Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác có đáp án

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Giả sử AC = b, AB = c, DB = m, DC = n. Kẻ tia Cx sao cho $\widehat{DCx}=\widehat{BAD}$ (tia Cx khác phái với A đối với BC)

1. Chứng minh rằng AD.DI = mn

2. Chứng minh rằng $A{D}^2=bc-mn$

Cho tam giác ABC (AB < AC) đường phân giác AD. Đường trung trực của AD cắt BC ở K.

1. Chứng minh rằng $△KAB=△KCA$

2. Tính độ dài KD biết BD = 2 cm, DC = 4 cm

Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho $\widehat{CDx}=\widehat{BAC}$ (tia Dx và A cùng phía đối với BC), tia Dx cắt AC ở E. Chứng minh rằng

1. $△ABC~△DEC$

2. DE = DB

Trên cạnh guyền CB của tam giác vuông ABC, lấy điểm D sao cho CD= CA. Gọi E là điểm đối xứng với D qua C

1. Chứng minh rằng các tam giác ABD và EBA đồng dạng.

2. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. So sánh $a^2$ với $b^2+c^2$ mà không dùng định lí Pitago

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Chứng minh rằng $A{D}^2<AB.AC$

Tam giác ABC có $\hat{B}=2\hat{C}$, AB = 4cm, BC = 5cm. Tính độ dài AC

Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có $\hat{B}=2\hat{C}$ biết rằng số đo các cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp

Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD. Tính độ dài BD biết rằng BC = 5 cm, AC = 20 cm.

Các đường phân giác các góc ngoài tại các đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau ở K. Đường thẳng vuông góc với AK tại K cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng

1. Các tam giác BDK và EKC đồng dạng

2. $D{E}^2=4BD.CE$

Cho tam giác ABC cân tại A, góc đáy $\alpha$. Các điểm D, M, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho $\widehat{DME}=\alpha$. Chứng minh rằng các tam giác BDM và CME đồng dạng.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

1. Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE + DF có giá trị không đổi.

2. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF.

Cho tam giác ABC và A’B’C’ có $\hat{A}+\widehat{A\text{'}}=180°, \hat{B}=\widehat{B\text{'}}$. Gọi BC = a, AC = b, AB = c, B’C’ = a’, A’C’ = b’, A’B’ = c’. Chứng minh rằng aa’=bb’+cc’

Cho tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng

1. Tam giác AIM đồng dạng với tam giác ABI

2. $\frac{AM}{BN}={\left(\frac{AI}{BI}\right)}^2$

Tam giác ABC có AB < AC, các đường phân giác BD và CE. Kẻ tia Bx sao cho $\widehat{DBx}=\widehat{DCE}$ (tia Bx và A nằm cùng phía đối với BD), Bx cắt DA ở F, cắt CE ở G. Chứng minh rằng:

1. CG < CE

2. BD > CE

Một hình thang có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của một hình bình hành. Chứng minh rằng: một đường chéo của hình bình hành đi qua giao điểm hai đường chéo của hình thang.

Cho điểm M nằm trong hình bình hành ABCD sao cho $\widehat{MAB} = \widehat{MCB}$. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AB và CD theo thứ tự ở G và H. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F. Chứng minh rằng:

1. Tam giác AGM đồng dạng với tam giác CFM

2. $\widehat{MBC} = \widehat{MDC}$

Cho hình thoi ABCD cạnh a có $\hat{A}=60°$. Một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.

1, Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi

2, Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính góc BKD.

Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho $\widehat{DME}=\hat{B}$

1. Chứng minh rằng tích BC.CE không đổi

2. Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE

3. Tính chu vi tam giác AED nếu tam giác ABC là tam giác đều.

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho $\widehat{GOH}=45°$. Gọi M là trung diểm của AB. Chứng minh rằng:

1. Tam giác HOD đồng dạng với tam giác OGB

2. MG song song vơi AH.

Lục giác ABCDEF có AB=BC, CD=DE, EF=FA, $\hat{B}=\hat{D}=\hat{F}$. Gọi K là điểm đối xứng với F qua AE. Chứng minh rằng BCDK là hình bình hành.

Dựng tam giác ABC, biết độ dài ba đường cao của nó bằng $h_a,h_b,h_c$ cho trước

Cho tam giác ABC. Dựng hình bình hành AEMD có D, M, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho các tam giác MDE và ABC đồng dạng.

Cho tam giác ABC. Dựng điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho $BM=CN=\frac{1}{2}MN$

Cho bốn điểm A, C’, D’, B thẳng hàng theo thứ tự ấy. Vẽ về một phía của AB các hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy.