7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 80)

Đáp án đúng là: C

Ta có: 

3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3

⇔ –x + 3y – 1 > 0

Vì –3 + 3.2 – 1 > 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ (3; 2)

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Vì phép quay là phép đồng dạng mà phép quay với góc quay α ≠ kπ (k ∈ ℤ) thì không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {4 - x} \right) > 0\\x < m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < x < 4\\x < m - 1\end{array} \right.\)

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m – 1 ≤ –3 hay m ≤ –2

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có\(|x| < 8 \Leftrightarrow - 8 < x < 8 \Leftrightarrow x \in ( - 8;8)\)

+) TH1: \(m > 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4\)

\( \Leftrightarrow x > - \frac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \frac{4}{m}; + \infty } \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow ( - 8;8) \subset S\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{m} \le - 8 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\)

Suy ra \(0 < m \le \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) TH2: \(m = 0\), bất phương trình trở thành

\(0.x + 4 > 0\): đúng với mọi x

Do đó \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) TH3: \(m < 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4\)

\( \Leftrightarrow x < - \frac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - \frac{4}{m}} \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow ( - 8;8) \subset S\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{{\;m}} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge - \frac{1}{2}\)

Suy ra \( - \frac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kết hợp các trường hợp ta được: \[ - \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}\]

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Chọn 1 bút đỏ có 2 cách

Chọn 1 bút đen có 3 cách

Chọn 1 bút chì có 2 cách

Suy ra có tất cả 2 + 3 + 2 = 7 cách lấy 1 cái bút (quy tắc cộng)

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình bình hành tâm O nên \(\overrightarrow {OC} = - \overleftarrow {OA} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = - \overleftarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”. Có hai trường hợp xảy ra

Biến cố B: Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được một bi xanh

Xác suất trong trường hợp này là \({P_B} = \frac{5}{8}.\frac{4}{7} = \frac{5}{{14}}\)

Biến cố C: Lấy lần thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh

Xác suất trong trường hợp này là \({P_C} = \frac{3}{8}.\frac{5}{7} = \frac{{15}}{{56}}\)

Ta thấy 2 biến cố B và C là xung khắc nên \({P_A} = {P_B} + {P_C} = \frac{5}{{14}} + \frac{{15}}{{56}} = \frac{5}{8}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 4;3;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

Hay A, B, C không thẳng hàng

Gọi D(x; y; z) ta có \(\overrightarrow {DC} \left( { - 3 - x;5 - y;1 - z} \right)\)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = - 3 - x\\ - 3 = 5 - y\\4 = 1 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 8\\z = - 3\end{array} \right.\)

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Đặt h(x) = 4f(x) + x²

Ta có:\(h'(x) = 4f(x) + 2x = 4\left[ {f'(x) + \frac{x}{2}} \right]\)

Số nghiệm của phương trình h’(x) = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng \(y = - \frac{x}{2}\)

Vẽ đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng \(y = - \frac{x}{2}\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có BBT hàm số y = h(x):

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số g(x) = |h(x)| như sau:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên (0;4)

Vậy đáp án cần chọn là: B.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{mx > 8}\end{array}} \right.\)

Ta có: \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {mx - 8} \right)\)     (1)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{(x - 1)^2} = {\log _2}(mx - 8)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = mx - 8\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 9 = m\\ \Leftrightarrow x - 2 + \frac{9}{x} = m{\rm{               }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt

⇔Phương trình (2) có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1

Xét hàm số \(f(x) = x - 2 + \frac{9}{x},x > 1\) có \(f'(x) = 1 - \frac{9}{{{x^2}}},f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Bảng biến thiên:

Phương trình (2) có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1 \( \Leftrightarrow 4 < m < 8\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 5;6;7\} \)

Do đó 3 giá trị của m thỏa mãn

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Qua phép quay tâm O góc quay –90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ vuông góc với d

Phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(x + 3y + m = 0\)

Lấy \(A(0;2) \in d\). Qua phép quay tâm O góc quay –90°, điểm A(0; 2) biến thành điểm \(B(2;0) \in d'\)

Khi đó m = –2

Vậy phương trình đường d’ là x + 3y – 2 = 0

Vậy đáp án cần chọn là: B.

