7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 40)

Lời giải

Đặt HC = x (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AC² = CH . BC

\( \Rightarrow {20^2} = \left( {9 + x} \right)x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 400 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 25} \right)\left( {x - 16} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 25\left( {ktm} \right)\\x = 16\end{array} \right.\]

Suy ra BC = BH + CH = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AH² = CH . BH = 9 . 16 = 144

Suy ra AH = 12 (cm)

Vậy BC = 25 cm, AH = 12 cm.

Lời giải

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

x² – 3x + 2 = x + m

⇔ x² – 4x + 2 – m = 0

Ta có: ∆’ = (–2)² – (2 – m) = m + 2

Để d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì ∆’ > 0

\( \Leftrightarrow m + 2 > 0\)

\( \Leftrightarrow m > - 2\)

Vậy m > –2 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - m{\rm{x}} - 1\)

\(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\)

Hàm số luôn đồng biến khi và chỉ khi \(m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }} > 0,\forall x\)

Suy ra f(x) luôn đồng biến trên ℝ

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\)

Suy ra m ≤ –1

Vậy ta chọn đáp án D.

Lời giải

Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 5 thì

\(\left\{ \begin{array}{l}2m--1 = 2\\3 - m \ne 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Tập xác định D = ℝ

Ta có:

\(y' = 3{x^2} - 6x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 1}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\)

Suy ra A(0; 1) và B(2; –3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 1

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị trên là

\(\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}}\)

⇔ –2x = y – 1

⇔ y = –2x + 1 (d’)

Vì d ⊥ d’ nên \(\left( {2m - 1} \right).\left( { - 2} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2m - 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

Ta có: 6x³ + x² = 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{\rm{x}} - 1 = 0\\3{\rm{x}} + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{2}\\{\rm{x}} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \[{\rm{x}} \in \left\{ {0;\frac{1}{2}; - \frac{2}{3}} \right\}\].

Lời giải

Theo định lý sin, trong tam giác ABD ta có:

\(\frac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \frac{{AD}}{{\sin \left( {B - \varphi } \right)}}\)

Trong tam giác BCD có:

\(\frac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \frac{{BD}}{{\sin \left( {C - \varphi } \right)}}\)

Trong tam giác ACD có:

\(\frac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \frac{{CD}}{{\sin \left( {A - \varphi } \right)}}\)

Suy ra:

\(\frac{{B{\rm{D}}}}{{\sin \varphi }}.\frac{{C{\rm{D}}}}{{\sin \varphi }}.\frac{{A{\rm{D}}}}{{\sin \varphi }} = \frac{{AD}}{{\sin \left( {B - \varphi } \right)}}.\frac{{BD}}{{\sin \left( {C - \varphi } \right)}}.\frac{{CD}}{{\sin \left( {A - \varphi } \right)}}\)

Do đó: sin³φ = sin(A – φ). sin(B – φ). sin(C – φ)

Vậy sin³φ = sin(A – φ). sin(B – φ). sin(C – φ).

Lời giải

– Định nghĩa:

+ Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức \(y = \frac{a}{x}\) hay xy = a (với a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

+ Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với đại lượng y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

– Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).

+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

+ Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a thì:

x₁y₁ = x₂y₂ = x₃y₃ = ... = a;

\(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \frac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...\).

Giải:

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 5 nên \(y = \frac{5}{x}\)

Hay xy = 5

Suy ra \[{\rm{x}} = \frac{5}{y}\] (y ≠ 0)

Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 5.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Do A và B khác rỗng nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 < 4}\\{2m + 2 > - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 5}\\{m > - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

⇔ –2 < m < 5

Để A ∩ B = ∅

\( \Leftrightarrow 2m + 2 \le m - 1 \Leftrightarrow m \le - 3\)

Mà –2 < m < 5 nên m ∈∅

Do đó không có giá trị nào của m để A ∩ B = ∅

Suy ra với mọi m ∈ (–2; 5) thì A ∩ B ≠ ∅

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

Ta có:

\(A = \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {a + 1 - a - 1} \right)}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \)

\( = \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{a} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{{a + 1}} - 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{{a + 1}}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a - 1}}} \right)}^2}} = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a - 1}}\)

Vậy \[{\rm{A}} = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a - 1}}\].

