Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Các số sin⁡α; cos⁡α; tan⁡α; cot⁡α được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0o ≤ α ≤ 180o.

sin 25π/4 = sin(6π + π/4) = sin π/4 = √2/2

cos(-240° ) = cos(-360° + 120°) = cos 120°= - 1/2

tan⁡(-405o ) = tan⁡(-360o - 45o) = -tan⁡45o = -1

Xét điểm M thuộc đường tròn lượng giác xác định bởi số α .

Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox và Oy. Khi đó:

cosα = OH¯; sinα = OK¯

Trong lượng giác, người ta gọi trục Ox là trục cô sin và trục Oy là trục sin .

Trên đường tròn lượng giác,từ A(1,0) vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác.

Từ B(0,1) vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác .

Cho cung lượng giác AM có số đo α (α ≠ π/2 + kπ ). Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

Gọi S là giao điểm của OM và trục s’Bs.

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm T trên trục tan. Do đó

tan(α + kπ) = tanα.

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm S trên trục cot. Do đó

cot(α + kπ) = cotα.

cosα = OH¯; sinα = OK¯

Do tam giác OMK vuông tại K nên:

sin2 α + cos2 α = OK¯2 + OH¯2 = OK2 + MK2 = OM2 = 1.

Vậy sin2 α + cos2 α = 1.

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.

Trên trục tung xác định điểm K sao cho 

Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Khi đó với  thì theo định nghĩa sin α = 

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.

c) Vì -√2 < -1 nên không tồn tại α để sin α = -√2.

d) Vì √5/2 > 1 nên không tồn tại α để sin α = √5/2

Vì 0 < α < π/2 nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin (α – π) = - sin (π – α) (Áp dụng công thức sin (- α) = - sin α)

= -sin α (Áp dụng công thức sin (π – α) = sin α)

Mà sin α > 0 nên sin (α – π) < 0.

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác:

Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ  như trên hình vẽ.

a) cos α = 1 ⇔ M trùng với A hay α = k.2π, k ∈ Z.

b) cos α = -1 ⇔ M trùng với A’ hay α = π + k.2π, k ∈ Z

c) cos α = 0 ⇔ M trùng với B hoặc B’ hay α = π/2 + k.π, k ∈ Z

d) sin α = 1 ⇔ M trùng với B hay α = π/2 + k.2π, k ∈ Z

e) sin α = -1 ⇔ M trùng với B’ hay α = -π/2 + k.2π, k ∈ Z

f) sin α = 0 ⇔ M trùng với A hoặc A’ hay α = k.π, k ∈ Z