Đáp án đúng là D

Mỗi cách lấy có thứ tự hai điểm trong 2019 điểm đã cho ta xác định được một vectơ. Vì vậy, từ 2019 điểm phân biệt, ta xác định được \[{\rm{A}}_{2019}^2\] vecto khác \(\overrightarrow 0 \)

Vậy ta chọn đáp án D.

Đặt \(f(x) = {x^2} - 4x + m\)

Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \(0 < {x_1} < {x_2} < 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{f(0) > 0}\\{f(3) > 0}\\{0 < \frac{S}{2} < 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{4^2} - 4m > 0\\0 + m > 0\\{3^2} - 4.3 + m > 0\\0 < \frac{4}{2} < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - m > 0}\\{m > 0}\\{m - 3 > 0}\\{0 < 2 < 3}\end{array} \Leftrightarrow 3 < m < 4} \right.} \right.\)

Vậy 3 < m < 4.

Đáp án đúng là: B

Hàm số xác định khi x² − 6x + m – 2 > 0 ⇔ (x – 3)² + m – 11 > 0

Hàm số xác định với ∀ x ∈ R ⇔ (x – 3)² + m – 11 > 0 đúng với mọi x ∈ℝ

⇔ m – 11 > 0 (vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x)

⇔ m > 11

Vậy đáp án cần chọn là: B.

Đáp án đúng là: C

Đáp án A ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {DB} }\\{\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {DB} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} \ne \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MD} \)

Suy ra đáp án A sai

Đáp án B ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CA} }\\{\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {CA} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} \ne \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} } \right.\)

Suy ra đáp án B sai

Đáp án C ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right.\)

Suy ra đáp án C đúng

Vậy đáp án cần chọn là: C.

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau”

Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 10!

Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5! . 5!

Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5! . 5!

Suy ra n(A) = 5! . 5! + 5! . 5! = 28 800

Xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{28800}}{{10!}} = \frac{1}{{126}}\)

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(f(x) < {e^x} + m \Leftrightarrow f(x) - {e^x} < m\)

Đặt \(g(x) = f(x) - {e^x}\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}f(x) < {e^x} + m;\forall x \in ( - 1;1)\\ \Rightarrow g(x) = f(x) - {e^x} < m;\forall x \in ( - 1;1)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g(x)\end{array}\)

Ta có g’(x) = f’(x) – e^x

Trên (–1; 1) ta có: \(f'(x) < 0;{e^x} > 0;\forall x \in R \Rightarrow g'(x) < 0;\forall x \in ( - 1;1)\)

Suy ra g(x) nghịch biến trên (–1; 1)

Do đó: \(\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g(x) = g( - 1) = f( - 1) - {e^{ - 1}} = f( - 1) - \frac{1}{e}\)

Suy ra \(m \ge f( - 1) - \frac{1}{e}\)

Vậy đáp án cần chọn là: C.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Tiệm cận ngang: \(y = \frac{a}{c} = - 1\)

Tiệm cận đứng: \[{\rm{x}} = \frac{1}{c} = 1\]

Từ đây suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = 1\end{array} \right.\)

Lại có đồ thị cắt trục hoành tại x = 2 nên 2a + b = 0

Hay b = –2a = –2 . (–1) = 2

Ta có S = a + b + c = – 1 + 2 + 1 = 2

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \left( { - 2;10} \right),\overrightarrow {AB} \left( { - 1;5} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = 2\overrightarrow {AB} \)

Suy ra 3 điểm A, B, D thẳng hàng

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có các vectơ đó là \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \)

Vậy ta chọn đáp án D.

a) I nằm trong đoạn CD

Dễ thấy \((HKM) \equiv (HKI)\) và (HKM) đã khép kín và cắt tất cả các mặt của hình chóp lần lượt theo các giao tuyến sau:

\(\begin{array}{l}(HKM) \cap (ABC) = HK\\(HKM) \cap (BCD) = KI\\(HKM) \cap (ACD) = IH\end{array}\)

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (HKM) là tam giác HKM.

b) I nằm ngoài đoạn CD

+ Bước 1: Giao tuyến có sẵn HK

+ Bước 2: \((HKM) \equiv (HKI)\)

Trong (BCD) gọi giao điểm của KI và BD là E

Trong (ACD) gọi giao điểm của HI và AD là F

+ Bước 3 : Lúc này mặt (HKM) đã khép kín và cắt tất cả các mặt của hình chóp lần lượt theo các giao tuyến sau:

\(\begin{array}{l}(HKM) \cap (ABC) = HK\\(HKM) \cap (BCD) = KE\\(HKM) \cap (ABD) = EF\\(HKM) \cap (ACD) = FH\end{array}\)