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

Vậy ta chọn đáp án D.

Lời giải

Khẳng định trên là sai vì:

Đường tròn có 1 tâm đối xứng và vô số trục đối xứng (mỗi đường kính là một trục đối xứng).

Lời giải

Xét hiệu:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\), vì \({\rm{a}}{\rm{, b}} > 0\)

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b

Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) với a > 0 và b > 0.

Lời giải

a) Chia hai vế của phương trình cho 5^x ta có:

\({\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1\)

Xét \(f\left( {\rm{x}} \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\)

Ta có:

\(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\forall x\)

Do đó f(x) đồng biến trên R

Mặt khác:

f(2) = 1

Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhât của phương trình

b) Ta có: 2^x+1 – 4^x = x – 1

⇔ 2^x . 2 – 2^2x = x – 1

⇔ 2^x (2 – 2^x) = x – 1                            (*)

+) Với x = 1 thì phương trình (*) ⇔ 2¹ (2 – 2¹) = 0

Suy ra x = 1 là nghiệm của phươn trình

+) Với x > 1 thì 2 < 2^x và x – 1 > 0

Do đó 2^x (2 – 2^x) < 0 < x – 1

Khi đó phương trình (*) vô nghiệm

+) Với x < 1 thì 2 > 2^x và x – 1 < 0

Do đó 2^x (2 – 2^x) > 0 > x – 1

Khi đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Đặt f(x) = 2x² – (2m + 1)x – 2m + 2

Ta có ∆ = (2m + 1)² – 4 . 2 . (2 – 2m) = 4m² + 4m + 1 – 16 + 16m = 4m² + 20m – 15

+) TH1: \(\Delta \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{{5 - \sqrt {10} }}{2}}\\{m \ge \frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra f(x) ≥ 0 với mọi x (loại)

+) TH2: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{{5 - \sqrt {10} }}{2};\frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\)

Khi đó f(x) có hai nghiệm

\({x_1} = \frac{{2m + 1 - \sqrt \Delta }}{4},{x_2} = \frac{{2m + 1 + \sqrt \Delta }}{4}\left( {{{\rm{x}}_1} < {{\rm{x}}_2}} \right)\)

Và f(x) ≤ 0 khi x₁ ≤ x ≤ x₂

Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} \le \frac{1}{2}}\\{{x_2} \ge 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 1 \le 2\sqrt {\rm{\Delta }} }\\{7 - 2m \le \sqrt {\rm{\Delta }} }\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(2m - 1)}^2} \le 4{\rm{\Delta }}}\\{{{(7 - 2m)}^2} \le {\rm{\Delta }}}\\{\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20{m^2} - 84m + 61 \le 0}\\{{m^2} - 6m + 8 \le 0}\\{\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

 \(\overrightarrow {AD} \left( { - 2;10} \right),\overrightarrow {AB} \left( { - 1;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} \)

Suy ra 3 điểm A, B, D thẳng hàng

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

a) \(\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 3} \right)}^2}} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} + 3} \right| = 4\)

+) Nếu 2x + 3 < 0 hay \[{\rm{x}} < \frac{{ - 3}}{2}\] thì

\(\left| {2{\rm{x}} + 3} \right| = 4\)

⇔ – 2x – 3 = 4

⇔ – 2x = 7

\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{2}\) (thỏa mãn)

+) Nếu 2x + 3 ≥ 0 hay \[{\rm{x}} \ge \frac{{ - 3}}{2}\] thì

\(\left| {2{\rm{x}} + 3} \right| = 4\)

⇔ 2x + 3 = 4

⇔ 2x = 1

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy \[{\rm{S}} = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{ - 7}}{2}} \right\}\].

b) Điều kiện xác định x ≥ 0

\(\sqrt {9{\rm{x}}} - 5\sqrt x = 6 - 4\sqrt x \)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {\rm{x}} - \sqrt x = 6\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {\rm{x}} = 6\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {\rm{x}} = 3\)

⇔ x = 9 (thỏa mãn)

Vậy x = 9.

