79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

Gọi điểm $I\left(x;y;z\right)$  sao cho $3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}3\left(1-x\right)+5\left(-1-x\right)-7\left(3-x\right)=0\\ 3\left(1-y\right)+5\left(2-y\right)-7\left(-1-y\right)=0\\ 3\left(1-z\right)+5\left(0-z\right)-7\left(2-z\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-23\\ y=20\\ z=-11\end{array}\right.\Rightarrow I\left(-23;20;-11\right).$

Xét $P=\left|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+5\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)-7\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\right|.$

    $=\left|\overrightarrow{MI}+\left(3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC}\right)\right|=\left|\overrightarrow{MI}\right|=MI.$

$P_{\min }$ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $\left(\alpha \right).$

Khi đó: $P_{\min }=d\left(I,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2.\left(-23\right)-20+2.\left(-11\right)+7\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=27.$

Chọn D.

Gọi I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.$

Khi đó $\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OA}-2(\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OI}=2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\iff I(13;-11;19).$

Ta có $M{A}^2-2M{B}^2={\left(\overrightarrow{MA}\right)}^2-2{\left(\overrightarrow{MB}\right)}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2-2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2=-M{I}^2+\left(I{A}^2-2I{B}^2\right).$

$M{A}^2-2M{B}^2$ lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên $\left(P\right)$ .

Ta tìm được $M(6;-18;12)$ .

Chọn C.

Do $M,N,P$  không trùng với gốc tọa độ nên $m\ne 0,n\ne 0,p\ne 0$ .

Phương trình mặt phẳng $\left(MNP\right)$  là: $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1\iff \frac{1}{m}x+\frac{1}{n}y+\frac{1}{p}z-1=0$ .

Suy ra $d(O,(MNP\left)\right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $m^2,n^2,p^2$  và ba số dương $\frac{1}{m^2},\frac{1}{n^2},\frac{1}{p^2}$ ta có:

$m^2+n^2+p^2\ge 3\sqrt[3]{m^2{n}^2{p}^2}$ và $\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{m^2{n}^2{p}^2}}$ .

Suy ra $\left(m^2+n^2+p^2\right)\left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\right)\ge 9$

$$\begin{gathered} \iff 3\cdot \left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\right)\ge 9\left(\text{do }{m}^2+n^2+p^2=3\right) \\ \iff \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\ge 3\iff \sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}}\ge \sqrt{3}\iff \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}}}\le \frac{1}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Vậy $d(O,(MNP\left)\right)\le \frac{1}{\sqrt{3}}.$  Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m^2=n^2=p^2=1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left(MNP\right)$  là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Chọn C.

$\left(S\right)$ có tâm $I(-1;2;1)$  và bán kính $R=1$ .

Ta có: $d(I,(P\left)\right)=\frac{|-1-2.2+2.1-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=2>R$ .

Gọi $H$  là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng $\left(P\right)$  và $\alpha$  là góc giữa MN và  NH

Vì $\overrightarrow{MN}$  cùng phương với $\overrightarrow{u}$  nên góc $\alpha$  có số đo không đổi.

$\Delta MNH$ vuông tại H có $\alpha =\widehat{HNM}$  nên $HN=MN.\cos \alpha \Rightarrow MN=\frac{1}{\cos \alpha }.HN$

Do đó MN lớn nhất $\iff HN$  lớn nhất $\iff HN=d(I,(P\left)\right)+R=3.$

Có $\cos \alpha =\left|\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{n_P})\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$  nên $MN=\frac{1}{\cos \alpha }HN=3\sqrt{2}$ .

Chọn C.

Gọi K là hình chiếu của H lên $\left(P\right),E$ là hình chiếu của H lên  MN

Ta có $d(H;(P\left)\right)=HK$  và $d(H;MN)=HE,HK\le HE$  (không đổi).

Vậy $d(H;(P\left)\right)$  lớn nhất khi $K\equiv E,$  với E là hình chiếu của H lên MN.

Suy ra $E\left(\frac{-1}{3};\frac{-1}{3};\frac{7}{3}\right)$ .

Vậy mặt phẳng $\left(P\right)$  cần tìm là mặt phẳng nhận $\overrightarrow{HE}=\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$  làm vectơ pháp tuyến và đi qua M có phương trình là $-x-y+z-3=0$ .

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-1\\ c=1\end{array}\right.$ .

Vậy $T=16$ .

Chọn D.