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (HKM) là tứ giác HKEF.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC\,{\rm{//}}\,(\alpha ),BC \subset (ABCD),BC \subset (SBC)}\\{(\alpha ) \cap (ABCD) = MN}\\{(\alpha ) \cap (SBC) = PQ}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,PQ\quad \)

Suy ra tứ giác MNPQ là hình thang     (1)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\alpha ) \cap (SAB) = MQ}\\{(\alpha )\,{\rm{//}}\,SA,SA \subset (SAB)}\end{array} \Rightarrow SA\,{\rm{//}}\,MQ} \right.\)

Áp dụng định lý Ta – lét ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}};\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{DN}}{{DC}}\\ \Rightarrow \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{DN}}{{DC}} \Rightarrow NP\,{\rm{//}}\,SD\end{array}\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MQ\,{\rm{//}}\,SA}\\{MN\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD}\end{array} \Rightarrow \widehat {NMQ} = \widehat {SAD}} \right.{\rm{ }}\)

Mà tam giác SAD đều nên \(\widehat {SA{\rm{D}}} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {NMQ} = 60^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {MNP} = \widehat {SDA} = 60^\circ \)

Do đó \(\widehat {NMQ} = \widehat {MNP}\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình thang cân

Vậy đáp án cần chọn là: D.

Đáp án đúng là: D

Số cách lấy bằng số cách chọn ra 6 quyển để bỏ lại. Yêu cầu đặt ra là 6 quyển để lại phải đủ cả 3 môn.

TH1: 1 văn, 2 âm nhạc, 3 hội họa: \(C_5^1 \cdot C_4^2 \cdot C_3^3\)

TH2: 1 văn, 3 âm nhạc, 2 hội họa: \(C_5^1 \cdot C_4^3 \cdot C_3^2\)

TH3: 1 văn, 4 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^1 \cdot C_4^4 \cdot C_3^1\)

TH4: 2 văn, 1 âm nhạc, 3 hội họa: \(C_5^2 \cdot C_4^1 \cdot C_3^3\)

TH5: 2 văn, 2 âm nhạc, 2 hội họa: \(C_5^2 \cdot C_4^2 \cdot C_3^2\)

TH6: 2 văn, 3 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^2 \cdot C_4^3 \cdot C_3^1\)

TH7: 3 văn, 1 âm nhạc, 2 hội họa: \(C_5^3 \cdot C_4^1 \cdot C_3^2\)

TH8: 3 văn, 2 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^3 \cdot C_4^2 \cdot C_3^1\)

TH9: 4 văn, 1 âm nhạc, 1 hội họa: \(C_5^4 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1\)

Lấy 6 quyền sách chia cho 6 bạn: 6! = 720

Theo quy tắc nhân ta được 579 600 cách

Vậy đáp án cần chọn là D.

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6!

Gọi A là biến cố : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ"

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ  hai)

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách

Theo quy tắc nhân ta có: 6 . 4 . 2 . 3! = 288 cách

Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng:

\(P\left( A \right) = \frac{{288}}{{6!}} = \frac{2}{5}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)

\( = \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)\( = \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}\left( {1 + \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right).\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{3{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{3\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} }}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right) = \frac{{3.1}}{{1 + 1 + 1}} = 1\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{4{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{4\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}}}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right) = \frac{{4.1.1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = 1\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có n(Ω) = 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 = 6⁶

Có các trường hợp sau:

+) Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần; 1 lần ra mặt khác 5: Có 5 cách chọn số khác 5

Suy ra số kết quả thuận lợi là \(5.\frac{{6!}}{{5!.1!}} = 30\)

+) Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần có 1 kết quả thuận lợi

+) Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần; 1 lần  ra mặt khác 6: Có 5 cách chọn  số khác 6

Suy ra số kết quả thuận lợi là \(5.\frac{{6!}}{{5!.1!}} = 30\)

+) Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần có 1kết quả thuận lợi

Do đó xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là \(P = \frac{{30 + 1 + 30 + 1}}{{{6^6}}} = \frac{{31}}{{23328}}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Trong 2 + 3 = 5 giờ vòi nước chảy được số phần bể là:

\(\frac{2}{7} + \frac{9}{{14}} = \frac{{13}}{{14}}\) (bể)

trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được là:

\(\frac{{13}}{{14}}:5 = \frac{{13}}{{70}}\) (bể)

Vậy trung bình mỗi giờ vòi nước đó chảy được \(\frac{{13}}{{70}}\) bể.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \)

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Vì M₁, M₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy

Nên M₁(3; 0) và M₂(0; –4)

Suy ra \(\overline {O{M_1}} = 3\) và \(\overline {O{M_2}} = - 4\)

Do đó đáp án A, B sai

Ta có \(\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left( {3;4} \right)\)

Do đó đáp án C sai

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} .{\left( {3{x^3}} \right)^{5 - k}}.{\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^5 {{\rm{C}}_5^{\rm{k}}} {.3^{5 - {\rm{k}}}}.{( - 2)^{\rm{k}}}{\rm{.}}{{\rm{x}}^{15 - 5{\rm{k}}}}\)

Hệ số của số hạng chứa x¹⁰ ứng với 15 – 5k = 10 ⇔ k = 1

Suy ra hệ số cần tìm là \(C_5^1{.3^4}.\left( { - 2} \right) = - 810\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3}.\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right) + 6{x^2}.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} + 4x.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\\ = {x^4} + 4{x^3}.\frac{2}{{\sqrt x }} + 6{x^2}.\frac{4}{x} + 4x.\frac{8}{{x\sqrt x }} + \frac{{16}}{{{x^2}}}\\ = {x^4} + 8{x^2}\sqrt x + 24x + \frac{{32}}{{\sqrt x }} + \frac{{16}}{{{x^2}}}\end{array}\)

Số hạng chứa x trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\) là 24x

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow y'(2) = \frac{{ - 1}}{{{{(2 - 1)}^2}}} = - 1\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x - 1}}\) tại A(2; 3) là:

\(y = - (x - 2) + 3 = - x + 5\)

Vậy đáp án cần chọn là: B.

Đáp án đúng là: D

Ta có sô nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điềm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

Do đó, dựa vào bàng biến thiên ta thấy, phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 3

Kết hợp điều kiện \(m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(m \in \{ 1;2\} \)

Do đó có 2 giá trị nguyên của tham số m thòa mãn yêu cầu bài toán

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có (α) ∩ (SCD) = NM nên NM // CD

Do đó (α) là (ABMN)

Mặt phẳng (α) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là

\({V_{S.ABMN}} = {V_{ABCDNM}} \Rightarrow {V_{S.ABMN}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}}\)                       (1)

Ta có: \({V_{S.ABC}} = {V_{S \cdot ACD}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S \cdot ABCD}}\)

Đặt \(\frac{{SN}}{{SD}} = x\) với \((0 < x < 1)\), khi đó theo Ta – let ta có \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = x\)

Mặt khác \(\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = x\)

Suy ra \({V_{S.ABM}} = \frac{x}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)

Ta có: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = {x^2}\)

Suy ra \({V_{S.AMN}} = \frac{{{x^2}}}{2}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)

Ta có: \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.AMB}} + {V_{S.AMN}} = \left( {\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right){V_{S.ABC{\rm{D}}}}\)                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \((0 < x < 1)\) nên \(x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)

Hay \(\frac{{SN}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = 2 nên cosα ≠ 0

Ta có: \({\rm{G}} = \frac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha - 3\sin \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha + 1}}{{1 - 3\tan \alpha }}\)

Thay tanα = 2 ta được: \({\rm{G}} = \frac{{2.2 + 1}}{{1 - 3.2}} = - \frac{5}{5} = - 1\)

Vậy đáp án cần chọn là: D.

Đáp án đúng là: A

B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

D sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

C sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6³ = 216

Gọi A là biến cố “Xuất hiện nhiều nhất 2 mặt 5” hay A: “Xuất hiện không quá hai mặt 5”

Khi đó: \(\overline A \) là “Xuất hiện cả ba mặt đều là 5”

Suy ra \(n\left( A \right) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{{216}}\)

Xác suất biến cố A là \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{216}} = \frac{{215}}{{216}}\)

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện:\({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{m + {{\log }_2}x \ge 0}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\)

\( \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 8{\log _2}x - 4\sqrt {m + {{\log }_2}x} = 4m\)

\( \Leftrightarrow 4\log _2^2x - 4{\log _2}x + 1 = 4\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 4\left( {m + {{\log }_2}x} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x - 1} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\log _2}x - 1 = 2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1\\ - 2{\log _2}x + 1 = 2\sqrt {m + {{\log }_2}x} + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x - 1 = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \\ - {\log _2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \end{array} \right.\)

