7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 84)

Áp dụng Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có: BC² = AB² + AC²

Ta có: sinACB^=ABBC=ABAB2+AC2=ABAB2+3AB22=21313AB

tanACB^=ABAC=23ACAC=23

Đặt AB = c, AC = b, BC = a

Ta có: cosB^=a2+c2−b22ac=112−2ac−b22ac

⇔ 12=112−2ac−b22ac

⇔ ac = 11² – 2ac – b²

⇔ 3ac = 11² – b² (1)

Lại có: r=2SABCa+b+c=2.12.a.c.sinB^11+b=32ac11+b

⇔ 23=32ac11+b

⇔ 4311+b=ac2

Từ (1) và (2): 4(11 + b) = (11 + b)(11 – b)

⇔ (11 + b)(4 – 11 + b) = 0

⇔ b = 7 (vì b > 0)

Suy ra: ac = 24

Mà a + c = 11

⇒ a=3c=8a=8c=3

Suy ra: SABC=12a+b+c.r=12.11+7.23=183

Lại có: SABC=12.AH.BC⇒AH=2SABCBC

Nếu a = 8 thì AH=2.1838=332

Nếu a = 3 thì AH=2.1833=43

a) Ta có C = 5 + 5² + … + 5²⁰

= 5(1 + 5 + 5² + ... + 5¹⁹) ⋮ 5

Vậy C ⋮ 5.

b) Ta có C = 5 + 5² + … + 5²⁰

= (5 + 5²) + 5²(5 + 5²) + ... + 5¹⁸(5 + 5²)

= 30 + 5².30 + ... + 5¹⁸.30

= 30(1 + 52 + ... + 518)

= 5.6.(1 + 52 + ... + 518) ⋮ 6

Vậy C ⋮ 6.

c) Ta có C = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) +... + (5¹⁷ + 5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰)

= (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + 5⁴(5 + 5² + 5³ + 5⁴) + ... + 5¹⁶(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

= 780 + 5⁴.780 + .... + 5¹⁶.780

= 780(1 + 5⁴ + ... + 5¹⁶)

= 13.60.(1 + 5⁴ + ... + 5¹⁶) ⋮ 13

Vậy C ⋮ 13.

x + y = 12

⇔ (x + y)² = 144

⇔ x² + 2xy + y² = 144

⇔ x² + y² = 144 – 2xy

⇔ x² + y² = 144 – 2.32 = 80

Bình phương 2 vế:

(x² + y²)² = 80²

⇔ x⁴ + y⁴ + 2x²y² = 6400

⇔ x⁴ + y⁴ = 6400 - 2(xy)²

⇔ x⁴ + y⁴ = 6400 – 2.32²

⇔ x⁴ + y⁴ = 4352.

Vậy x⁴ + y⁴ = 4352.

Tổng số hạng của dãy là:

(200 – 1) : 1 + 1 = 200 (số hạng)

Số lẻ bắt đầu từ 1 và kết thúc là 199, mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị

Số các số lẻ là:

(199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số lẻ)

Số các số chẵn là:

200 – 100 = 100 (số chẵn).

Theo giả thiết: Ax // By; xAO^=32°,OBy^=122°

Kẻ tia Oz song song với Ax song song với By

⇒ OBy^+BOz^=180° ( vì là 2 góc trong cùng phía )

⇒ BOz^=180°−OBy^=180°−122°=58°

Mà ta có Ax // Oz 

⇒ AOz^=xAO^=32° ( vì là 2 góc so le trong bằng nhau )

⇒ AOB^=AOz^+BOz^=32°+58°=90°

⇒ AOB^ là góc vuông

⇒ OA vuông góc với OB.

M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD

⇒ MN = (AB + CD) : 2

⇒ CD = 2MN - AB = 2.6 - 4 = 8 (cm).

Do Ax là phân giác mAn^ nên mAx^=nAx^=12mAn^=12.80°=40°

Vậy mAx^=40°

Xét từng hàng, ta có:

Hàng đơn vị và hàng chục: b + c + 1 = 10 + c

⇒ b = 9

Hàng trăm: a + a + 1 = 9

⇒ a + a = 9 – 1 = 8

⇒ a = 4

Hàng đơn vị: c + 9 = 4 (loại vì không có số tự nhiên + 9 = 4)

⇒ c + 9 = 14

⇒ c = 14 − 9

⇒ c = 5

Vậy phép cộng trên là: 495 + 459 = 954.

A=x+y+z+3x+92y+4zA=14x+12y+34z+34x+3x+12y+92y+4z+14z

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương:

A=14x+12y+34z+34x+3x+12y+92y+4z+14zA≥14x+2y+3z+234x.3x+212y.92y+24z.14zA≥14.20++3+3+2=13

Vậy GTNN của A là 13 khi 34x=3x12y=92y4z=14zx+2y+3z=20⇔x=2y=3z=4

Gọi số nhà của Alice là abcd¯

Vì abcd¯ chia hết cho 5 nên d = 0 hoặc d = 5.

* Nếu d = 0 thì số nhà Alice có dạng abc0¯

Ta có: bc0a¯−abc0¯=4707

Ta thấy: a – 0 = 7 (hàng đơn vị) nên a = 7.

Suy ra có: bc07¯−7bc0¯=4707

⇔ bc07¯=7bc0¯+4707

Giả sử số nhỏ nhất của 7bc0¯ là 7000 thì 7000 + 4707 = 11707 là số có 5 chữ số. Nên loại.

