Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án
8 câu hỏi
Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (Hình 31).
Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình
Làm thế nào để tìm được giá trị của x?
Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình 8−40x2+7−40x2=5 (1).
Điều kiện xác định: (8 – 40x)2 + (7 – 40x)2 ≥ 0.
Sau bài học này, ta sẽ giải được phương trình trên như sau:
Bình phương hai vế ta có: (8 – 40x)2 + (7 – 40x)2 = 25
⇔ 1 600x2 – 640x + 64 + 1 600x2 – 560x + 49 = 25
⇔ 3 200x2 – 1 200x + 88 = 0
⇔ 400x2 – 150x + 11 = 0
Phương trình trên có hai nghiệm là x1 = 0,1, x2 = 0,275.
Thử lại với điều kiện, ta thấy x = 0,1 thỏa mãn.
Vậy x = 0,1.
Giải phương trình: 3x2−4x+1=x2+x−1 (1).
Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x2 – 4x + 1 = x2 + x – 1 (2).
Ta có: (2) ⇔ 2x2 – 5x + 2 = 0⇔x=2x=12 .
Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.
Giải phương trình: 3x−5=x−1
Ta có: 3x−5=x−1 (1).
Trước hết ta giải bất phương trình x – 1 ≥ 0 (2).
Ta có: (2) ⇔ x ≥ 1.
Bình phương hai vế của (1) ta được 3x – 5 = (x – 1)2 (3).
Ta có: (3) ⇔ 3x – 5 = x2 – 2x + 1 ⇔ x2 – 5x + 6 = 0 ⇔x=2x=3.
Do đó phương trình (3) có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.
Hai giá trị trên đều thỏa mãn x ≥ 1.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.
Giải các phương trình sau:
a) 2x2−3x−1=2x+3 ;
b) 4x2−6x−6=x2−6;
c) x+9=2x−3;
d) −x2+4x−2=2−x.
a) 2x2−3x−1=2x+3 (1)
Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x2 – 3x – 1 = 2x + 3
⇔ 2x2 – 3x – 1 – 2x – 3 = 0
⇔ 2x2 – 5x – 4 = 0⇔x=5+574x=5−574
Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=5+574 vàx=5−574 .
b) 4x2−6x−6=x2−6 (2)
Bình phương hai vế của (2) ta được: 4x2 – 6x – 6 = x2 – 6
⇔ 4x2 – x2 – 6x – 6 + 6 = 0
⇔ 3x2 – 6x = 0
⇔ 3x(x – 2) = 0⇔x=0x−2=0⇔x=0x=2
Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) x+9=2x−3(3)
Trước hết ta giải bất phương trình 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 32.
Bình phương cả hai vế của (3) ta được: x + 9 = (2x – 3)2
⇔ x + 9 = 4x2 – 12x + 9
⇔ 4x2 – 12x + 9 – x – 9 = 0
⇔ 4x2 – 13x = 0
⇔ x(4x – 13) = 0⇔x=04x−13=0⇔x=0x=134
Trong hai giá trị trên có giá trị x =134 thỏa mãn x ≥32.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =134 .
d) −x2+4x−2=2−x (4)
Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.
Bình phương hai vế của (4) ta được: – x2 + 4x – 2 = (2 – x)2
⇔ – x2 + 4x – 2 = 4 – 4x + x2
⇔ 2x2 – 8x + 6 = 0
⇔ x2 – 4x + 3 = 0⇔x=3x=1
Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
Giải các phương trình sau:
a) 2−x+2x=3;
b) −x2+7x−6+x=4.
a) 2−x+2x=3
⇔2−x=3−2x (1)
Ta giải bất phương trình: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 32.
Bình phương hai vế của (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)2
⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x2
⇔ 4x2 – 11x + 7 = 0⇔x=1x=74
Trong hai giá trị trên ta thấy x = 1 thỏa mãn x ≤ 32.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
b) −x2+7x−6+x=4 (2)⇔−x2+7x−6=4−x
Ta giải bất phương trình: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.
Bình phương hai vế của (2) ta được: – x2 + 7x – 6 = (4 – x)2
⇔ – x2 + 7x – 6 = 16 – 8x + x2
⇔ 2x2 – 15x + 22 = 0⇔x=2x=112
Trong hai giá trị trên có x = 2 thỏa mãn x ≤ 4.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).
Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).
Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB2 = AC2 + BC2
Suy ra: BC2 = AB2 – AC2 = (x + 1)2 – x2 = 2x + 1 ⇒BC=2x+1 (m).
Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).
Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.
Suy ra GE=2x+1−0,5 (m)
Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có:tanDEG^=DGGE
Mà DEG^=60°, DG = x, GE=2x+1−0,5
Do đó: x2x+1−0,5=tan60°=3
Suy ra: x=32x+1−0,5
⇔x=32x+1−32
⇔32x+1=x+32(1)
Bình phương hai vế của (1) ta được: 32x+1=x+322
⇔6x+3=x2+3x+34
⇔x2+3−6x−94=0
⇔x=6−3+48−1232≈4,7x=6−3−48−1232≈−0,5
Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.
Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.
Một người đứng ở điểm A trên bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.
Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.
Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).
Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC – CD = 0,8 – x (km).
Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có:
AD2 = AC2 + CD2 = (0,3)2 + x2 = 0,09 + x2
⇒AD=0,09+x2 (km)
Do đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là 0,09+x2 km, mà vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là t1=0,09+x26 (giờ).
Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 – x (km) và vận tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là t2=0,8−x10 (giờ).
Tổng thời gian người đó chèo thuyền là t1 + t2 = t = 0,12 (giờ).
Khi đó ta có phương trình: 0,09+x26+0,8−x10=0,12
⇔50,09+x230+30,8−x30=0,12
⇔50,09+x2+2,4−3x=3,6
⇔50,09+x2=1,2+3x (1)
Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(0,09 + x2) = (1,2 + 3x)2
⇔ 2,25 + 25x2 = 1,44 + 7,2x + 9x2
⇔ 16x2 – 7,2x + 0,81 = 0
⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0)
Suy ra x = 0,225 km = 225 m.
Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225 m.
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.
Đổi 148 phút = 3715 giờ.
Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0).
Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC – BM = 7 – x (km).
Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lý Pythagore ta có:
AM2 = AB2 + BM2 = 42 + x2 = 16 + x2
⇒AM=16+x2
Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là16+x2 km và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là t1=16+x23 (giờ).
Khoảng cách từ M đến C là 7 – x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là t2=7−x5 (giờ).
Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t1 + t2 = t = 3715 (giờ).
Khi đó ta có phương trình: 16+x23+7−x5=3715⇔516+x2+3.7−x=37
⇔516+x2=16+3x (1)
Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(16 + x2) = (16 + 3x)2
⇔ 400 + 25x2 = 256 + 96x + 9x2
⇔ 16x2 – 96x + 144 = 0
⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)
Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.
