20 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: D

Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.

Lời giải

a) Đúng. Ta có \({x^2} + 2 > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Sai. Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được \(5{x^2} - 8x + 2 = {x^2} + 2\).

Rút gọn ta được \(4{x^2} - 8x = 0\).

c) Đúng. Giải phương trình nhận được ở ý b) ta được \(x = 0,x = 2\).

Thử lại ta thấy cả hai giá trị này đều là nghiệm của phương trình (*).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0\,;2} \right\}\).

d) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 0 + 2 = 2.

Lời giải

a) Đúng. Bình phương hai vế phương trình (*) ta được \(2{x^2} + x - 6 = {\left( {x + 2} \right)^2}\).

Rút gọn phương trình trên ta được \({x^2} - 3x - 10 = 0\).

b) Sai. Điều kiện của phương trình (*) là \(x + 2 \ge 0\), tức là \(x \ge - 2\).

c) Đúng. Phương trình \({x^2} - 3x - 10 = 0\) có hai nghiệm \(x = - 2,x = 5\). Ta thấy \(x = - 2\) và \(x = 5\) đều thoả mãn \(x \ge - 2\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2\,;5} \right\}\).

d) Sai. Ta có \(\left( { - 2} \right) \cdot 5 = - 10\).

Lời giải

a) Đúng. Điều kiện của phương trình là \(2 - x \ge 0\), tức là \(x \le 2\).

b) Sai. Bình phương hai vế của phương trình (*), ta được: \({x^2} + 2x + 4 = 2 - x\).

Rút gọn phương trình trên ta được \({x^2} + 3x + 2 = 0\).

c) Đúng. Ta thấy phương trình \({x^2} + 3x + 2 = 0\) có hai nghiệm \(x = - 1\); \(x = - 2\).

Thay giá trị \(x = - 1\) vào phương trình (*): \(\sqrt 3 = \sqrt 3 \) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(x = - 2\) vào phương trình (*): \(\sqrt 4 = \sqrt 4 \) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình (*) là \(S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}\).

d) Đúng. Ta có \( - 1 \in \mathbb{Z}; - 2 \in \mathbb{Z}\).

Lời giải

a) Sai. Điều kiện của phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 5 \ge 0\\{x^2} - x + 11 \ge 0\end{array} \right.\), điều này luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) Đúng. Bình phương hai vế phương trình (*), ta được: \(2{x^2} + 5 = {x^2} - x + 11\).

Rút gọn ta được \({x^2} + x - 6 = 0\).

c) Sai. Phương trình \({x^2} + x - 6 = 0\) có hai nghiệm \(x = 2\); \(x = - 3\).

Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình (*): \(\sqrt {13} = \sqrt {13} \) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(x = - 3\) vào phương trình (*): \(\sqrt {23} = \sqrt {23} \) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ {2; - 3} \right\}\).

d) Sai. Với \({x_1},{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình (*), ta có \({x_1} = - 3;{x_2} = 2\).

Khi đó, \({x_1} - 2{x_2} = - 3 - 2 \cdot 2 = - 7\).

Lời giải

a) Đúng. Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn nên đây là là một nghiệm của phương trình.

b) Đúng. Ta có: \(\left( {x - 2} \right)\sqrt {2{x^2} + 4} = {x^2} - 4\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2{x^2} + 4} = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{\sqrt {2{x^2} + 4} = x + 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 \ge 0}\\{2{x^2} + 4 = {x^2} + 4x + 4}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 2}\\{{x^2} - 4x = 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 2}\\{x = 0 \vee x = 4}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {0;2;4} \right\}\).

c) Sai. Ta có \(0 + 2 + 4 = 6\).

d) Đúng. Các số 0, 2, 4 là các số chẵn.

Lời giải

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn \(AD\) là \(x\,\,\left( {0 < x < 30} \right)\) (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn \(BD\) là \(30 - x\) (giây). Do đó, quãng đường \(AD\) và \(BD\) lần lượt là \(13x\,\,{\rm{(m)}}\) và \(15\left( {30 - x} \right)\,\,{\rm{(m)}}\).