* Nếu d = 5 thì số nhà Alice có dạng abc5¯

Ta có: bc5a¯−abc5¯=4707

Xét hàng đơn vị: a – 5 = 7, vì a có 1 chữ số nên a = 2

Xét hàng chục: 5 – c = 0 (nhớ thêm 1 từ hàng đơn vị) nên c = 4

Khi đó: b452¯−2b45¯=4707 (*)

Xét chữ số b có: 4 – b = 7 (nên b = 7)

Thay vào (*): 7452 – 2745 = 4707 (đúng, thỏa mãn)

Vậy số nhà Alice là 2745.

(2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4cos²x

⇔(2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4(1 - sin²x)

⇔(2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4 + 4sin²x

⇔(2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 4sin²x – 1

⇔(2sinx – 1)(2sin2x + 1) = (2sinx – 1)(2sinx + 1)

⇔(2sinx – 1)(2sin2x + 1 – 2sinx - 1) = 0

⇔ 2.(2sinx – 1)(sin2x – sinx) = 0

⇔ 2.(2sinx – 1)(2sinxcosx – sinx) = 0

⇔ 2.(2sinx – 1).sinx(2cosx – 1) = 0

⇔sinx=12sinx=0cosx=12⇔x=π6+k2πx=5π6+k2πx=kπx=π3+k2πx=2π3+k2π  k∈ℤ

Vì số nam và số nữ chia đều vào các tổ nên 24 ⋮ x, 28 ⋮ x

Hay x thuộc ƯC(24;28)

Có ƯCLN(24;28) = 2² = 4.

Nên x ∈ Ư(4) = {1;2;4}

Có 2 cách để chia đều số học sinh là chia thành 2 tổ và 4 tổ

Nếu chia thành 2 tổ thì mỗi tổ sẽ có: 28 : 2 = 14 nam và 24 : 2 = 12 nữ

Nếu chia thành 4 tổ thì mỗi tổ sẽ có: 28 : 4 = 7 nam và 24 : 4 = 6 nữ

Vậy chia thành 4 tổ thì mỗi tổ sẽ có ít học sinh nhất.

Xét góc vuông mOn^ quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D nên COD^=90°

a) Kẻ OH ⊥ CD

Ta có DC = DE (chứng minh câu a)

Suy ra tam giác DCE cân ở D

Mà DO là đường cao nên DO đồng thời là phân giác của CDE^

Suy ra CDE^=CDO^

Xét ∆HOD và ∆BOD có

DHO^=DBO^=90°

OD là cạnh chung

H^=ODB^

Suy ra ∆HOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó OH = OB, HD = BD (các cặp cạnh tương ứng)

Mà OB là bán kính của (O)

Suy ra H thuộc (O)

Lại có OH ⊥ CD nên CD là tiếp tuyến của (O)

c)  Xét ∆HOC và ∆AOC có

OH = OA (= OB)

CHO^=CAO^=90°

OC là cạnh chung

Suy ra ∆HOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó HC = AC

Xét tam giác COD vuông tại O có OH ⊥ CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác có

OH² = CH . DH

Ta có: AC.BD=CH.DH=OH2=OA2=BC22=BC24

Vậy AC.BD=AB24

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

a31+b1+c+b+18+c+18≥3a31+b1+c.b+18.c+183=3a4

Tương tự: b31+c1+a+c+18+a+18≥3b31+c1+a.c+18.a+183=3b4

c31+a1+c+c+18+a+18≥3c31+a1+c.c+18.a+183=3c4

Suy ra: a31+b1+c+b31+c1+a+c31+a1+c≥34a+b+c

a31+b1+c+b31+c1+a+c31+a1+c≥34abc3=34 (BĐT Cô-si)

Vậy a31+b1+c+b31+c1+a+c31+a1+c≥34

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Khái niệm khối đa diện:

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện và kể cả hình đa diện đó.

* Khối đa diện cần biểu diễn: 3 hình chiếu (hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh)

* Nếu mặt đáy của hình lăng trụ đáy tam giác đều song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh thì hình chiếu cạnh là hình chữ nhật.

(x + 2)(x + 2) – (x – 2)(x – 2) = 8x

⇔ (x + 2)² – (x – 2)² = 8x

⇔ (x + 2 + x – 2)(x + 2 – x + 2) = 8x

⇔ 2x.4 = 8x

⇔ 8x = 8x (luôn đúng)

Vậy phương trình có vô số nghiệm

x⁴ – 2x³ + 2x – 1

= x⁴ – x³ – x³ + x² – x² + x + x – 1

= x³(x – 1) – x²(x – 1) – x(x – 1) + (x – 1)

= (x – 1)(x³ – x² – x + 1)

= (x – 1)[x²(x – 1) – (x – 1)]

= (x – 1)(x – 1)(x² – 1)

= (x – 1)³(x + 1).

1a+1b+1c=1a+b+c

⇔ bc+ac+ababc=1a+b+c

⇔ (ab + bc + ca)(a + b + c) = abc

⇔ (ab + bc + ca)(a + b) + (abc + bcc + cca - abc) = 0

⇔ (ab + bc + ca)(a + b) +c²(a + b) = 0

⇔ (a + b)(a + c)(b + c) = 0

⇔ a+b=0b+c=0c+a=0

Suy ra: trong a, b, c có 2 số đối nhau

Giả sử a, b đối nhau khi đó vì n lẻ nên 1an+1−an+1cn=1an+−an+cn (đúng)

Vậy 1an+1bn+1cn=1an+bn+cn

Các tập con của A là: ∅; {1}; {2};{3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}.

Vậy tập hợp A có 8 tập hợp con.

