Bài 2: Tích phân

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: ${\int }_{-1}^1{\mathrm{x}}^2{\left(1-{\mathrm{x}}^3\right)}^{4}dx$

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\cos 2xdx$

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\ln 2}x{e}^{\mathit{-}\mathit{2}\mathit{x}}dx$

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau: ${\int }_0^1\mathit{ln}\left(2x+1\right)dx$

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau: ${\int }_2^3\left[\mathit{ln}\left(x-1\right)-\ln \left(\mathrm{x}+1\right)\right]dx$

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau: ${\int }_{\frac{1}{2}}^2\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx$

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\cos x{\sin }^{2}xdx$

Tính các tích phân sau đây: ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(x+1\right)\cos \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)dx$

Tính các tích phân sau đây: ${\int }_0^1\frac{x^2+x+1}{x+1}{\log }_2\left(x+1\right)dx$

Tính các tích phân sau đây: ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{x^2\mathit{-}1}{x^{\mathit{4}}+1}dx$ ( đặt t = x + $\frac{1}{\mathrm{x}}$ )

Tính các tích phân sau đây: ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\sin 2xdx}{3+4\mathrm{sinx}-\cos 2\mathrm{x}}$

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\int }_0^{\mathrm{x}}\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{1+{\mathrm{t}}^4}}\mathrm{dt},\mathrm{x}\in \mathrm{R}$ là hàm số chẵn.

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}=\left\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x} \left(1\right)\\ 0 \left(2\right)\end{array}\right.$

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: ${\int }_{-2}^2\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)d\mathrm{x}$

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{f}\left(\mathrm{sinx}\right)d\mathrm{x}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{f}\left(\mathrm{cosx}\right)d\mathrm{x}$

${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{\mathrm{n}}\mathrm{xdx},\mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

Chứng minh rằng: ${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}-1}{\mathrm{n}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{n}-2}, \mathrm{n}>2$

${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{\mathrm{n}}\mathrm{xdx},\mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

Tính ${\mathrm{I}}_3$ và ${\mathrm{I}}_5$

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

a, ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}+{\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}+{\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}=0$

b, ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\sqrt[3]{\mathrm{sinx}}-\sqrt[3]{\mathrm{cosx}}\right)d\mathrm{x}=0$

c, ${\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\ln \frac{1-x}{1+x}d\mathrm{x}=0$

d, ${\int }_0^2\left(\frac{1}{1+x+x^2+x^3}+1\right)d\mathrm{x}=0$

Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây: ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\left|\mathrm{sinx}\right|d\mathrm{x}$

A. ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$          B. ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}2\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$

C. ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}-{\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$          D. $-{\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}2\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$

${\int }_{-1}^1\left|\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3\right|d\mathrm{x}$ bằng:

A. 1/2              B. 2

C. -1              D. 0

${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\sin 2\mathrm{x}.\mathrm{sinx}}{2}+{\cos }^{3}xd\mathrm{x}$ bằng:

A. 2              B. 2$\mathrm{\pi }$

C. $\mathrm{\pi }$              D. -$\mathrm{\pi }$

${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{lnx}}{{\mathrm{x}}^2}d\mathrm{x}$ bằng:

A. -1 - $\frac{1}{\mathrm{e}}$       B. 1 - $\frac{2}{\mathrm{e}}$

C. -1 + $\frac{2}{\mathrm{e}}$       D. 0

Đối với tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\tan x}{{\cos }^{2}x}d\mathrm{x}$

thực hiện đổi biến số t = tanx ta được:

A. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}td\mathrm{t}$            B. ${\int }_{-1}^{0}td\mathrm{t}$

C. ${\int }_0^{1}td\mathrm{t}$            D. $-{\int }_0^{1}td\mathrm{t}$

${\int }_0^1\sin x\sqrt{x}d\mathrm{x}$ bằng:

A. 2(sin1 - cos1)              B. sin1 - cos1

C. 2(cos1 - sin1)              D. 2(sin1 + cos1)