79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng α:2x−y+2z+7=0.
Tính giá trị nhỏ nhất của P=3MA→+5MB→−7MC→.
Pmin=20.
Pmin=5.
Pmin=25.
Pmin=27.
Gọi điểm Ix;y;z sao cho 3IA→+5IB→−7IC→=0→.
Khi đó 31−x+5−1−x−73−x=031−y+52−y−7−1−y=031−z+50−z−72−z=0⇔x=−23y=20z=−11⇒I−23;20;−11.
Xét P=3MA→+5MB→−7MC→=3MI→+IA→+5MI→+IB→−7MI→+IC→.
=MI→+3IA→+5IB→−7IC→=MI→=MI.
Pmin khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng α.
Khi đó: Pmin=dI,α=2.−23−20+2.−11+722+−12+22=27.
Chọn D.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng (P):x+y+z=0. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2−2MB2 lớn nhất.
M(−2;1;1).
M(2;−1;1).
M(6;−18;12).
M(−6;18;12).
Gọi I thỏa mãn IA→−2IB→=0→.
Khi đó IO→+OA→−2(IO→+OB→)=0→⇔OI→=2OB→−OA→⇔I(13;−11;19).
Ta có MA2−2MB2=MA→2−2MB→2=MI→+IA→2−2MI→+IB→2=−MI2+IA2−2IB2.
MA2−2MB2 lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Ta tìm được M(6;−18;12).
Chọn C.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn m2+n2+p2=3. Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP bằng
13.
3.
13.
127.
Do M,N,P không trùng với gốc tọa độ nên m≠0,n≠0,p≠0.
Phương trình mặt phẳng (MNP) là: xm+yn+zp=1⇔1mx+1ny+1pz−1=0.
Suy ra d(O,(MNP))=11m2+1n2+1p2.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m2,n2,p2 và ba số dương 1m2,1n2,1p2 ta có:
m2+n2+p2≥3m2n2p23 và 1m2+1n2+1p2≥31m2n2p23.
Suy ra m2+n2+p21m2+1n2+1p2≥9
⇔3⋅1m2+1n2+1p2≥9 do m2+n2+p2=3⇔1m2+1n2+1p2≥3⇔1m2+1n2+1p2≥3⇔11m2+1n2+1p2≤13
Vậy d(O,(MNP))≤13. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m2=n2=p2=1.
Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP là 13.
Chọn C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−2z+5=0. Giả sử M∈(P) và N∈(S) sao cho MN→ cùng phương với vectơ u→=(1;0;1) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
MN=3.
MN=1+22.
MN=32.
MN=14.
S có tâm I(−1;2;1) và bán kính R=1.
Ta có: d(I,(P))=|−1−2.2+2.1−3|12+22+22=2>R.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng P và α là góc giữa MN và NH
Vì MN→ cùng phương với u→ nên góc α có số đo không đổi.
ΔMNH vuông tại H có α=HNM^ nên HN=MN.cosα⇒MN=1cosα.HN
Do đó MN lớn nhất ⇔HN lớn nhất ⇔HN=d(I,(P))+R=3.
Có cosα=cos(u→,nP→)=12 nên MN=1cosαHN=32.
Chọn C.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm M0;−1;2,N−1;1;3 và không đi qua điểm H(0;0;2). Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng T=a−2b+3c+12 bằng
-16.
8.
12.
16.
Gọi K là hình chiếu của H lên (P),E là hình chiếu của H lên MN
Ta có d(H;(P))=HK và d(H;MN)=HE, HK≤HE (không đổi).
Vậy d(H;(P)) lớn nhất khi K≡E, với E là hình chiếu của H lên MN.
Suy ra E−13;−13;73.
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng nhận HE→=−13;−13;13 làm vectơ pháp tuyến và đi qua M có phương trình là −x−y+z−3=0.
Suy ra a=−1b=−1c=1.
Vậy T=16.
Chọn D.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm Mx;y;z thuộc mặt phẳng Oyz sao cho MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P=x+y+z.
P=0.
P=2.
P=6.
P=−2.
Chọn A
Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng P:2x+y+2z+1=0. Khi đó MA−MB nhận giá trị lớn nhất là
77.
41.
7.
85.
Chọn B
Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm A1;0;2,B2;−1;4. Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng P sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
x−7y−4z+7=03x−y+z−5=0.
x−7y−4z+14=03x+y−z+5=0.
x−7y−4z+7=03x+y−z+5=0.
x−7y−4z+5=03x+y−z+5=0.
Chọn C
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng P:m2+2mx−m2+4m−1y+23m−1z+m2+1=0.
Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng P.
5.
29.
33.
21.
Chọn B
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y−32+z−62=45 và M1;4;5. Ba đường thẳng thay đổi d1,d2,d3 nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là A,B,C. Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng ABC là
3.
5.
4.
6.
Chọn D