S=1+11+111+...+111....1⏟n so 19S=9+99+999+...+999....9⏟n so 9

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân Sn=u1.1−qn1−qKhi đó: 9S=9+99+999+...+999....9⏟n so 9=10.10n−19−n⇔S=1910.10n−19−n

Trong tam giác ABC lấy điểm M sao cho tam giác BMC đều

⇒ BM = CM

⇒ M thuộc trung trực của BC

Lại có: AB = AC (ABC cân tại A)

⇒ A thuộc trung trực của BC

Do đó: AM là trung trực của BC

⇒ AM là phân giác góc BAC^

⇒ MAB^=MAC^=12BAC^=12.20°=10°

Vì tam giác ABC cân tại A nên: CBA^=BCA^=180°−20°2=80°

Lại có: MCA^=ACB^−MCB^=80°−60°=20° (tam giác BMC đều)

Suy ra: CMA^=180°−10°−20°=150°

Xét tam giác CMA và tam giác ADC có:

AC chung

MCA^=DAC^=20°

CM = DA (=BC)

⇒ ∆CMA = ∆ADC (c.g.c)

⇒ CDA^=CMA^=150°;ACD^=MAC^=10°

Mặt khác: CDA^+BDC^=180° (2 góc kề bù)

Suy ra: BDC^=180°−CDA^=180°−150°=30°

Vậy BDC^=30°;ACD^=10°

A∩B = ∅⇔ m+2≤0m≥5⇔m≤−2m≥5

Vậy A∩B ≠ ∅ khi -2 < m < 5.

Vậy m ∈ [-1;4]

Có: 4 – (-1) + 1 = 6 số nguyên m.

a) CB² = AB² + AC² = 4² + 6² = 52

Suy ra: CB=52 (cm)

Xét tam giác vuông ACE (vì CE vuông góc AC) có CB vuông góc AE

Nên: CA² = AB.AE

⇒ AE=CA2AB=624=9 (cm)

DE² = AE² + AD² = 9² + BC² = 9² + 52 = 1333

⇒ DE=133 cm

b) Xét tam giác BAC và tam giác AEC có:

Chung A^

ABC^=ACE^=90°

⇒ ∆ABC ∽ ∆ACE (g.g)

⇒ ABAC=ACAE ⇒ AC² = AB.AE (1)

Xét tam giác vuông ACF tại C có DC là đường cao, có:

AD.AF = AC² (2)

Từ (1) và (2): AB.AE = AD.AF

tan5x.tanx = 1

⇔ tan5x=1tanx

⇔ tan5x = cotx = tanπ2−x

⇔ 5x=π2−x+kπ

⇔ x=π12+kπ6  k∈ℤ

Nghiệm âm lớn nhất khi k = -1

Vậy x=π12−π6=−π12

Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 3 ≠ 0)

Vậy đồ thị của hàm số y = ax + 3 song song với đường thẳng y = -2x khi và chỉ khi a = a' tức là: a = -2.

Hàm số có dạng y = 2x + 3.

a) AC ⊥ AB vì AC là tiếp tuyến

BD ⊥ AB vì BD là tiếp tuyến

Suy ra: AC // DB ⇒ ACDB là hình thang

Lại có: BAC^=DBA^=90° nên ACDB là hình thang vuông

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Ta có: MD = MB

OM = OB = R

Nên OD là đường trung trực của MB

⇒ OD ⊥ MB và MN = NB

Xét tam giác OBD vuông tại B có OD ⊥ BN

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: DN.DO = BD² (1)

Tam giác AEB có OE = OA = OB = R nên tam giác AEB vuông tại E

Suy ra: BE ⊥ DA

Lại có: tam giác ABD vuông tại B và OD ⊥ BE

 ⇒ DE.DA = BD² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DE.DA = DN.DO

c) Ta có: MA = OA = OM = R nên tam giác AMO đều

⇒ AOM^=60°⇒AOC^=30° (vì OC là phân giác)

⇒ BOM^=120°⇒BOD^=60°

Xét trong tam giác BOD có: BD=OB.tan60°=R3

Trong tam giác OCA có: AC=OA.tan30°=R33

Vì ACDB là hình thang vuông AB là đường cao

Nên SACDB=12.AB.AC+BD=4R233

a) Vì đường thẳng y = 2x - 1 cắt đồ thị trên tại điểm có hoành độ bằng 2

⇒ x = 2

Thay x = 2 vào đường thẳng y = 2x - 1

⇒ y = 2.2 – 1 = 3

Vậy y = 3.

Thay x = 2; y = 3 vào đồ thị trên:

⇒ 3= a.2 − 3

⇒ a = 3

Vậy a = 3 hay đồ thị y = 2x – 3.

b) Vì đường thẳng y = -3x + 2 cắt đồ thị trên tại điểm có tung độ bằng 3

⇒ y = 3

Thay y = 3 vào đường thẳng ta có: 3 = -3x + 2

⇒ x=−13

Thay x=−13, y = 3 vào đồ thị y = ax – 3

Suy ra: 3=a−13−3 ⇒ a = –18

Vậy a = -18 hay đồ thị y = –18x – 3.

sin⁴a + cos⁴a = (sin²x + cos²x)² – 2sin²xcos²x = 1 – 2(sinxcosx)²

=1−212sin2x2=1−12sin22x=1−121−cos22x=12+cos22x=34+14cos4a

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

a² = b² + c² = 2bc.cosA = 7² + 5² - 2.7.5.35 = 32

Nên a=42

Mặt khác: sin²A + cos²A = 1 nên sin²A = 1 - cos²A = 1625

Mà sinA > 0 nên  sinA = 45

SABC=12.b.c.sinA=12.a.ha

Suy ra: h_a = bcsinAa=7.5.4542=722

a) Xét ΔABH và ΔCBA có:

