39 câu Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân hàm ẩn có đáp án (Mới nhất)

Chọn C
Ta có: I=∫−11f(x)dx=∫−10x2+x+2dx+∫01e2xdx=43+e22.
Vậy a+b+c=9.

Chọn D

Xét I=∫e2e4f(lnx) xdx

Đặt t=lnx⇒dt=1xdx

Đổi cận: x=e2⇒t=2x=e4⇒t=4.

I=∫24f(t)dt=∫24f(x)dx=∫231x−4dx+∫34x1+x2dx=1894−ln2.

Chọn A

Xét I=∫−71f(1−x3)dx

Đặt t=1−x3⇒−3t2dt=dx

Đổi cận: x=−7⇒t=2x=1⇒t=0.

I=−3∫20t2f(t)dt=3∫02x2f(x)dx=3∫01x2x+1dx+∫12xdx=2512.

Chọn B

Đặt u=2x+1⇒dx=12du. Khi x=−1 thì u=−1. Khi x=1 thì u=3.

Nên I=12∫−13fudu=12∫−10fudu+∫03fudu

=12∫−10f−udu+∫03fudu.

Xét ∫01fxdx=4. Đặt x=−u⇒dx=−du.

Khi x=0 thì u=0. Khi x=1 thì u=−1.

Nên 4=∫01fxdx=−∫0−1f−udu=∫−10f−udu.

Ta có ∫03fxdx=6⇒∫03fudu=6 .

Nên I=12∫−10f−udu+∫03fudu=124+6=5

Chọn C

Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có:  ∫12fxdx=F2−F1=F2−3  mà ∫12fxdx=∫122dx=2 nên F2=5.

Ø∫01fxdx=F1−F0=3−F0 mà ∫01fxdx=∫012xdx=x201=1 nên F0=2.

Ø ∫−10fxdx=F0−F−1=2−F−1 mà ∫−10fxdx=∫−102xdx=x2−10=−1 nên F−1=3 .

Ø∫−3−1fxdx=F−1−F−3=3−F−3 mà ∫−3−1fxdx=∫−3−1−2dx=−4 nên F−3=7 .

Vậy F0+F2+F−3=2+5+7=14.

Chọn D

Ta có x−2=x−2 khi x≥22−x khi x≤2.

Do đó I=∫122x−2+1x dx+∫252x−2+1x dx.

=∫1222−x+1x dx+∫252x−2+1x dx=∫125x−2 dx+∫252−3x dx.

=5lnx−2x21+2x−3lnx52=4+8ln2−3ln5

⇒a=8b=−3⇒S=a+b=5

Chọn C

Từ giả thiết ta có fx3+3x+1=3x+2 nên suy ra f1=2, f5=5.

Suy ra I=∫15xf'xdx=xfx15−∫15fxdx=23−∫15fxdx.

Đặt x=t3+3t+1⇒dx=3t2+3dt.

Với x=1⇒t=0;x=5⇒t=1

Do đó ∫15fxdx=∫01ft3+3t+13t2+3dt=∫013t+23t2+3dt=594 .

Vậy I=23−594=334.

Chọn B

Đặt x=t5+4t+3⇒dx=5t4+4dt.

Đổi cận: x=−2⇒t=−1x=8⇒t=1

Khi đó ∫−28fxdx=∫−11ft5+4t+35t4+4dt=∫−112t+15t4+4dt=10.

Chọn C

Ta có f'x=22x−1

 22x−1dx=ln2x−1+C=ln1−2x+C1       ;x<12ln2x−1+C2       ;x>12

 f0=1⇒C1=1 và f1=2⇒C2=2 .

Do đó fx=ln1−2x+1       ;x<12ln2x−1+2       ;x>12⇒f−1=ln3+1f3=ln5+2

⇒f−1+f3=3+ln15.

Chọn A

Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx . Đổi cậnx=−π2⇒t=−1x=π2⇒t=1 .

⇒I=∫−11ftdt=∫−11fxdx

Do f(x)=3x2+2x khi x≥05−x khi x<0

⇒I=∫−105−xdx+∫013x2+2xdx=152. 

Chọn C

          Đặt t=3−2x⇒dt=−2dx⇒dx=−12dt. Đổi cận x=0⇒t=3x=1⇒t=1.

Do f(x)=x2−2x+3 khi x≥2x+1 khi x<2

⇒I=12∫12x+1dx+∫23x2−2x+3dx=4112.

Chọn A

Đặt t=cosx+1⇒dt=−sinxdx. Đổi cận x=0⇒t=2x=π2⇒t=1.

