81 câu Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 3 (Có đáp án): Một số phương trình lượng giác thường gặp(Đề số 2)

Chọn D

Do -1≤sinx,cos2x≤1 nên sinxcos2x=1

+ Trường hợp 1:Sinx = cos2x = 1

Với sinx = 1 thì ta có:

    $\cos 2x = 1- 2{\sin }^{2}x = 1- 2.1^2=-1\ne 1$ ( theo giả thiết) nên loại

+  Trường hợp 2:  sinx = cos2x = -1

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\sin x = -1\\ \cos 2x = -1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = -\frac{\pi }{2} +\hspace{0.17em}k2\pi \\ 2x = \pi +\hspace{0.17em}k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x = -\frac{\pi }{2} +\hspace{0.17em}k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2}+\hspace{0.17em}k\pi \end{array}\right.\iff x = -\frac{\pi }{2} +\hspace{0.17em}k2\pi \end{gathered}$$

Chọn A

Ta có:$y=\frac{2\sin x+\cos x+1}{\sin x-2\cos x+3}$

$$\begin{gathered} {(\sin x - 2\cos x)}^2\le (1^2 +\hspace{0.17em}{2}^2) . ({\sin }^{2}x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}{\cos }^{2}x)= 5 \\ \Rightarrow - \sqrt{5}\le \sin x - 2\cos x\le \sqrt{5} \\ \Rightarrow \sin x - 2\cos x \hspace{0.17em}+ 3 > 0\forall x \end{gathered}$$

+ $y=\frac{2\sin x+\cos x+1}{\sin x-2\cos x+3}$

$\iff$y. (sinx - 2cosx + 3) = 2sinx + cosx + 1 

$\iff$(y-2)  . sinx - (2y+ 1)cosx = 1 - 3y  (*)

Để phương trình (*) có nghiệm điều kiện là:

$$\begin{gathered} {( y- 2)}^2+\hspace{0.17em}{(2y +\hspace{0.17em}1)}^2\ge {(\hspace{0.17em}1- 3y)}^2\iff y^2- 4y +\hspace{0.17em}4 +\hspace{0.17em}4y^2+ 4y +\hspace{0.17em}1\ge 1- 6y +\hspace{0.17em}9y^2 \\ \iff - 4y^2+\hspace{0.17em}6y +\hspace{0.17em}4 \ge 0 \\ \iff \frac{-1}{2}\le y\le 2 \end{gathered}$$

Chọn A

dấu đẳng thức xảy ra khi 

Đáp án đúng là D

Giải thích

Hàm số xác định $\iff \sin x-\cos x\ne 0$

$\iff \sin x\ne \cos x$

$\iff \cos x\ne \cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$

Đáp án đúng: C

Giải thích:

Hàm số xác định $\iff 3-\sin 2x\ge 0$$\iff \sin 2x\le 3$(luôn đúng)

Vậy tập xác định của hàm số là R

Chọn C

Giải thích:

Chu kì của hàm số $y_1=\sin \frac{x}{2}$ là $T_1=\frac{2\pi }{\left|\frac{1}{2}\right|}=4\pi$

Chu kì của hàm số $y_2=\cos x$ là $T_2=2\pi$

Chu kì của hàm số $y=\sin \frac{x}{2}+\cos x=y_1+y_2$ là $BCNN\left(2;4\right).\pi =4\pi$.

Giải thích:

Xét phương án B: 

TXĐ: $D=ℝ$

Giả sử $x\in D$ thì $-x\in D$

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \left(-2x\right)=-\sin 2x=-f\left(x\right)$

Vậy $\sin 2x$ là hàm lẻ.

Chọn đáp án B.

Chọn B

${\sin }^{2}x+4\sin x\cos x+2m{\cos }^{2}x=0$
$\iff \frac{1-\cos 2x}{2}+2\sin 2x+2m.\frac{1+\cos 2x}{2}=0$
$\iff \frac{1-\cos 2x+2m+2m\cos 2x}{2}+2\sin 2x=0$
$\iff \left(2m-1\right)\cos 2x+4\sin 2x+2m+1=0$

Phương trình có nghiệm $\iff {\left(2m-1\right)}^2+4^2\ge {\left(2m+1\right)}^2$

$\iff 4m^2-4m+1+16\ge 4m^2+4m+1$
$\iff -8m\ge -16$

$\iff m\le 2$.

Đáp án đúng: A

Giải thích

${\cos }^{2}x+\sin x-1=0$
$\iff -{\sin }^{2}x+\sin x=0$
$\iff \sin x\left(-\sin x+1\right)=0$
$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ -\sin x+1=0\end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.$

Vì $x\in \left(0;\pi \right)$ nên $x=\frac{\pi }{2}$

Chọn đáp án A.

Chọn A

$y=3\sin x+4\cos x+5$
$\iff 3\sin x+4\cos x= y- 5$

Để phương trình có nghiệm thì $3^2+4^2\ge {\left(y - 5\right)}^2$

$\iff 25\ge y^2-10y+25$
$\iff y^2-10y\le 0$
$\iff 0\le y\le 10$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.

Xét $-\sin x+2\cos x+4=0$$\iff -\sin x +\hspace{0.17em}2\cos x =-4$

Ta thấy ${\left(-1\right)}^2+2^2<4^2$ nên phương trình vô nghiệm.

Do đó $-\sin x+2\cos x+4\ne 0$.