Xét phương trình \(lo{g_2}x - 1 = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)     (1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {lo{g_2}x - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x + 1 - m - {\log _2}x = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 3{\log _2}x + 1 - m = 0\end{array}\)

Phương trình (1) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4\left( {1 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 5 + 4m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 5}}{4}\end{array}\)

Xét phương trình \( - lo{g_2}x = \sqrt {m + {{\log }_2}x} \)       (2)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - lo{g_2}x} \right)^2} = {\left( {\sqrt {m + {{\log }_2}x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x - m = 0\end{array}\)

Phương trình (2) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 + 4m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

ĐểPt (*) có nghiệm thì ít nhất một trong 2 phương trình (1) hoặc (2) phải có nghiệm

Từ đề bài ta suy ra \(\frac{{ - 5}}{4} \le m \le 2019\)

Suy ra có \(\frac{{2019 + 1}}{1} + 1 = 2021\) giátrịnguyên của m thỏa mãn bài toán

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x - 1 > 0}\\{2{x^2} - x - 1 < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\2{x^2} - x - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{2}\\x > 1\end{array} \right.}\\{\frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} < x < - \frac{1}{2}}\\{1 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4};b = - \frac{1}{2}}\\{c = 1;d = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó \(a + b + c + d = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} + \frac{{ - 1}}{2} + 1 + \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4} = \frac{{1 - \sqrt {17} - 2 + 4 + 1 + \sqrt {17} }}{4} = 1\)

Vậy ta chọn đáp án C.

Đồ thị hai hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên ta thay hoành độ x = 0 vào:

Hàm số y = 2x + (3 + m) ta được tung độ: y = 3 + m

Hàm số y = 3x + (5 – m) ta được tung độ: y = 5 – m

Vì cùng là tung độ của giao điểm nên 3 + m = 5 – m ⇔ m = 1

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Đáp án đúng là: C

Dễ thấy: \( - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = - 2\left( {5\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)

Suy ra hai vectơ \(5\overrightarrow a + \overrightarrow b , - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \) cùng phương

Vậy đáp án cần chọn là: C.

Đáp án đúng là: C

Khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’A’C là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ BAC.A’B’C’

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và B’C’, O là trung điểm của DE

Suy ra O là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ BAC.A’B’C’ (do đáy là ∆ABC vuông cân tại A)

Ta có: \(OD = \frac{{AA'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \)

Suy ra \(AD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Do đó bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là

\(R = OA = \sqrt {A{D^2} + O{D^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\)

Thể tích khối cầu cần tính là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}\)

Vậy ta chọn đáp án C.

a) Không gian mẫu là kết quả việc chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu

Suy ra \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210\)

Gọi biến cố A: “ Bốn quả lấy ra cùng màu”

TH1: Bốn quả lấy ra cùng đen

Có \(C_4^4 = 1\) cách

TH2: Bốn quả lấy ra cùng trắng

Có \({\rm{C}}_6^4 = 15\) cách

\( \Rightarrow {\rm{n}}({\rm{A}}) = 1 + 15 = 16\)

\( \Rightarrow {\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{{\rm{n}}({\rm{A}})}}{{{\rm{n}}(\Omega )}} = \frac{{16}}{{210}} = \frac{8}{{105}}\)

b) Gọi biến cố B: “ Cả 4 quả lấy ra đều màu đen”

Suy ra \(\overline B \): “ Có ít nhất 1 quả màu trắng”

Ta có: \(n(B) = C_4^4 = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{P}}({\rm{B}}) = \frac{{{\rm{n}}({\rm{B}})}}{{{\rm{n}}(\Omega )}} = \frac{1}{{210}}\\ \Rightarrow {\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 1 - {\rm{P}}({\rm{B}}) = 1 - \frac{1}{{210}} = \frac{{209}}{{210}}\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3; - 1),\overrightarrow {AC} = (4;2)\)

Suy ra \(AB = \sqrt {10} ,AC = \sqrt {20} \)

Ta có \(\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {20} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Do đó \((\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) = 45^\circ \)

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Với hai góc α và β mà α + β = 90°

Ta có sinα = cosβ, cosα = sinβ, tanα = cotβ, cotα = tanβ

Vậy ta chọn đáp án B.