⇒I=∫12ftdt=∫12fxdx

Do f(x)=x2+2x khi x≥32x−2 khi x<32

⇒I=∫132x−2dx+∫322x2+2xdx=3512.

Chọn A

Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx. Đổi cận x=−π2⇒t=−1x=π2⇒t=1.

⇒I=∫−11ftdt=∫−11fxdx

Do f(x)=x2−x khi x≥0x khi x<0

⇒I=∫−10xdx+∫01x2−xdx=−23.

Chọn B

Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx⇒xdx=12dt . Đổi cận x=0⇒t=1x=2⇒t=5.

⇒I=12∫15ftdt=12∫15fxdx

Do f(x)=x2+x+1 khi x≥32x−1 khi x<3

⇒I=12∫132x−1dx+∫35x2+x+1dx=733.

Chọn B

Xét I=∫0π2fsinxcosxdx

Đặt sinx=t⇒cosxdx=dt

Với x=0⇒t=0

x=π2⇒t=1

I=∫01ftdt=∫01fxdx=∫012f(x)dx+∫121f(x)dx=∫0123x+3dx+∫121x+4dx=174.

Chọn D

Xét I=∫0π3f3cosx−2sinxdx

Đặt 3cosx−2=t⇒−3sinxdx=dt⇒sinxdx=−13dt

Với x=0⇒t=0

    x=π3⇒t=−12

I=13∫−121ftdt=13∫−121fxdx=13∫−120f(x)dx+13∫01f(x)dx

=13∫−1202x2−x+1dx+13∫012x2+1dx=1924.

Chọn C

Xét I=∫−π2π4f5sin2x−1cos2xdx

Đặt 5sin2x−1=t⇒10cos2xdx=dt⇒cos2xdx=110dt

Với x=−π2⇒t=−1

x=π4⇒t=4

⇒I=110∫−14ftdt=110∫−14fxdx=110∫−11f(x)dx+110∫14f(x)dx

=110∫−111−x2dx+110∫142x−2dx=3130.

Chọn A

Xét I=∫1ef2+lnx1xdx

Đặt 2+lnx=t⇒1xdx=dt

Với x=1e⇒t=1

x=e⇒t=3

⇒I=∫13ftdt=∫13fxdx=∫12fxdx+∫23fxdx=∫1211−xdx+∫232x3−x−5dx=692.

Chọn C

Xét I=∫0ln2f3ex−1exdx

Đặt 3ex−1=t⇒3exdx=dt⇒exdx=13dt

Với x=0⇒t=2

x=ln2⇒t=5

⇒I=13∫25ftdt=13∫23fxdx+13∫35fxdx=13∫231−x2dx+13∫35(7−5x)dx=−949.

Chọn C

Ta có phương trình sinx−cosx=0 có một nghiệm trên đoạn 0;π2 là x=π4.

Bảng xét dấu

Suy ra ∫0π2maxsinx,cosxdx=∫0π4cosxdx+∫π4π2sinxdx=sinx0π4−cosxπ4π2=2.

Chọn B

Đặt fx=x3−x ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta có.

∀x∈0;1,fx≤0⇔x3−x≤0⇔x3≤x⇒maxx3,x=x.

∀x∈1;2,fx≥0⇔x3−x≥0⇔x3≥x⇒maxx3,x=x3.

Ta có: I=∫02maxx3,xdx=∫01maxx3,xdx+∫12maxx3,xdx.

Nên I=∫02maxx3,xdx=∫01xdx+∫12x3dx=12x201+14x412=174.

ChọnB

Ta có   xx+1.f'x+fx=x2+x       (1)

Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho x+12 ta được xx+1.f'x+1x+12fx=xx+1

⇒xx+1.fx'=xx+1, với ∀x∈ℝ\0;  −1⇒xx+1.fx=∫xx+1 dx.

Mặt khác, f1=−2ln2⇔21−ln2+C=−2ln2⇔C=−1.

Do đó fx=x+1xx−lnx+1−1.

Với x=2 thì fx=321−ln3=32−32ln3. Suy ra a=32 và b=−32.

Vậy a2+b2=92.

ChọnC

Lấy đạo hàm theo hàm số

f'x+y=f'y+3x2+6xy,∀x∈ℝ .

Cho y=0⇒f'x=f'0+3x2⇒f'x=1+3x2

 ⇒fx=∫f'xdx=x3+x+C mà f0=1⇒C=1. Do đó fx=x3+x+1.

Vậy ∫01fx−1dx=∫−10fx dx=∫−10x3+x+1 dx=14.

