7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 34)

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm của tam giác ABC

Nối E với G; O với D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(MG = \frac{1}{3}MB\)

Vì E là trọng tâm của tam giác ACD nên \(ME = \frac{1}{3}MD\)

Xét tam giác DMB có \(\frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{ME}}{{M{\rm{D}}}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)

Suy ra EG // AB (Định lí Ta lét)

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao của 3 đường trung trực

Suy ra OD là đường trung trực của AB

Do đó OD ⊥ AB

Mà EG // AB, suy ra EG ⊥ OD (1)

Xét tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đồng thời là đường trung tuyến

Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác)

Suy ra AO trùng với AG

Hay A; O; G thẳng hàng.

Mặt khác AO ⊥ BC (vì AO là đường trung trực của đoạn BC)

DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC) 

Suy ra AO ⊥ BC hay OG ⊥BC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra OD và OG là hai đường cao của tam giác DEG

Mà OD cắt OG tại O, suy ra O là trực tâm của tam giác DEG 

Do đó OE ⊥ DG hay OE ⊥ DC

Vậy OE ⊥ DC.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:\(MB = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

                    \( = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

        \( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} - \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )\)

        \( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )\)

       \( = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)

Suy ra \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} } \right)\)

                          \( = \frac{1}{{16}}\left( {3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + 3{{\overrightarrow {AB} }^2} - 3{{\overrightarrow {AD} }^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

                          \( = \frac{1}{{16}}\left( {0 + 3{a^2} - 3{a^2} - 0} \right) = 0\).

Vậy ta chọn đáp án B.

Lời giải

Ta có:\(T = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right|\)

\(T = \left| {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} } \right|\)

\(T = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} } \right|\)

\(T = \left| {2\overrightarrow {AC} } \right|\)

\(T = 2AC\)

\(T = 2.2\sqrt 2 \)

\(T = 4\sqrt 2 \)

Vậy \(T = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right| = 4\sqrt 2 .\)

Lời giải

a) Xét tam giác ABC có

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay \(\widehat A + \alpha + \alpha = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat A = 180^\circ - 2\alpha \)

Xét tứ giác AHOK có

\(\widehat {AHO} + \widehat {AK{\rm{O}}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AHOK nội tiếp

Do đó \(\widehat {HAK} + \widehat {HOK} = 180^\circ \)

Hay \(180^\circ - 2\alpha + \widehat {HOK} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HOK} = 2\alpha \)

Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra OM là tia phân giác của \(\widehat {HOE}\)

Do đó \(\widehat {HOM} = \widehat {MOE} = \frac{1}{2}\widehat {HOE}\)

Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N

Suy ra ON là tia phân giác của \(\widehat {KOE}\)

Do đó \(\widehat {KON} = \widehat {NOE} = \frac{1}{2}\widehat {KOE}\)

Ta có:\(\widehat {MON} = \widehat {MOE} + \widehat {NOE} = \frac{1}{2}\widehat {HOE} + \frac{1}{2}\widehat {K{\rm{O}}E} = \frac{1}{2}\widehat {HOK} = \frac{1}{2}.2\alpha = \alpha \)

Vậy \(\widehat {MON} = \alpha \)

b) Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra MO là tia phân giác của \(\widehat {HME}\)

Do đó \(\widehat {HMO} = \widehat {OME} = \frac{1}{2}\widehat {HME}\)

Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N

Suy ra NO là tia phân giác của \(\widehat {KNE}\)

Do đó \(\widehat {KNO} = \widehat {ONE} = \frac{1}{2}\widehat {KNE}\)

Xét ∆BMO và ∆OMN có:

\(\widehat {BMO} = \widehat {NMO}\) (chứng minh trên);

\(\widehat B = \widehat {MON}\left( { = \alpha } \right)\)

Suy ra (g.g)

Xét ∆CON và ∆OMN có

\(\widehat {CNO} = \widehat {MNO}\) (chứng minh trên);

\(\widehat C = \widehat {MON}\left( { = \alpha } \right)\)

Suy ra (g.g)

Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Vì OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng

Suy ra

Do đó \(\frac{{CO}}{{BM}} = \frac{{CN}}{{BO}}\)

Suy ra BM . CN = CO . BO = a . a = a²

d) Vì tích BM . CN = a² cố định nên tổng BM + CN nhỏ nhất khi BM = CN

Mà AB = AC

Suy ra \(\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{AC}}\)

Do đó MN // BC

Vậy khi MN // BC thì BM + CN nhỏ nhất.