Lời giải

Ta có:

\({x^2} + x - xy - 2{y^2} - 2xy = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + xy - 2{y^2} + x - 2y = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x - 2y) + y(x - 2y) + (x - 2y) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x + y + 1)(x - 2y) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 1 = 0}\\{x - 2y = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = - 1}\\{x = 2y}\end{array}} \right.\)

Thay x = 2y vào phương trình x² + y² = 1 ta có:

\(4{y^2} + {y^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow 5{y^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{5}\)

\( \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Rightarrow x = 2 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có \(x + y = - 1\)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 1\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2xy = 1\)

\( \Leftrightarrow xy = 0\)

Lại có x + y = –1

Do đó x = –1 – y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Lời giải

Ta có:

\({x^2} - x - xy - 2{y^2} + 2y\)

\( = {x^2} - x + xy - 2{y^2} + 2y - 2xy\)

\( = x(x - 1 + y) - 2y(y - 1 + x)\)

\( = (x - 2y)(x + y - 1)\)

Lời giải

Ta có:

\(\frac{{355}}{{113}} \approx 3,14159292... < 3,14159293\)

Do vậy

\(0 < \frac{{355}}{{113}} - \pi < 3,1415929 - 3,14159265 \approx 0,00000028\)

Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn 2,8 . 10^-7.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: OM ≤ OA

Nên OM lớn nhất bằng OA khi M ≡ A

Suy ra OA ⊥ d

Hay d ⊥ HA

Vậy ta chọn đáp án D.

Lời giải

Ta có:

[(–59) + 71] – [(–83) – (–95)]

= (–59) + 71 + 83 + (–95)

= 12 + (–12)

= 0.

Lời giải

a) \(\overrightarrow {{\rm{AM}}} = (3;{\rm{y}} - 3);\overrightarrow {{\rm{MB}}} = (4;4 - {\rm{y}})\)

AMB vuông tại \({\rm{M}}\)

\( \Leftrightarrow \widehat {{\rm{AMB}}} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{AM}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot 4 + ({\rm{y}} - 3) \cdot (4 - {\rm{y}}) = 0\)

\( \Leftrightarrow 12 + 4{\rm{y}} - {{\rm{y}}^2} - 12 + 3{\rm{y}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 7{\rm{y}} - {{\rm{y}}^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{y = 7}\end{array}} \right.\)

Vậy với M(5; 7) hoặc M(5; 0) thì tam giác ABM vuông tại M.

b) \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} = (7;1),\overrightarrow {{\rm{AP}}} = ({\rm{x}} - 2, - 1)\)

\({\rm{A}},{\rm{P}},{\rm{B}}\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{AP}}} \) và \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{AP}}} = {\rm{k}} \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} - 2 = {\rm{k}} \cdot 7}\\{ - 1 = {\rm{k}} \cdot 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{k}} = - 1}\\{{\rm{x}} - 2 = - 7}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{k}} = - 1}\\{{\rm{x}} = - 5}\end{array}} \right.\)

Vậy P(–5; 2).

Lời giải

Ta có:

\(2x - ( - 17) = 15\)

\( \Rightarrow 2x + 17 = 15\)

\( \Rightarrow 2x = 15 - 17\)

\( \Rightarrow 2x = - 2\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 2}}{2}\)

\( \Rightarrow x = - 1\)

Vậy x = –1.