Chọn A

Ta có∫01x2fxdx=x33fx01−∫01x33f'xdx. Suy ra ∫01x33f'xdx=−13.

Hơn nữa ta dễ dàng tính được ∫01x69 dx=163.

Do đó∫01f'x2dx+2.21∫01x33f'xdx+212∫01x69 dx=0⇔∫01f'x+7x32dx=0 .

Suy ra f'x=−7x3, do đó fx=−74x4+C. Vì f1=0 nên C=74 .

Vậy ∫01fxdx=−74∫01x4−1dx=75 .

Chọn D

Ta có J=∫12f'x+2x−fx+1x2dx=∫12f'xxdx−∫12fxx2dx+∫122x−1x2dx.

Đặt u=1xdv=f'xdx⇒du=−1x2dxv=fx.

J=∫12f'x+2x−fx+1x2dx=1x.fx12+∫12fxx2dx−∫12fxx2dx+∫122x−1x2dx.

=12f2−f1+2lnx+1x12=12+ln4

Chọn B

Ta có: f'x=1x2+x−2=131x−1−1x+2

fx=13∫1x−1−1x+2dx=13lnx−1x+2+C=13ln1−x−ln−x−2+C1;   x∈−∞;−213ln1−x−lnx+2+C2;   x∈−2;113lnx−1−lnx+2+C3;   x∈1;+∞

Với f0=13⇒13ln1−0−ln0+2+C2=13⇒C2=13ln2+13

Với f−3−f3=0⇒C1−C3=13ln110

Nên f−4+f1−f4=13ln52+13ln2−13ln12+C2+C1−C3=13ln2+13.

Chọn B

Ta có f'x=−exf2x⇔f'xf2x=−ex ( do fx>0)

⇒∫f'xf2xdx=∫−exdx⇒−1fx=−ex+C⇒fx=1ex−C.

Mà f0=12⇒1e0−C=12⇒C=−1 .

⇒fx=1ex+1⇒fln2=1eln2+1=13.

Chọn D

Từ giả thiết ta có fx+gx=−x.f'x−x.g'x

⇔fx+x.f'x+gx+x.g'x=0⇔x.fx'+x.gx'=0

⇒x.fx+x.gx=C⇒fx+gx=Cx

                    Mà  f1+g1=4⇒C=4⇒I=∫14fx+gx dx=∫144x dx=8ln2 .

Chọn A

          Từ giả thiết ta có: 1(x+1)2g(x)−x+1xf'(x)=−2017xx+1g'(x)+1x2f(x)=2018, ∀x∈1;2.

          Suy ra: 1(x+1)2g(x)+xx+1g'(x)−x+1xf'(x)−1x2f(x)=1⇔xx+1g(x)'−x+1xf(x)'=1⇒xx+1g(x)−x+1xf(x)=x+C.

          Mà f(1)=g(1)=0⇒C=−1⇒I=∫12xx+1g(x)−x+1xf(x)dx=∫12(x−1)dx=12.

Chọn A

Xét I=∫0π2f3sin2x−1sin2xdx

Đặt 3sin2x−1=t⇒3sin2xdx=dt⇒sin2xdx=13dt

Với x=0⇒t=-1

x=π2⇒t=2

⇒I=13∫−12ftdt=13∫−12fxdx=13∫−11f(x)dx+13∫12f(x)dx

=13∫−11x3+x+2dx+13∫12x+3dx=214..

Chọn B

Xét I=∫113fx+3−2dx

Đặt x+3−2=t⇒x+3=t+2⇒x+3=(t+2)2⇒dx=2(t+2)dt

Với x=1⇔t=0

x=13⇔t=2

⇒I=2∫02(t+2)ftdt=2∫02(x+2)fxdx=2∫01(x+2)fxdx+2∫12(x+2)fxdx

=2∫01(x+2)x2dx+2∫12(2x−1)(x+2)dx=976.

Chọn A

Xét I=∫−π4π2f3−4cos2xsin2xdx

Đặt 3−4cos2x=t⇒sin2xdx=14dt

Với x=−π4⇒t=1

x=π2⇒t=3

⇒I=14∫13ftdt=14∫13fxdx=14∫12f(x)dx+14∫23f(x)dx

=13∫124−2xdx+13∫232x−4dx=23.