ABC^ chung

AHB^=BAC^=90°

⇒ ΔABH ∽ ΔCBA(g.g)

⇒ ABBC=AHAC=35⇒ABBC=35

Hay 15BC=35⇒BC=25cm

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH có:

AB² = HB.BC ( hệ thức lượng trong Δ vuông )

⇔ 152 = HB.25

⇔ 225 = HB.25

⇔ HB = 9 (cm)

HB + HC = BC

⇔ 9 + HC = 25

⇔ HC = 16(cm)

b) Xét tứ giác AEHF có:

Nên AEHF là hình chữ nhật

⇒ AH = EF

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH có:

AB.AC = AH.BC (hệ thức lượng trong Δ vuông)

⇒ AB.AC = EF.BC (vì AH = EF).

a) ΔAME vuông tại E có đường trung tuyến EI

⇒ EI = 12AM ⇒ EI = MI = AI

+ Tương tự ta có: DI = FI = AI = MI

Tam giác AEI cân tại I nên IAE^=IEA^

⇒ EIM^=2IAE^

Tương tự: MID^=2IAD^

⇒ EIM^+MID^=2IAE^+2IAD^

DIE^=2.30°=60° (do góc EAD^=30°) 

DIF^=180°−360°−240° (do IAF^+IMC^=120°)

Suy ra: DIF^=60°

b) Tam giác DIE có: DI = EI mà DIE^=60° nên tam giác DIE đều

Suy ra: DI = EI = DE (1)

Tương tự: tam giác DIF đều vì DI = FI mà DIF^=60°

Suy ra: DI = FI = DF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DE = EI = IF = DF

⇒ tứ giác DEIF là hình thoi.

Xét tam giác EBD và tam giác FCE có:

EC = DB (vì AB = BC; AD = EB nên EB + BC = AB + AD)

EBD^=FCE^ (cùng là 2 góc ngoài của 1 tam giác đều)

EB = FC (giả thiết)

Suy ra: ∆EBD = ∆FCE (c.g.c)

⇒ DE = EF (1)

Chứng minh tương tự: ∆EBD = ∆DAF (c.g.c)

⇒ DE = FD (2)

Từ (1) và (2): DE = DF = EF

Vậy tam giác DEF đều.

(x + 5)(4 − 3x) − (3x + 2)² + (2x + 1)³ = (2x − 1)(4x² + 2x + 1)

⇔ −3x² − 11x + 20 − 9x² − 12x – 4 + 8x³ + 12x² + 6x + 1 = 8x³ – 1

⇔ −17x + 18 = 0

⇔ x=1817

Nên 90 = 2.5.3.3 = 2.3².5.

Ta có: 6n + 16 = 6(n + 2) + 4

Vì 6(n + 2) chia hết cho n + 2

Để 6n + 16 chia hết cho n + 2 thì 4 chia hết cho n + 2

Hay n + 2 ∈ Ư(6)

⇒ n + 2 ∈{1; 2; 3; 6}

⇒ n ∈ {-1;0;1;4}

Vì n là số tự nhiên nên n ∈ {0; 1; 4}.

Vậy n ∈ {0; 1; 4}.

cos4a = cos(2.2a) = 2cos²2a – 1

Mà cos2a = 2cos²a – 1

Suy ra: cos4a = 2cos²2a – 1 = 2(2cos²a – 1)² – 1 = 8cos⁴a – 8cos²a + 1.

Ta có: 7a + 4b = 1994 nên 7a = 1994 – 4b

⇒ a=1994−4b7=19947−47b

Thay a=1994−4b7=19947−47b vào điều kiện 47<ab<23 ta được: 

47<19947−47bb<23⇔47<19947b−47<23⇔87<19947b<2621⇔8<1994b<263

Suy ra: 8<1994b1994b<263⇔8b<99426b>5982⇔b<24914b>230113

⇒ 230113<b<24914

Suy ra: 231 < b < 249

Vậy b = 243

Suy ra: a=1994−4.2437=146

Vậy phân số cần tìm là ab=146243

2015(x² + y²) – 2014(2xy + 1) = 25

⇔ x² + y² + 2014(x – y)² = 2039

Nếu x−y≥2 thì x−y2≥4

Suy ra: Vế trái > 8056 > 2039 (loại)

⇒ x−y≤1

⇒ x−y=0x−y=1

Nếu x = y thì 2x² = 2039 (vô lý)

Nếu y = x – 1 thì ta có: 2x² – 2x + 1 = 25

⇔ x² – x – 12 = 0

⇔ x=4x=−3

Suy ra: y=3y=−4

Nếu y = x + 1 thì: x² + (x + 1)² + 2014(x – x – 1)² = 2039

⇔ 2x² + 2x + 1 + 2014 – 2039 = 0

⇔ 2x² + 2x – 24 = 0

⇔ x² + x – 12 = 0

⇔ x=3x=−4

Suy ra: y=4y=−3

Vậy (x,y) ∈ {(4;3), (-3;-4), (3;4), (-4;-3)}.

1 giờ cả 2 bác làm được: 1:2=12 (công việc)

1 giờ bác Hùng làm được: 1:5=15 (công việc)

1 giờ bác Long làm được: 12−15=310 (công việc)

Một mình bác Long làm trong: 1:310=103 (giờ) = 3 giờ 20 phút.

2 học sinh nữ ứng với: 13−14=112 (học sinh).

