Bài 3: Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương

$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (3; 3; 1) là: 

Phương trình chính tắc của $∆$ là:

$∆$ ⊥ ($\mathrm{\alpha }$) ⇒ $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$=$\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\alpha }}$= (2; −1; 1)

Phương trình tham số của $∆$ là

Phương trình chính tắc của $∆$ là:

$∆$ đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ = (1; 2; 3)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là

Phương trình chính tắc của $∆$ là:

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ với (α). Đường thẳng $∆$ cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: A(1 − t; t; 4t) $\in$ ${\mathrm{d}}_1$

A $\in$ ($\mathrm{\alpha }$) ⇔ t + 4.(2t) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra: A(1; 0; 0)

Ta có : B(2 − t′; 4 + 2t′; 4) $\in$ ${\mathrm{d}}_2$

B $\in$ ($\mathrm{\alpha }$) ⇔ 4 +2t′ + 8 = 0 ⇔ t′ = −6

Suy ra B(8; -8; 4)

$∆$ đi qua A, B nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}=\overrightarrow{AB}$ = (7; −8; 4)

Phương trình chính tắc của $∆$ là:

d và d' cắt nhau.

d và d' song song

d và d' chéo nhau.

Ta có $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$ = (1; a; −1) và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}\text{'}}}$ = (2; 4; −2)

d//d′  ⇒ a = 2

Khi đó $\mathrm{M}{\text{'}}_0$(1; 2; 2) thuộc d’ và $\mathrm{M}{\text{'}}_0$không thuộc d. Vậy d // d’ ⇔ a = 2.

Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) tại ${\mathrm{M}}_0$(0; 1; 1)

Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của ($\mathrm{\alpha }$) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⇔ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với ($\mathrm{\alpha }$)

Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của ($\mathrm{\alpha }$) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⇔ 0t = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong ($\mathrm{\alpha }$) .

Đường thẳng Δ đi qua điểm ${\mathrm{M}}_0$(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (2; 2; 1).

Ta có $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_0\mathrm{A}}$ = (0; 0; 1), $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_0\mathrm{A}}$ = (2; −2; 0).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến $∆$ là 

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = (2; 3; 2) và $\overrightarrow{n_{\mathrm{\alpha }}}$ = (2; −2; 1)

$\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$.$\overrightarrow{n_{\mathrm{\alpha }}}$ = 4 – 6 + 2 = 0 (1)

Xét điểm ${\mathrm{M}}_0$ (-3; -1; -1) thuộc $∆$ , ta thấy tọa độ ${\mathrm{M}}_0$ không thỏa mãn phương trình của ($\mathrm{\alpha }$) . Vậy ${\mathrm{M}}_0$ $\notin$ ($\mathrm{\alpha }$) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra $∆$ // ($\mathrm{\alpha }$).

d($\mathrm{\alpha }$,($\mathrm{\alpha }$)) = d(${\mathrm{M}}_0$,($\mathrm{\alpha }$))

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $\mathrm{\alpha }$ và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) là 2/3.

Gọi ($\mathrm{\alpha }$) là mặt phẳng chứa $∆$ và song song với $∆$′. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên ($\mathrm{\alpha }$) là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (1; −1; 0) và $\overrightarrow{\mathrm{a}\text{'}}$ = (−1; 1; 1). Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\alpha }}$ = (−1; −1; 0)

(α) đi qua điểm ${\mathrm{M}}_1$(1; -1; 1) thuộc $∆$ và có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }\text{'}}}$ = (1; 1; 0)

Vậy phưong trình của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) có dạng x – 1 + y + 1 = 0 hay x + y = 0

Ta có: ${\mathrm{M}}_2$(2; 2; 0) thuộc đường thẳng $∆$'

Hai đường thẳng $∆$ và $∆$′ có phương trình là:

Phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) chứa $∆$ và song song với $∆$′ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên $∆$′ .

