Bài 3: Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương

a→ = (3; 3; 1) là: 

Phương trình chính tắc của ∆ là:

∆ ⊥ (α) ⇒ a∆→=aα→= (2; −1; 1)

Phương trình tham số của ∆ là

Phương trình chính tắc của ∆ là:

∆ đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương CD→ = (1; 2; 3)

Vậy phương trình tham số của ∆ là

Phương trình chính tắc của ∆ là:

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (α). Đường thẳng ∆ cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: A(1 − t; t; 4t) ∈ d1

A ∈ (α) ⇔ t + 4.(2t) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra: A(1; 0; 0)

Ta có : B(2 − t′; 4 + 2t′; 4) ∈ d2

B ∈ (α) ⇔ 4 +2t′ + 8 = 0 ⇔ t′ = −6

Suy ra B(8; -8; 4)

∆ đi qua A, B nên có vecto chỉ phương a∆→=AB→ = (7; −8; 4)

Phương trình chính tắc của ∆ là:

d và d' cắt nhau.

d và d' song song

d và d' chéo nhau.

Ta có ad→ = (1; a; −1) và ad'→ = (2; 4; −2)

d//d′  ⇒ a = 2

Khi đó M'0(1; 2; 2) thuộc d’ và M'0không thuộc d. Vậy d // d’ ⇔ a = 2.

Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại M0(0; 1; 1)

Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của (α) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⇔ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với (α)

Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của (α) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⇔ 0t = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong (α) .

Đường thẳng Δ đi qua điểm M0(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương a→ = (2; 2; 1).

Ta có M0A→ = (0; 0; 1), n→ = a→ ∧ M0A→ = (2; −2; 0).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến ∆ là 

Ta có: a∆→ = (2; 3; 2) và nα→ = (2; −2; 1)

a∆→.nα→ = 4 – 6 + 2 = 0 (1)

Xét điểm M0 (-3; -1; -1) thuộc ∆ , ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình của (α) . Vậy M0 ∉ (α) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ // (α).

d(α,(α)) = d(M0,(α))

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng α và mặt phẳng (α) là 2/3.

Gọi (α) là mặt phẳng chứa ∆ và song song với ∆′. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: a→ = (1; −1; 0) và a'→ = (−1; 1; 1). Suy ra nα→ = (−1; −1; 0)

(α) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc ∆ và có vecto pháp tuyến: nα'→ = (1; 1; 0)

Vậy phưong trình của mặt phẳng (α) có dạng x – 1 + y + 1 = 0 hay x + y = 0

Ta có: M2(2; 2; 0) thuộc đường thẳng ∆'

Hai đường thẳng ∆ và ∆′ có phương trình là:

Phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ và song song với ∆′ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên ∆′ .

Ta có:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆′ là 

∆ đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương a→ = (2; 1; −2)

∆′ đi qua điểm M0’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương a→ = (−4; −2; 4)

Ta có: 

Vậy ∆′ song song với ∆

Ta có M0M'0→ = (−3; 4; −5)

a→ = (2; 1; −2)

n→ = M0M'0→ ∧ a→ = (−3; −16; −11)

Phương trình tham số của ∆: 

Xét điểm H(1 + 2t; −1 − t; 2t) ∈ ∆

Ta có MH→ = (2t − 1; −t; 2t − 1)

a∆→ = (2; −1; 2)

H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ ⇔ MH→. a∆→ = 0

⇔ 2(2t − 1) + t + 2(2t − 1) = 0 ⇔ t = 4/9

Ta suy ra tọa độ điểm 

H là trung điểm của MM’, suy ra xM'+xM=2xH

Suy ra

Tương tự, ta được

Vậy 

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – y + 2z + 12 = 0 là:

Δ 

Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t; 2 + 2t) ∈ ∆

Ta có H ∈ (α) ⇔ 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 ⇔ t = −19/9

Vậy ta được 

H là trung điểm của MM’, suy ra xM'=2xH-xM = −67/9

yM'=2yH-yM = 29/9

zM'=2zH-zM = −58/9

Vậy ta được 

Phương trình tham số của đường thẳng d: 

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là a→ = (−1; 2; 3), a'→ = (1; −2; 0).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’; 1) trên d’ ta có MM'→ = (t′ + t; 1 − 2t′ − 2t; 1 − 3t).

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là

Do đó MM'→ = 

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương u→ = (2; 1; 0)

Vậy phương trình tham số của ∆ là: 

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ, CD→=ai→; CB→=aj→; CC'→=ak→

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a; 0; 0), D’(a; 0; a)

CA'→ = (a; a; a), DD'→ = (0; 0; a)

Gọi (α) là mặt phẳng chứa CA'→ và song song với DD'→. Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: n→ = CA'→ ∧ DD'→ = (a2; −a2; 0) hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của (α) là x – y = 0.

Ta có:

d(CA′, DD′) = d(D,(α)) = 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là 

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là nα→ = (2; 1; 1) và ad→ = (2; 1; −3).

Gọi a∆→ là vecto pháp tuyến của Δ, ta có a∆→ ⊥ nα→ và a∆→ ⊥ ad→

Suy ra a∆→ = nα→ ∧ nd→ = (−4; 8; 0) hay a∆→ = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của ∆ là 

=Ta có ad1→= (2; −3; 4) và ad2→ = (3; 2; −2)

n→ = ad1→ ∧ ad2→ = (−2; 16; 13)

Lấy điểm M1(1; -2; 5) trên d1 và điểm M2(7; 2; 1) trên d2.

Ta có M1M2→ = (6; 4; −4)

n→. M1M2→ = −12 + 64 – 52 = 0

Suy ra d1 và d2 cùng nằm trong mặt phẳng (α)

Mặt phẳng (α) chứa M1 và có vecto pháp tuyến là n→, vậy phương trình của (α) là:

–2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 – 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 hay 2x – 16y – 13z + 31 = 0