Số học sinh của lớp 5A là: 2:112=24 (học sinh).

9^{x – 1} = 9

⇔ 9^{x – 1} = 9¹

⇔ x – 1 = 1

⇔ x = 2

Vậy x = 2.

Ta có:

cotA = -cot(π – A) = -cot(B + C)

=−1tanB+C=−1−tanB.tanCtanB+tanC=tanB.tanC−1tanB+tanC=1−1tanB.tanCtanB+tanCtanB.tanC=1−1tanB.1tanC1tanC+1tanB=1−cotB.cotCcotC+cotB

Suy ra: cotA(cotC + cotB) = 1 – cotB.cotC

Xét cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA

= cotA(cotB + cotC) + cotB.cotC

= 1 – cotB.cotC + cotB.cotC

= 1.

Vậy cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Ta thấy: a,b,c,d,e,g ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

A=abc¯−deg¯ có giá trị nhỏ nhất thì a – d = 1

bc¯=01 (nhỏ nhất)

eg¯=98 (lớn nhất)

khi đó: A=abc¯−deg¯=a01¯−d98¯=3

Vậy b = 0, c = 1, e = 9, g = 8

a và b là một trong các cặp số sau: 3 và 2, 4 và 3, 5 và 4, 6 và 5, 7 và 6.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, AHC có:

AH² = AM.AB

AH² = AN.AC

Suy ra: AM.AB = AN. AC

⇒ AMAC=ANAB

Xét tam giác AMN và tam giác ABC có:

AMAC=ANAB

A^ chung

⇒ ∆AMN ∽ ∆ABC (c.g.c)

⇒ AMAC=ANAB=MNBC⇒MNAN=BCAB

⇒ MN=BC.ANAB=BC.AN.ACAB.AC=BC.AH2AB.AC (1)

Lại có: SABC=12.AH.BC=12.AB.AC.sinA^

Suy ra: AH.BC=AB.AC.sinA^ (2)

Thay (2) vào (1) có: MN=AH.AB.AC.sinA^AB.AC=AH.sinA^

Vì 18 chia hết cho x nên x ∈ Ư(18)

Mà x > 3 nên ta chọn các ước dương của 18

Các ước dương của 18 là: Ư(18) ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Vậy x ∈ {6; 9; 18}.

sinx+π4=1

⇔ x+π4=π2+k2πk∈ℤ

⇔ x=π2+k2πk∈ℤ

Vì π ≤ x ≤ 5π nên π≤π2+k2π≤5π

⇔ 1≤14+2k≤5

⇔ 38≤k≤198

Vì k ∈ ℤ nên k = 1 hoặc k = 2.

Vậy phương trình có hai nghiệm nằm trong đoạn [π; 5π].

P=xx−3=x−9+9x−3=x−3x+3x−3+9x−3=x−3+9x−3+6
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

x−3+9x−3+6≥2x−3.9x−3+6=12

Vậy GTNN của P là 12 khi x−32=9⇔x−3=3 (do x−3>0) ⇔ x = 36.

Gọi chiều cao cột đèn là AC, AB là bóng của cột đèn trên mặt đất, AB = 8,5 m.

Góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là ABC^=38°

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: 

AC = AB . tanB = 8,5 . tan38° ≈ 6,6 (m).

Vậy cột đèn cao khoảng 6,6 m.

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

ADC^=BCD^ (gt)

DC chung

Do đó: ∆ADC = ∆BCD (c.g.c) ⇒ ACD^=BDC^

Trong ∆OCD ta có: ACD^=BDC^

⇒ ∆OCD cân tại O

⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Vậy OA = OB; OC = OD.

b) Theo phần a có: OA = OB

∆ADC = ∆BCD (c.g.c)

⇒ ∆EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Do π < a < 2π nên π2<α2<π. Suy ra: sinα2>0

Ta có: sin2α2=1−cosα2=1−0,22=0,4

Suy ra: sinα2=0,4=105

a) Diện tích một bồn cỏ hình tam giác là: 12.2.3=3m2

Diện tích bốn bồn cỏ hình tam giác là: 4.3 = 12 (m²)

b) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: 10.6 = 60 (m²)

Diện tích trồng hoa là: 60 – 12 = 48 (m²)

Chi phí làm mảnh vườn đó là:

(25000 + 30000).12 + (80000 + 35000).48 = 6180000 (đồng).

Xét bản vẽ 1: diện tích phần màu trắng là:

2.1.7 – 1.1 = 12 (m²)

Diện tích phần màu xám là:

7.7 – 12 = 37 (m²)

Xét bản vẽ 2: (2 hình màu trắng là hình bình hành có đáy là 1m, đường cao 7m)

Diện tích phần màu xám là:

7.7 – 2.7.1 = 35 (m²)

Xét bản vẽ 3:

Ta có: AE=62+72=85 (m)

SABE=12.AB.BE=12.BH.AE⇒BH=AB.BEAE=7.685=4285 (m)

Tam giác BHE vuông tại H nên HE=BE2−BH2=3685 (m)

Diện tích phần màu xám là: 4.12.BH.HE=2.4285.3685=35,57m2

Suy ra: Chọn bản vẽ 1 để diện tích phần màu xám là lớn nhất.

Nếu xếp 28 học sinh vào một phòng thì thừa 1 phòng

Số học sinh chênh lệch trong 2 trường hợp xếp phòng là:

5 + 28 = 33 (học sinh)

Số học sinh chênh lệch ở mỗi phòng trong 2 trường hợp là:

28 – 25 = 3 (học sinh)

Số phòng thi là:

33 : 3 = 11 (phòng)

Số học sinh dự thi là:

25.11 + 5 = 280 (học sinh).