Ta có:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $∆$ và $∆$′ là 

$∆$ đi qua điểm ${\mathrm{M}}_0$(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (2; 1; −2)

$∆$′ đi qua điểm ${\mathrm{M}}_0$’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (−4; −2; 4)

Ta có: 

Vậy $∆$′ song song với $∆$

Ta có $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_0\mathrm{M}{\text{'}}_0}$ = (−3; 4; −5)

$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (2; 1; −2)

$\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_0\mathrm{M}{\text{'}}_0}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (−3; −16; −11)

Phương trình tham số của $∆$: 

Xét điểm H(1 + 2t; −1 − t; 2t) $\in$ $∆$

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{MH}}$ = (2t − 1; −t; 2t − 1)

$\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = (2; −1; 2)

H là hình chiếu vuông góc của M trên $∆$ ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MH}}$. $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = 0

⇔ 2(2t − 1) + t + 2(2t − 1) = 0 ⇔ t = 4/9

Ta suy ra tọa độ điểm 

H là trung điểm của MM’, suy ra ${\mathrm{x}}_{\mathrm{M}\text{'}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{H}}$

Suy ra

Tương tự, ta được

Vậy 

Phương trình tham số của đường thẳng $∆$ đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 2z + 12 = 0 là:

Δ 

Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t; 2 + 2t) $\in$ $∆$

Ta có H $\in$ ($\mathrm{\alpha }$) ⇔ 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 ⇔ t = −19/9

Vậy ta được 

H là trung điểm của MM’, suy ra ${\mathrm{x}}_{\mathrm{M}\text{'}}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{H}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}}$ = −67/9

${\mathrm{y}}_{\mathrm{M}\text{'}}=2{\mathrm{y}}_{\mathrm{H}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}$ = 29/9

${\mathrm{z}}_{\mathrm{M}\text{'}}=2{\mathrm{z}}_{\mathrm{H}}-{\mathrm{z}}_{\mathrm{M}}$ = −58/9

Vậy ta được 

Phương trình tham số của đường thẳng d: 

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (−1; 2; 3), $\overrightarrow{\mathrm{a}\text{'}}$ = (1; −2; 0).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’; 1) trên d’ ta có $\overrightarrow{\mathrm{MM}\text{'}}$ = (t′ + t; 1 − 2t′ − 2t; 1 − 3t).

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là

Do đó MM'→ = 

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = (2; 1; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là: 

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{ai}$; $\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{aj}$; $\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{ak}$

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a; 0; 0), D’(a; 0; a)

$\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ = (a; a; a), $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$ = (0; 0; a)

Gọi ($\mathrm{\alpha }$) là mặt phẳng chứa $\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ và song song với $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$. Mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$ = (${\mathrm{a}}^2$; −${\mathrm{a}}^2$; 0) hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của ($\mathrm{\alpha }$) là x – y = 0.

Ta có:

d(CA′, DD′) = d(D,($\mathrm{\alpha }$)) = 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là 

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (2; 1; 1) và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$ = (2; 1; −3).

Gọi $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ là vecto pháp tuyến của Δ, ta có $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_d}$ = (−4; 8; 0) hay $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là 

=Ta có $\overrightarrow{{\mathrm{ad}}_1}$= (2; −3; 4) và $\overrightarrow{{\mathrm{ad}}_2}$ = (3; 2; −2)

$\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{{\mathrm{ad}}_1}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{ad}}_2}$ = (−2; 16; 13)

Lấy điểm ${\mathrm{M}}_1$(1; -2; 5) trên ${\mathrm{d}}_1$ và điểm ${\mathrm{M}}_2$(7; 2; 1) trên ${\mathrm{d}}_2$.

Ta có $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_1{\mathrm{M}}_2}$ = (6; 4; −4)

$\overrightarrow{n}$. $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_1{\mathrm{M}}_2}$ = −12 + 64 – 52 = 0

Suy ra ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ cùng nằm trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$)

Mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) chứa ${\mathrm{M}}_1$ và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{\mathrm{n}}$, vậy phương trình của ($\mathrm{\alpha }$) là:

–2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 – 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0 hay 2x – 16y – 13z + 31 = 0