Lời giải

a) Xét tam giác ABH vuông tại H có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(HI = \frac{1}{2}AB\)

Mà \(AI = BI = \frac{1}{2}AB\)

Do đó BI = IH

Hay tam giác IBH cân tại I

Suy ra \(\widehat {IBH} = \widehat {IHB}\)

Mà \(\widehat {IBH} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác ABC cân tại A)

Do đó \(\widehat {ACB} = \widehat {IHB}\)

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IH // AC

Do đó IHCA là hình thang

b) Xét tứ giác AHBK có

I là trung điểm của AB và HK

AB và HK là hai đường chéo

Suy ra AHBK là hình bình hành

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Suy ra AHBK là hình chữ nhật

c) Nếu tam giác ABC đều thì AB = AC = BC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\)

Suy ra HIAC là hình thang cân

d) Để hình chữ nhật AHBK là hình vuông

⇔ AH = BH

\( \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}BC\)

\( \Leftrightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)

⇔ Tam giác ABC vuông cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân thì AHBK là hình vuông.

Lời giải

a) Vì AM là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Nên \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)

Xét ΔABM và ΔANM có:

AB = AN (giả thiết)

\(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)

AM là cạnh chung chung

Suy ra ΔABM = ΔANM (c.g.c)

b) Vì ΔABM = ΔANM (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {ABM} = \widehat {ANM}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ANM} = 90^\circ \)

Hay tam giác CMN vuông tại N

Suy ra \(\widehat {NCM} + \widehat {NMC} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {NCM} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) (vì tam giác ABC vuông tại C)

Do đó \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\)

Vậy \(\widehat {BAC} = \widehat {CMN}\).

Lời giải

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \overrightarrow {ME} \)

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} = ME} \right| \ge EF\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó \(GP = PE = \frac{1}{2}GE\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BP,GP = \frac{1}{3}BP\)

Ta có: BE = BP + PE

Hay \(BE = BP + \frac{1}{3}BP = \frac{4}{3}BP\)

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

\(\widehat {FBE}\) là góc chung;

\(\widehat {BQP} = \widehat {BF{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{BP}}{{BE}} = \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{3}{4}\)

Hay \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \)

Xét DAHC cóP là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)

Mà \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \)

Ta có \(\overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} \)

Do đó \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \)

Vậy \[{\rm{x}} = \frac{5}{6}\] thì độ dài của \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 20 đỉnh có \(C_{20}^3\) cách

Suy ra n(Ω) = 1140

Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo đi qua tâm đa giác mà cứ 2 đường chéo tạo thành 1 hình chữ nhật và 1 hình chữ nhật tạo thành 4 tam giác vuông

Suy ra số tam giác vuông là \(4.C_{10}^2 = 180\)

Tuy nhiên, trong \(C_{10}^2\) hình chữ nhật có 5 hình vuông

Nên số tam giác vuông cân là 5 . 4 = 20

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 180 – 20 = 160.

Vậy \(P = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{160}}{{1140}} = \frac{8}{{57}}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {ABO} = \widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \)

Suy ra B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

Nên A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. Do đó A sai.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A

Nên AB = AC và AO là phân giác của \(\widehat {BAC}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra ∆ ABC là tam giác cân tại A

Do đó AO vừa là phân giác của \(\widehat {BAC}\) vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân) nên B sai

Vậy ta chọn đáp án D.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 8 số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5

Chọn số cho ô đầu tiên có 7 cách

Chọn số cho ô thứ hai có 7 cách

…

Chọn số cho ô thứ 88  có 1 cách

Suy ra có 7 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7 . 7! cách xếp 8  chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 vào 8 ô

Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là

\(\frac{{7.7!}}{{3!}} = 5880\) số

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)

Xếp 3 nam có: 3 . 2 . 1 cách xếp

Xếp 3 nữ có: 3 . 2 . 1 cách xếp

Vậy có 2 . (3 . 2 . 1)² =72 cách xếp

Vậy ta chọn đáp án B.