Tam giác ABH vuông tại H nên AB² = AH² + BH²

Tam giác ACH vuông tại H nên AC² = AH² + CH²

Lại có: AC² + BH² = AH² + CH² + BH² = (AH² + BH²) + CH² = AB² + CH².

a) Ta thấy: Hệ số góc của d₁ và d₃ bằng nhau và – 1 khác - 4

Nên d₁ // d₃

Xét vị trí tương đối của d₂ với d₃ thấy: −2≠12 nên d₂ cắt d₃

Tương tự: d₁ cắt d₂.

b)

Ta thấy: (d₂) ⊥ (d₁), ⊥ (d₃) vì: −2.12=−1

Xét phương trình hoành độ giao điểm (d₂) và (d_1­):

12x−1=−2x−4

⇔ x=−65

Suy ra: A−65;−85

Xét phương trình hoành độ giao điểm (d₂) và (d_3­):

12x−4=−2x−4

⇔ x=0

Suy ra: B(0;-4)

Có: C thuộc Ox nên y_C  = 0

Lại có C thuộc d₁ nên: 12x−1=0⇔x=2

Suy ra: C(2;0)

AC=2+652+852=855AB=0+652+−4+852=655

S_ABC = 12.AC.AB=12.855.655=245

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

P=x+14yy+19zx+136z≥2.x.14y.2.y.19z.2.x.136zP=8.x2y2z2.14.19.136=81442.14.19.136=32

Dấu “=” xảy ra khi: x=14yy=19zz=136x⇔x;y;z=1;4;36

Vậy GTNN của P là 32 khi (x; y; z) = (1; 4; 36).

Vì 24 ⋮ x, 30 ⋮ x, 48 ⋮ x và x lớn nhất

Nên x = ƯCLN(24, 30, 48)

Ta có:

24 = 2³.3

30 = 2.3.5

48 = 2⁴.3

Suy ra: ƯCLN(24, 30, 48) = 2.3 = 6

Vì x lớn nhất nên x = 6.

Vậy x = 6.

Chọn B

Vì cứ 15 phút thì kim giờ lại nhích 1 vạch.

Vì kim giờ nhích 1 vạch thì kim phút cũng nhích một vạch nên thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên là: 15 + 1 = 16 (phút).

Ta có: A ⊂ X nên X có ít nhất 3 phần tử {1; 2; 3}.

Ta có: X ⊂ B nên X phải có nhiều nhất 5 phần tử và các phần tử thuộc X cũng thuộc B

Do đó các tập X thỏa mãn là: {1; 2; 3}, {1; 2; 3; 4}, {1; 2; 3; 5}, {1; 2; 3; 4; 5}.

Vậy có 4 tập X thỏa mãn.

Ta có:

M = sin⁶x – cos⁶x

M = (sin²x – cos²x)(sin⁴x + sin²xcos²x + cos⁴x)

= – cos2x(1 - sin²xcos²x)

=−cos2x1−14sin22x

=−cos2x34+14cos22x≤34+14cos22x≤34+14=1 (do cos2x ≤ 1)

Vậy GTLN của M bằng 1 khi cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Áp dụng định lý Ta-lét:

DE // AC nên: AEAB=CDCB 1

DF // AB nên: AFAC=BDCB 2

Cộng (1) và (2) ta được: AEAB+AFAC=CDCB+BDCB=CD+BDBC=1

Vậy AEAB+AFAC=1

2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ nên 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰.

Gọi M là giao điểm BH và AC

Do H là trực tâm nên AM ⊥ AC

Ta có: HBD^=90°−BHD^=90°−MHA^=MAH^=CAD^

Xét tam giác BHD và tam giác ACD có:

HBD^=CAD^BDH^=ADC^=90°

Suy ra: ∆BHD ∽ ∆ACD (g.g)

⇒ HDBD=CDAD

⇔ AD2BD=CDAD (do H là trung điểm AH nên 2HD = AD)

⇔ ADBD.ADCD=2

Xét trong tam giác vuông ABD có: tanB = ADBD

Trong tam giác vuông ADC có: tanC = ADCD

Suy ra: tanB.tanC = 2.

12AB→+2AC→=12AB→+12AC→+32AC→=AM→+32AC→=AE→ (hình vẽ)

Suy ra: 12AB→+2AC→=AE→=AE=AM2+32AC2+2.AM.32AC.cos30°

=3a24+9a24+32.a2.3.32=212a

Vậy: 12AB→+2AC→=a212

F = 1² + 2² + 3² + … + n²

F = 1 + (1 + 1).2 + (1 + 2).3 + (1 + 3).4 + … + (1 + n – 1)n

F = 1 + (2 + 1.2) + (3 + 2.3) + (4+ 3.4) + … + [n + (n – 1)n]

F = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) + [1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + (n – 1)n]

Đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n thì A = nn+12 1

Đặt B = [1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + (n – 1)n]

Xét 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + (n – 1).n.3

3B = [1.2.3 + 2.3.4 + … + (n – 1).n.(n + 1)] – (1.2.3 + 2.3.4 + … + (n – 2)(n – 1)n)

3B = (n – 1)n(n + 1)

B = n–1nn+132

Từ (1) và (2) suy ra:

F = nn+12+n–1nn+13=3n2+3n+2nn2−16=2n3+3n2+n6

=n2n2+3n+16=nn+12n+16

Vậy F = 1² + 2² + 3² + … + n² =nn+12n+16

Gọi a là số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì (a ∈ ℕ^*; a < 24).

