7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 28)
54 câu hỏi
Cho dãy số: 3; 9; 15; 21; ...; 45; 51. Hãy tính trung bình cộng của các số trong dãy số đó./
Khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp trong dãy là: 6
Trung bình cộng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) : 2
= (3 + 51) : 2 = 54 : 2 = 27
Vậy trung bình cộng của dãy số trên là 27.
Hiệu của hai số là 308. Nếu lấy số thứ nhất nhân với 5 số thứ hai nhân với 3 thì được hai tích bằng nhau. Tìm hai số đó.
Gọi số thứ nhất là a, số thứ hai là b, theo đề bài ta có:
a × 5 = b × 3⇒a=35×b
Mà b – a = 308
Do đó b−35×b=308
25×b=308
b=308×52
b = 770.
Khi đó a=35×b=3×7705=462
Vậy hai số cần tìm là 462 và 770.
Hiệu của hai số là 308 . Nếu lấy số thứ nhất nhân với 4 số thứ hai nhân với 3 thì được hai tích bằng nhau. Tìm hai số đó.
Gọi số thứ nhất là a, số thứ hai là b, theo đề bài ta có: a×4=b×3⇒a=34×b
Mà b – a = 308
b−34×b=308⇔14×b=308
b=308×4⇔b=1232
a=34×b=3×12324=924
Vậy hai số cần tìm là 924 và 1232.
Tính T = (1002 + 982 + … + 22) – (992 + 972 +…+12).
T = (1002 + 982 + … + 22) – (992 + 972 +…+12)
T = (1002 – 992) + (982 – 972) +…+ (22 – 12)
T = (100 – 99) (100 + 99) + (98 – 97) (98+97) + … + (2 – 1) (2 + 1)
T = 1. (100 + 99) + 1. (98 + 97) + … + 1. (2 + 1)
T = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1
T=100.100+12=5050
Hình bình hành ABCD có độ dài đáy DC là 14 m, chiều cao AH là 2 dm 4 cm. Tính diện tích hình đó theo đơn vị đề- xi- mét vuông.
Đổi 2 dm 4 cm = 24 cm ; 14m = 25 cm
Diện tích hình bình hành ABCD là:
25 × 24 = 600 (cm2)
Đổi 600 cm2 = 6 dm2
Đáp số : 6 dm2.
Một khu nghỉ mát hình chữ nhật có chu vi 3 km 7 hm và chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Hỏi diện tích khu nghỉ mát đó là bao nhiêu mét vuông, bao nhiêu héc ta?
Đổi: 3 km 7 hm = 3700 m
Nửa chu vi khu nghỉ mát là: 3700 : 2 = 1850 (m)
Tổng số phần bằng nhau là: 4 + 1 = 5 (phần)
Chiều rộng khu nghỉ mát là: 1850 : 5 × 1 = 370 (m)
Chiều dài khu nghỉ mát là: 370 × 4 = 1480 (m)
Diện tích khu nghỉ mát là: 1480 × 370 = 547 600 (m2)
Đổi: 547 600 m2 = 54,76 ha
Đáp số: 547 600 m2; 54,76 ha.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 2axy – 4a2 xy2 + 6a3x2;
b) 5a2xy – 10a3x – 15ay;
a) 2axy – 4a2 xy2 + 6a3x2 = 2ax(y − 2ay2 + 3a2x);
b) 5a2xy – 10a3x – 15ay = 5a(axy − 2a2x − 3y);
Phân tích đa thức thành nhân tử:
c) mxy – m2x + my;
d) 2mx – 4m2xy + 6mx;
c) mxy – m2x + my = m(xy – mx + y);
d) 2mx – 4m2xy + 6mx = 2mx(1 – 2my + 3);
Phân tích đa thức thành nhân tử:
e) a2b – 2ab2 + ab;
g) 5a2b – 2ab2 + ab;
e) a2b – 2ab2 + ab = ab(a – 2b + 1);
g) 5a2b – 2ab2 + ab = ab(5a – 2b + 1);
Phân tích đa thức thành nhân tử:
h) –3x2y3 – 6x3y2 – x2y2;
i) 5x2y4 – 10x4y2 + 5x2y2.
h) –3x2y3 – 6x3y2 – x2y2 = –x2y2(3y + 6x + 1);
i) 5x2y4 – 10x4y2 + 5x2y2 = 5x2y2 (y2 – 2x2 + 1).
