Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình $\sqrt{{\left(8-40x\right)}^2+{\left(7-40x\right)}^2}=5$  (1).

Điều kiện xác định: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² ≥ 0.

Sau bài học này, ta sẽ giải được phương trình trên như sau:

Bình phương hai vế ta có: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² = 25

⇔ 1 600x² – 640x + 64 + 1 600x² – 560x + 49 = 25

⇔ 3 200x² – 1 200x + 88 = 0

⇔ 400x² – 150x + 11 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = 0,1, x₂ = 0,275.

Thử lại với điều kiện, ta thấy x = 0,1 thỏa mãn.

Vậy x = 0,1.

Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x² – 4x + 1 = x² + x – 1 (2).

Ta có: (2) ⇔ 2x² – 5x + 2 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ .

Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.

Ta có: $\sqrt{3x-5}=x-1$  (1).

Trước hết ta giải bất phương trình x – 1 ≥ 0 (2).

Ta có: (2) ⇔ x ≥ 1.

Bình phương hai vế của (1) ta được 3x – 5 = (x – 1)² (3).

Ta có: (3) ⇔ 3x – 5 = x² – 2x + 1 ⇔ x² – 5x + 6 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.$ .

Do đó phương trình (3) có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

Hai giá trị trên đều thỏa mãn x ≥ 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$  (1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x² – 3x – 1 = 2x + 3

⇔ 2x² – 3x – 1 – 2x – 3 = 0

⇔ 2x² – 5x – 4 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{array}\right.$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$  và$x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$ .

b)  $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được: 4x² – 6x – 6 = x² – 6

⇔ 4x² – x² – 6x – 6 + 6 = 0

⇔ 3x² – 6x = 0

⇔ 3x(x – 2) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c)   $\sqrt{x+9}=2x-3$(3)

Trước hết ta giải bất phương trình 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{3}{2}$ .

Bình phương cả hai vế của (3) ta được: x + 9 = (2x – 3)²

⇔ x + 9 = 4x² – 12x + 9

⇔ 4x² – 12x + 9 – x – 9 = 0

⇔ 4x² – 13x = 0

⇔ x(4x – 13) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 4x-13=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{13}{4}\end{array}\right.$

Trong hai giá trị trên có giá trị x =$\frac{13}{4}$  thỏa mãn x ≥$\frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =$\frac{13}{4}$ .

d)   $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ (4)

Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.

Bình phương hai vế của (4) ta được: – x² + 4x – 2 = (2 – x)²

⇔ – x² + 4x – 2 = 4 – 4x + x²

⇔ 2x² – 8x + 6 = 0

⇔ x² – 4x + 3 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}\right.$

Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$

 $\iff \sqrt{2-x}=3-2x$ (1) 

Ta giải bất phương trình: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$ .

Bình phương hai vế của (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)²

⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x²

⇔ 4x² – 11x + 7 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

Trong hai giá trị trên ta thấy x = 1 thỏa mãn x ≤ $\frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

b)   $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$  (2)$\iff \sqrt{-x^2+7x-6}=4-x$

Ta giải bất phương trình: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

 Bình phương hai vế của (2) ta được: – x² + 7x – 6 = (4 – x)²

⇔ – x² + 7x – 6 = 16 – 8x + x²

⇔ 2x² – 15x + 22 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{11}{2}\end{array}\right.$

Trong hai giá trị trên có x = 2 thỏa mãn x ≤ 4.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).

Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC²

Suy ra: BC² = AB² – AC² = (x + 1)² – x² = 2x + 1 $\Rightarrow BC=\sqrt{2x+1}$  (m).

Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.

Suy ra $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$   (m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có:$\tan \widehat{DEG}=\frac{DG}{GE}$

Mà $\widehat{DEG}=60°$ , DG = x, $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$

Do đó: $\frac{x}{\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}}=\tan 60°=\sqrt{3}$

Suy ra: $x=\sqrt{3}\left(\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}\right)$

$\iff x=\sqrt{3\left(2x+1\right)}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

   $\iff \sqrt{3\left(2x+1\right)}=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$(1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: $3\left(2x+1\right)={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\iff 6x+3=x^2+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}$

$\iff x^2+\left(\sqrt{3}-6\right)x-\frac{9}{4}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{3}+\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx \mathrm{4,7}\\ x=\frac{6-\sqrt{3}-\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx -\mathrm{0,5}\end{array}\right.$

  Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.

Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.

Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC – CD = 0,8 – x (km).

Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có:

AD² = AC² + CD² = (0,3)² + x² = 0,09 + x²

 $\Rightarrow AD=\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}$ (km)

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là $\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}$  km, mà vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là $t_1=\frac{\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{6}$  (giờ).

Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 – x (km) và vận tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là  $t_2=\frac{\mathrm{0,8}-x}{10}$ (giờ).

Tổng thời gian người đó chèo thuyền là  t₁ + t₂ = t = 0,12 (giờ).

Khi đó ta có phương trình:  $\frac{\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{6}+\frac{\mathrm{0,8}-x}{10}=\mathrm{0,12}$

$\iff \frac{5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}}{30}+\frac{3\left(\mathrm{0,8}-x\right)}{30}=\mathrm{0,12}$

$\iff 5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}+\mathrm{2,4}-3x=\mathrm{3,6}$

$\iff 5\sqrt{\mathrm{0,09}+x^2}=\mathrm{1,2}+3x$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(0,09 + x²) = (1,2 + 3x)²

⇔ 2,25 + 25x² = 1,44 + 7,2x + 9x²

⇔ 16x² – 7,2x + 0,81 = 0

⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Suy ra x = 0,225 km = 225 m.

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225 m. 

Đổi 148 phút = $\frac{37}{15}$  giờ.

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC – BM = 7 – x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lý Pythagore ta có:

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x²

^{$\Rightarrow AM=\sqrt{16+x^2}$}

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là$\sqrt{16+x^2}$  km và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là $t_1=\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}$  (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 – x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là $t_2=\frac{7-x}{5}$  (giờ).

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = $\frac{37}{15}$  (giờ).

Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{37}{15}$$\iff 5\sqrt{16+x^2}+3.\left(7-x\right)=37$

 $\iff 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(16 + x²) = (16 + 3x)²

⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x²

⇔ 16x² – 96x + 144 = 0

 ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)