79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Ta có phương trình x−2+y−1+z3=1⇔−12x−y+13z−1=0⇔3x+6y−2z+6=0.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n→=3;6;−2.

Chọn A.

Mặt phẳng (P) đi qua A2;1;−1 và vuông góc với BC nên nhận BC→=1;−2;−5 làm vectơ pháp tuyến. Vì vậy ta viết được phương trình mặt phẳng (P) là:x−2−2y−1−5z+1=0⇔x−2y−5z−5=0.

Chọn A.

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có M(2;1;0) và AB→=(2;8;−4)=2(1;4;−2)=2n→.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M và có một vectơ pháp tuyến là n→ nên có phương trình:x+4y−2z−6=0

Suy ra a=4,b=−2,c=−6.

Vậy a+b+c=−4.

Chọn B.

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy)  và đi qua A(1;1;1) nhận k→=(0;0;1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là z−1=0.

Chọn D.

(P)//(Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng x−y+2z+D=0  (D≠−2).

Khi đó mặt phẳng (P) cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại các điểm M(−D;0;0), N(0;D;0)

Từ giả thiết:MN=22⇔2D2=22⇔D=2    (do D≠−2).

Vậy phương trình mặt phẳng (P):x−y+2z+2=0.

Chọn A.

Ta có OA⊥(OBC)⇒OA⊥BCAM⊥BC⇒BC⊥(OAM)⇒BC⊥OM   (1)

Tương tự AB⊥OM  (2).

Từ (1) và (2) suy ra OM⊥(ABC) hay OM⊥(P).

Suy ra OM→=(1;2;5) là vectơ pháp tuyến của (P).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x−1+2y−2+5z−5=0⇔x+2y+5z−30=0.

Chọn B.

Theo đề ra, ta có (BCD) đi qua H(7;−16;−15), nhận HA→=(1;2;5) là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng BCD là (x−7)+2(y+16)+5(z+15)=0⇔x+2y+5z+100=0.

Vậy (BCD):x+2y+5z+100=0.

Chọn B.

Do mặt phẳng (P) chứa A,B và song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến của (P) là

n→=[AB→;j→]=(4;0;−1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:4(x−0)+0(y−0)−1(z−1)=0⇔4x−z+1=0

Chọn A.

Phương trình mặt phẳng Q chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có cặp vectơ chỉ phương là AB→=(1;−1;1) và nP→=(2;1;−3).

Suy ra nQ→=[AB→;nP→]=(2;5;3).

Mặt phẳng Q đi qua A(1;2;−1) nên 2(x−1)+5(y−2)+3(z+1)=0

⇔2x+5y+3z−9=0

Chọn A.

Ta có (P):x−y+z−7=0 có vectơ pháp tuyến là n→1=(1;−1;1) và

(Q):3x+2y−12z+5=0 có vectơ pháp tuyến là n2→=(3;2;−12)

Do (α)⊥(P) và (α)⊥(Q) nên (α) có vectơ pháp tuyến là

n→=[n1→;n2→]=(10;15;5)

Vậy (α) có phương trình 10x+15y+5z=0⇔2x+3y+z=0.

Chọn D.

Ta có:AB→=2;−3;−1;AC→=−2;0;−2.

AB→;AC→=−30    −1−2;−1−2       2−2;2−2    −3   0=6;6;−6.

Chọn n→=16AB→;AC→=1;1;−1 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC.

Ta có phương trình mặt phẳng ABC. là: x+y−1−z+2=0⇔x+y−z+1=0.

Vậy a=1,d=1.

Chọn A.

Gọi (α):ax+by+cz+5=0. Ta có AB→=(−1;−2;5),nP→=(2;−1;3).

Mặt phẳng (α) nhận n→=[AB→,nP→]=(−1;13;5) làm vectơ pháp tuyến nên (α) có dạng

−x+13y+5z+D=0

Mặt phẳng (α) qua A(3;1;−1) nên −3+13.1+5.(−1)+D=0⇔D=−5.