Chọn C

Xét I=∫1e4f4−lnx1xdx

Đặt 4−lnx=t⇒4−lnx=t2⇒1xdx=−2tdt

Với x=1⇒t=2

x=e4⇒t=0

⇒I=2∫02t.ftdt=2∫02x.fxdx=2∫01x.f(x)dx+2∫12x.f(x)dx

=2∫01xx4+2x2−1dx+2∫12x3−x2dx=116..

Chọn D

Xét I=∫−π4π4f2−7tanx1cos2xdx

Đặt  2−7tanx=t⇒1cos2xdx=−17dt

Với x=−π4⇒t=9

x=π4⇒t=-5

⇒I=17∫−59ftdt=17∫−59fxdx=17∫−50f(x)dx+17∫02f(x)dx+17∫29f(x)dx

=17∫−502x2−1dx+17∫02x−1dx+17∫295−2xdx=10921.

Chọn D

Ta có: I=2∫0π2cosxfsinxdx+2∫02f3−2xdx=I1+I2

Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx. Đổi cận x=0⇒t=0x=π2⇒t=1.

⇒I1=2∫01ftdt=∫−11ftdt=∫−11fxdx

Do  f(x)=x2−x khi x≥0x khi x<0

⇒I1=∫−10xdx+∫01x2−xdx=−23V.

Đặt t=3−2x⇒dt=−2dx⇒dx=−12dt. Đổi cận x=0⇒t=3x=2⇒t=−1.

⇒I2=∫−13ftdt=∫−13fxdx

Do f(x)=x2−x khi x≥0x khi x<0

⇒I2=∫−10xdx+∫03x2−xdx=4.

Vậy I=I1+I2=103

Chọn A

Ta có: I=∫03x.fx2+1x2+1dx+∫ln2ln3e2x.f1+e2xdx=I1+I2

Đặt t=x2+1⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒xdx=tdt. Đổi cận x=0⇒t=1x=3⇒t=2.

⇒I1=∫12ftdt=∫12ftdt=∫12fxdx

Do f(x)=4x khi x>2−2x+12 khi x≤2

⇒I1=∫12−2x+12dx=9.

Đặt t=1+e2x⇒dt=2e2xdx⇒e2xdx=12dt . Đổi cận x=ln2⇒t=5x=ln3⇒t=10.

⇒I2=12∫510ftdt=12∫510fxdx

Do f(x)=4x khi x>2−2x+12 khi x≤2

⇒I2=12∫5104x=75.

Vậy I=I1+I2=84

Chọn A

I=∫π4π3ftanxcos2xdx+∫0e−1x.flnx2+1x2+1dx=I1+I2

Đặt t=tanx⇒dt=1cos2xdx. Đổi cận x=π4⇒t=1x=π3⇒t=3.

⇒I1=∫13ftdt=∫13fxdx

Đặt t=lnx2+1⇒dt=2xx2+1dx⇒xx2+1dx=12dt . Đổi cận x=0⇒t=0x=e−1⇒t=12.

⇒I2=12∫012ftdt=12∫012fxdx

Do f(x)=2x3−x khi x≥1−3x+2 khi x<1

⇒I=I1+I2=∫132x3−xdx+12∫012−3x+2dx=5316⇒a=53, b=16.

Vậy a+b=69

Chọn A

I=∫1e2flnxxdx+∫326x.fx2+1dx=I1+I2

Đặt t=lnx⇒dt=1xdx. Đổi cận x=1⇒t=0x=e2⇒t=2.

⇒I1=∫02ftdt=∫02fxdx

Đặt t=x2+1⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒xdx=tdt. Đổi cận x=3⇒t=2x=26⇒t=5 .

⇒I2=∫25t.ftdt=∫25x.fxdx

Do f(x)=12x+2 khi 0≤x<2−x+7 khi 2≤x<5

⇒I=I1+I2=∫0212x+2dx+∫25x.−x+7dx=792⇒a=79, b=2.

Vậy a−b=77

Chọn B

I=∫0π2f(2sinx−1)cosx dx+∫ee2flnxxdx=I1+I2

Đặt t=2sinx−1⇒dt=2cosxdx⇒cosxdx=dt2. Đổi cận x=0⇒t=−1x=π2⇒t=1 .

⇒I1=12∫−11ftdt=12∫−11fxdx

Do  f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0

⇒I=12∫−102x−3dx+∫01x2+x+1dx=−1312.

Đặt t=lnx⇒dt=1xdx. Đổi cận  x=e⇒t=1x=e2⇒t=2.

⇒I2=∫12ftdt=∫12fxdx

Do  f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0

⇒I=∫12x2+x+1dx=296.

⇒I=I1+I2=−37772⇒a=−377, b=72

Vậy a+b=−305