81 câu Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 3 (Có đáp án): Một số phương trình lượng giác thường gặp

Chọn đáp án C 

Chọn A

khi đó,  x = $\frac{\pi }{2}$

Vậy có 1 nghiệm thỏa mãn đầu bài

Chọn A

Chọn A

Chọn D

Chọn D

Ta có: cos 2x – sin 2x = 1

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4}\,\,\cos 2x - \sin \frac{\pi }{4}\,\,\sin 2x} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = 1\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = \cos \frac{\pi }{4}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\,2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\,x = k\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

+) Với \(x = k\pi \) và \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\)

\( \Rightarrow 0 < k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow 0 < k < 2\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow k = 1\)

Khi đó, phương trình có nghiệm thuộc (0; 2π) là: x = π.

+) Với \[x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \] và \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\)

\( \Rightarrow 0 <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow 0 < k < \frac{9}{4}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow k = 1;\,\,2\).

Khi đó, phương trình có nghiệm thuộc (0; 2π) là: \[\frac{{3\pi }}{4};\,\,\frac{{7\pi }}{4}\].

Do đó các nghiệm của phương trình trong khoảng (0; 2π) là: \[\frac{{3\pi }}{4};\,\,\frac{{7\pi }}{4};\,\,\pi \].

Vậy tổng các nghiệm này là: \[\frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \pi  = \frac{{14\pi }}{4}\].

Đáp án B.

Chọn C

Vậy các nghiệm thuộc khoảng (0, 2π) là $\frac{\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4}$

Chọn A

Chọn A

Ta có: ${\sin }^{3}x + 3{\cos }^{3}x – 3\sin x{\cos }^2 x – {\sin }^{2}x\cos x = 0$

Do cosx=0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho ${\text{cos}}^{3}x\ne 0$  ta được phương trình:

Chọn A

Ta có:  $- {\sin }^{3}x + {\cos }^{3}x = \sin x –\cos x$

$\begin{array}{l}\iff (c\text{os x- sin x)}.(c{\text{os}}^{2}x+c{\text{osx. sin x+sin}}^{2}x)+\text{\hspace{0.17em}}(c\text{os x - sin x) = 0}\\ \iff (c\text{os x- sin x)}.(1+c\text{osx. sin x})+\text{\hspace{0.17em}}(c\text{os x - sin x) = 0}\\ \iff (\text{}c\text{osx - sin x ). (1+}c\text{os x. sinx}+\text{}1)=0\\ \iff (\text{}c\text{osx - sin x ). (2+\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\sin 2x}{2}\text{ )}=0\iff \left[\begin{array}{c}\text{cosx - sinx}=0\\ \frac{\sin 2x}{2}=-2\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{cosx - sin x =0 }\iff \sqrt{2}\text{cos }\left(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\pi }{4}\right)=0\\ \iff \text{cos }\left(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+\text{}k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\text{}k\pi \end{array}$

$\frac{\sin 2x}{2}=-2\iff \sin 2x=-4<\text{}-1 nên loại$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x=\frac{\pi }{4}+\text{}k\pi$

Chọn A

Chọn C

Chọn D

ta có cos2x - √3sin2x= 1

$\begin{array}{l}\iff \frac{1}{2}\text{cos 2x - \hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{3}}{2}.\sin 2x=\frac{1}{2}\iff \sin \frac{\pi }{6}.c\text{os2x - cos}\frac{\pi }{6}\text{. sin2x = }\frac{1}{2}\\ \iff \text{sin\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\frac{\pi }{6}-2x\right)\text{ = sin}\frac{\pi }{6}\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{6}-2x=\frac{\pi }{6}+\text{}k2\pi \\ \frac{\pi }{6}-2x=\pi -\frac{\pi }{6}+\text{}k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-k\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}-k\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=l\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+\text{}l\pi \end{array}\right.\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(l=-k\in Z)\end{array}$

Suy ra phương trình chỉ có một nghiệm thuộc(0;π) là $x = \frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

Chọn A

Chọn D

Vậy trong khoảng (0,2π), phương trình có các nghiệm là $\frac{\mathrm{\pi }}{4}; \frac{3\mathrm{\pi }}{4}; \frac{5\mathrm{\pi }}{4}; \frac{7\mathrm{\pi }}{4}$ nên tổng các nghiệm là 4π

Chọn A