Bài tập Bất phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

Sau khi học Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn, ta có thể dùng ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn để giải quyết bài toán mở đầu như sau:

Khi chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông như Hình 25 thì kích thước của mặt cắt ngang là x (cm) và 32 – 2x (cm). Khi đó diện tích mặt cắt ngang là (32 – 2x)x (cm2).

Ta thấy: Diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước lớn hơn 120 cm2 khi và chỉ khi

(32 – 2x)x ≥ 120 ⇔ – 2x2 + 32x – 120 ≥ 0.

Tam thức – 2x2 + 32x – 120 có hai nghiệm x1 = 6, x2 = 10 và hệ số a = – 2 < 0. Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 2x2 + 32x – 120 mang dấu “+” là (6; 10).

Do đó tập nghiệm của bất phương trình – 2x2 + 32x – 120 ≥ 0 là [6; 10].

Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là 6 cm.

Ta thấy VT của bất phương trình đã cho là 3x² – 4x – 8, đây là một tam thức bậc hai có hệ số a = 3 > 0.

a) Ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn:

5x2 + 10x – 50 > 0;

– 7x2 + 3x – 5 ≤ 0;

…

b) Ví dụ về bất phương trình không phải bất phương trình bậc hai một ẩn:

8x2 – 9y > 0;

2x2 – 3y + z < 0; …

a) Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 2 có ∆ = (– 1)² – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 2, x₂ = 1.

Lại có hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

b) Dựa vào bảng xét dấu ở câu a, ta thấy x² – x – 2 > 0 hay f(x) > 0 hay chính là tam thức f(x) mang dấu “+” khi .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x² – x – 2 > 0 là (– ∞; – 2) ∪ (1; +∞).

a) Tam thức bậc hai 3x² – 2x + 4 có ∆ = (– 2)² – 4 . 3 . 4 = – 44 < 0 và hệ số a = 3 > 0.

Vậy 3x² – 2x + 4 > 0 với mọi .

Do đó không có giá trị nào của x để bất phương trình 3x² – 2x + 4 ≤ 0

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Tam thức bậc hai – x² + 6x – 9 có ∆ = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0.

Do đó nghiệm kép của tam thức là x = 3.

Lại có hệ số a = – 1.

Nên tam thức – x² + 6x – 9 < 0 với mọi .

Tại x = 3 thì – x² + 6x – 9 = 0.

Do vậy chỉ có giá trị x = 3 để bất phương trình – x² + 6x – 9 ≥ 0.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x = 3.

a) Bất phương trình: x² – 4x + 3 > 0 (2).

Quan sát Hình 26, ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm phía trên của trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với x < 1 hoặc x > 3.

a) Đặt y = x² + 2x + 2.

Ta vẽ đồ thị hàm số bậc hai trên.

Ta có: a = 1, b = 2, c = 2 và ∆ = 2² – 4 . 1 . 2 = – 4 < 0.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 1).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 2).

- Parabol không cắt trục hoành.

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 2) qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 2).

Do a = 1 > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.

Ta có đồ thị hàm số y = x² + 2x + 2 như hình dưới:

Quan sát đồ thị trên, ta thấy: x² + 2x + 2 > 0 biểu diễn phần parabol y = x² + 2x + 2 nằm phía trên trục hoành, tương ứng với mọi .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x² + 2x + 2 > 0 là .

b) Đặt y = – 3x² + 2x – 1.

Ta vẽ đồ thị hàm số bậc hai trên.

Ta có: a = – 3, b = 2, c = – 1, ∆ = 2² – 4 . (– 3) . (– 1) = – 8 < 0.

- Tọa độ đỉnh .

- Trục đối xứng

- Giao của parabol với trục tung là A(0; – 1).

- Parabol không có giao điểm với trục hoành.

- Điểm đối xứng với điểm A(0; – 1) là điểm .

Do a = – 3 < 0 nên đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới.

Ta vẽ được đồ thị hàm số y = – 3x² + 2x – 1 như hình dưới:

Quan sát đồ thị ta thấy: – 3x² + 2x – 1 > 0 biểu diễn phần parabol nằm phía trên trục hoành, nhưng đồ thị hàm số y = – 3x² + 2x – 1 nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Theo đề bài, ta có điều kiện của Q là: .

Giá bán 1 sản phẩm là 170 nghìn đồng, do đó giá bán Q sản phẩm là 170Q (nghìn đồng), đây chính là doanh thu sau khi bán Q sản phẩm.

Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là T = Q² + 30Q + 3 300 (nghìn đồng).

Để không bị lỗ thì doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng chi phí sản xuất, do đó 170Q ≥ T hay T ≤ 170Q. Khi đó ta có: Q² + 30Q + 3 300 ≤ 170Q

⇔ Q² + (30Q – 170Q) + 3 300 ≤ 0

⇔ Q² – 140Q + 3 300 ≤ 0, đây là một bất phương trình bậc hai một ẩn Q.

Tam thức bậc hai Q² – 140Q + 3 300 có hai nghiệm là Q₁ = 30, Q₂ = 110 và có hệ số a = 1 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của Q sao cho tam thức Q² – 140Q + 3 300 mang dấu “–” là (30; 110).

Do đó tập nghiệm của bất phương trình Q² – 1400Q + 3 300 ≤ 0 là [30; 110].

Vậy số sản phẩm được sản xuất trong khoảng từ 30 đến không quá 110 sản phẩm thì sẽ không bị lỗ.

a) Bất phương trình – 2x + 2 < 0 không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn, đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

b) 12y2−2y+1≤0⇔12y2−2y−2≤0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn y.

c) Bất phương trình y² + x² – 2x ≥ 0 không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn, do nó có hai ẩn x và y.

a) Quan sát đồ thị Hình 30 a, ta thấy:

+ f(x) > 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x < 1 hoặc x > 4.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là (– ∞; 1) ∪ (4; + ∞).

