Bài 6: Cộng, trừ đa thức

Ta có hai đa thức:

A = 2x2 y2 - 4x3 + 7xy - 18

B = x3 y+x2 y2 - 15xy + 1

A + B = (2x2 y2 - 4x3 + 7xy - 18) + (x3y + x2y2 - 15xy + 1)

       = 2x2 y2 - 4x3 + 7xy - 18 + x3y + x2y2- 15xy + 1

       = (2x2 y2 + x2y2) - 4x3 + x3 y + (7xy – 15xy) + ( -18 + 1)

       = 3x2 y2 - 4x3 + x3 y – 8xy – 17

Vậy đa thức 3x2 y2 - 4x3 + x3 y – 8xy – 17 là tổng của hai đa thức A, B

Ta có hai đa thức:

C = 12x5 + 3y4-7x3 y + 2xy - 10

D = x5- y4 + x2 y + 9xy + 2

C – D = (12x5 + 3y4-7x3 y + 2xy - 10) – (x5- y4 + x2 y + 9xy + 2)

       = 12x5 + 3y4 - 7x3 y + 2xy-10 – x5 + y4 - x2 y - 9xy - 2

       = (12x5 – x5) + (3y4 + y4) - 7x3 y - x2 y + (2xy - 9xy) + ( - 10 -2)

       = 11x5 + 4y4 - 7x3 y -x2 y – 7xy – 12

Vậy đa thức 11x5 + 4y4-7x3 y - x2 y – 7xy – 12 là hiệu của hai đa thức C và D

(x + y) + (x - y) = x + y + x - y

= (x + x) + (y - y) = 2x

(x + y) - (x - y) = x + y - x + y

= (x - x) + (y + y) = 2y

P + Q = (x2y + x3 – xy2 + 3) + (x3 + xy2 – xy – 6)

    = x2y + x3 – xy2 + 3 + x3 + xy2 – xy – 6

    = (x3 + x3) + x2y + (xy2 – xy2) – xy + (3 – 6)

    = 2x3 + x2y – xy – 3

Vậy P + Q = 2x3 + x2y – xy – 3.

M + N = (3xyz – 3x2 + 5xy – 1) + (5x2 + xyz – 5xy + 3 – y)

      = 3xyz – 3x2 + 5xy – 1 + 5x2 + xyz – 5xy + 3 – y

      = (3xyz + xyz)+( –3x2 + 5x2) + (5xy – 5xy) – y + ( – 1+3)

      = 4xyz + 2x2 – y + 2

M – N = (3xyz – 3x2 + 5xy – 1) – (5x2 + xyz – 5xy + 3 – y)

      = 3xyz – 3x2 + 5xy – 1 – 5x2 – xyz + 5xy – 3 + y

      = (– 3x2 – 5x2) + (3xyz – xyz) + (5xy + 5xy) + y +(– 1 – 3)

      = –8x2 + 2xyz + 10xy + y – 4.

N – M = (5x2 + xyz – 5xy + 3 – y) – (3xyz – 3x2 + 5xy – 1)

      = 5x2 + xyz – 5xy + 3 – y – 3xyz + 3x2 – 5xy +1

      = (5x2 + 3x2)+ (xyz – 3xyz)+( – 5xy – 5xy) + (3 + 1 )– y

      = 8x2 – 2xyz – 10xy – y + 4.

Chú ý: Vì M – N và N – M là hai đa thức đối nhau nên

N – M = 8x2 – 2xyz – 10xy – y + 4

(Ta chỉ cần đổi dấu mỗi hạng tử của đa thức M – N là thu được N – M).

P + (x2 – 2y2) = x2 - y2 + 3y2 – 1

⇒ P = (x2 – y2 + 3y2 – 1) – (x2 – 2y2)

= x2 – y2 + 3y2 – 1 – x2 + 2y2

= (x2 – x2) + ( – y2 + 3y2+ 2y2) – 1

= 0+ 4y2 – 1= 4y2 – 1.

Vậy P = 4y2 – 1.

Q – (5x2 – xyz) = xy + 2x2 – 3xyz + 5

⇒ Q = (xy + 2x2 – 3xyz + 5) + (5x2 – xyz)

= xy + 2x2 – 3xyz + 5 + 5x2 – xyz

= (2x2+ 5x2) + (- 3xyz – xyz) + xy + 5

= 7x2 – 4xyz + xy + 5.

Ta có: M = x2y + 0,5xy3 – 7,5x3y2 + x3

và N = 3xy3 – x2y + 5,5x3y2

⟹ M + N = (x2y + 0,5xy3 – 7,5x3y2 + x3) + (3xy3 – x2y + 5,5x3y2)

= x2y + 0,5xy3 – 7,5x3y2 + x3+ 3xy3 – x2y + 5,5x3y2

= (– 7,5x3y2 + 5,5x3y2) + (x2y – x2y ) + (0,5xy3 + 3xy3)+ x3

= –2x3y2 + 0 + 3,5xy3 + x3

= –2x3y2 + 3,5xy3 + x3.

Ta có: P = x5 + xy + 0,3y2 – x2y3 – 2

và Q = x2y3 + 5 – 1,3y2.

⟹ P + Q = (x5 + xy + 0,3y2 – x2y3 – 2) + (x2y3 + 5 – 1,3y2)

= x5 + xy + 0,3y2 – x2y3 – 2 + x2y3 + 5 – 1,3y2

= x5 +(– x2y3 + x2y3)+ (0,3y2 – 1,3y2)+ xy +(– 2 + 5)

= x5 + 0 – y2 + xy + 3.

= x5 – y2 + xy + 3.

Ta có: P = x2y + xy2 – 5x2y2 + x3 và Q = 3xy2 – x2y + x2y2

⇒ P + Q = (x2y + xy2 – 5x2y2 + x3) + (3xy2 – x2y + x2y2)

= x2y + xy2 – 5x2y2 + x3 + 3xy2 – x2y + x2y2

= x3 +(– 5x2y2 + x2y2)+ (x2y – x2y) + (xy2+ 3xy2)

= x3 – 4x2y2 + 0 + 4xy2

= x3 – 4x2y2 + 4xy2

Ta có: M = x3 + xy + y2 – x2y2 – 2 và N = x2y2 + 5 – y2

⇒ M + N = (x3 + xy + y2 – x2y2 – 2) + (x2y2 + 5 – y2)

= x3 + xy + y2 – x2y2 – 2 + x2y2 + 5 – y2

= x3 + (– x2y2 + x2y2) + (y2 – y2) + xy + (– 2 + 5)

= x3 + 0 + 0 + xy + 3

= x3 + xy + 3.

M + N = (x2 – 2xy + y2)+ (y2 + 2xy + x2 + 1)

= x2 – 2xy + y2 + y2 + 2xy + x2 + 1

= (x2+ x2) + (y2 + y2) + (– 2xy+ 2xy) + 1

= 2x2 + 2y2 + 0 + 1

= 2x2 + 2y2 +1

M – N = (x2 – 2xy + y2)– (y2 +2xy +x2 + 1)

= x2 – 2xy + y2 – y2 – 2xy – x2 – 1

= (x2– x2) + (y2 – y2) + (– 2xy – 2xy) – 1

= 0 + 0 – 4xy – 1

= – 4xy – 1.

Gọi A = x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3

Trước hết ta thu gọn đa thức :

A = x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3

= (– 3x3+ 3x3) + x2 + 2xy + (2y3– y3)

= 0 + x2 + 2xy + y3.

= x2 + 2xy + y3.

Thay x = 5 ; y = 4 vào A ta được :

A = 52+ 2.5.4 + 43 = 25 + 40 + 64 = 129.

Vậy giá trị biểu thức x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 tại x = 5 ; y = 4 bằng 129.

Cách 1 : Gọi B = xy – x2y2 + x4y4 – x6y6 + x8y8

Thay x = –1 ; y = –1 vào biểu thức.

B = (–1).(–1) – (–1)2.(–1)2+ (–1)4.(–1)4 – (–1)6.(–1)6 + (–1)8.(–1)8

= + 1 – 1.1 + 1.1 – 1.1+ 1.1

= 1 – 1 + 1 – 1 + 1

= 1

Cách 2: Khi x = -1, y = -1 thì x.y = (-1).(-1) = 1.

Có : B = xy – x2y2 + x4y4 – x6y6 + x8y8 = xy – (xy)2 + (xy)4 – (xy)6 + (xy)8 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1

Có nhiều cách viết, chẳng hạn:

    x3 + x2y – xy2

    x3 + xy + 1

    x + y3 + 1

    .........

Ta có : A = x2 – 2y + xy + 1; B = x2 + y – x2y2 – 1

C = A + B = (x2 – 2y + xy + 1) + (x2 + y – x2y2 – 1)

C = x2 – 2y + xy + 1 + x2 + y – x2y2 – 1

C = (x2+ x2) + (– 2y + y) + xy – x2y2 + (1 – 1)

C = 2x2 – y + xy – x2y2 + 0

C = 2x2 – y + xy – x2y2

C + A = B ⟹ C = B – A

C = (x2 + y – x2y2 – 1) – (x2 – 2y + xy + 1)

C = x2 + y – x2y2 – 1 – x2 + 2y – xy – 1

C = (x2– x2) + (y + 2y) – x2y2 – xy + ( - 1 – 1)

C = 0 + 3y – x2y2 – xy – 2

C = 3y – x2y2 – xy – 2