⇒(α):−x+13y+5z−5=0 hay (α):x−13y−5z+5=0.

Suy ra a=1;b=−13;c=−5.

Vậy a−b+c=9.

Chọn A.

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm. Ta có A(0;0;3)∈(β).

Do (α)//(β) nên phương trình của mặt phẳng (α) có dạng:

x+y−z+m=0 với m≠3.

Ta có d((α),(β))=3⇔d(A,(α))=3⇔|m−3|3=3.

⇔|m−3|=3⇔m=6m=0(thỏa mãn).

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là

x+y−z+6=0 và x+y−z=0.

Chọn A.

Điểm M(x;y;z) bất kỳ cách đều (P) và (Q)⇔d(M;(P))=d(M;(Q))

⇔|x+3z+2|1+9=|x+3z−4|1+9⇔x+3z+2=x+3z−4x+3z+2=−x−3z+4⇔2=−4x+3z−1=0⇔x+3z−1=0.

Vậy M thuộc (α):x+3z−1=0. Nhận thấy (α) song song với (P) và (Q).

Chọn A.

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A,B trên mặt phẳng (P).

Theo giả thiết, ta có: AB=3,AH=6,BK=3.

Do đó A,B ở cùng phía với mặt phẳng (P).

Lại có: AB+BK≥AK≥AH. Mà AB+BK=AH nên H≡K.

Suy ra A,B,H là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ H(5;6;−1).

Vậy mặt phẳng (P) đi qua H(5;6;−1) và nhận AB→=(2;2;−1) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2(x−5)+2(y−6)−1(z+1)=0⇔2x+2y−z−23=0

Theo bài ra, ta có (P):−4x−4y+2z+46=0 nên a=−4,b=−4,c=2.

Vậy T=a+b+c=−6.

Chọn B.

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A,B trên mặt phẳng (P).

Theo giả thiết, ta có: AB=3,AH=6,BK=3.

Do đó A,B ở cùng phía với mặt phẳng (P).

Lại có: AB+BK≥AK≥AH. Mà AB+BK=AH nên H≡K.

Suy ra A,B,H là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ H(5;6;−1).

Vậy mặt phẳng (P) đi qua H(5;6;−1) và nhận AB→=(2;2;−1) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2(x−5)+2(y−6)−1(z+1)=0⇔2x+2y−z−23=0

Theo bài ra, ta có (P):−4x−4y+2z+46=0 nên a=−4,b=−4,c=2.

Vậy T=a+b+c=−6.

Chọn B.

Ta có (α)//(P) nên (α):2x+2y−z+d=0  (d≠−3).

Mặt cầu S có tâm I(1;−2;3), bán kính R=23.

Gọi H là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh  IM=R=23.

Đặt x=h=d(I,(α)). Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là r=12−x2.

Thể tích khối nón là V(H)=13π12−x2x với 0<x<23.

Xét hàm số: f(x)=13π12−x2x với 0<x<23.

Khi đó f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x=2 hay d(I,(α))=2.

Ta có d(I,(α))=2⇔|2.1+2⋅(−2)−3+d|22+22+(−1)2=2⇔d−5=6d−5=−6⇔d=11d=−1.

Chọn B.

Ta có mặt cầu S có tâm (0;0;1) và bán kính R=2.

Do AB,AC,AD là ba tiếp tuyến của mặt cầu (S) với B,C,D là các tiếp điểm nên

AB=AC=ADIB=IC=ID=R⇒IA là trục của đường tròn ngoại tiếp  ΔBCD.

⇒IA⊥(BCD)

Khi đó mặt phẳng BCD có một vectơ pháp tuyến n→=IA→=(2;2;1).

Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔBCD⇒J∈IA và  IJ⊥BJ.

Ta có ΔIBA vuông tại B và BJ⊥IA nên

IB2= IJ.IA ⇒IJ=IB2IA=43⇒IJ→=49IA→

Đặt J(x;y;z). Ta có IJ→=(x;y;z−1);IA→=(2;2;1).