Độ dài quãng đường \(BC\) là: \(\sqrt {{{370}^2} - {{120}^2}} = 350\,\,{\rm{(m)}}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) nên \(CD = \sqrt {{{\left( {13x} \right)}^2} - {{120}^2}} \,\,{\rm{(m)}}\).

Mặt khác, \(CD = BC - BD = 350 - 15\left( {30 - x} \right)\,\,{\rm{(m)}}\).

Do đó, ta có: \(\sqrt {{{\left( {13x} \right)}^2} - {{120}^2}} = 350 - 15\left( {30 - x} \right)\).

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện \(0 < x < 30\), ta nhận \(x = 10\) (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí \(C\) và vị trí \(D\) là: \(350 - 15 \cdot \left( {30 - 10} \right) = 50\,\,{\rm{(m)}}\).

Đáp án: \(50\).

Lời giải

Đặt \(AB = x > 0\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có: \(AC = \sqrt {{x^2} + 4} \).

Theo tính chất định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{x} = \frac{5}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 16} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}5x \ge 0\\9\left( {{x^2} + 16} \right) = 25{x^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\16{x^2} = 144\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3.} \right.} \right.\)

Vậy hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(3\;{\rm{m}}\).

Đáp án: \(3\;\).

Lời giải

Ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - m} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 \ge 0}\\{{x^2} + 2x - m = {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - 6x + 1 = - m\,\,(*)}\end{array}} \right.} \right.\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \( - 2 < - m \le - \frac{5}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{5}{4} \le m < 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\), nên không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án: 0.

Lời giải

Ta có 1 giờ 14 phút \( = \frac{{37}}{{30}}\) giờ. Gọi \[AM = x\;\,{\rm{(km)}}\,\,\,\left( {x > 6} \right)\].

Suy ra thời gian đi từ \(A\) đến \(M\) là \(\frac{x}{{10}}\) (giờ).

Khi đó \(BM = \sqrt {{x^2} - 36} \) và \(CM = 15 - \sqrt {{x^2} - 36} \).

Thời gian đi từ \(M\) đến \(C\) là \(\frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}}\).

Theo giả thiết ta có phương trình: \(\frac{x}{{10}} + \frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}} = \frac{{37}}{{30}}\).

Giải phương trình ta được \(x = 10\,\,{\rm{(km)}}\).

Do đó tổng quảng đường phải đi là \(AM + MC = 10 + \left( {15 - \sqrt {{{10}^2} - 36} } \right) = 17\,\,{\rm{(km)}}\).

Đáp án: 17.

Lời giải

Đặt \(AB = x\) (km) thì \(BC = 5 - x\) (km) \(\left( {0 < x < 5} \right)\).

Khi đó \(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4} \) (km).

Chi phí mắc dây điện từ \(A\) đến \(B\) là \(3000x\) (USD).

Chi phí mắc dây điện từ \(B\) đến \(D\) là \(5000\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4} \) (USD).

Tổng chi phí mắc dây điện từ \(A\) đến \(D\) là \(3000x + 5000\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4} \) (USD).

Theo giả thiết, ta có \(3000x + 5000\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4} = 23000\)\( \Leftrightarrow 3x + 5\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 4} = 23\)

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} - 10x + 29} = 23 - 3x\) \(\left( 1 \right)\).

Bình phương hai vế của \(\left( 1 \right)\) ta được \(25\left( {{x^2} - 10x + 29} \right) = {\left( {23 - 3x} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 16{x^2} - 112x + 196 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}\). Thử lại ta thấy \(x = \frac{7}{2}\) thỏa mãn phương trình \(\left( 1 \right)\).

Vậy điểm \(B\) phải cách điểm \(A\) một khoảng cách bằng \(3,5\) (km).

Đáp án: 3,5.