79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Ta có phương trình $\frac{x}{-2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1\iff \frac{-1}{2}x-y+\frac{1}{3}z-1=0\iff 3x+6y-2z+6=0.$

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\overrightarrow{n}=\left(3;6;-2\right).$

Chọn A.

Mặt phẳng (P) đi qua $A\left(2;1;-1\right)$ và vuông góc với BC nên nhận $\overrightarrow{BC}=\left(1;-2;-5\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Vì vậy ta viết được phương trình mặt phẳng (P) là:$x-2-2\left(y-1\right)-5\left(z+1\right)=0\iff x-2y-5z-5=0.$

Chọn A.

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có $M(2;1;0)$ và $\overrightarrow{AB}=(2;8;-4)=2(1;4;-2)=2\overrightarrow{n}$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ nên có phương trình:$x+4y-2z-6=0$

Suy ra $a=4,b=-2,c=-6$.

Vậy $a+b+c=-4$.

Chọn B.

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy)  và đi qua $A(1;1;1)$ nhận $\overrightarrow{k}=(0;0;1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $z-1=0$.

Chọn D.

$\left(P\right)//\left(Q\right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ có dạng $x-y+2z+D=0(D\ne -2).$

Khi đó mặt phẳng $\left(P\right)$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại các điểm $M(-D;0;0), N(0;D;0)$

Từ giả thiết:$MN=2\sqrt{2}\iff \sqrt{2D^2}=2\sqrt{2}\iff D=2(\text{do }D\ne -2).$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x-y+2z+2=0$.

Chọn A.

Ta có $\left.OA\perp \left(OBC\right)\Rightarrow \begin{array}{l}OA\perp BC\\ AM\perp BC\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(OAM\right)\Rightarrow BC\perp OM\left(1\right)$

Tương tự $AB\perp OM\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) suy ra $OM\perp \left(ABC\right)$ hay $OM\perp \left(P\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{OM}=(1;2;5)$ là vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là $x-1+2\left(y-2\right)+5\left(z-5\right)=0\iff x+2y+5z-30=0.$

Chọn B.

Theo đề ra, ta có $\left(BCD\right)$ đi qua $H(7;-16;-15),$ nhận $\overrightarrow{HA}=(1;2;5)$ là vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$ là $\begin{array}{l}(x-7)+2(y+16)+5(z+15)=0\\ \iff x+2y+5z+100=0.\end{array}$

Vậy $\left(BCD\right):x+2y+5z+100=0$.

Chọn B.

Phương trình mặt phẳng $\left(Q\right)$ chứa $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)$ và $\overrightarrow{n_P}=(2;1;-3)$.

Suy ra $\overrightarrow{n_Q}=[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_P}]=(2;5;3)$.

Mặt phẳng $\left(Q\right)$ đi qua $A(1;2;-1)$ nên $2(x-1)+5(y-2)+3(z+1)=0$

$\iff 2x+5y+3z-9=0$

Chọn A.

Ta có:$\overrightarrow{AB}=\left(2;-3;-1\right);\overrightarrow{AC}=\left(-2;0;-2\right).$

$\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{l}-3\\ 0\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}-1\\ -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}-1\\ -2\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}2\\ -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}2\\ -2\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}-3\\ 0\end{array}\right|\right)=\left(6;6;-6\right).$

Chọn $\overrightarrow{n}=\frac{1}{6}\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(1;1;-1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(ABC\right).$

Ta có phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right).$ là: $x+y-1-z+2=0\iff x+y-z+1=0.$

Vậy $a=1,d=1.$

Chọn A.

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng cần tìm. Ta có $A(0;0;3)\in \left(\beta \right)$.

Do $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$ nên phương trình của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng:

$x+y-z+m=0$ với $m\ne 3$.

Ta có $\text{d}\left(\right(\alpha ),(\beta \left)\right)=\sqrt{3}\iff \text{d}(A,(\alpha \left)\right)=\sqrt{3}\iff \frac{|m-3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

$\iff |m-3|=3\iff \left[\begin{array}{l}m=6\\ m=0\end{array}\right.$(thỏa mãn).

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là

$x+y-z+6=0$ và $x+y-z=0$.

Chọn A.

Điểm $M(x;y;z)$ bất kỳ cách đều (P) và $\left(Q\right)\iff d(M;(P\left)\right)=d(M;(Q\left)\right)$

$\begin{array}{l}\iff \frac{|x+3z+2|}{\sqrt{1+9}}=\frac{|x+3z-4|}{\sqrt{1+9}}\iff \left[\begin{array}{l}x+3z+2=x+3z-4\\ x+3z+2=-x-3z+4\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}2=-4\\ x+3z-1=0\end{array}\iff x+3z-1=0.\right.\end{array}$

Vậy M thuộc $\left(\alpha \right):x+3z-1=0.$ Nhận thấy $\left(\alpha \right)$ song song với (P) và (Q).

Chọn A.

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$.

Theo giả thiết, ta có: $AB=3,AH=6,BK=3$.

Do đó $A,B$ ở cùng phía với mặt phẳng $\left(P\right)$.

Lại có: $AB+BK\ge AK\ge AH.$ Mà $AB+BK=AH$ nên $H\equiv K$.

Suy ra $A,B,H$ là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ $H(5;6;-1)$.

Vậy mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $H(5;6;-1)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=(2;2;-1)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2(x-5)+2(y-6)-1(z+1)=0\iff 2x+2y-z-23=0$

Theo bài ra, ta có $\left(P\right):-4x-4y+2z+46=0$ nên $a=-4,b=-4,c=2$.

Vậy $T=a+b+c=-6$.

Chọn B.

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$.

Theo giả thiết, ta có: $AB=3,AH=6,BK=3$.

Do đó $A,B$ ở cùng phía với mặt phẳng $\left(P\right)$.

Lại có: $AB+BK\ge AK\ge AH.$ Mà $AB+BK=AH$ nên $H\equiv K$.

Suy ra $A,B,H$ là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ $H(5;6;-1)$.

Vậy mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $H(5;6;-1)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=(2;2;-1)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2(x-5)+2(y-6)-1(z+1)=0\iff 2x+2y-z-23=0$

Theo bài ra, ta có $\left(P\right):-4x-4y+2z+46=0$ nên $a=-4,b=-4,c=2$.

Vậy $T=a+b+c=-6$.

Chọn B.

Ta có $\left(\alpha \right)//\left(P\right)$ nên $\left(\alpha \right):2x+2y-z+d=0(d\ne -3).$

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(1;-2;3),$ bán kính $R=2\sqrt{3}$.

Gọi $\left(H\right)$ là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh  $IM=R=2\sqrt{3}.$

Đặt $x=h=d(I,(\alpha \left)\right).$ Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là $r=\sqrt{12-x^2}$.

Thể tích khối nón là $V_{\left(H\right)}=\frac{1}{3}\pi \left(12-x^2\right)x$ với $0<x<2\sqrt{3}$.

Xét hàm số: $f\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi \left(12-x^2\right)x$ với $0<x<2\sqrt{3}$.

Khi đó $f\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=2$ hay $d(I,(\alpha \left)\right)=2$.

Ta có $d(I,(\alpha \left)\right)=2\iff \frac{|2.1+2\cdot (-2)-3+d|}{\sqrt{2^2+2^2+{(-1)}^2}}=2\iff \left[\begin{array}{l}d-5=6\\ d-5=-6\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}d=11\\ d=-1\end{array}\right.\right.$.

Chọn B.

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm (1;1;1) và bán kính $R=2\sqrt{3}$.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=12\\ A{I}^2+A{M}^2=I{M}^2\\ a-2b+2c+11=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=12\left(1\right)\\ 12+{(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2={(a-1)}^2+{(b-1)}^2+{(c-1)}^2\left(2\right)\\ a-2b+2c+11=0\left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lấy (1) $-\left(2\right)$ ta có:

$$\begin{gathered} {(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2-\left[12+{(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2\right] \\ =12-\left[{(a-1)}^2+{(b-1)}^2+{(c-1)}^2\right] \\ \iff (a-1)x+(b-1)y+(c-1)z-a-b-c-9=0 \end{gathered}$$

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:$\left(Q\right):(a-1)x+(b-1)y+(c-1)z-a-b-c-9=0$

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Chọn D.

Ta có $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$ lần lượt là hình chiếu của M lên  $Ox,Oy,Oz.$Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$ có dạng $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$.

Chọn A.

Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $abc\ne 0$ là giao điểm của mặt phẳng $\left(P\right)$ và các trục toạ độ. Khi đó $\left(P\right)$ có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Theo giả thiết ta có:$\left\{\begin{array}{l}M\in \left(P\right)\\ OC=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}OA\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a}-\frac{4}{b}+\frac{1}{c}=1\\ \left|c\right|=\frac{1}{2}\left|b\right|=\frac{1}{4}\left|a\right|\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}a=-8,b=-4,c=2\\ a=8,b=-4,c=-2\\ a=16,b=-8,c=4\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.

Chọn C.