Nhà bếp dự trữ đủ lượng gạo cho 45 người ăn trong 6 ngày. Nếu có 54 người ăn số gạo đó thì số ngày ăn sẽ giảm đi bao nhiêu ngày (biết rằng suất ăn của mỗi người là như nhau).
1 người ăn số gạo đó trong số ngày là: 45 × 6 = 270 (ngày)
54 người ăn thì số gạo đó ăn trong số ngày là: 270 : 54 = 5 (ngày)
Số ngày giảm đi khi có 54 người ăn là: 6 – 5 = 1 (ngày)
Đáp số: 1 ngày.
Ba học sinh, mỗi người mua một loại bút. Giá ba loại lần lượt là 1200 đồng, 1500 đồng, 2000 đồng. Biết số tiền phải trả là như nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu chiếc bút?
Gọi số tiền mỗi người ít phải trả là a (đồng; a ∈ )
Theo bài ra:
a chia hết cho 1200
a chia hết cho 1500
a chia hết cho 2000
Þ a ∈ BC (1200, 1500, 2000)
Ta có:
1200 = 24.52.3;
1500 = 22.3.53;
2000 = 24.53.
Þ BCNN (1200, 1500, 2000) = 24.53.3 = 6000
Þ a = 6000 đồng
Số bút mua được với giá 1200 đồng là: 6000 : 1200 = 5 (bút);
Số bút mua được với giá 1500 đồng là: 6000 : 1500 = 4 (bút);
Số bút mua được với giá 2000 đồng là: 6000 : 2000 = 3 (bút).
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1.
Ta có: aa3+b2+c=a1a+1+ca3+b2+c1a+1+c≤1+a+aca+b+c2=1+a+ac9
bb3+c2+a=b1b+1+ab3+c2+a1b+1+a≤1+b+baa+b+c2=1+b+ba9
ca3+b2+c=c1c+1+ba3+b2+c1c+1+b≤1+c+cba+b+c2=1+c+cb9
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có:
aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9
⇔aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9
Mà 3ab+bc+ca≤a+b+c2=9⇒ab+bc+ca≤3
Khi đó aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+3+39=1
Như vậy ta có điều phải chứng minh: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1
Cho hình bình hành có chu vi là 900 cm, có độ dài cạnh đáy gấp 2 lần cạnh bên và gấp 4 lần chiều cao. Tính diện tích hình bình hành đó.
Cách 1:
Nửa chu vi hình bình hành là: 900 : 2 = 450 (cm).
Tổng số phần bằng nhau của nửa chu vi là: 1 + 2 = 3 (phần)
Độ dài cạnh đáy hình bình hành là: 450 : 3 × 2 = 300 (cm).
Chiều cao hình bình hành là: 300 : 4 = 75 (cm).
Diện tích hình bình hành là: 300 × 75 = 22 500 (cm2).
Cách 2:
Gọi độ dài cạnh đáy là a, độ dài cạnh bên là b, chiều cao là h.
Do độ dài cạnh đáy gấp 2 lần cạnh bên nên a = 2b.
Ta có: a + b = 900 cm : 2 = 450 cm
⇔ 2b + b = 450 cm
⇔ 3b = 450 cm
⇔ b = 150 cm
⟹ a = 2b = 2 × 150 cm = 300 cm.
Mà theo giả thiết: a = 4h Þ h = a : 4 = 300cm : 4 = 75 cm
Diện tích hình bình hành: S = a × h = 300 cm × 75 cm = 22 500 cm2.
Vậy diện tích hình bình hành đó là 22 500 cm2.