Như vậy, $y=\frac{2\sin x+\cos x+3}{-\sin x+2\cos x+4}$

$\iff y\left(-\sin x+2\cos x+4\right)=2\sin x+\cos x+3$

$\iff \sin x\left(2+y\right)+\cos x\left(1-2y\right)= 4y - 3$

Để phương trình có nghiệm thì ${\left(2+y\right)}^2+{\left(1-2y\right)}^2\ge {\left(4y- 3\right)}^2$

$\iff 5y^2+5\ge 16y^2-24y+9$

$\iff 11y^2-24y+4\le 0$

$\iff \frac{2}{11}\le y\le 2$

Chọn đáp án D.

Đáp án đúng: D

Giải thích:

$\sin 3x+1=0\iff \sin 3x=-1$

$\iff 3x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\frac{-\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}$

Đáp án đúng: B

Giải thích

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff x\ne k\frac{\pi }{2}$

$\tan x+\cot x-2=0$

$\iff \tan x+\frac{1}{\tan x}-2=0$
$\iff {\tan }^{2}x-2\tan x+1=0$

$\iff \tan x=1$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}\cos 2x\ne 0\\ \tan x\ne 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\\ x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

Chọn đáp án B.

Đáp án đúng: A

Giải thích

$2{\sin }^{2}x-\sin 2x=0$
$\iff 1-\cos 2x-\sin 2x=0$
$\iff \cos 2x+\sin 2x=1$
$\iff \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\iff \cos \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)$
$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}-2x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \frac{\pi }{4}-2x=\frac{-\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}-k\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=l\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+l\pi \end{array}\right.$

Chọn B

Đặt $\cos 5x=t$, phương trình trở thành:

$2t^2+3t-5=0$
$\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{-5}{2}\end{array}\right.$

Với t=1 thì $\cos 5x=1\iff 5x=k2\pi \iff x=\frac{k2\pi }{5}$

Với $t=\frac{-5}{2}$ thì $\cos x=\frac{-5}{2}$ (vô lí vì $-1\le \cos x\le 1$)

Mà $x\in \left(0;\pi \right)$ nên các giá trị thỏa mãn là $\frac{2\pi }{5};\frac{4\pi }{5}$.

Theo đồ thị, chu kì của hàm số là $3\pi$ nên loại đáp án C, D

Thử giá trị với $x=\frac{3\pi }{2}$ thì y=-1 thấy hàm số $\cos \frac{2x}{3}$ thỏa mãn.

Chọn đáp án A.

Chọn B

$\sin \left(\pi x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+\pi x\right)$
$\iff \cos \left(\frac{\pi }{2}-\pi x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+\pi x\right)$ hay $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\pi x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\pi x\right)$
$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}+\pi x=\frac{\pi }{2}-\pi x+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}+\pi x=-\frac{\pi }{2}+\pi x+k2\pi \left(l\right)\end{array}\right.$
$\iff 2\pi x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$

$\iff x=\frac{1}{12}+k$

Đáp án đúng là B.

Giải thích

${\sin }^{2}x+\sin x\cos x=1$
$\iff 1-{\sin }^{2}x-\sin x\cos x=0$
$\iff {\cos }^{2}x-\sin x\cos x=0$
$\iff \cos x\left(\cos x-\sin x\right)=0$
$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\Rightarrow x = \frac{\pi }{2} +\hspace{0.17em}k\pi \\ \cos x=\sin x,(*)\end{array}\right.$

Giải (*)

$\left(*\right)\iff \cos x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$
$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ x=\frac{-\pi }{2}+x+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

Chọn A

${\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x=\sin x+\cos x$
$\iff \left(\cos x+\sin x\right)\left({\cos }^{2}x-\cos x.\sin x+{\sin }^{2}x\right)-\left(\sin x+\cos x\right)=0$
$\iff \left(\cos x+\sin x\right)\left(1-\cos x.\sin x\right)-\left(\sin x+\cos x\right)=0$
$\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\cos x.\sin x-1\right)=0$
$\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(-\cos x.\sin x\right)=0$
$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x+\cos x=0\\ -\cos x.\sin x=0\end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x.\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos x.\frac{1}{\sqrt{2}}=0\\ \sin 2x=0\end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=0\\ \sin 2x=0\end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}+x=k\pi \\ 2x=k\pi \end{array}\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.$

Chọn D

$3\cos x-5=0$

$\iff \cos x=\frac{5}{3}>1$ (vô lí vì $-1\le \cos x\le 1$)

Vậy phương trình vô nghiệm

ĐKXĐ.: $x\ge 0$

TXĐ: $D=\left[0;+\infty \right)$

Chọn đáp án C.

Chọn A

Chọn B

* Với cos 2x = 1 thì sin2x =0 ( không thỏa mãn điều kiện)

Chọn C

Ta có: 

 $\begin{array}{l}2{\sin }^{2}x-5\sin x.c{\text{osx -cos}}^{2}x+2=0\\ \iff 2{\sin }^{2}x-5\sin x.c{\text{osx -cos}}^{2}x+2({\sin }^{2}x+\text{}c{\text{os}}^{2}x)=0\\ \iff 4{\sin }^{2}x-5\sin x.c{\text{osx +\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cos}}^{2}x=0(*)\end{array}$

* Lại  có, cos x =0 không là  nghiệm của phương trình trên .

Chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}x$ ta được:  $4{\tan }^2 x - 5\tan x + 1 = 0$ 

Nên đáp án chọn là C

Chọn C

Chọn B