Lời giải

Độ dài đáy của hình tam giác đó là:

25,3 × 2 : 5,5 = 9,2 (cm)

Vậy độ dài đáy là 9,2 cm.

Lời giải

Để \(\frac{{abc}}{{a + b + c}}\) lớn nhất thì abc lớn nhất và a + b + c nhỏ nhất

Vì a + b + c nhỏ nhất nên a + b + c = 3

Suy ra abc = 111

Vậy số cần tìm là 111.

Lời giải

Vì ƯCLN(a, b) = 4

Nên a = 4m, b = 4n (m, n ∈ ℕ*)

Ta có: a + b = 48

Nên 4m + 4n = 48

Hay m + n = 12

Mà (m, n) = 1

Suy ra (m; n) ∈ {(1; 11); (11; 1); (5; 7); (7; 5)}

Do đó (a; b) ∈ {(4; 44); (44; 4); (20; 28); (28; 20)}.

Vậy hai số cần tìm là 4 và 44 hoặc 20 và 28.

Lời giải

Gọi tam giác cân là ABC (cân tại A), đường cao AD và BE

Gọi cạnh đáy của tam giác cân là a, cạnh bên là b

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.10 = \frac{1}{2}b.12\)

Suy ra 10a = 12b

Hay \(\frac{a}{b} = \frac{6}{5}\)

Đặt a = 6k, b = 5k

Xét tam giác ADC vuông tại D có

AD² + DC² = AC²

\( \Leftrightarrow {10^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {b^2}\)

\( \Leftrightarrow {10^2} + {\left( {\frac{{6k}}{2}} \right)^2} = {\left( {5k} \right)^2}\)

⇔ 100 + 9k² = 25k²

⇔ 100 = 16k²

\( \Leftrightarrow k = \frac{{10}}{4}\)

Suy ra a = 6k = 15 (cm)

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.10 = \frac{1}{2}.15.10 = 75\) (cm²).

Lời giải

a) Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC

Suy ra ΔABC cân tại A

Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC

Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây)

Xét ΔCBD có: CI = IB và CO = OD (bán kính)

Suy ra OI là đường trung bình

Do đó BD // AO.

c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAB:

AB² = AO² – BO² = 4² – 2² = 12

Suy ra \[AB = 2\sqrt 3 \] (cm)

Do đó \[AC = AB = 2\sqrt 3 \]

Xét tam giác OAC có\[\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat {OAC} = 30^\circ \)

Do đó \(\widehat {BAC} = 2\widehat {OAC} = 2.30^\circ = 60^\circ \)

Suy ra tam giác ABC đều nên \(AB = AC = BC = 2\sqrt 3 \) (cm).

Lời giải

a) Gọi điểm cố định (d₁) luôn đi qua là M(x;y)

\( \Leftrightarrow y = mx - m + 1,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right).m = y - 1,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d₂ và d₃ là:

\( \Leftrightarrow 2x + 3 = x + 1\)

\( \Leftrightarrow 2x - x = 1 - 3\)

\( \Leftrightarrow x = - 2\)

\( \Rightarrow y = x + 1 = - 2 + 1 = - 1\)

Do đó giao điểm của d₂ và d_3­ là điểm \(B\left( { - 2; - 1} \right)\)

Để 3 đường thẳng đồng quy thì d₁ đi qua điểm \(B\left( { - 2; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow - 1 = m.\left( { - 2} \right) - m + 1\)

\( \Leftrightarrow - 2m - m = - 2\)

\( \Leftrightarrow - 3m = - 2\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\)

Vậy \(m = \frac{2}{3}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d cắt Ox tại A nên y_A = 0