Vụ mùa vừa qua, gia đình bác Tư thu hoạch từ hai thửa ruộng được 75 tạ thóc. Thửa ruộng thứ hai thu hoạch được nhiều hơn thửa ruộng thứ nhất 7 tạ thóc. Hỏi trên mỗi thửa ruộng bác Tư thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?
Cách 1:
Thửa ruộng thứ nhất bác Tư thu hoạch được là: (75 – 7) : 2 = 34 (tạ thóc).
Thửa ruộng thứ hai bác Tư thu hoạch được là: 34 + 7 = 41 (tạ thóc).
Cách 2:
Gọi a và b lần lượt là số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng thứ nhất và thứ hai (tạ), (a, b > 0).
Theo đề bài ta có: a + b = 75
⟺ a + (a + 7) = 75
⟺ 2a = 75 – 7
⟺ a = 68 : 2
⟺ a = 34
⇒ b = a + 7 = 34 + 7 = 41
Đáp số: Thửa ruộng thứ hai: 41 tạ; Thửa ruộng thứ nhất: 34 tạ.
Minh Quang trồng một số cây hoa trong vườn cây cảnh và thấy rằng số cây hoa của mình trồng được xếp thành 5 hàng và mỗi hàng có 4 cây mà số cây là ít nhất có thể. Vậy Minh Quang đã trồng … cây hoa.
Lời giải
Minh Quang Đã trồng 9 cây (theo hình ngôi sao).
Một khu rừng có chu vi là 5 km 60 dam. Chiều dài hơn chiều rộng 800m.
a) Hỏi diện tích khu rừng đó bằng bao nhiêu héc-ta, bằng bao nhiêu mét vuông?
Đổi: 5 km 60 dam = 5 600m
a) Nửa chu vi khu rừng đó là: 5 600 : 2 = 2 800 (m)
Chiều rộng khu rừng đó là: (2 800 – 800) : 2 = 1 000 (m)
Chiều dài khu rừng đó là: 1 000 + 800 = 1 800 (m)
Diện tích khu rừng đó là : 1 800 × 1 000 = 1 800 000 (m2) = 180 ha.
b) Biết rằng 13 diện tích khu rừng trồng cây mới, tính tỉ số diện tích trồng cây mới và diện tích phần còn lại của khu rừng.
b) Diện tích phần còn lại của khu rừng chiếm:
1−13=23 (diện tích khu rừng)
Tỉ số diện tích trồng cây mới và diện tích còn lại của khu rừng là : 13:23=12
Đáp số: a) 1 800 000 m2; 180 ha.
b) 12.
Một mảnh đất hình thang có diện tích 455m2, chiều cao là 13m. Tính độ dài mỗi đáy của mảnh đất hình thang đó, biết đáy bé kém đáy lớn 5m.
Tổng độ dài hai đáy của hình thang là:
455 × 2 : 13 = 70 (m)
Độ dài đáy lớn của hình thang là:
(70 + 5) : 2 = 37,5 (m)
Độ dài đáy bé của hình thang là:
37,5 – 5 = 32,5 (m)
Đáp số: 37,5 m ; 32,5 m.
Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.
Gọi số bị chia là a; số chia là b
Ta có:
(a × 4) : (b × 4) = 25 (dư 24)
⇔ (a : b) × (4 : 4) = 25 (dư 24)
⇔ a : b = 25 (dư 24)
⇔ a = 25 × b + 24
Mà số dư là số lớn nhất có thể suy ra b sẽ là số bé nhất có thể và lớn hơn 24 nên b chỉ có thể bằng 25
⇒ a = 25 × 25 + 24 = 649
Vậy số bị chia là 649; số chia là 25.
Một đơn vị bộ đội dự kiến cần 45 người để hoàn thành 1 công việc trong 14 ngày sau đó để rút ngắn thời gian đơn vị đã điều động 70 người tham gia. Hỏi đơn vị đã hoàn thành trong bao nhiêu ngày? (Biết năng suất của mỗi người như nhau).
