Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Phương trình 5$x^2$ + 2x -16 =0 có hệ số a=5 ,b=2 c=-16

Ta có: $∆$'=$1^2$ -5(-16) = 1 + 80 =81 >0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{81}$ =9

Phương trình 3$x^2$ -2x -5 =0 có hệ số a =3,b = -2, c = -5

Ta có: $∆$'=${\left(-1\right)}^2$ -3(-5) = 1 + 15 =16 >0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{16}$ =4

Phương trình $\frac{1}{3}{x}^2+2x-\frac{16}{3}=0$ ⇔ $x^2$ +6x – 16 = 0 có hệ số a = 1, b = 6, c = -16

$∆$'=$3^2$ -1(-16) = 9 +16 =25 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{25}$ =5

Phương trình $\frac{1}{2}{x}^2-3x+2=0$ ⇔ $x^2$ - 6x + 4 =0 có hệ số a = 1, b = -6, c = 4

$∆$'=${\left(-3\right)}^2$ -1.4 = 9 - 4 = 5 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{5}$

Ta có: $∆$ =${\left(-7\right)}^2$-4.2.2 =49 -16 =33 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$x_1+x_2$ =-b/a =7/2 ; $x_1{x}_2$ =c/a =2/2 =1

2$x^2$ + 9x + 7 = 0

$∆$ = $9^2$ - 4.2.7 = 81 - 56 = 25 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – et ta có:

Ta có: $∆$’ = $2^2$ – (2 - $\sqrt{3}$)(2 + $\sqrt{2}$ ) =4 -4 - 2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$ +$\sqrt{6}$

= 2$\sqrt{3}$ - 2$\sqrt{2}$ +$\sqrt{6}$ >0

Phương trình 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có : $∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.1,4.1,2 =9 – 6,72 =2,28 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$x_1+x_2$ = -b/a = 3/(1,4) = 30/14 = 15/7 ; $x_1{x}_2$ = c/a = (1,2)/(1,4) = 12/14 = 6/7

Ta có: Δ = $1^2$ -4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0

Ta có: $∆$ = $1^2$ -4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0

Phương trình 7$x^2$ -9x +2 = 0 có hệ số a = 7, b = -9, c = 2

Ta có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là $x_1$ = 1, $x_2$ = c/a = 2/7

Phương trình 23$x^2$ - 9x – 32 = 0 có hệ số a = 23, b = -9, c = -32

Ta có: a –b +c =23 – (-9) +(-32) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là $x_1$= -1, $x_2$ = -c/a = -(-32)/23 = 32/23

Phương trình 1975$x^2$ + 4x -1979 = 0 có hệ số a = 1975, b = 4, c = -1979

Ta có: a +b +c =1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là $x_1$ = 1, $x_2$ = c/a = -1979/1975

Phương trình (5 +$\sqrt{2}$ )$x^2$ + (5 - $\sqrt{2}$ )x -10 =0 có hệ số

a =5 +$\sqrt{2}$ , b = 5 - $\sqrt{2}$ , c = -10

Ta có: a +b +c =5 +$\sqrt{2}$+5 - $\sqrt{2}$ +(-10)=0

Suy ra nghiệm của phương trình là $x_1$ = 1 , $x_2$ = c/a = (-10)/(5+ $\sqrt{2}$)

 ⇔ 2$x^2$ - 9x - 11 = 0 có hệ số a = 2, b = -9, c = -11

Ta có: a –b +c =2 – (-9) +(-11) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là $x_1$=-1 , $x_2$ = -c/a = -(-11)/2 =11/2

Phương trình 31,1$x^2$ – 50,9x + 19,8 = 0 ⇔ 311$x^2$ – 509x +198 = 0 có hệ số a = 311, b = -509, c = 198

Ta có: a + b + c = 311 + (-509) + 198 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là $x_1$ = 1 , $x_2$ = c/a = 198/311

Ta có: $∆$’ = ${\left(-3\right)}^2$ -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được $x_1$ =2, $x_2$ =4

Ta có: $∆$’ = ${\left(-6\right)}^2$ -1.32 = 36 - 32 = 4 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được $x_1$ =4,$x_2$ =8

Ta có: $∆$’ = $3^2$ -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được $x_1$ = -2, $x_2$ = -4

Ta có: $∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được $x_1$ =-2, $x_2$ =5

Ta có: $∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0

Ta có: $∆$ = $3^2$ -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

Giải ra ta được: $x_1$ = 2, $x_2$ = -5

Thay x =-3 vào vế trái của phương trình , ta có:

3.${\left(-3\right)}^2$+2(-3) -21 =27 – 6 -21 =0

Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình 3$x^2$ +2x -21 =0

Theo hệ thức vi-ét ta có : $x_1{x}_2$ = c/a = -21/3 = -7 ⇒ $x_2$ = -7/$x_1$ = -7/-3 = 7/3

Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3

Thay x =5 vào vế trái của phương trình ,ta có:

-4.$5^2$ -3.5 +115 =-100 -15 +115 =0

Vậy x=5 là nghiệm của phương trình -4$x^2$ -3x +115=0

Theo hệ thức Vi-ét ta có : $x_1{x}_2$ = c/a = 115/-4 ⇒ 5$x_2$ = -115/4 ⇒ $x_2$ = -23/4

Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$$x_2$ =-35

Suy ra 7$x_2$ =-35 ⇔ $x_2$ =-5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$ + $x_2$ =-m

Suy ra: m=-7 +5 ⇔ m =-2

Vậy với m =-2 thì phương trình $x^2$ + mx - 35 = 0 có hai nghiệm $x_1$ =7, $x_2$ =-5

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$ + $x_2$ =13

Suy ra 12,5 + $x_2$ = 13 ⇔ $x_2$ = 0,5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$$x_2$ = m

Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m =6,25

Vậy với m = 6,25 thì phương trình $x^2$ -13x + m = 0 có hai nghiệm

$x_1$ =12,5 ,$x_2$ =0,5

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$ + $x_2$ = - 3/4

Suy ra: -2 + $x_2$ = - 3/4 ⇔$x_2$ = -3/4 + 2 = 5/4

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$$x_2$ = (-$m^2$+3m)/4

Suy ra: -2. 5/4 = (-$m^2$+3m)/4 ⇔ $m^2$ -3m -10 =0

$∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.1.(-10) =9+40 =49

$\sqrt{∆}=\sqrt{49}$ =7

$m_1$ =(3 +7)/(2.1) =5 ; $m_2$ =(3 -7)/(2.1) =-2

Vậy với m =5 hoặc m = -2 thì phương trình 4$x^2$ +3x – $m^2$ +3m = 0 có hai nghiệm $x_1$ =-2 , $x_2$ =5/4

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$$x_2$ =5/3

Suy ra: 1/3 .$x_2$ = 5/3 ⇔ $x_2$ =5/3 : 1/3 =5/3 .3=5

cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$ + $x_2$ =[2(m -3)]/3

Suy ra: 1/3 +5 = [2(m -3)]/3 ⇔ 2(m -3) =16 ⇔ m-3=8 ⇔ m=11

Vậy với m = 11 thì phương trình 3$x^2$ -2(m -3)x +5 =0 có hai nghiệm $x_1$ = 1/3 , $x_2$ = 5

Hai số u và v với u +v =14 và uv =40 nên nó là nghiệm của phương trình $x^2$ -14x + 40=0

$∆$’= ${\left(-7\right)}^2$ – 1.40=49 -40 =9 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{9}$ =3

Vậy u=10, v=4 hoặc u = 4, v = 10

Hai số u và v với u +v =-7 và uv =12 nên nó là nghiệm của phương trình $x^2$ +7x + 12=0

$∆$ = $7^2$ – 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{1}$ =1

Vậy u = -3, v = -4 hoặc u = -4, v = -3

Hai số u và v với u +v =-5 và uv =-24 nên nó là nghiệm của phương trình $x^2$ +5x -24 =0

$∆$ = $5^2$ – 4.1.(-24)= 25 +96=121 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{121}$ =11

Vậy u = 3, v = -8 hoặc u = -8, v = 3

Hai số u và v với u +v =4 và uv =19 nên nó là nghiệm của phương trình $x^2$ - 4x +19 = 0

$∆$’= ${\left(-2\right)}^2$ – 1.19= 4 - 19=-15 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

Ta có:

u - v = 10 ⇒ u + (-v) = 10

u.(-v) = -uv = -24

Do đó, u, -v là nghiệm của phương trình: $x^2$ - 10x - 24 = 0

$∆$’= ${\left(-5\right)}^2$ – 1.(-24)= 25 +24=49 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{49}$ =7

Vậy u = 12 , -v = -2 hoặc u = -2, -v = 12 suy ra u = 12 , v = 2 hoặc u = -2 , v = -12

Hai số u và v với $u^2$ + $v^2$ =85 và uv =18 suy ra : $u^2$$v^2$=324 nên $u^2$ và $v^2$ là nghiệm của phương trình $x^2$ -85x +324 =0

$∆$= ${\left(-85\right)}^2$ – 4.1.324= 7225 – 1296=5929 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{2959}$ =77

Ta có: $u^2$ =81 ,$v^2$ =4 suy ra: u =$\pm$9 ,v=$\pm$ 2

hoặc $u^2$ =4 ,$v^2$ =81 suy ra: u =$\pm$2 ,v=$\pm$ 9

Vậy nếu u=9 thì v=2 hoặc u=-9 ,v=-2

nếu u=2 thì v=9 hoặc u= -2 ,v=-9

Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

(x -3)(x -5) = 0 ⇔ $x^2$ -3x -5x +15 =0 ⇔ $x^2$ -8x +15 =0

Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình:

(x +4)(x -7) = 0 ⇔ $x^2$ +4x -7x -28 =0 ⇔ $x^2$ -3x -28 =0

Hai số -5 và 1/3 là nghiệm của phương trình:

(x +5)(x -1/3 )=0 ⇔ $x^2$ +5x -1/3 x -5/3 =0 ⇔ 3$x^2$ +14x - 5 =0

Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:

(x - 1,9)(x -5,1)=0 ⇔ $x^2$ - 1,9x - 5,1x + 9,69 = 0

⇔ $x^2$ -7x + 9,69 = 0

Hai số 4 và 1 -$\sqrt{2}$ là nghiệm của phương trình:

(x - 4)[x –(1 -$\sqrt{2}$ )] =0 ⇔ (x -4)(x -1 +$\sqrt{2}$ ) =0

⇔$x^2$ - x +$\sqrt{2}$ x -4x +4 - 4$\sqrt{2}$ =0

⇔ $x^2$ – (5 -$\sqrt{2}$ )x +4 - 4$\sqrt{2}$ =0

Hai số 3 - $\sqrt{5}$ và 3 + $\sqrt{5}$ là nghiệm của phương trình:

[x – (3 - $\sqrt{5}$ )][ x – (3 + $\sqrt{5}$ )] = 0

⇔ $x^2$– (3 + $\sqrt{5}$)x - (3 - $\sqrt{5}$ )x +(3+ $\sqrt{5}$)(3 - $\sqrt{5}$ ) =0

⇔ $x^2$ -6x +4 =0

Phương trình $x_2$+px -5=0 có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ nên theo hệ thức vi-ét ta có:

$x_1$ + $x_2$ = -p/1 = -p ; $x_1$$x_2$ =-5/1 =-5     (1)

Hai số –$x_1$ và –$x_2$ là nghiệm của phương trình:

[x – (-$x_1$)] [x – (-$x_2$)] =0

⇔ $x^2$ – (-$x_1$x) – (-$x_2$x) + (-$x_1$)(-$x_2$) =0

⇔ $x^2$ + $x_1$x + $x_2$x + $x_1$$x_2$ =0

⇔ $x^2$ + ($x_1$ + $x_2$ )x + $x_1$$x_2$ =0     (2)

Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là $x^2$ – px -5 =0

Phương trình $x^2$ - 6x + m = 0 có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1$ + $x_2$ =-(-6)/1 = 6

Kết hợp với điều kiện $x_1$ – $x_2$ =4 ta có hệ phương trình :

Áp dụng hệ thức vi-ét vào phương trình $x^2$ -6x + m=0 ta có:

$x_1$$x_2$ = m/1 = m . Suy ra : m = 5.1 = 5

Vậy m =5 thì phương trình $x^2$ -6x +m=0 có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1$ – $x_2$ =4

Giả sử $x_1$, $x_2$ la hai nghiệm của phương trình $x^2$ + px + q = 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1$ + $x_2$ = - p/1 = - p; $x_1$$x_2$ = q/1 = q

Phương trình có hai nghiệm là $x_1$ + $x_2$ và $x_1$$x_2$ tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.

Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.

(x + p)(x - q) = 0 ⇔ $x^2$ - qx + px - pq = 0 ⇔ $x^2$ + (p - q)x - pq = 0

Phương trình cần tìm: $x^2$ + (p - q)x - pq = 0

Phương trình (2m - 1)$x^2$ - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 ( m $\ne$ $\frac{1}{2}$)

Phương trình (2m - 1)$x^2$ - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 ( m $\ne$ $\frac{1}{2}$)