Bài 7: Đa thức một biến

- Ta có : A(y) = 7y2 – 3y + 

A(5) là giá trị của đa thức A(y) tại y = 5

⇒ A(5) = 7. 52 – 3.5 + 

       = 7. 25 – 15 + 

       = 175 – 15 + 

       = 160 + 

       = 160

- Và : B(x) = 2x5 – 3x + 7x3 + 4x5 + 

Trước hết, ta rút gọn B :

B(x) = 2x5 – 3x + 7x3 + 4x5 + 

B(x) = (2x5+ 4x5) – 3x + 7x3 + 

B(x) = 6x5 – 3x + 7x3 + 

B(-2) là giá trị của đa thức B(x) tại x = -2

⇒ B(-2) = 6. (-2)5 – 3.(-2) + 7 .(-2)3 + 

       = 6. (-32) – (-6) + 7. (-8) + 

       = - 192 + 6 – 56 + 

       = - (192 – 6 + 56) + 

      = - 242 + 

       = (- 484)/2 + 

       = (-484 + 1)/2

      = (-483)/2

- Ta có : A(y) = 7y2 – 3y + 

Đa thức A(y) có 3 hạng tử là :

7y2 có bậc 2

– 3y có bậc 1

 có bậc 0

Mà bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất

Hạng tử có bậc cao nhất là 7y2 có bậc 2

⇒ Bậc của đa thức A(y) là 2

- Ta có : B(x) = 2x5 – 3x + 7x3 + 4x5 +  = 6x5 – 3x + 7x3 + 

Sau khi rút gọn, đa thức B(x) có 4 hạng tử là :

6x5 có bậc 5

– 3x có bậc 1

7x3 có bậc 3

 có bậc 0

Mà bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất

Hạng tử có bậc cao nhất là 6x5 có bậc 5

⇒ Bậc của đa thức B(x) là 5

Sau khi rút gọn, B(x) = 6x5 – 3x + 7x3 + 

Sắp xếp các hạng tử của B(x) theo lũy thừa tăng dần của biến : 6x5 ; 7x3 ; – 3x ; 

Ta được: B(x)= 6x5 + 7x3 – 3x + 

Trước hết, ta rút gọn các đa thức:

- Q(x) = 4x3 – 2x + 5x2 - 2x3 + 1 - 2x3

Q(x) = (4x3- 2x3- 2x3) – 2x + 5x2 + 1

Q(x) = 0 – 2x + 5x2 + 1

Q(x) = – 2x + 5x2 + 1

- R(x) = - x2 + 2x4 + 2x - 3x4 – 10 + x4

R(x) = - x2 + (2x4- 3x4+ x4) + 2x – 10

R(x) = - x2 + 0 + 2x – 10

R(x) = - x2 + 2x – 10

Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến ta có:

Q(x) = 5x2 – 2x + 1

R(x) = - x2 + 2x – 10

P(x) = 2 + 5x2 – 3x3 + 4x2 –2x – x3 + 6x5

P(x) = 2 + (5x2+ 4x2) + (– 3x3– x3) – 2x + 6x5

P(x) = 2 + 9x2 – 4x3– 2x + 6x5

Sắp xếp các hạng tử của P(x) theo lũy thừa giảm của biến, ta có

P(x) = 6x5 – 4x3 + 9x2 – 2x + 2

Hệ số của lũy thừa bậc 5 là 6

Hệ số của lũy thừa bậc 3 là – 4

Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 9

Hệ số của lũy thừa bậc 1 là – 2

Hệ số của lũy thừa bậc 0 là 2

Q(x) = x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 + 3x2 – 4x –1

Q(x) = (x2+ 3x2) + 2x4 + 4x3 – 5x6– 4x –1

Q(x) = 4x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 – 4x –1

Sắp xếp các hạng tử của Q(x) theo lũy thừa giảm của biến, ta có

Q(x) = – 5x6 + 2x4 + 4x3 + 4x2 – 4x –1

Hệ số lũy thừa bậc 6 là – 5

Hệ số của lũy thừa bậc 4 là 2

Hệ số của lũy thừa bậc 3 là 4

Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 4

Hệ số của lũy thừa bậc 1 là –4

Hệ số của lũy thừa bậc 0 là –1

Ví dụ về đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là –1.

    Đa thức bậc nhất thỏa mãn các điều kiện trên: 5x - 1

    Đa thức bậc hai thỏa mãn các điều kiện trên: 5x2 - 1

    Đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện trên: 5x3 - 1

    Đa thức bậc bốn thỏa mãn các điều kiện trên: 5x4 - 1

    ...........................

Tổng quát: Đa thức bậc n (n là số tự nhiên): 5xn - 1

- Thay x = 3 vào biểu thức P(x) ta được:

P(3) = 32 – 6.3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0

Vậy P(3) = 0.

- Thay x = – 3 vào biểu thức P(x) ta được:

P(– 3) = (– 3)2 – 6.(–3) + 9 = 9 + 18 + 9 = 36

Vậy P(-3) = 36.

a) 5x2 – 2x3 + x4 – 3x2 – 5x5 + 1 = (5x2 – 3x2) – 2x3 + x4– 5x5 + 1 = 2x2 – 2x3 + x4– 5x5 + 1

= -5x5 + x4 – 2x3 + 2x2 +1.

⇒ Bậc của đa thức là 5.

b) 15 – 2x = -2x1 +15.

⇒ Bậc của đa thức là 1.

c) 3x5 + x3 - 3x5 +1 = (3x5 – 3x5) + x3 +1 = x3 + 1.

⇒ Bậc của đa thức bằng 3.

d) Đa thức -1 có bậc bằng 0.