Và tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là (– ∞; 1] ∪ [4; + ∞).

+ f(x) < 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 4.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là (1; 4).

Và tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là [1; 4].

b) Quan sát đồ thị Hình 30 b, ta thấy:

Tại x = 2 thì f(x) = 0.

+ f(x) > 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x ≠ 2.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là ℝ\2.

Và tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là ℝ.

+ f(x) < 0 biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm phía dưới trục hoành, mà phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Do đó bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm.

Và nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là x = 2.

c) Quan sát đồ thị Hình 30 c, ta thấy phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, do đó f(x) > 0 với mọi x∈ℝ.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là ℝ và các bất phương trình f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 vô nghiệm.

a) 2x² – 5x + 3 > 0

Tam thức bậc hai 2x² – 5x + 3 có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 32 và có hệ số a = 2 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x² – 5x + 3 mang dấu “+” là x < 1 hoặc x >32 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x² – 5x + 3 > 0 là −∞; 1∪32;+∞.

b) – x² – 2x + 8 ≤ 0

Tam thức bậc hai – x² – 2x + 8 có hai nghiệm là x₁ = – 4, x₂ = 2 và hệ số a = – 1 < 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – x² – 2x + 8 không dương là x ≤ – 4 hoặc x ≥ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x² – 2x + 8 là (– ∞; – 4] ∪ [2; + ∞).

c) 4x² – 12x + 9 < 0

Tam thức bậc hai 4x² – 12x + 9 có ∆ = (– 12)² – 4 . 4 . 9 = 0.

Do đó tam thức trên có nghiệm kép là x =32 .

Lại có hệ số a = 4 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: 4x² – 12x + 9 > 0 với mọi x∈ℝ\32 và 4x² – 12x + 9 = 0 tại x =32 .

Vậy không tồn tại giá trị nào của x để 4x² – 12x + 9 < 0 hay bất phương trình đã cho vô nghiệm.

d) – 3x² + 7x – 4 ≥ 0

Tam thức bậc hai – 3x² + 7x – 4 có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ =43  và hệ số a = – 3 < 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy – 3x² + 7x – 4 không âm khi 1≤x≤43.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 7x – 4 ≥ 0 là 1;  43.

Phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 (1) là phương trình bậc hai một ẩn với ẩn x và m là tham số.

Ta có: a = 2, b = m + 1, c = m – 8 và

∆ = (m + 1)² – 4 . 2 . (m – 8) = m² + 2m + 1 – 8m + 64 = m² – 6m + 65.

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0

⇔ m² – 6m + 65 ≥ 0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn m.

Ta giải bất phương trình trên.

Tam thức bậc hai m² – 6m + 65 có ∆_m = (– 6)² – 4 . 1 . 65 = – 224 < 0 và hệ số a_m = 1 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tam thức m² – 6m + 65 mang dấu dương với mọi m∈ℝ.

Do đó m² – 6m + 65 > 0 với mọi số thực m.

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

a) Giả sử hàm số có dạng: h = at² + bt + c, trong đó h là độ cao, t là thời gian, a, b, c là các hằng số cần tìm với a ≠ 0.

Quỹ đạo của quả bóng là một parabol đi qua điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: c = 0,2.

Khi đó: h = at² + bt + 0,2

Lại có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và 6 m sau 2 giây, do đó quỹ đạo của bóng là parabol đi qua các điểm có tọa độ (1; 8,5) và (2; 6).

Ta có hệ: a+b+0,2=8,522.a+b.2+0,2=6

Giải hệ trên ta được: a = – 5,4, b = 13,7 .

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là: h = – 5,4t² + 13,7t + 0,2.

b) Bóng chạm đất nếu khi độ cao h = 0, vậy bóng chưa chạm đất khi độ cao h > 0.

Hay – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn t.

Tam thức bậc hai – 5,4t² + 13,7t + 0,2 có hai nghiệm t₁ =137108−19201108 , t2=137108+19201108.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

⇔137108−19201108<t<137108+19201108

Lại có: thời gian t > 0

Do đó:0<t<137108+19201108

Mà 137108+19201108≈2,55

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.

a) x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. (x∈ℕ*)

Tổng số khách là: 10 + x  (người)

Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vẽ sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách, do đó giá tiền cho chuyến đi của một người khi có 10 + x người tham gia là: 800 000 – 10 000x (đồng).

Khi đó doanh thu của công ty là: y = (800 000 – 10 000x)(10 + x)

⇔ y = 8 000 000 + 800 000x – 100 000x – 10 000x²

⇔ y = – 10 000x² + 700 000x + 8 000 000

Vậy doanh thu của công ty theo x là: y = – 10 000x² + 700 000x + 8 000 000.

b) Chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người nên tổng chi phí cho 10 + x người tham gia là 700 000(10 + x) (đồng).

Để công ty không bị lỗ thì doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng tổng chi phí.

Do đó y ≥ 700 000(10 + x)

⇔ – 10 000x² + 700 000x + 8 000 000 ≥ 700 000(10 + x)

⇔ – 10 000x² + 1 000 000 ≥ 0

⇔ x² – 100 ≤ 0

Áp dụng định lý dấu của tam thức bậc hai, ta giải được bất phương trình trên.

Ta có: x² – 100 ≤ 0 ⇔ – 10 ≤ x ≤ 10,

Mà x là số tự nhiên nên 0 ≤ x ≤ 10.

Do đó thêm nhiều nhất là 10 người nữa thì công ty không bị lỗ hay số người của nhóm khách du lịch lúc này là 10 + 10 = 20 người.

Vậy số người có nhóm du lịch nhiều nhất 20 người thì công ty không bị lỗ.