Bài tập cuối chương IV có đáp án
7 câu hỏi
Tính các số đo x, y trong các tam giác dưới đây (H.4.75).
Xét hình đầu tiên:
Ta có x+x+20°+x+10°=180°.
hay 3x+30°=180° hay 3x=180°−30°=150°.
Do đó x=50°.
Xét hình thứ hai:
Ta có 60°+y+2y=180°.
hay 60°+3y=180° hay 3y=180°−60°=120°.
Do đó y=40°.
Vậy x=50°,y=40°.
Trong Hình 4.76, có AM = BM, AN = BN. Chứng minh rằng MAN^=MBN^.
Xét hai tam giác MAN và MBN có:
AM = BM (theo giả thiết).
MN chung.
AN = BN (theo giả thiết).
Do đó ΔMAN=ΔMBN (c – c – c).
Vậy MAN^=MBN^ (2 góc tương ứng).
Trong Hình 4.77, có AO = BO, OAM^=OBN^. Chứng minh rằng AM = BN.
Xét hai tam giác OAM và OBN có:
OAM^=OBN^ (theo giả thiết).
AO = BO (theo giả thiết).
O^ chung.
Do đó ΔOAM=ΔOBN (g – c – g).
Vậy AM = BN (2 cạnh tương ứng).
Trong Hình 4.78, ta có AN = BM, BAN^=ABM^. Chứng minh rằng BAM^=ABN^.
Xét hai tam giác BAM và ABN có:
AB chung.
ABM^=BAN^ (theo giả thiết).
BM = AN (theo giả thiết).
Do đó ΔBAM=ΔABN (c – g – c).
Vậy BAM^=ABN^ (2 góc tương ứng).
Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB bằng góc ANB.
Do M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.
Do N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên NA = NB.
Mà MA = NA (theo giải thiết có AM = AN) nên MA = MB = NA = NB.
Suy ra MB = NB.
Xét tam giác AMB và tam giác ANB có:
MA = NA (giả thiết)
MB = NB (chứng minh trên)
AB: cạnh chung
Do đó, ∆AMB = ∆ANB (c – c – c).
Suy ra △AMB=△ANB (hai góc tương ứng).
Vậy MB = NB và AMB^=ANB^.
.
Cho tam giác ABC cân tại A có A^=120°. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:
a) ΔBAM=ΔCAN;
b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.
a) Do MA⊥AB,NA⊥AC nên tam giác BAM vuông tại A, tam giác CAN vuông tại A.
Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, ABC^=ACB^ hay ABM^=ACN^.
Xét hai tam giác BAM vuông tại A và CAN vuông tại A có:
ABM^=ACN^ (chứng minh trên).
AB = AC (chứng minh trên).
Vậy ΔBAM=ΔCAN (góc nhọn – cạnh góc vuông).
b) Xét tam giác ABC có: ABC^+ACB^+BAC^=180°.
Mà ABC^=ACB^ (do tam giác ABC cân tại A).
Do đó 2ABC^=180°−BAC^=180°−120°=60°.
Do đó ABC^=ACB^=30°.
Do ΔBAM=ΔCAN (chứng minh ở ý a) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng).
Do đó tam giác AMN cân tại A (1).
Xét tam giác CAN vuông tại A có ANC^+ACN^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Do đó ANC^=90°−ACN^=90°−30°=60°.
Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều.
Do đó MAN^=60°.
Ta có: MAN^+NAB^=MAB^
Suy ra NAB^=MAB^−MAN^=90°−60°=30°.
Do đó NAB^=ABN^=30°.
Suy ra tam giác ANB cân tại N.
Ta có: MAN^+MAC^=NAC^
Suy ra MAC^=NAC^−MAN^=90°−60°=30°.
Do đó MAC^=MCA^=30°.
Suy ra tam giác AMC cân tại M.
Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CAM^=30°. Chứng minh rằng:
a) Tam giác CAM cân tại M;
b) Tam giác BAM là tam giác đều;
c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Xét tam giác ABC vuông tại A có ABC^+ACB^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Do đó ACB^=90°−ABC^=90°−60°=30°.
ACM^=ACB^ nên ACM^=30°.
Tam giác CAM có ACM^=CAM^=30° nên tam giác CAM cân tại M.
Vậy tam giác CAM cân tại M.
b) Có BAC^=BAM^+MAC^.
Do đó BAM^=BAC^−MAC^=90°−30°=60°.
ABM^=ABC^ nên ABM^=60°.
Xét tam giác BAM có ABM^+BAM^+BMA^=180°.
Do đó BMA^=180°−ABM^−BAM^=180°−60°−60°=60°.
Tam giác BAM có ABM^=BAM^=BMA^=60° nên tam giác BAM là tam giác đều.
Vậy tam giác BAM là tam giác đều.
c) Do tam giác CAM cân tại M nên MA = MC (1).
Do tam giác BAM là tam giác đều nên MA = MB (2).
Từ (1) và (2) ta có MB = MC.
Mà M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.
Vậy M là trung điểm của BC.
