Bài 2 : Mặt cầu

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) là đường tròn tâm H có bán kính là:

ì 0 < a < b < r ⇒

Vậy đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) có bán kính lớn hơn mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (β)

Tâm là giao điểm các đường chéo (O)

Bán kính mặt cầu là OA = 1/2 AC’

Đường chéo hình vuông cạnh a là a√2 (AC = a√2)

Xét tam giác vuông ACC’ tại C:

⇒ bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương là (a√3)/2

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1;

⇒ Diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt).

Gọi tâm các mặt lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.

⇒ (H’) là bát diện đều EMNPQF.

+ Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2

+ EM là đường trung bình của ΔBA’D

QUẢNG CÁO

⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng 

⇒ Diện tích một mặt của (H’) là:

⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là:

Vậy tỉ số diện tích cần tính là:

Tâm mặt cầu tiếp xúc 6 mặt của hình lập phương là trung điểm O của EE’

Bán kính mặt cầu là OE = 1/2 EE’ = 1/2 AA’ = 1/2 a

Hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r có cạnh bằng 2r

Thể tích hình lập phương đó là: 2r3=8r3

+ Gọi O là trung điểm của AB.

Tam giác AMB là vuông tại M có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên : 

Suy ra, M thuộc mặt cầu tâm O, bán kính là 

+ Ngược lại, xét mặt cầu  với O là trung điểm của AB.

Lấy điểm M bất kì thuộc mặt cầu này. Suy ra:  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

⇒ Tam giác MAB vuông tại M.

Kết luận: Vậy tập hợp các điểm M trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới 1 góc vuông là mặt cầu 

Gọi I là tâm của mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước.

⇒ I cách đều tất cả các điểm M thuộc đường tròn (C)

⇒ I nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn (C) và vuông góc với mặt phẳng chứa (C).

* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC)

* Ta có:  (định lí 3 đường vuông góc)

Chứng minh tương tự có:  (1)

* Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:

⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)

⇒ IN = IM = IP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt taị M, N và P.

Ta có:  (1)

Mặt khác; IM = IN = IP = r.

⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)

⇒ JM = JN = JP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC,

Hai đường thẳng MAB và MCD giao nhau xác định một mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.

Xét ΔMAC và ΔMDB có:

⇒ MA.MB = MC.MD (đpcm).

* Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) tại I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA

Suy ra, AI là tiếp tuyến của mặt cầu đã cho tại điểm I.

Ta có AM và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của mặt cầu nên:

AM = AI ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

* Tương tự có BM = BI.

* Xét hai tam giác AMB và tam giác AIB có:

AM = AI

BM = BI

AB chung

Suy ra: ∆ AMB = ∆ AIB ( c.c.c)

Gọi mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với các cạnh của hình tứ diện đã cho lần lượt tại M, N, P, Q ,R và S.

* Ta chứng minh: AM = AR = AQ.

Do mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, AC và AD lần lượt tại M; R và Q nên :

Xét ba tam giác OAM; OAR và OAQ có:

* Chứng minh tương tự ta có:

BM = BN = BS = b

CP = CN = CR = c.

DP = DQ = DS = d

Ta có:

Do đó, AB + CD = AC + BD = AD + BC.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng a tại H. Khi đó (P) và H cố định.

Ta có: (P) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn tâm H và bán kính HA không đổi.

Vậy các mặt cầu tâm O bán kính R = OA luôn đi qua đường tròn cố định tâm H bán kính bằng HA.

* Gọi M là trung điểm của tam giác SAB.

Tam giác SAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên ta có:

⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

* Kẻ Mt ⊥ (SAB), ta có: Mt// SC và Mt là trục đưởng tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Trong mp(Mt, SC), đường trung trực của SC cắt Mt tại điểm I.

Ta có: IS = IC. (1)

Và IS = IB = IA (2).

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB= IC = IS

Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :