79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Ta có:$\overrightarrow{AB}=\left(2;-3;-1\right);\overrightarrow{AC}=\left(-2;0;-2\right).$

$\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{l}-3\\ 0\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}-1\\ -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}-1\\ -2\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}2\\ -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}2\\ -2\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}-3\\ 0\end{array}\right|\right)=\left(6;6;-6\right).$

Chọn $\overrightarrow{n}=\frac{1}{6}\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(1;1;-1\right)$  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(ABC\right).$

Ta có phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right).$  là: $x+y-1-z+2=0\iff x+y-z+1=0.$

Vậy $a=1,d=1.$

Chọn A.

Gọi $\left(\alpha \right)$  là mặt phẳng cần tìm. Ta có $A(0;0;3)\in \left(\beta \right)$ .

Do $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$  nên phương trình của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có dạng:

$x+y-z+m=0$ với $m\ne 3$ .

Ta có $\text{d}\left(\right(\alpha ),(\beta \left)\right)=\sqrt{3}\iff \text{d}(A,(\alpha \left)\right)=\sqrt{3}\iff \frac{|m-3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ .

$\iff |m-3|=3\iff \left[\begin{array}{l}m=6\\ m=0\end{array}\right.$(thỏa mãn).

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là

$x+y-z+6=0$ và $x+y-z=0$ .

Chọn A.

Điểm $M(x;y;z)$  bất kỳ cách đều (P) và $\left(Q\right)\iff d(M;(P\left)\right)=d(M;(Q\left)\right)$

$\begin{array}{l}\iff \frac{|x+3z+2|}{\sqrt{1+9}}=\frac{|x+3z-4|}{\sqrt{1+9}}\iff \left[\begin{array}{l}x+3z+2=x+3z-4\\ x+3z+2=-x-3z+4\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}2=-4\\ x+3z-1=0\end{array}\iff x+3z-1=0.\right.\end{array}$

Vậy M thuộc $\left(\alpha \right):x+3z-1=0.$  Nhận thấy $\left(\alpha \right)$  song song với (P) và (Q).

Chọn A.

Gọi $H,K$  lần lượt là hình chiếu của $A,B$  trên mặt phẳng $\left(P\right)$ .

Theo giả thiết, ta có: $AB=3,AH=6,BK=3$ .

Do đó $A,B$  ở cùng phía với mặt phẳng $\left(P\right)$ .

Lại có: $AB+BK\ge AK\ge AH.$  Mà $AB+BK=AH$  nên $H\equiv K$ .

Suy ra $A,B,H$  là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ $H(5;6;-1)$ .

Vậy mặt phẳng $\left(P\right)$  đi qua $H(5;6;-1)$  và nhận $\overrightarrow{AB}=(2;2;-1)$  là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2(x-5)+2(y-6)-1(z+1)=0\iff 2x+2y-z-23=0$

Theo bài ra, ta có $\left(P\right):-4x-4y+2z+46=0$  nên $a=-4,b=-4,c=2$ .

Vậy $T=a+b+c=-6$ .

Chọn B.

Gọi $H,K$  lần lượt là hình chiếu của $A,B$  trên mặt phẳng $\left(P\right)$ .

Theo giả thiết, ta có: $AB=3,AH=6,BK=3$ .

Do đó $A,B$  ở cùng phía với mặt phẳng $\left(P\right)$ .

Lại có: $AB+BK\ge AK\ge AH.$  Mà $AB+BK=AH$  nên $H\equiv K$ .

Suy ra $A,B,H$  là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ $H(5;6;-1)$ .

Vậy mặt phẳng $\left(P\right)$  đi qua $H(5;6;-1)$  và nhận $\overrightarrow{AB}=(2;2;-1)$  là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2(x-5)+2(y-6)-1(z+1)=0\iff 2x+2y-z-23=0$

Theo bài ra, ta có $\left(P\right):-4x-4y+2z+46=0$  nên $a=-4,b=-4,c=2$ .

Vậy $T=a+b+c=-6$ .

Chọn B.

Ta có $\left(\alpha \right)//\left(P\right)$  nên $\left(\alpha \right):2x+2y-z+d=0(d\ne -3).$

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I(1;-2;3),$  bán kính $R=2\sqrt{3}$ .

Gọi $\left(H\right)$  là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh  $IM=R=2\sqrt{3}.$

Đặt $x=h=d(I,(\alpha \left)\right).$  Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là $r=\sqrt{12-x^2}$ .

Thể tích khối nón là $V_{\left(H\right)}=\frac{1}{3}\pi \left(12-x^2\right)x$  với $0<x<2\sqrt{3}$ .

Xét hàm số: $f\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi \left(12-x^2\right)x$  với $0<x<2\sqrt{3}$ .

Khi đó $f\left(x\right)$  đạt giá trị lớn nhất tại $x=2$  hay $d(I,(\alpha \left)\right)=2$ .

Ta có $d(I,(\alpha \left)\right)=2\iff \frac{|2.1+2\cdot (-2)-3+d|}{\sqrt{2^2+2^2+{(-1)}^2}}=2\iff \left[\begin{array}{l}d-5=6\\ d-5=-6\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}d=11\\ d=-1\end{array}\right.\right.$ .

Chọn B.

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm (1;1;1) và bán kính $R=2\sqrt{3}$ .

Xét điểm $M(a;b;c)\in \left(P\right);A(x;y;z)\in \left(S\right)$  nên ta có hệ điều kiện:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=12\\ A{I}^2+A{M}^2=I{M}^2\\ a-2b+2c+11=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=12\left(1\right)\\ 12+{(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2={(a-1)}^2+{(b-1)}^2+{(c-1)}^2\left(2\right)\\ a-2b+2c+11=0\left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lấy (1) $-\left(2\right)$  ta có:

$$\begin{gathered} {(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2-\left[12+{(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2\right] \\ =12-\left[{(a-1)}^2+{(b-1)}^2+{(c-1)}^2\right] \\ \iff (a-1)x+(b-1)y+(c-1)z-a-b-c-9=0 \end{gathered}$$

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:$\left(Q\right):(a-1)x+(b-1)y+(c-1)z-a-b-c-9=0$

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Chọn D.

Ta có $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$  lần lượt là hình chiếu của M lên  $Ox,Oy,Oz.$Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$  có dạng $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ .

Chọn A.