Để số phần thưởng là nhiều nhất thì a phải là số lớn nhất sao cho 24 chia hết cho a; 48 chia hết cho a; 36 chia hết cho a.

Tức là a = ƯCLN (24, 48, 36).

Ta có:

24 = 2³.3

48 = 2⁴.3

36 = 2².3²

Suy ra: ƯCLN (24, 48, 36) = a = 2².3 = 12.

Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 phần thưởng. Trong đó có 2 quyển vở, 4 bút bi và 3 gói bánh.

(−0,4)² − (−0,4)³.(−3) = −4102−−4103.−3=425−8125.3=−4125

11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹

= 121.11ⁿ + 12.144ⁿ

= (133 – 12).11ⁿ + 12.144ⁿ

= 133.11ⁿ + 12.(144ⁿ – 11ⁿ)

Ta thấy: 133.11ⁿ chia hết cho 133

144ⁿ – 11ⁿ chia hết cho (144 – 11) tức chia hết cho 133.

Vậy 133.11ⁿ + 12.(144ⁿ – 11ⁿ) chia hết cho 133 hay 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ chia hết cho 133.

Vì 3 ∉ X và 5 ∉ X nên loại B, C, D

Vậy A là đáp án đúng.

Tỉ số % của giá bán sau khi giảm là:

100% - 60% = 40%

Tỉ số % giữa giá mới và giá bán lúc đầu là:

100 : 40 = 2,5 = 250%

Cần tăng giá mới của sản phẩm thêm số % để được giá ban đầu là:

250% - 100% = 150%.

Do theo giả thiết: C1^−C2^=90° (*)

Mà: C1^=A^+B^ (định lý góc ngoài tam giác)

Vì tam giác BAC cân nên: C2^=B^

Khi đó (*) trở thành: A^+B^−B^=90°⇔A^=90°

Mà ABC cân tại A nên: C2^=B^=180°−90°2=45°

Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2

- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⋮ 3

Suy ra: p + 2 là hợp số (trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).

- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⋮ 3 (1)

Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p lẻ ⇒ k lẻ ⇒ k + 1 chẵn   ⇒ k + 1 ⋮ 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ p + 1 ⋮ 6

Vậy p + 1 ⋮ 6.

a) Để d₁ cắt d₂ tại điểm C trên trục tung thì x = 0

Khi đó ta có: y_C = -4.0 + m + 1 = 43.0+15−3m

⇔ 4m = 14

⇔ m = 72

Suy ra: C0;92

b) Với m = 72 ta có: d₁: y=−4x+92

d₁ giao Ox tại A nên y_A = 0, khi đó: xA=98 ⇒ A98;0

d₂ giao Ox tại B nên y_B= 0, khi đó: xB=−278 ⇒ B−278;0

16x² – (x + 1)²

= (4x)² – (x + 1)²

= (4x + x + 1)(4x – x – 1)

= (5x + 1)(3x – 1)

SABC=12.AC.BC.sinACB^SCMN=12.CM.CN.sinACB^=12.12AC.12BC.sinACB^=14SABC

Suy ra: S_ABC = 4S_CMN = 603

SABG=23SABM=23.12SABC=13.603=203

Lại có: SABG=12.AG.BG.sinAGB^=12.23AM.23BN.sinAGB^=40.sinAGB^

⇒ sinAGB^=20340=32

Hay: AGB^=60°

Ta có: AB² = AG² + GB² – 2.AG.GB.cosAGB^

=23.152+23.12−2.23.15.23.12.cos60°=84

⇒ AB=221

M, N là trung điểm BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ACB

Nên MN=12AB=12.221=21

Vậy MN=21

Đáp án: A

Giải thích các bước giải:

Hai vecto cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

Hai vecto cùng phương có thể cùng hoặc ngược hướng

A. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.

⇒ Đúng vì để hai vectơ cùng hướng thì trước tiên chúng phải cùng phương

B. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.

⇒ Sai, chúng có thể ngược hướng

C. Hai vectơ cùng phương thì có giá song song với nhau.

⇒ Sai, giá có thể trùng nhau

D. Hai vectơ cùng hướng thì có giá song song nhau.

⇒ Sai, giá có thể trùng nhau.

M + (5x² – 2xy) = 6x² + 9xy – y²

⇒ M = (6x² + 9xy – y²) – (5x² – 2xy)

M = 6x² + 9xy – y² – 5x² + 2xy

M = x² + 11xy – y²

Điểm M nằm chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD nên M là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật

Vậy tọa độ điểm M là: xM=AB2=5m2=2,5m;yM=AD2=4m2=2m

Suy ra: M(2,5m; 2m)

Vậy tọa độ M có dạng M(2,5m; 2m).

Vì a ⊥ c, b ⊥ c nên a // b.

x+1x=3

⇒ x+1x2=32=9

⇔ x2+1x2+2=9

⇔ x2+1x2=7

Bình phương 2 vế ta được:

x2+1x22=49

⇔ x4+1x4+2=49

⇔ x4+1x4=47

Vậy x4+1x4=47

B = – 1 + 7 – 7² + 7³ - … - 7²⁰⁰ + 7²⁰¹ – 7²⁰²

7B = – 7 + 7² – 7³ + 7⁴ - … - 7²⁰¹ + 7²⁰² – 7²⁰³

7B + B = (– 7 + 7² – 7³ + 7⁴ - … - 7²⁰¹ + 7²⁰² – 7²⁰³) + (– 1 + 7 – 7² + 7³ - … - 7²⁰⁰ + 7²⁰¹ – 7²⁰²)

8B = –7²⁰³ – 1

B=−7203−18

199²⁰ < 200²⁰ = (2³.5²)²⁰ = 2⁶⁰.5⁴⁰

2003¹⁵ > 2000¹⁵ = (2.10³)¹⁵ = (2⁴.5³)¹⁵ = 2⁶⁰.5⁴⁵

Vì 2⁶⁰.5⁴⁵ > 2⁶⁰.5⁴⁰ nên 2003¹⁵ > 199²⁰.

