Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình 2$x^2$ – 5x + 1 = 0 có a = 2, b = -5, c = 1

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac = ${\left(-5\right)}^2$ – 4.2.1 = 25 – 8 = 17 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{17}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

Phương trình 4$x^2$ + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, c = 1

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac = $4^2$ – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

Phương trình có nghiệm kép :

Phương trình 5$x^2$ – x + 2 = 0 có a = 5, b = -1, c = 2

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac = ${\left(-1\right)}^2$ – 4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Phương trình -3$x^2$ + 2x + 8 = 0 có a = -3, b = 2, c = 8

Ta có: Δ = $b^2$ – 4ac = $2^2$ – 4.(-3).8 = 4 + 96 = 100 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{100}$ = 10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

Phương trình 2$x^2$ - 2$\sqrt{2}$ x + 1 = 0 có a = 2, b = -2$\sqrt{2}$, c = 1

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac = ${\left(-2\sqrt{2}\right)}^2$ – 4.2.1 = 8 – 8 = 0

Phương trình có nghiệm kép :

Phương trình 2$x^2$ – (1 - 2$\sqrt{2}$ )x - $\sqrt{2}$ = 0 có a = 2, b = -(1 - 2$\sqrt{2}$ ), c = -$\sqrt{2}$

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac = ${\left[-\left(1-2\sqrt{2}\right)\right]}^2$ – 4.2.(-$\sqrt{2}$)

= 1 - 4$\sqrt{2}$ + 8 + 8$\sqrt{2}$ = 1 + 4$\sqrt{2}$ + 8

= 1 + 2.2$\sqrt{2}$ + ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2$ = ${\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2$ > 0

 = 1 + 2$\sqrt{2}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

Phương trình 3$x^2$ + 7,9x + 3,36 = 0 có a = 3, b = 7,9, c = 3,36

Ta có: Δ = $b^2$ – 4ac = $7,9^2$ – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{22,09}$ = 4,7

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

*Vẽ đồ thị hàm số y = 2$x^2$

*Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 3

Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0; 3)

Cho y = 0 thì x = 3 ⇒ (3; 0)

Ta có: I(-1,5; 4,5), J(1; 2)

*x = -1,5 là nghiệm của phương trình 2$x^2$ + x – 3 = 0 vì:

2${\left(-1,5\right)}^2$ + (-1,5) – 3 = 4,5 – 4,5 = 0

*x = 1 là nghiệm của phương trình 2$x^2$ + x – 3 = 0 vì:

2.$1^2$ + 1 – 3 = 3 – 3 = 0

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac = $1^2$ – 4.2.(-3) = 1 + 24 = 25 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{25}$ = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

*Vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$

*Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1

Cho x = 0 thì y = -1 ⇒ (0; -1)

Cho y = 0 thì x = 1/2 ⇒ (1/2 ; 0)

Dựa vào đồ thị, ta có : $x_1\approx 0,60, x_2\approx 3,40$

Phương trình m$x^2$ – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ = 0

Ta có: $∆$ = ${\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2$ – 4.m.2 = 4($m^2$ – 2m + 1) – 8m

= 4($m^2$ – 4m + 1)

$∆$ = 0 ⇔ 4($m^2$ – 4m + 1) = 0 ⇔ $m^2$ – 4m + 1 = 0

Giải phương trình $m^2$ – 4m + 1 = 0. Ta có:

$∆$m = ${\left(-4\right)}^2$ – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0

Vậy với m = 2 + $\sqrt{3}$ hoặc m = 2 - $\sqrt{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

Phương trình 3$x^2$ + (m + 1)x + 4 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi $∆$ = 0

Ta có : $∆$ = ${\left(m+1\right)}^2$ – 4.3.4 = $m^2$ + 2m + 1 – 48 = $m^2$ + 2m – 47

$∆$ = 0 ⇔ $m^2$ + 2m – 47 = 0

Giải phương trình $m^2$ + 2m – 47 = 0. Ta có:

$∆$m = $2^2$ – 4.1.(-47) = 4 + 188 = 192 > 0

Vậy với m = 4$\sqrt{3}$ – 1 hoặc m = -1 - 4$\sqrt{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

m$x^2$ + (2m – 1)x + m + 2 = 0 (1)

*Nếu m = 0, ta có (1) ⇔ -x + 2 = 0 ⇔ x = 2

*Nếu m $\ne$ 0 thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi $∆$ $\ge$ 0

Ta có : $∆$ = ${\left(2m-1\right)}^2$ – 4m(m + 2) = 4$m^2$ – 4m + 1 – 4$m^2$ – 8m

= -12m + 1

$∆$ $\ge$ 0 ⇔ -12m + 1 $\ge$ 0 ⇔ m $\le$ 1/12

Vậy khi m $\le$ 1/12 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (1) theo m :

2$x^2$ – (4m + 3)x + 2$m^2$ – 1 = 0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi $∆$ $\ge$ 0

Ta có: $∆$ = ${\left[-\left(4m+3\right)\right]}^2$ – 4.2(2$m^2$ – 1)

= 16$m^2$ + 24m + 9 – 16$m^2$ + 8 = 24m + 17

$∆$ $\ge$ 0 ⇔ 24m + 17 $\ge$ 0 ⇔ m $\ge$ -17/24

Vậy khi m $\ge$ -17/24 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (2) theo m:

Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra -4ac > 0

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac, trong đó $b^2$ > 0

Nếu -4ac > 0 thì $∆$ luôn lớn hơn 0.

Khi $∆$ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng :

Phương trình 3$x^2$ – x – 8 = 0 có:

a = 3, c = -8 nên ac < 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra -4ac > 0

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac, trong đó $b^2$ > 0

Nếu -4ac > 0 thì $∆$ luôn lớn hơn 0.

Khi $∆$ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng :

Phương trình 2004$x^2$ + 2x - 1185$\sqrt{5}$ = 0 có:

a = 2004, c = -1185$\sqrt{5}$ nên ac < 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra -4ac > 0

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac, trong đó $b^2$ > 0

Nếu -4ac > 0 thì $∆$ luôn lớn hơn 0.

Khi $∆$ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng :

Phương trình 3$\sqrt{2}$$x^2$ + $\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$x + $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ = 0 có:

a = 3$\sqrt{2}$ , c = $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ nên ac < 0 (vì $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ )

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra -4ac > 0

Ta có: $∆$ = $b^2$ – 4ac, trong đó $b^2$ > 0

Nếu -4ac > 0 thì $∆$ luôn lớn hơn 0.

Khi $∆$ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng :

2010$x^2$ + 5x - $m^2$ = 0 (1)

*Với m = 0 thì (1) ⇔ 2010$x^2$ + 5x = 0: phương trình có 2 nghiệm.

*Với m $\ne$ 0 ta có: $m^2$ > 0, suy ra: -$m^2$ < 0

Vì a = 2010 > 0, c = -$m^2$ < 0 nên ac < 0

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

5$x^2$ + 20 = 0 ⇔ 5$x^2$ = - 20

Vế trái 5$x^2$ $\ge$ 0; vế phải -20 < 0

Không có giá trị nào của x để 5$x^2$ = - 20

Phương trình vô nghiệm.

$∆$ = $0^2$ - 4.5.20 = - 400 < 0. Phương trình vô nghiệm.

Đặt f(x) = ax2 + bx + c