Từ IJ→=49IA→ suy ra J89;89;139.

Mặt phẳng (BCD) đi qua J89;89;139 và nhận vectơ pháp tuyến n→=(2;2;1) có phương trình:

2x−89+2y−89+z−139=0⇒2x+2y+z−5=0

Chọn D.

Mặt cầu S có tâm (1;1;1) và bán kính R=23.

Xét điểm M(a;b;c)∈(P);A(x;y;z)∈(S) nên ta có hệ điều kiện:

(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=12AI2+AM2=IM2a−2b+2c+11=0⇔(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=12   (1)12+(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2  (2)a−2b+2c+11=0   (3)

Lấy (1) −  (2) ta có:

(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2−12+(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=12−(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2⇔(a−1)x+(b−1)y+(c−1)z−a−b−c−9=0

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:(Q):(a−1)x+(b−1)y+(c−1)z−a−b−c−9=0

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Chọn D.

Ta có A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3) lần lượt là hình chiếu của M lên  Ox,Oy,Oz.Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng x1+y2+z3=1.

Chọn A.

Mặt phẳng (P) đi qua M(3;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với b,c≠0 nên phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là:x3+yb+zc=1

Mặt phẳng (P) đi qua N(2;2;2) suy ra 23+2b+2c=1⇔1b+1c=16.

Chọn D.

Giả sử A(a,0,0);B(0,b,0);C(0;0;c).

G(1;4;3) là trọng tâm tứ diện OABC⇔xG=xA+xB+xC+xD4yG=yA+yB+yC+yD4xG=zA+zB+zC+zD4

⇔0+a+0+0=4.10+0+b+0=4.40+0+0+c=4.3⇔a=4b=16c=12

Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là: x4+y16+z12=1.

Chọn B.

Giả sử A(a,0,0);B(0,b,0);C(0;0;c).

G(1;4;3) là trọng tâm tứ diện OABC⇔xG=xA+xB+xC+xD4yG=yA+yB+yC+yD4xG=zA+zB+zC+zD4

⇔0+a+0+0=4.10+0+b+0=4.40+0+0+c=4.3⇔a=4b=16c=12

Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là: x4+y16+z12=1.

Chọn B.

Gọi H  là trực tâm ΔABC. 

Ta có BH⊥ACOB⊥AC⇒AC⊥(OBH)⇒AC⊥OH   1.

Chứng minh tương tự, ta có:  BC⊥OH2.

Từ (1), (2) ta có OH⊥(ABC).

Suy ra 1OA2+1OB2+1OC2=1OH2.

Vậy để biểu thức 1OA2+1OB2+1OC2 đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất. Mà OH≤OM nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H≡M.

Khi đó OM⊥(ABC) nên (P) có một vectơ pháp tuyến là OM→=(1;2;3).

Phương trình mặt phẳng (P) là

1(x−1)+2(y−2)+3(z−3)=0⇔x+2y+3z−14=0

Chọn B.

Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với abc≠0 là giao điểm của mặt phẳng (P) và các trục toạ độ. Khi đó (P) có phương trình là xa+yb+zc=1.

Theo giả thiết ta có:M∈(P)OC=12OB=14OA⇔4a−4b+1c=1|c|=12|b|=14|a|⇔a=−8,b=−4,c=2a=8,b=−4,c=−2a=16,b=−8,c=4

Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.

Chọn C.

Mặt phẳng đi qua các điểm A,B đồng thời cắt tia Oz tại C0;0;t với t>0 có phương trình là

x1+y1+zt=1

Mặt khác: VOABC =16⇔16. OA.OB.OC =16⇔t=1.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng x1+y1+z1=1⇔x+y+z−1=0.

Vậy a=b=1,c=−1.

Suy ra a+3b−2c=1+3.1+2=6.

Chọn D.

Chọn A

Chọn A

Chọn A

Chọn D

Chọn A

Chọn C

Chọn A

Chọn A

Chọn C

Chọn A

Chọn A

Chọn B

Chọn A

Chọn A