Ta có: 2346=4692<4792

Mà: 2348<2346

Nên: 2348<2346<4792

Vậy 2348<4792

A = 3 + 3³ + 3⁵ + … + 3²⁰²¹ + 3²⁰²³

A = (3 + 3³) + (3⁵ + 3⁷) + … + (3²⁰²¹ + 3²⁰²³)

A = 1.(3 + 3³) + 3⁴(3 + 3³) + … +3²⁰²⁰(3 + 3³)

A = (3 + 3³)(1 + 3⁴ + … + 3²⁰²⁰)

A = 30.(1 + 3⁴ + … + 3²⁰²⁰)

Vì 30 ⋮ 30 nên 30.(1 + 3⁴ + … + 3²⁰²⁰) ⋮ 30

Vậy A ⋮ 30.

Gọi P là một số chính phương.

Ta có: P = k² (k ∈ ℕ)

Giả sử k phân tích ra thừa số nguyên tố là k = ax.by.cz.... (a, b, c là các số nguyên tố)

⇒ P = (ax.by.cz....)²

⇒ P = a²x.b²y.c²z

Vì 2 chia hết cho 2 nên 2x, 2y, 2z, ... cũng chia hết cho 2

⇒ 2x, 2y, 2z, ... là số chẵn

Số lượng ước của P là (2x + 1)(2y + 1)(2z + 1)...

Vì 2x, 2y, 2z, ... là số chẵn nên 2x + 1, 2y + 1, 2z + 1, ... là số lẻ

⇒ (2x + 1)(2y + 1)(2z + 1)... là số lẻ

⇒ Số lượng ước của P là 1 số lẻ

Vậy số chính phương luôn có số ước là 1 số lẻ.

Số nhỏ nhất có 4 chữ số là 1000. Vậy tổng 2 số là 1000.

Do ở giữa hai số lẻ đó có 4 số lẻ nữa nên giữa chúng có 5 khoảng và mỗi khoảng là 2 đơn vị.

Hiệu hai số là:

2.5 = 10

Số lớn là:

(1000 + 10) : 2 = 505

Số bé là:

505 – 10 = 495

Đáp số: 505 và 495.

TH1: Tam giác ABC nhọn hoặc tam giác ABC tù ở A

Ta có: AHC^=90°

Suy ra: h_a = AH = AC.sinC = b.sinC

Mà theo định lý sin: bsinB=2R hay b = 2R.sinB

Suy ra: h_a = 2R.sinB.sinC.

TH2: Tam giác ABC tù ở B hoặc C

Ta có: AHB^=90°

Suy ra: h_a = AH = AB.sinABH^

h_a = AB.sin180°−B^

h_a = AB.sinB = c.sin B

Mà theo định lý sin: csinC=2R hay c = 2R.sinC

Vậy h_a = 2R.sinB.sinC.

Chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là:

80 . 4 = 320 (m)

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là

320 : 2 = 160 (m)

Mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là:

30 + 10 = 40 (m)

Chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

(160 - 40) : 2 = 60 (m)

Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là:

60 + 40 = 100 (m)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

60 . 100 = 6000 (m²).

a) Xét tam giác ABD và tam giác ABE có:

Chung A^

ABD^=AEB^ (vì AB là tiếp tuyến (O))

⇒ ∆ABD ∽ ∆AEB (g.g)

⇒ ABAE=ADAB

⇒ AB² = AD.DE

b) Ta có: AB,AC là tiếp tuyến của (O)

⇒AB ⊥ OB, BC ⊥ AO

⇒ BH ⊥ AO

⇒ AB² = AH.AO (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇒ AH.AO = AD.AE

⇒ AHAE=ADAO

Mà DAH^=EAO^

⇒ ∆ADH ∽ ∆AOE (c.g.c)

⇒ AHD^=AEO^

⇒ DHOE nội tiếp

⇒ AHD^=DEO^=EDO^=EHO^

⇒ DHB^=90°−AHD^=90°−EHO^=BHE^

Nên: HB là phân giác EHD^

M=42−xx−15=−x−15+27x−15=−1+27x−15

Để M nhỏ nhất thì 27x−15 nhỏ nhất

Suy ra: 27x−15<0 và x – 15 lớn nhất

Mà x – 15 là số nguyên nên x – 15 = -1

Suy ra: x = -1 + 15 = 14

Vậy GTNN của M=−1+27−1=−1−27=−28 khi x = 14.

Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB = 6cm và AC = 8cm.

Sử dụng định lý Pythagoras, ta có: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100

Suy ra: BC = 10 cm

Vậy độ dài cạnh BC là 10cm.

b) Vì N là điểm đối xứng của M qua I, nên ta có AI = IN và AM = MN.

Đồng thời, ta có IM = IN (tính chất đối xứng); IA = IC

Vậy ta có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Điều này chứng tỏ AMCN là hình bình hành.

Dựng hình theo hình vẽ.

Ta có: MB = 2MA, AN = 2ND nên: MAMB=12≠2=NAND

Nên MN không song song với BD

Gọi MN ∩ BD = E, EP ∩ BC = F

Suy ra: (MNP) ∩ (ABC) = MF.