Lời giải

Vì tam giác ABC vuông cân tại C

Nên AC = BC, \(\widehat {CAB} = \widehat {CBA} = 45^\circ \)

Ta có PM // BC và AC ⊥ CB

Suy ra PM ⊥ AC

Do đó tam giác APM vuông tại P

Lại có \(\widehat {PAM} = 45^\circ \)

Suy ra \(\widehat {PAM} = \widehat {PMA} = 45^\circ \)

Do đó tam giác APM vuông cân tại P

Suy ra PA = PM

Mà PA = CQ (giả thiết)

Suy ra PM = CQ

Xét tứ giác PCQM có

PM = CQ

Mà PM // CQ

Suy ra PCQM là hình bình hành

Lại có: \(\widehat C = 90^\circ \)

Suy ra PCQM là hình chữ nhật

Vậy PCQM là hình chữ nhật.

Lời giải

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \)

Do hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) ngược hướng

Nên \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 180^\circ \)

Do đó \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = |\overrightarrow {OA} | \cdot |\overrightarrow {OB} | \cdot \cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )\)

\( = OA \cdot OB \cdot \cos 180^\circ = - OA \cdot OA = - O{A^2}\)

Với điểm M tùy ý ta có

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = {\overrightarrow {MO} ^2} + \overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \\ = {\left| {\overrightarrow {MO} } \right|^2} + (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ) \cdot \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \\ = M{O^2} + \vec 0 \cdot \overrightarrow {MO} + \left( { - O{A^2}} \right)\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - O{A^2}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = –11

(C): x² + y² + 2y = 0

⇔ x² + y² + 2y + 1 = 1

⇔ x² + (y + 1)² = 1

Đường tròn (C) có tâm I(0; –1) và bán kính R = 1

Gọi I’ và R’ là tâm và bán kính của đường tròn (C’)

Ta có \(R' = \left| k \right|.R = \left| { - 11} \right|.1 = 11\)

Mặt khác \(\overrightarrow {OI'} = - 11\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = - 11{{\rm{x}}_I} = - 11.0 = 0\\{y_{I'}} = - 11{y_I} = - 11.\left( { - 1} \right) = 11\end{array} \right.\)

Suy ra I’(0; 11)

Do đó phương trình đường tròn (C’) là (x + 0)² + (y – 11)² = 11²

Hay x² + (y – 11)² = 121

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

Hàm số \[{\rm{g}}\left( x \right){\rm{ = cosx + }}\frac{{{x^2}}}{2} - 1\] liên tục trên [0; +∞) có đạo hàm g’(x) = x – sinx

Ta có g’(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g(x) đồng biến trên [0; +∞)

Khi đó ta có

g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0

Hay \[{\rm{cosx + }}\frac{{{x^2}}}{2} - 1 > 0\] với mọi x > 0

⇔ \[{\rm{cosx > 1}} - \frac{{{x^2}}}{2}\] với mọi x > 0                                         (1)

Với mọi x < 0 thì – x > 0 nên theo (1) ta có

\(\cos ( - x) > 1 - \frac{{{{( - x)}^2}}}{2} \Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x < 0

Vậy \[{\rm{cosx > 1}} - \frac{{{x^2}}}{2}\] với mọi x ≠ 0.

Lời giải

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AC = AD

Xét ∆ABC và ∆ABD có

AC = AD

\(\widehat {BAC} = \widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \)

AB là cạnh chung

Suy ra ∆ABC = ∆ABD (c.g.c)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}}\) (hai góc tương ứng), BC = BD (hai cạnh tương ứng)

Ta có \(AC = \frac{1}{2}BC\) (giả thiết)

AC = AD

Suy ra \(A{\rm{D}} = \frac{1}{2}BC\)

Do đó AC + AD = BC

Hay CD = BC

Mà BC = BD

Suy ra BC = BD = CD

Do đó tam giác BCD đều

Suy ra \(\widehat {DBC} = 60^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {CB{\rm{D}}}\), \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Vậy nếu trong tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 30°.

Lời giải

Ta có:

\[{\rm{cos2x}} - \cos x = \sqrt 3 \left( {\sin 2{\rm{x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = \sqrt 3 \sin x + \cos x\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3} = - x + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy \[{\rm{x}} = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi ,x = \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\].

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có chọn môn chung mã đề có 2 cách. Vì môn đó có 6 mã đề khác nhau nên xác suất chung mã đề ở mỗi môn là \(\frac{1}{6}\)​ và khác mã đề ở môn còn lại là \(\frac{5}{6}\)

Suy ra xác suất cần tìm là: \(P = 2.\frac{1}{6}.\frac{5}{6} = \frac{5}{{18}}\)

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \[{{\rm{d}}_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 - t\end{array} \right.\]

Suy ra y = 2 – x

Hay x + y – 2 = 0

Tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - 2y + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\3y - 2 - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\y = \frac{{2 + m}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \frac{{2 + m}}{3}\\y = \frac{{2 + m}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{4 - m}}{3}\\y = \frac{{2 + m}}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra \(M\left( {\frac{{4 - m}}{3};\frac{{2 + m}}{3}} \right)\)

Ta có OM = 2

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{4 - m}}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2 + m}}{3}} \right)^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow 16 - 8m + {m^2} + {m^2} + 4m + 4 = 36\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m - 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.\)

Vậy ta chọn đáp án D.

Lời giải

Hai vectơ gọi là cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 

Hai vectơ cùng hướng (hoặc chiều) khi chúng là vectơ cùng phương và cùng xác định 1 hướng.

Lời giải

Ta có:

\( = \frac{{{{(x + y)}^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} - 3xyz + {z^3}}}{{{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {x^2} - 2xz + {z^2}}}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(x + y)}^3} + {z^3}} \right] - 3xy(x + y + z)}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2xz}}\)

\( = \frac{{(x + y + z)\left[ {{{(x + y)}^2} - z(x + y) + {z^2}} \right] - 3xy(x + y + z)}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}\)

\( = \frac{{(x + y + z)\left( {{x^2} + 2xy + {z^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right)}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}\)

\( = \frac{{(x + y + z)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}\)

\( = \frac{{x + y + z}}{2} = \frac{1}{2}(x + y + z)\).

Lời giải

Ta có:

A = x² – 3x + 5

\[{\rm{A}} = {x^2} - 2.\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{{11}}{4}\]

\(A = {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\)

Nên \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} \ge \frac{{11}}{4},\forall x\)

Dấu “ = ” xảy ra khi \[{\rm{x}} - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \(\frac{{11}}{4}\) khi \[x = \frac{3}{2}\].

Lời giải

Ta có:

Để đa thức 2x³ – 3x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2 thì số dư a – 30 = 0

Hay a = 30.

Vậy a = 30 thì đa thức 2x³ – 3x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Đặt f(x) = x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰

Ta có:

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển ứng với k = 4 và i = 3 là:

\(C_5^4.\left( { - 2} \right){}^4 + C_{10}^3{.3^3} = 3320\).

Lời giải

Đáp án đúng là D

Chu vi hình chữ nhật là:

\(L = 2(x + y) = 2(3,456 + 12,732) = 32,376(m)\)

Sai số tuyệt đối là:

\({\Delta _L} \le 2(0,01 + 0,015) = 0,05\)

Vậy ta chọn đáp án D.

Lời giải

Điều kiện xác định \[{\rm{x}} \ge \frac{{ - 10}}{3}\]

Ta có:

Vậy x = – 3.

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 7x - 8 \le 0}\\{{a^2}x + 1 > 3 + (3a - 2)x}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 7x - 8 \le 0}\\{\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)x > 2}\end{array}} \right.\)

Ta đặt  \({x^2} + 7x - 8 \le 0\,\,\,\left( a \right)\); \(\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)x > 2\,\,\,\left( b \right)\)

Hệ (1) vô nghiệm khi và chỉ khi T(a) ∩ T(b) = ∅

Ta có x² + 7x – 8 ≤ 0

⇔ (x + 8)(x – 1) ≤ 0

⇔ –8 ≤ x ≤ 1

Suy ra T(a) = [–8; 1]

Đặt a² – 3a + 2 = m

+) Nếu m = 0 thì a² – 3a + 2 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\)

Khi đó 0 . x > 2

Suy ra T(b) = ∅

Do đó hệ (1) vô nghiệm

+) Nếu m > 0 thì a² – 3a + 2 > 0

Suy ra a ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞)

Khi đó mx > 2

\( \Leftrightarrow x > \frac{2}{m}\)

Ta có:

T(a) ∩ T(b) = ∅

\( \Leftrightarrow \frac{2}{m} \ge 1\)

⇔ 2 ≥ m = a² – 3a + 2

⇔ a² – 3a ≤ 0

⇔ 0 ≤ a ≤ 3

Kết hợp điều kiện a ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) ta được \(\left[ \begin{array}{l}0 \le a < 1\\2 < a \le 3\end{array} \right.\)

+) Nếu m < 0 thì a² – 3a + 2 < 0

Suy ra a ∈ (1; 2)

Khi đó mx < 2

\( \Leftrightarrow x < \frac{2}{m}\)

Ta có:

T(a) ∩ T(b) = ∅

\( \Leftrightarrow \frac{2}{m} \le - 8\)

⇔ 2 ≥ –8m = –8(a² – 3a + 2)

⇔ 4a² – 12a + 9 ≥ 0

⇔ (2a – 3)² ≥ 0 (luôn đúng)

Suy ra a ∈ (1; 2) thì hệ (1) vô nghiệm

Vậy 0 ≤ a ≤ 3.

Lời giải

a) Ta có x³ + 12x² + 48x + 64

= x³ + 3 . x² . 4 + 3 . x . 4² + 4³

= (x + 4)³

Tại x = 6, giá trị biểu thức bằng

(6 + 4)³ = 10³ = 1 000.

b) Ta có x³ – 6x² + 12x – 8

= x³ – 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² – 2³ 

= (x – 2)³

Tại x = 22, giá trị biểu thức bằng

(22 – 2)³ = 20³ = 8 000.

Lời giải

Đáp án dúng là A

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x² + x + 2 = ax + 1

⇔ x² + (1 – a) x + 1 = 0

Để (P) tiếp xúc với (d) thì phương trình có nghiệm kép hay

\(\Delta = {(1 - a)^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\) hoặc \(a = 3\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

a) 46 – x = –21 + (–87)

⇔ 46 – x = –108

⇔ x = 46 – (–108)

⇔ x = 154

Vậy x = 154.

b) x – 96 = (443 – x) – 15

⇔ x – 96 = 443 – x – 15

⇔ x – 96 = 428 – x

⇔ x + x = 428 + 96

⇔ 2x = 524

⇔ x = 262

Vậy x = 262.

c) (–x + 281 +534) = 499 + (x – 48)

⇔ –x + 281 +534 = 499 + x – 48

⇔ –x + 815 = 451 + x

⇔ 815 – 451 = x + x

⇔ 364 = 2x

⇔ 182 = x

Vậy x = 182.

d) –(754 + x) = (x – 12 – 741) – 23

⇔ –754 – x = x – 12 – 741 – 23

⇔ –754 – x = x – 776

⇔ –754 + 776 = x + x

⇔ 22 = 2x

⇔ 11 = x

Vậy x = 11.

Lời giải

Gọi (a, b) = d

Suy ra a = dm, b = dn, trong đó m, n, d ∈ N*

(m, n) = 1

Giả sử a > b nên m > n

Ta có:

a . b = (a, b) . [a, b]

⇔ dm . dn = d . 6 . d

⇔ mn = 6

Theo đề bài ta có a + b = 30

Suy ra dm + dn = 30

Hay m + n = 30

Vì m, n, d ∈ ℕ*, m > n nên ta có bảng sau:

m	n	d	a	b
6	1	\(\frac{{30}}{7}\) (loại)
3	2	6	18	12

Vậy (a, b) = (18, 12).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Các số đáng tin của a là 3, 7, 9, 7, 5

Suy ra cách viết chuẩn của a = 37 975 . 10³

Sai số tương đối thỏa mãn \({\delta _a} \le \frac{{150}}{{37975421}} = 0,0000039\)

Vậy ta chọn đáp án C.