y=2ax−b   (d2)

Nhận xét rằng, hai đường thẳng d1 và d2 ứng với hai phương trình trong hệ luôn cắt trục tung Oy tại điểm I0;b

Vậy hệ luôn có nghiệm (0; b) với mọi a, b bất kì.

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi d1 cắt d2

⇔a2≠2a⇔a2−2a≠0⇔aa−2≠0⇔a≠0a≠2

c) Hệ có vô số nghiệm khi d1 trùng d2

⇔a2=2a⇔a2−2a=0⇔aa−2=0⇔a=0a=2

Ta kí hiệu 2x−y=1      (1)x+y=2        (2)ax−y=−3   (3)

Xét hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) là 2x−y=1   x+y=2   ⇔x=1y=1 (*)

Để hệ có nghiệm, điều kiện (*) phải thỏa mãn phương trình (3), nghĩa là: a.1−1=−3⇔a=−2

Vậy a = - 2 thỏa yêu cầu.

a) Sử dụng định lí 1, ta được x+3y=23x+8y=5⇔12x+32y=13x+8y=5

Sử dụng định lí 2, ta được

x+3y=23x+8y=5⇔x+3y=23x+8y−x+3y=5−2⇔x+3y=22x+5y=3

Sử dụng định lí 3, ta được

x+3y=23x+8y=5⇔x=2−3y32−3y+8y=5⇔x=2−3y−9y+8y=−1

b) Sử dụng định lí 1, ta được x+y=73x+4y=25⇔x7+y7=13x+4y=25

Sử dụng định lí 2, ta được

x+y=73x+4y=25⇔x+y=73x+4y−x+y=25−7⇔x+y=72x+3y=18

Sử dụng định lí 3, ta được

x+y=73x+4y=25⇔x=7−y37−y+4y=25⇔x=7−yy=4

a) Thực hiện phép biến đổi tương đương

2x+3y=7x+2y=4⇔2x+3y=72x+4y=8⇔2x+4y=8y=1

b) Thực hiện phép biến đổi tương đương

3x+y=22x+3y=6⇔6x+2y=46x+9y=18⇔6x+2y=47y=14⇔6x+2y=4y=2

a) Sử dụng định nghĩa

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy hệ có vô số nghiệm thỏa mãn x;2x−13

- Giải hệ thứ hai, ta thấy hệ có vô số nghiệm thỏa mãn x;2x−13

Vậy hai hệ phương trình là tương đương.

b) Sử dụng định nghĩa

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

Vậy hệ hai phương trình là tương đương

c) Sử dụng định nghĩa

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

- Giải hệ thứ nhất, ta thấy vô nghiệm

Vậy hệ hai phương trình là tương đương.

a) Giải hệ thứ nhất, ta được nghiệm duy nhất x = 2 và y = 1

Hai hệ tương đương khi (2;1) cũng là nghiệm của hệ còn lại, nghĩa là:

2+1=32.2−1=m⇔3=3m=3⇔m=3

Thử lại với m = 3, hệ có dạng x+y=32x−y=3. Giải hệ này, ta có nghiệm duy nhất (2;1)

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu.

b) Giải hệ thứ nhất, ta được nghiệm duy nhất x = -1 và y = 1.

Hai hệ tương đương khi (-1;1) là nghiệm của hệ còn lại, nghĩa là

−1+3.1=23m−1+m2+8.1=4m+2⇔2=2m2−7m+6=0

⇔m−1m−6=0⇔m=1m=6

Thử lại:

- Với m = 1 hệ có dạng x+3y=23x+9y=6. Hệ có vô số nghiệm nên m = 1 không thỏa mãn

- Với m = 6 hệ có dạng x+3y=218x+44y=26. Hệ có nghiệm duy nhất (-1;1)

Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu.