7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 90)
90 câu hỏi
Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q.
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy chứng minh.
a/ Ta có ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại trung điểm O mỗi đường
Nên OA = OC; OB = OD
Mà AB // CD nên OMOP=OAOC=1
Nên OM = OP hay O là trung điểm MP
Tương tự: O là trung điểm NQ
Vì d1 vuông góc d2 tức NQ vuông góc MP
Suy ra: NQ ⊥ MP = O là trung điểm mỗi đường
Vậy MNPQ là hình thoi
b/ Nếu ABCD là hình vuông thì AC ⊥ BD
Suy ra: MOB^=90°−BON^=NOC^
Mà OB = OC; OBM^=OBA^=45°=OCB^=OCN^
Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:
OBM^=OCN^
OB = OC
MOB^=NOC^
Nên: ∆OBM = ∆OCN (g.c.g)
Suy ra: OM = ON
Kết hợp phần a nên MNPQ là hình vuông.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 1cm, CD = 5cm và C^ = 30°, D^= 60°. Tính diện tích hình thang ABCD.
Kẻ đường cao AH và đường cao BK ⇒ AB = HK = 1cm
Nên ta có: DH + CK = 4 (1)
Theo tỉ số lượng giác cho tam giác ADH và BCK ta lại có:
AH = tan60°. DH
BK = tan 30°. CK
Nên: tan60°. DH = tan30°. CK (2)
Từ (1) và (2) giải ra ta được: DH = 1cm, CK = 3cm.
Suy ra: AH = tan60°. DH = 3cm
SABCD = 12.AH.AB+CD=12.3.1+5=33cm2.
Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và A^= 60°. Tính cạnh BC.
Kẻ CH ⊥ AB, DK ⊥ AB
Suy ra DK // CH (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Mà CD // HK
Suy ra CDKH là hình bình hành
Lại có CHK^= 90° nên CDKH là hình chữ nhật
Suy ra KH = CD = 10 (cm)
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC và A^=B^=60°
Xét ∆AKD và ∆BHC có
A^=B^=60°(chứng minh trên);
AD = BC (chứng minh trên);
AKD^=BHC^=90°
Do đó ∆AKD = ∆BHC (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AK = BH
Ta có AB = AK + KH + BH = 30
Hay 2AK + 10 = 30
Suy ra AK = BH = 10 (cm)
Xét tam giác BCH vuông ở H
Suy ra: BC=BHcosB^=10cos60°=20cm.
Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 8cm. Tính chu vi hình thoi ABCD?
Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên mỗi cạnh đều bằng 8cm.
Chu vi hình thoi là: 8.4 = 32 (cm).
Mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có kích thước như hình vẽ. Ở chính giữa mảnh vườn người ta xây 1 cái chòi hình vuông EFGH có cạnh EH = 2m; một lối đi ra chòi hình bình hành DHIK có cạnh DK = 1m.
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ABCD.
b) Người ta trồng rau trên mảnh đất hình thang IGCK và trồng hoa trên phần đất còn lại. Tính diện tích lối đi, diện tích trồng rau và diện tích trồng hoa.
a) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là:
SABCD = AB.BC = 40.20 = 800 (m2)
b) Chòi hình vuông nằm chính giữa mảnh vườn
⇒ IL = (20 − 2) : 2 = 9m
Lối đi hình bình hành DHIK có đường cao là IL = 9m ứng với cạnh đáy DK = 1m
Diện tích lối đi hình bình hành DHIK là: SDHIK = IL.DK = 9.1 = 9 (m2)
IG = HG – HI = 2 – 1 = 1m
CK = CD – DK = 40 – 1 = 39m
Diện tích trồng rau hình thang IGCK là:
SIGCK = 12IL.(IG + CK) = 180 (m2)
Diện tích chòi hình vuông EFGH là:
SEFGH = EH.EH = 2.2 = 4 (m2)
Diện tích trồng hoa là:
SABCD − SDHIK − SIGCK − SEFGH = 800 – 9 – 180 – 4 = 607 (m2).
Cho chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Lấy N, M lần lượt thuộc SA, SB sao cho BM=14BS,SN=34SA. Tìm giao tuyến của:
a) (OMN) và (SAB).
b) (OMN) và (SAD).
c) (OMN) và (SBC).
d) (OMN) và (SCD).
a) M∈OMN,M∈SABN∈OMN,N∈SAB
Nên: (OMN) ∩ (SAB) = MN
b) Ta có: SMSB=SNSA=34 nên MN // AB
Kẻ đường thẳng qua O và song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại G, H
⇒ G, H ∈ (OMN)
Khi đó: (OMN) ∩ (SAD) = GN
c) M∈OMN,M∈SBCH∈OMN,H∈SBC
Nên (OMN) ∩ (SBC) = MH
d) Gọi giao điểm của MH và SC là I; giao điểm của NG và SD là J
Ta có: I∈OMN,I∈SCDJ∈OMN,J∈SCD
Nên (OMN) ∩ (SCD) = IJ.
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh rằng SAMNSABC=sin2B.sin2C.
Ta có: HM ⊥ AB, HN ⊥ AC, AB ⊥ AC
Nên AMHN là hình chữ nhật
⇒ AH = MN
⇒ AMN^=MAH^=BAH^=90°−B^=ACB^
Mà MAN^=BAC^
⇒ ∆ANM ∽∆ABC (g.g)
⇒ SAMNSABC=MNBC2=AH2BC2
Ta có: 1 – cos2B = sin2B
⇒ (1 – cos2B)sin2C = sin2Bsin2C = (sinBsinC)2
= ACBC.ABBC2=AB.ACBC22=AH.BCBC22=AHBC2
⇒ SAMNSABC=1–cos2Bsin2C
⇒ SAMNSABC=sin2B.sin2C
Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A, B, C có tọa độ A(0; 4), B(3; 4), C(3; 0). Hãy tìm hệ số a sao cho đường thẳng y = ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần, trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần C.
Diện tích hình chữ nhật OABC là: 3.4 = 12(đvdt)
Do diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện phần phần chứa điểm C do đó đường thẳng y = ax sẽ cắt đoạn BC tại một điểm, gọi điểm đó là điểm D.
Diện tích tam giác ODC là: 12 : (2 + 1) . 1 = 4 (đvdt)
Độ dài đoạn DC: 4.2:3=83
Nên tọa độ điểm D3;83.
Tính diện tích của hình H gồm hình bình hành ABCD và hình chữ nhật DCNM, biết hình chữ nhật DCNM có chu vi bằng 180 cm và chiều dài MN gấp 4 lần chiều rộng CN.
Nửa chu vi hình chữ nhật DCNM là: 180 : 2 = 90 (cm)
Khi đó: MN + CN = 90 (cm)
Chiều dài MN gấp 4 lần chiều rộng CN
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 4 = 5 (phần)
Chiều dài MN (hay CD) của hình chữ nhật DCNM là:
90 : 5 . 4 = 72 (cm)
Chiều rộng CN (hay DM) của hình chữ nhật DCNM là:
90 – 72 = 18 (cm)
Diện tích hình chữ nhật DCMN là:
18 . 72 = 1296 (cm2)
Diện tích hình bình hành ABCD là:
72 . 20 = 1440 (cm2)
Diện tích hình H là:
1296 + 1440 = 2736 (cm2).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn log2a + log8b + log32c = 10 và a=b3=c5. Tính log4(abc).
Cho ba điểm A(-1; -1), B(0; 1), C(3; 0). Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và 2BD = 5DC.
Gọi tọa độ điểm D(xD; yD)
Ta có: 2BD = 5DC nên 2BD→=5DC→;BD→=xD;yD−1;DC→=3−xD;−yD
Do đó: 2xD=53−xD2yD−1=5−yD⇔xD=157yD=27
Vậy D157;27.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 2) và đi qua điểm A(1;−2; −1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng?
Ta có: AI=AB2+AC2+AD22=33
Suy ra: AB2 + AC2 + AD2 = 4.AI2 ≥ 4.27 ≥ 3AB2.AC2.AD23
⇔ AB.AC.AD ≤ 216
Vậy VABCD=16.AB.AC.AD≤16.216=36
Dấu “=” xảy ra khi AB = AC = AD = 6.
Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – (1 + 9m2)x2 + 9m2 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
x4 – (1 + 9m2)x2 + 9m2 = 0
⇔ (x2 – 1)(x2 + 1) – (9m2 + 1)(x2 – 1) = 0
⇔ (x2 – 1)(x2 – 9m2) = 0
⇔ x=±1x=±3m
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì m≠±13
TH1: −3m+12=−1⇒m=1
TH2: −1+3m2=−3m⇒m=19
Vậy m=±1;±19.
Cho tứ giác ABCD có CD = 24cm. O là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tứ giác biết khoảng cách từ A, B, O đến CD theo thứ tự bằng 20cm, 15cm, 12cm.
⇒ SOBC=14.SOCD=36
Lại có: SBOASBOC=OAOC=23
⇒ SBOA=23.SBOC=24
SABCD = SOAB + SOBC + SOCD + SDOA = 24 + 36 + 144 + 216 = 420 (cm2).
Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.
Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.
Doanh thu (triệu đồng) của công ty A khi sản xuất và bán x sản phẩm được cho bởi: R(x) = −3x2 + 140x đôla. Tính doanh thu của công ty khi khi sản xuất bán sản phẩm thứ 10?
Doanh thu của công ty khi khi sản xuất bán sản phẩm thứ 10 là:
−3.102 + 140.10 = 1100 (đôla).
Tính 14.9+19.14+114.19+...+144.49.1−3−5−7−...−4989
14.9+19.14+114.19+...+144.49.1−3−5−7−...−4989
=1514−19+19−114+...+144−149.1−3+5+7+...+4989
=1514−149.1−3+49.49−3:2+1289
=15.45196.1−62489
=9196.−62389
=−928
Tính giá trị biểu thức: −34+613.94−133−713.49.
−34+613.94−133−713.49
=−1552.94−14839.49
=−1009432
Rút gọn biểu thức: 12−x−1x+2−xx−4.
12−x−1x+2−xx−4
=2+x2−x2+x−x−2x+2x−2−xx−4
=−2−xx−4−x−2x−4−xx−4
=−2−x−x+2−xx−4
=−2x−xx−4
=−x2+xx+2x−2
=−xx−2
Tìm x nguyên biết 2x + 4 chia hết cho x + 1.
Ta có: 2x + 4 = 2(x + 1) + 2
Vì 2(x + 1) chia hết cho x + 1
Nên để 2x + 4 chia hết cho x + 1 thì 2 chia hết cho x + 1
Hay x + 1 ∈ Ư(2)
Mà Ư(2) ∈{1; 2; -1; -2}.
⇒ x ∈{ - 3; - 2; 0; 1}.
Rút gọn biểu thức (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2.
(3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
= [(3x + 1) – (3x + 5)]2
= (-4)2
= 16.
Giải phương trình: 1−x2=x−1.
Điều kiện xác định: x ≥ 1
1−x2=x−1
⇔ -x2 + 1 = x2 – 2x + 1
⇔ 2x2 – 2x = 0
⇔ 2x(x – 1) = 0
⇔ x=0x=1
Vậy x = 1.
Cho hệ phương trình m−1x−my=3m−12x−y=m+5.
Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
m−1x−my=3m−12x−y=m+5
⇔ m−1x−m2x−m−5=3m−1y=2x−m−5
⇔m−1x−2mx+m2+5m=3m−1y=2x−m−5
⇔ m+1x=m+121y=2x−m−52
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1
Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra x=m+12m+1=m+1 thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3
Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)
Ta xét
S = x2 + y2
= (m + 1)2 + (m – 3)2
= m2 + 2m + 1 + m2 − 6m + 9
= 2m2 – 4m + 10
= 2(m2 – 2m + 1) + 8
= 2(m – 1)2 + 8
Vì (m – 1)2 ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)2 + 8 ≥ 8
Hay S ≥ 8; ∀m.
Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Tìm x biết (x + 1)5 = 243.
(x + 1)5 = 243
⇔ (x + 1)5 = 35
⇔ x + 1 = 3
⇔ x = 2
Vậy x = 2.
Tìm x biết x−122−13=2212.
x−122−13=2212
⇔ x−122=136
⇔ x−12=136x−12=−136
⇔ x=136+12x=−136+12.
Tìm x biết (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15.
(x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15
x3 – 9x2 + 27x – 27 – (x3 + 3x2 + 9x – 3x2 – 9x – 27) + 9(x2 + 2x + 1) – 15 = 0
x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + 9 – 15 = 0
45x – 6 = 0
x = 645.
Phân tích thành nhân tử: 12x2 – 72x + 60.
12x2 – 72x + 60
= 12x2 – 12x – 60x + 60
= 12x(x – 1) – 60(x – 1)
= (x – 1)(12x – 60)
= 12(x – 1)(x – 5).
2 ngày 16 giờ = … ngày.
2 ngày 16 giờ = 21624=223=83ngày.
Tính giá trị biểu thức: 15−2+15+2.
15−2+15+2=5+2+5−25−25+2=255−4=25
Lấy số 196 chia cho số nguyên a rồi cộng thêm a. Sau đó, lấy kết quả này chia cho a rồi cộng thêm a. Kết quả thu được là 26a. Hãy tìm a.
Ta có: 196 : a + a = X (1)
X : a + a = 26a
⇔ X : a = 25a
⇔ X = 25a.a = 25a2 (2)
Thay (2) vào (1) có:
196 : a + a = 25a2
⇔196a=25a2−a
⇔ 25a3 – 196 – a2 = 0
⇔ (a – 2)(25a2 + 49a + 98) = 0
⇔ a = 2 (vì phương trình 25a2 + 49a + 98 = 0 vô nghiệm)
Vậy a = 2.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – 3mx2 – 9m2x nghịch biến trên khoảng (0; 1).
Ta có: y = x3 – 3mx2 – 9m2x
y’ = 3x2 – 6mx – 9m2
y’ = 3(x2 – 2mx – 3m2)
y’ = 3(x + m)(x – 3m)
TH1: m > 0 suy ra y’ < 0 ⇔ –m < x < 3m
Nên hàm số nghịch biến trên (0; 1)
Suy ra: 3m>1−m<0⇔m>13
TH2: m < 0 suy ra y’ < 0 ⇔ 3m < x < –m
Nên hàm số nghịch biến trên (0; 1)
Suy ra: 3m<0−m>1⇔m<−1
TH3: m = 0 suy ra y’ = 3x2 ≥ 0; ∀ x ∈ (0; 1) nên hàm số đồng biến trên ℝ.
Vậy m>13 hoặc m < – 1.
Tìm các giá trị của m để phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1−x2=5 với m là tham số.
Xét phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
Ta có: ∆’ = m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 > 0 với mọi m khác 2.
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m ≠ 2.
Áp dụng Vi-ét: x1+x2=2m−1x1x2=2m−3
Theo bài ra: x1−x2=5
⇒ x1−x22=25
⇔ x1+x22−4x1x2=25
⇔ 4(m – 1)2 – 4(2m – 3) – 25 = 0
⇔ 4m2 – 16m – 9 = 0
⇔ (2m – 9)(2m + 1) = 0
⇔ m=92m=−12.
Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.
Q: “∃n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1”.
Với n = 0, n + 1 = 1, khi đó 0 chia hết cho 1.
Suy ra mệnh đề Q là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là: Q¯: “∀n ∈ ℕ, n không chia hết cho n + 1”.
Đây là mệnh đề sai.
Tìm 3 giá trị của x biết 0,2<x<310.
0,2<x<310
Hay 0,2<x<0,3
Nên 3 giá trị của x có thể là 0,21; 0,22; 0,23.
Tính giá trị biểu thức A =1+11!+12!+13!+14!.
Chứng minh 122+132+...+11002<1.
Tính A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22021.
A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22021
2A = 2 + 22 + 23 + … + 22022
Ta có: 2A – A = (2 + 22 + 23 + … + 22022) – (1 + 2 + 22 + 23 + … + 22021)
A = 22022 – 1.
Chứng minh rằng: 109 + 108 + 107 chia hết cho 222 và chia hết cho 555.
Ta có: 109 + 108 + 107
= 107(102 + 10 + 1)
= 107.111
= 27.57.111
= 26.57.222 ⋮ 222
Vậy 109 + 108 + 107 chia hết cho 222.
Lại có: 109 + 108 + 107
= 107(102 + 10 + 1)
= (2.5)7(102 + 10 + 1)
= 27.56.5.111
= 27.56.555 ⋮ 555
Vậy 109 + 108 + 107 chia hết cho 555.
Chứng minh rằng: 13n − 1 chia hết cho 12.
Ta có: 13n − 1
= (13 – 1)(13n-1 + 13n-2 + … + 131 + 1)
= 12.(13n-1 + 13n-2 + … + 131 + 1) ⋮ 12
Vậy 13n − 1 chia hết cho 12.
Tìm 2 số hữu tỉ a và b, sao cho a + b = ab = a : b.
a + b = ab
⇒ a = ab - b = b(a - 1)
Thay a = b - 1 vào a + b = a : b ta có:
a + b = a -1
⇔ a + b - a = -1
⇔ b = -1
Ta có:
ab = a + b
⇔ - 1 .a = a + - 1
⇔ - a = a - 1
⇔ -a - a = -1
⇔ -2a = -1
⇔ a=12
Vậy a=12;b=−1.
Chứng minh 1919 + 6919 chia hết cho 44.
1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 - 1917.69 + … + 6918)
= 88.(1918 - 1917.69 + … + 6918)
= 2.44.(1918 - 1917.69 + … + 6918)
Mà 44 ⋮ 44 nên 2.44.(1918 - 1917.69 + … + 6918) ⋮ 44
Vậy 1919 + 6919 chia hết cho 44.
Chứng minh 22020 + 22021 + 22022 + 72023 + 72024 chia hết cho 7.
22020 + 22021 + 22022 + 72023 + 72024
= 22020(1 + 2 + 22) + 7.(72022 + 72023)
= 22020.7 + 7.(72022 + 72023)
= 7(22020 + 72022 + 72023) ⋮ 7
Vậy 22020 + 22021 + 22022 + 72023 + 72024 chia hết cho 7.
Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 chia hết cho 3n + 1.
Ta có : 2n + 3 chia hết cho 3n + 1
⇒ 6n + 9 chia hết cho 3n + 1
⇒ 6n + 2 + 7 chia hết cho 3n + 1
⇒ 7 chia hết cho 3n + 1
⇒ 3n + 1 thuộc Ư(7) = {1;7}
Suy ra: n = 0; 2.
Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1.
Vì 3n + 4 = 3n + 7 – 3 = 3n – 3 + 7 = 3(n – 1) + 7
Do 3(n – 1) chia hết cho n – 1 (tính chất chia hết của một tích)
Nên để 3n + 4 chia hết cho n – 1 thì 7 phải chia hết cho n – 1 (tính chất chia hết của một tổng)
Hay (n – 1) thuộc Ư(7) = {1; 7}
Với n – 1 = 1 thì n = 2
Với n – 1 = 7 thì n = 8
Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì 3n + 4 chia hết cho n – 1.
Tìm tất cả các số tự nhiên x biết 3x - 12 chia hết cho x – 2.
Ta có:
3x – 12 = 3x – 6 – 6 = 3(x − 2) − 6
Mà [3(x − 2)] ⋮ (x − 2) nên 6 ⋮ (x − 2)
⇒ (x − 2) ∈ Ư(6)
Vì x ∈ ℕ nên x ≥ 0
⇒ x – 2 ≥ −2
⇒ (x − 2) ∈ {−2; −1; 1; 2; 3; 6}
⇒ x ∈ {0; 1; 3; 4; 5; 8}
Vậy để (3x − 12) ⋮ (x − 2) thì x ∈ {0; 1; 3; 4; 5; 8}.
Cho A = 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40. Hỏi A có chia hết cho 80 không? Vì sao?
Để chứng minh A chia hết cho 80 ta chứng minh A chia hết cho 8 và 10.
Ta thấy: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 ⋮ 10 và 40 ⋮ 10
Nên: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40 ⋮ 10 hay A ⋮ 10
Lại có: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 ⋮ 8 và 40 ⋮ 8
Nên: 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 + 40 ⋮ 8 hay A ⋮ 8
Vậy A chia hết cho 80.
Cho góc AOB^ và góc BOC^ là hai góc kề bù. Biết góc BOC^ bằng năm lần góc AOB^.
a) Tính số đo mỗi góc.
b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC^. Tính số đo góc AOD^.
c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?
Điền chữ số vào dấu * để:
a) *45*¯ chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9.
b) 21*¯ chia hết cho cả 3 và 5.