Khi đó 2x_A + 6 = 0 hay x_A = –3

Do đó A(–3; 0). Suy ra OA = 3

Đường thẳng d cắt Oy tại B nên x_B = 0

Khi đó 2 . 0 + 6 = y_B hay y_B = 6

Do đó B(0; 6). Suy ra OB = 6

Vì tam giác AOB vuông tại O nên

\({S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.3.6 = 9\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

Ta có \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1\)

\( = 2{n^3} - {n^2} + 2{n^2} - n + 8n - 4 + 5\)

\[ = {n^2}\left( {2n - 1} \right) + n\left( {2n - 1} \right) + 4\left( {2n - 1} \right) + 5\]

\( = \left( {2n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 4} \right) + 5\)

Vì (2n – 1)(n² + n + 4) ⋮ 2n – 1

Để 2n³ + n² + 7n + 1 ⋮ 2n – 1

⇔ 5 ⋮ 2n – 1

⇔ 2n – 1 ∈ Ư(5) = {1; 5; –1; –5}

Suy ra 2n ∈ {2; 6; 0; –4}

Hay n ∈ {1; 3; 0; –2}

Vậy n ∈ {1; 3; 0; –2}.

Lời giải

Trong 2 số đầu của mỗi chữ số có tổng 2 số cuối là:

9 + 6 = 7 + 8

4 + 5 = 7 + 2

5 + 2 = 6 + 1

5 + 1 = 3 + 3

6 + 8 = 9 + 5

7 + 7 = 6 + 8

Nhưng có một số khác biệt:

3 + 5 ≠ 7 + 2

Suy ra số này sai quy luật

Vậy số khác biệt là 3527.

Lời giải

a) Vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại A, suy ra \(\widehat B = \widehat C\)

Xét ∆DEB và ∆DFC có:

\(\widehat {BE{\rm{D}}} = \widehat {CF{\rm{D}}}\left( { = 90^\circ } \right)\);

BD = CD;

\(\widehat B = \widehat C\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆DEB = ∆DFC (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Vì ∆DEB = ∆DFC (chứng minh câu a)

Nên DE = DF (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆AED và ∆AFD có:

\(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {AF{\rm{D}}}\left( { = 90^\circ } \right)\);

AD là cạnh chung;

DE = DF (chứng minh trên)

Suy ra ∆AED = ∆AFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

c) Vì ∆AED = ∆AFD (chứng minh câu b)

Nên \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {DAF}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Lời giải

Ta có:\(\left| {2{\rm{x}} - 3} \right| - \left| {3{\rm{x}} + 2} \right| = 0\)

\[ \Rightarrow \left| {2x - 3} \right| = \left| {3x + 2} \right|\]

Trường hợp 1: \(2x - 3 = 3x + 2\)

\( \Rightarrow 2x - 3x = 2 + 3\)

\( \Rightarrow - x = 5\)

\( \Rightarrow x = - 5\)

Trường hợp 2: \(2x - 3 = - \left( {3x + 2} \right)\)

\( \Rightarrow 2x - 3 = - 3x - 2\)

\( \Rightarrow 2x + 3x = - 2 + 3\)

\( \Rightarrow 5x = 1\)

\( \Rightarrow x = \frac{1}{5}\)

Vậy \[{\rm{x}} \in \left\{ { - 5;\frac{1}{5}} \right\}\].

Lời giải

Chiều dài khu vườn là:

3600 : 40 = 90 (m)

Chu vi khu vườn là:

(90 + 40) × 2 = 260 (m)

Cần phải dùng số mét thép gai để làm hàng rào là:

(260 – 5 ) × 2 = 510 (m)

Vậy cần dùng 510 m thép gai để làm hàng rào.

Lời giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m)

Suy ra chiều dài hình chữ nhật là 2x (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

x × 2x = 2x² = 32 (m²)

Suy ra x² = 16, do đó x = 4 (m)

Do đó EK = 4 và HF = 8

Diện tích hình thoi EFKH là:

\[{\rm{S}} = \frac{{EK.HF}}{2} = \frac{{4.8}}{2} = 16\] (m²).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Các hình có đường chéo bằng nhau là: Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

Gọi a (cm) là độ dài cạnh góc vuông (a > 0)

Áp dụng định lý Pytago ta có: a² + a² = 4²

\( \Rightarrow a = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}{a^2} = 4\left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy diện tích tam giác vuông cân biết cạnh huyền 4 cm là 4 cm².