Điền chữ số vào dấu * để:
a) 6*7¯ chia hết cho 3.
b) 1*8¯ chia hết cho 9.
a) Để 6*7¯ chia hết cho 3 thì (6 + * + 7) ⋮ 3 hay (13 + *) ⋮ 3
Suy ra: * = 2; 5; 8
Vậy số cần tìm là 627, 657, 687.
b) Để 1*8¯ chia hết cho 9 thì (1 + * + 8) ⋮ 9 hay (9 + *) ⋮ 9
Suy ra: * = 0; 9
Vậy số cần tìm là 108, 198.
Viết chữ số thích hợp vào ô trống để được: 1…8 chia hết cho 9.
Để 1…8 chia hết cho 9 thì (1 + 8 + … ) chia hết cho 9 hay (9 + …) chia hết cho 9.
Vậy ta cần viết vào ô trống một trong các chữ số 0 hoặc 9.
Cho hình vuông ABCD có cạnh 14cm (hình bên). Như vậy, phần tô đen trong hình vuông ABCD có diện tích là?
4 phần không tô đen nằm trong hình vuông ABCD ghép lại thành 1 hình tròn có bán kính 7cm.
Diện tích phần tô đen là:
14.14 – 3,14.72 = 42,14 (cm2).
Một lớp học có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ. Có thể chia lớp đó thành nhiều nhất bao nhiêu tổ để số nam và số nữ được chia đều vào các tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ?
Gọi số tổ chia được nhiều nhất là a (a ∈ ℕ*)
Vì lớp học có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ chia thành các tổ để số nam và số nữ được chia đều
⇒ 24 chia hết cho a; 20 chia hết cho a
⇒ a ∈ ƯC(20, 24)
Vì số tổ chia thành nhiều nhất nên a = ƯCLN(20, 24)
Ta có: 20 = 22.5
24 = 23.3
⇒ ƯCLN(20, 24) = 22 = 4
Vậy số tổ chia được nhiều nhất là 4 tổ
Khi đó số nữ ở mỗi tổ là:
24 : 4 = 6 (học sinh)
Khi đó số nam ở mỗi tổ là:
20 : 4 = 5 (học sinh).
Một phòng học hình chữ nhật có chiều dài 15m và chiều rộng 7m. Người ta mua loại gạch hình vuông có cạnh 0,5m để lát nền toàn bộ phòng học. Tính số viên gạch cần dùng để lát đủ phòng học đó.
Diện tích phòng học là:
15.7 = 105 (m2)
Diện tích viên gạch hình vuông là:
0,5 . 0,5 = 0,25 (m2)
Số viên gạch cần dùng là:
105 : 0,25 = 420 (viên)
Để lát nền một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 27m, chiều rộng 15m, Người ta cần dùng một số viên gạch hình vuông có cạnh 30cm. Số viên gạch cần dùng là?
Diện tích nền căn phòng là: 27.15 = 405 (m2) = 4050000 cm2
Diện tích 1 viên gạch là: 30.30 = 900 (cm2)
Số viên gạch cần dùng là: 4050000 : 900 = 4500 (viên gạch)
Đáp số: 4500 viên gạch
Tìm tập xác định tanx−π4.
Hàm số xác định khi cosx−π4≠0⇔x−π4≠π2+kπ⇔x≠3π4+kπ k∈ℤ.
Cho sinα+cosα=12. Tính sin2α, cos2α, tan2α, cot2α.
Chứng minh 1+tan2α=1cos2α.
1+tan2α=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α
Tính giá trị đúng của tanπ24+tan7π24.
Với 2 góc a và b thỏa mãn: cos a ≠ 0 và cos b ≠ 0 ta có tana+tanb=sinacosa+sinbcosb=sina.cosb+sinb.cosacosa.cosb=sina+bcosa.cosb
Áp dụng ta có: tanπ24+tan7π24=sinπ3cosπ24.cos7π24=3cosπ3+cosπ4=26−3.
Phương trình tanx+tanx+π3+tanx+2π3 = 33 tương đương với phương trình nào?
Tìm tập xác định của hàm số y = tanx – cot2x.
Điều kiện xác định:
sin2x≠0cosx≠0⇔2x≠kπx≠π2+kπ⇔x≠kπ2x≠π2+kπ⇔x≠kπ2k∈ℤ.
Vậy tập xác định D=ℝ\kπ2,k∈ℤ.
Khai triển đẳng thức (a + b + c)2.
(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
Khai triển đẳng thức (a + b + c)3.
(a + b + c)3
= [(a + b) + c]3
= (a + b)3 + c3 + 3(a + b)c(a + b + c)
= a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3(a + b)c(a + b + c)
= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)c(a + b + c)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a).
Tìm 6 chữ số khác nhau a, b, c, d, e, g sao cho A=abc¯−deg¯ có giá trị nhỏ nhất.
Biết hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là một đường parabol đi qua điểm A(-1; 0) và có đỉnh B(1; 2). Khi đó, giá trị biểu thức T = a + b + c bằng bao nhiêu?
(P) đi qua A(-1; 0) nên: 0 = a – b + c
⇔ c = b - a (1)
(P) đi qua đỉnh B(1; 2) nên:
2 = a + b + c
Vậy T = a + b + c = 2.
Viết công thức tổng quát nhân xác suất P(A.B.C) trong trường hợp A, B, C độc lập với nhau
P(A.B.C) = P(A).P(B).P(C).
Tìm a và b biết C = 20a4b¯ chia hết cho 45.
C chia hết cho 45 tức là C chia hết cho 5 và 9.
Để C chia hết cho 5 thì b = 0 hoặc b = 5.
Với b = 0 ta có số 20a40¯
Để 20a40¯ chia hết cho 9 thì (2 + 0 + a + 4 + 0) chia hết cho 9 hay (8 + a) chia hết cho 9.
Suy ra: a = 1
Vậy ta có số 20140.
Với b = 5 ta có số 20a40¯
Để 20a40¯ chia hết cho 9 thì (2 + 0 + a + 4 + 5) chia hết cho 9 hay (11 + a) chia hết cho 9.
Suy ra: a = 7.
Vậy ta có số 20745.
Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + … + 100.
A = 1 + 2 + 3 + … + 100
A = (1 + 100) + (2 + 99) + ….
Từ 1 đến 100 có 100 số. Như vậy, số cặp số là:
100: 2 = 50 (cặp)
Mỗi cặp số có tổng bằng:
1 + 100 = (2 + 99) = (3 + 98)... = 101
Kết quả của phép tính là:
101.50 = 5050
Đáp số: 5050.
Tính tổng dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99.
Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị
Số các số hạng của dãy là:
(99 – 1) : 1 + 1 = 99 (số hạng)
Tổng dãy số là:
(1 + 99).99 : 2 = 4950.
Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 ta có thể viết được bao nhiêu số có: ba chữ số mà các chữ số có thể được lặp lại.
Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm, có 5 cách chọn chữ số hàng chục và có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy có tất cả: 5.5.5 = 125 (số)
So sánh 20082009+20092010+20102011+20112008 và 4.
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y=13x3−x2+m−1x+2có hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung.
A. 1 < m < 2.
B. m > 1.
C. m < 2.
D. m < 1.
Chọn A.
Ta có: y’ = x2 – 2x + m – 1
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung khi y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều dương
⇔ Δ ' = 1 − m + 1 > 0
S = 2 > 0
P = m − 1 > 0
(trong đó S là tổng 2 nghiệm và P là tích 2 nghiệm của phương trình)
⇔ 2 > m > 1.
Cho A = 1 + 2 + 22 + … + 250. Hãy chứng tỏ A + 1 là một lũy thừa của 2.
A = 1 + 2 + 22 + … + 250
2A = 2 + 22 + … + 251
2A – A = (2 + 22 + … + 251) – (1 + 2 + 22 + … + 250)
A = 251 – 1
Suy ra: A + 1 = 251 (đpcm)
Vậy A + 1 là một lũy thừa của 2.
Tính giá trị biểu thức A = 1 + 2 + 3 + … + 2011.
Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị
Số các số hạng của dãy số A là:
(2011 – 1) : 1 + 1 = 2011
Giá trị của dãy số A là:
(1 + 2011) . 2011 : 2 = 2023066.
Tính nhanh 1 + 2 + 3 + … + 59 + 60.
Ta thấy các số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị
Số các số hạng của dãy số A là:
(60 – 1) : 1 + 1 = 60
Giá trị của dãy số A là:
(1 + 60) . 60 : 2 = 1830.
Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 8m, chiều rộng bằng 34 chiều dài. Để lát nền căn phòng đó. Người ta dùng loại gạch men hình vuông cạnh 4dm.
a) Hỏi căn phòng được lát cần bao nhiêu viên gạch đó.
b) Biết rằng để lát 1m2 gạch men hết 75000 đồng. Vậy để lát hết căn phòng đó thì hết bao nhiêu tiền?
a) Chiều rộng căn phòng là:
8.34=6m
Diện tích căn phòng là:
8.6 = 48 (m2) = 4800 dm2
Diện tích mỗi viên gạch là:
4.4 = 16 (dm2)
Cần số viên gạch là:
4800 : 16 = 300 (viên)
b) Lát hết căn phòng đó cần số tiền là:
75000 . 48 = 3600000 (đồng).
Cho hệ phương trình x+my=2mx−2y=1.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y là các số nguyên.
Tìm x biết (2x – 3)2 = 9.
(2x – 3)2 = 9
⇔ 2x−3=32x−3=−3
⇔ x=3x=0
Vậy x = 0 hoặc x = 3.
Rút gọn (3x + 2)(3x – 2).
(3x + 2)(3x – 2)
= (3x)2 – 22
= 9x2 – 4.
Tìm x biết (3x – 24).73 = 2.74.
(3x – 24).73 = 2.74
⇔ (3x – 16).343 = 4802
⇔ 3x – 16 = 14
⇔ 3x = 30
⇔ x = 10.
Vậy x = 10.
Cho hình vuông ABCD. Tính giá trị AB→+AC→+AD→DA→+DB→+DC→.
Tính 2−3.6+2.
Rút gọn biểu thức P=8−xx2−x+2x2−x2+x2.
Tìm x biết (x + 7)(2x – 6) = 0.
(x + 7)(2x – 6) = 0
⇔ x+7=02x−6=0
⇔ x=−7x=3
Vậy x = -7 hoặc x = 3.
Cho 2 số x,y thỏa mãn đẳng thức x+x2+2020y+y2+2020=2020. Tính x + y.
Chứng minh rằng x2y2+y2x2+4≥3xy+yx.
Tìm x biết x2 – 4 + (x – 2)(3 – 2x) = 0.
(x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(3 – 2x) = 0
⇔ (x – 2)[(x + 2) + (3 – 2x)] = 0
⇔ (x – 2)(5 – x) = 0
⇔ x – 2 = 0 hoặc 5 – x = 0
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
+ 5 – x = 0 ⇔ x = 5.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 5}.
Khai triển biểu thức (–x – 3y)3 ta được?
(–x – 3y)3 = [–(x + 3y)]3 = –x3 – 9x2y – 27xy2 – 27y3.
Rút gọn biểu thức (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z).
(x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (z – y)2
= (x – y + z + y – z)2
= x2.
Cho hàm số y= f(x). Đồ thị hàm số y= f’(x) như hình dưới và f(-2) = f( 2) = 0.
Hàm số g( x) = [f(3 - x)]2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (- 2; -1).
B. (1; 2).
C. (2; 5).
D. ( 5 ; +∞).
Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f(x)
Suy ra: f(x) ≤ 0 với mọi x
Ta có: g’(x) = -2f’(3 – x).f(3 – x)
Xét g’(x) < 0 thì f’(3 – x).f(3 – x) > 0
⇔ f'3−x<0f3−x<0⇔−2<3−x<13−x>2⇔2<x<5x<1
Suy ra hàm số y = g(x) nghịch biến trên các khoảng (2; 5) và (-∞; 1).
Một khu rừng hình chữ nhật có chu vi 7km 5 hm, chiều rộng bằng 23 chiều dài. Tính diện tích khu rừng đó với đơn vị đo là mét vuông, là héc-ta.
7km 5hm = 7500m
Nửa chu vi khu rừng là:
7500 : 2 = 3750 (m)
Chiều rộng khu rừng là:
3750 : (2 + 3) . 2 = 1500 (m)
Chiều dài khu rừng là:
3750 : (2 + 3) . 3 = 2250 (m)
Diện tích khu rừng là:
1500.2250 = 3375000 (m2) = 337,5ha
Vậy diện tích khu rừn rừng là 3375000m2 = 337,5ha.