Lời giải

(–14) + x – 7 = –10 

(–14) + x      = (–10) + 7

(–14) + x      = –3

   x      = –3 – (–14)

   x      = –3 + 14

   x     = 11

Vậy x = 11.

Lời giải

Ta có : x² + 2 là bội của x + 2

Suy ra x² + 2 ⋮ x + 2

Ta có x² + 2 = x² – 4 + 6 = (x – 2)(x + 2) + 6

Mà (x – 2)(x + 2) ⋮(x + 2)

Nên 6 ⋮ x + 2

Suy ra x + 2 ∈ Ư(6) ={1; –1; 2; –2; 3; –3; 6; –6}

Do đó x ∈ {–1; –3; 0; –4; 1; –5; 4; –8}

Vậy x ∈ {–1; –3; 0; –4; 1; –5; 4; –8}.

Lời giải

a) 55 + 56 + 57 + 58 – 35 – 36 – 37 – 38

= (55 – 35) + (56 – 36) + (57 – 37) + (58 – 38)

= 20 + 20 + 20 + 20

= 80.

b) (461 – 78 + 40) – (461 – 78 – 60)

= 461 – 78 + 40 – 461 + 78 + 60

= (461 – 461) + (78 – 78) + (40 + 60)

= 0 + 0 + 100

= 100.

c) –323 + 874 – (874 – 324 – 241)

= –323 + 874 – 874 + 324 + 241

= (–323 + 324) + (874 – 874) + 241

= 1 + 0 + 241

= 242.

Lời giải

a) Xét tứ giác ADBM cóI là trung điểm của hai đường chéo MD và AB

Suy ra ADBM là hình bình hành

Lại có AB ⊥ MD (do D là điểm đối xứng của M qua I)

Do đó ADBM là hình thoi

Suy ra AD // BM

b) Vì ADBM là hình thoi nên AM // BD

Ta có:CA ⊥ AB và MI ⊥ AB

Suy ra CA // MI (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác ADMC cóCM // AD, MD // AC

Suy ra ADMC là hình bình hành

Mà AM cắt CD tại trung điểm E nên AE = EM

Vậy AE = EM.

Lời giải

Điều kiện xác định x ≥ –2

\(\sqrt {3{\rm{x}} + 15} - \sqrt {4{\rm{x}} + 17} = \sqrt {x + 2} \)

\( \Leftrightarrow \left( {3{\rm{x}} + 15} \right) - \left( {4{\rm{x}} + 17} \right) = \left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 15} + \sqrt {4{\rm{x}} + 17} } \right)\sqrt {x + 2} \)

\( \Leftrightarrow - \left( {x + 2} \right) = \left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 15} + \sqrt {4{\rm{x}} + 17} } \right)\sqrt {x + 2} \)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right) + \left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 15} + \sqrt {4{\rm{x}} + 17} } \right)\sqrt {x + 2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {3{\rm{x}} + 15} + \sqrt {4{\rm{x}} + 17} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 2} = 0\\\sqrt {x + 2} + \sqrt {3{\rm{x}} + 15} + \sqrt {4{\rm{x}} + 17} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 2} = 0\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 2} = 0\\\sqrt {3{\rm{x}} + 15} = 0\\\sqrt {4x + 17} = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ x + 2 = 0

⇔ x = –2 (thỏa mãn)

Vậy x = –2.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Trong (BCD) gọi I là giao điểm của RQ và BD

Trong (ABD) gọi S là giao điểm của AD và IP

Khi đó, S = AD ∩ (PQR)

Gọi J là trung điểm của BR. DO R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC

Suy ra BJ = JR = RC

Xét tam giác JCD có R, Q lần lượt là trung điểm của JC, CD

Suy ra RQ là đường trung bình

Do đó RQ // JD, hay RI // JD

Xét tam giác BRI có J là trung điểm của BR và DJ // RI

Suy ra D là trung điểm của BI

Xét tam giác ABI có P, D lần lượt là trung điểm của AD, BI và PI cắt AD tại S

Suy ra S là trọng tâm tam giác ABI

Do đó SA = 2SD

Vậy ta chọn đáp án B.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết ta có OA = O’B = R

Gọi AA’ là đường sinh hình trụ thì \(\left\{ \begin{array}{l}O'A' = \frac{{AA'}}{{\sqrt 3 }} = R\\\widehat {{\rm{BAA'}}} = 30^\circ \end{array} \right.\)

Vì OO’ // (ABA’)

Nên d[OO’;(AB)] = d[OO’;(ABA’)] = d[O’;(ABA’)]

Gọi H là trung điểm của A’B

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right.\)

Do đó O’H ⊥ (ABA’) nên d[O’;(ABA’)] = O’H

Xét tam giác ABA’ vuông tại A’

Suy ra \(BA' = AA'.\tan 30^\circ = R\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R\)

Mà OA = O’B = R nên O’A’ = O’B = A’B = R

Suy ra tam giác A’BO’ đều

Mà O’H là trung tuyến, suy ra O’H ⊥ A’B

Hay tam giác O’HB vuông tại H

Theo định lý Pytago ta có O’H² = O’B² – HB²

Hay \(O'{H^2} = {R^2} - {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} = \frac{{3{{\rm{R}}^2}}}{4}\)

Suy ra \[{\rm{O}}'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\]

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Sau 6 tháng đầu người đó nhận được số tiền là

A₁ = 100 . (1 + 2%)² = 104,04 (triệu đồng)

Số tiền người đó có ngay sau khi gửi thêm 100 triệu là:

104,04 + 100 = 204,04 (triệu đồng)

Số tiền người đó nhận được sau 1 năm là:

A₂ = 204,04 . (1 + 2%)² = 212,283 (triệu đồng) ≈ 212 triệu đồng

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

a) Vì MD ⊥ AB, ME ⊥ AC nên \(\widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {ME{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {BAC} = \widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {ME{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật

b) Để hình chữ nhật ADME là hình vuông thì AM là tia phân giác của \(\widehat {DA{\rm{E}}}\)

Khi đó tam giác ABC có AM vừa là phân giác vừa là trung tuyến

Nên tam giác ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì ADME là hình vuông

c) Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có

BC² = AB² + AC² = 8² + 6² = 100

Suy ra BC = 10 (cm)

Do đó \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10 = 5\) (cm)

d) Vì MD ⊥ AB, AB ⊥ AC nên MD // AC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC và MD // AC

Suy ra MD là đường trung bình

Do đó \(M{\rm{D}} = \frac{1}{2}AC\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}M{\rm{D}}.AB}}{{\frac{1}{2}AC.AB}} = \frac{{M{\rm{D}}}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Mà \[{{\rm{S}}_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.8.6 = 24\] (cm²)

Suy ra S_ABM = 12 cm²

Vậy S_ABM = 12 cm².

Lời giải

a) Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC

Suy ra DE là đường trung bình

Do đó DE // AC và \(DE = \frac{1}{2}AC\)

Suy ra DECA là hình thang

Mà \(\widehat {DAC} = 90^\circ \) nên DECA là hình thang vuông

b) Vì F là điểm đối xứng của E qua D nên EF = 2DE

Mà AC = 2DE nên EF = AC

Lại có FE // AC (chứng minh câu a)

Suy ra ACEF là hình bình hành.

c) Xét tứ giác AEBF có D là trung điểm của hai đường chéo AB và EF

Suy ra AEBF là hình bình hành                      (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AE là trung tuyến ứng với cạnh huyền

Do đó \[A{\rm{E}} = \frac{1}{2}BC\]

Mà \[{\rm{BE}} = \frac{1}{2}BC\], suy ra AE = BE                                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra AEBF là hình thoi

Vậy AEBF là hình thoi.

Lời giải

Gọi số cần tìm là \(\overline {abc{\rm{d}}e} \)

+) TH1: e = 0

e có 1 cách chọn

Chữ số 2 có 4 cách chọn

Ba chỗ còn lại có 4 × 3 × 2 = 24 cách

Suy ra có 4 × 24 = 96 cách

+) TH2: e = 5; a = 2

a, e có 1 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

d có 2 cách chọn

Suy ra có 4 × 3 × 2 = 24 cách

+) TH3: e = 5; a ≠ 2

e có 1 cách chọn

a có 3 cách chon

Số 2 có 3 cách

Hai số còn lại có 3 × 2 = 6 cách

Suy ra có 3 × 3 × 6 = 54 cách

Vậy có tất cá 96 + 24 + 54 = 174 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: x – 12 = 6 – x

\( \Leftrightarrow x + x = 6 + 12\)

\( \Leftrightarrow 2x = 18\)

\( \Leftrightarrow x = 18:2\)

\( \Leftrightarrow x = 9\)

Vậy ta chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Số nghiệm của phương trình f(2+f(e^x))=1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(2+f(e^x)) và đường thẳng y = 1

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

\(f\left( {2 + f\left( {{e^x}} \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + f\left( {{e^x}} \right) = - 1}\\{2 + f\left( {{e^x}} \right) = {x_0} \in (2;3)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( {{e^x}} \right) = - 3}\\{f\left( {{e^x}} \right) = {x_0} - 2 \in (0;1)}\end{array}} \right.\)

TH1: f(e^x) = –3

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} = 1\\{e^x} = {x_1} < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

TH2: f(e^x) = x₀ – 2 ∈ (0; 1)

Suy ra phương trình có 3 nghiệm khác 0

Do đó: \(\left[ \begin{array}{l}{e^x} = a < 0\\{e^x} = b < 0\\{e^x} = c > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \ln c \ne 0\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải

a) Xét tam giác ABC có O, I lần lượt là trung điểm của AB, AC

Suy ra OI là đường trung bình

Do đó OI // BC

b) Vì C thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC nội tiếp (O)

Suy ra tam giác ABC vuông tại C

Xét (O) có AC là dây cung; I là trung điểm của AC

Suy ra OI là trung trực của AC

Mà D ∈ OI nên DA = DC

Xét ∆ADO và ∆CDO có

DA = DC (chứng minh trên)

DO là cạnh chung

OA = OC

Suy ra ∆ADO = ∆CDO (c.c.c)

Do đó \(\widehat {A{\rm{D}}O} = \widehat {AC{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {A{\rm{D}}O} = 90^\circ \), hay AO ⊥ AD

Mà AO là bán kính của (O)

Do đó DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

c) Ta có CO ⊥ CD, BK ⊥ CD

Suy ra CO // BK (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Do đó \(\widehat {OCB} = \widehat {CBK}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {CBO} = \widehat {OCB}\) nên \(\widehat {CBO} = \widehat {CKB}\)

Xét ∆BCH và ∆BCK có

\(\widehat {BHC} = \widehat {BKC}\left( { = 90^\circ } \right)\);

BC là cạnh chung;

\(\widehat {CBO} = \widehat {CKB}\)(chứng minh trên)

Suy ra ∆BCH = ∆BCK (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó CH = CK

Xét tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có CH² = HA . HB

Suy ra CK² = HA . HB.

Lời giải

Ta có n⁷–n = n(n⁶ – 1)

= n(n³ – 1)(n³ + 1)

= n(n – 1)(n² + n + 1)(n + 1)(n² – n + 1)

= n(n² – 1)(n² + n + 1)(n² – n + 1)

Nếu n = 7k (k ∈ ℤ) thì n ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 1 (k ∈ ℤ) thì n² – 1 = 49k² + 14k ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 2 (k ∈ ℤ) thì n² + n + 1 = 49k² + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 3 (k ∈ ℤ) thì n² – n + 1 = 49k² + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 4 (k ∈ ℤ) thì n² + n + 1 = 49k² + 35k + 21 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 5 (k ∈ ℤ) thì n² – n + 1 = 49k² + 70k + 21 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Nếu n = 7k + 6 (k ∈ ℤ) thì n² – 1 = 49k² + 84k + 35 ⋮ 7 khi đó n⁷–n⋮ 7

Vậy n⁷–nchia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.

Lời giải

Để tích của chúng chia hết cho 9 thì đó là tích của hai số chia hết cho 3 hoặc là tích của một số chia hết cho 9 và một số không chia hết cho 3

Từ 1 đến 20 có các số chia hết cho 3 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18 tổng cộng 6 số

Từ 1 đến 20 có các số chia hết cho 9 là: 9,18 tổng cộng có 2 số

Trường hợp 1: tích của hai số chia hết cho 3

Chọn 2 số từ 6 số ta có 

6 × 5 : 2 = 15 cách

Trường hợp 2: tích của một số chia hết cho 9 và một số không chia hết cho 3

Có 2 số chia hết cho 9 và 14 số không chia hết cho 3 nên tổng số cách là 

2 × 14 = 28 cách

Vậy có tổng số cách là: 15 + 28 = 43 cách.

Lời giải

Xét DABC vuông tại A có AH là đường cao nên BH.BC = AB² và CH.BC = AC²

Suy ra \(\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IB} + \frac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IC} \)

Do I là trung điểm của AH nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IH} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IB} + \frac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

\[ \Leftrightarrow \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\overrightarrow {IA} + {b^2}\overrightarrow {IB} + {c^2}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2}\overrightarrow {IA} + {b^2}\overrightarrow {IB} + {c^2}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \].

Lời giải

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d: y = mx + 2 và (C) là nghiệm của phương trình: \(\frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}} = m{\rm{x}} + 2\)

⇔ 2x – 1 = (mx + 2)(x + 1)

⇔ 2x – 1 = mx² + mx + 2x + 2

⇔ mx² + mx + 3 = 0       (1)

Với m = 0 thì (1) vô nghiệm

Với m ≠ 0, thì (1) là phương trình bậc hai ẩn x.

Khi đó đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác –1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\m{\left( { - 1} \right)^2} + m\left( { - 1} \right) + 3 \ne 0\end{array} \right.\)

⇔ m² – 12m > 0

⇔ m(m – 12) > 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 12\end{array} \right.\)

Giả sử x₁; x₂ là 2 nghiệm phân biệt của (1)

Khi đó tọa độ các giao điểm là A(x₁; mx₁ + 2) và B(x₂; mx₂ + 2)

Tam giác OAB vuông tại O khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)

⇔ (1 + m²)x₁x₂ + 2m(x₁ + x₂) + 4 = 0 (*)

Áp dụng định lý Vi – ét ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{x}}_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}{x_2} = \frac{3}{m}\end{array} \right.\]

Thay vào (*) ta được m² + 4m + 3 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy m ∈ {–3; –1}.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;6} \right)\)

Do \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương hay ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Lời giải

Gọi a, b, c lần lượt là số đo của các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)

Vì 3 góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\) lần lượt tỉ lệ với 1, 2, 3 nên \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}\)

Xét tam giác ABC có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra a + b + c = 180°

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = \frac{{a + b + c}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{6} = {30^{\rm{o}}}\)

Suy ra

\(\frac{a}{1} = 30 \Leftrightarrow a = {30^{\rm{o}}} \Rightarrow \widehat A = 30^\circ \)

\(\frac{b}{2} = 30 \Leftrightarrow b = {60^{\rm{o}}} \Rightarrow \widehat B = 60^\circ \)

\(\frac{c}{3} = 30 \Leftrightarrow c = {90^{\rm{o}}} \Rightarrow \widehat C = 90^\circ \)

Do đó tam giác ABC vuông tại C.

Lời giải

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c (a, b, c > 0)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{36}}{{12}} = 3\)

Suy ra \(\frac{a}{3} = 3 \Leftrightarrow a = 9\);

           \(\frac{b}{4} = 3 \Leftrightarrow b = 12\);

           \(\frac{c}{5} = 3 \Leftrightarrow c = 15\)

Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác đó là 9 cm, 12 cm, 15 cm.