1 người làm công việc đó trong số ngày là:
45 × 14 = 630 (ngày)
Vậy có 70 người thì làm xong trong số ngày là:
630 : 70 = 9 (ngày)
Đáp số: 9 ngày.
Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).
Gọi thương của phép chia là B
A : 21 = B (dư 7)
A = B × 21 + 7
Nếu bớt A đi 7 đơn vị thì phép chia trở thành phép chia hết và thương không đổi.
Nếu thương giảm đi 3 đơn vị, số bị chia cần giảm tiếp là 3 × 21 = 63 đơn vị
Vậy số bị chia cần giảm đi là: 7 + 63 = 70 đơn vị.
Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.
Gọi 7 số nguyên dương phải tìm là x1, x2, ...., x7. Ta có:
Giả sử x1 ≥ x2 ≥ ....... ≥ x7 ≥ 1 có:
x12.x22...x72≤2.7x12=14x12
⇒x.22...x72≤14
⇒x2....x7≤14<4=22
⇒ x2 = … = x7 = 1
⇒x12.x22=2x12+x22+5
Đặt với a, b là các số nguyên dương chính phương:
ab = 2a + 2b + 10 ⇔ (a – 2)(b – 2) = 14.1 = 7.2
Trường hợp 1: a−2=14b−2=2⇒b=3 không là số chính phương
Trường hợp 2: a−2=7b−2=2⇒a=9b=4⇒x1=3x2=2
Vậy 7 số cần tìm lần lượt là: 3; 2; 1; 1; 1; 1; 1.
Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).
Gọi d = (2n – 1; 9n + 4) ⇒ 2n – 1; 9n + 4 chia hết cho d
Þ 2(9n + 4) – 9(2n – 1) = 18n + 8 – 18n + 9 = 17 chia hết cho d
Þ d = 1 hoặc d = 17
Nếu 1 trong 2 số 2n – 1; 9n + 4 chia hết cho 17 thì ƯCLN(2n – 1; 9n + 4) = 17.
Nếu 1 trong 2 số 2n – 1; 9n + 4 không chia hết cho 17 thì ƯCLN(2n – 1; 9n + 4) = 1.
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC. Chứng minh: AD=12DC
Từ M kẻ MK // BD (K thuộc DC)
Xét ∆DBC có: MK // BD, MB = MC (theo giả thiết)
⇒ MK là đường trung bình của ∆DBC
⇒ CK = DK (1)
Xét ∆AMK có: MK // ID, IA = IM (theo giả thiết)
⇒ ID là đường trung bình của ∆AMK
⇒ DA = DK (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CK = DA
Mà CK = DC2
Vậy AD=12DC
Tính 274:93.
Ta có: 274:93=334:323=312:36=312−6=36 .
Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:
a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx;
a) x2+y2+z2≥xy+yz+zx
⇔2x2+y2+z2≥2xy+yz+zx
⇔x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2xz+x2≥0
⇔x−y2+y−z2+(z−x)2≥0
Điều trên luôn đúng x, y, z nên ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:
b) x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz.
b) .x2+y2+z2≥2xy−2xz+2yz
⇔x2+y2+z2+2−xy+xz−yz≥0
⇔x−y+z2≥0
Điều trên luôn đúng x, y, z nên ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh rằng với mọi x, y, z ≥ 0 ta luôn có:
a) x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz.
a) x2+y2+z2≥2xy−2xz+2yz
⇔x2+y2+z2+2−xy+xz−yz≥0
⇔x−y+z2≥0
Điều trên luôn đúng x, y, z nên ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh rằng với mọi x, y, z ≥ 0 ta luôn có:
b) x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2(x + y + z).
b)Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x2 và 1 ta được:
.x2+1≥2x2=2x=2x(1)
Tương tự ta có:
y2 + 1 ≥ 2y (2)
z2 + 1 ≥ 2z (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được
x² + y² + z² + 3 ≥ 2(x + y + z) (điều phải chứng minh).
Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng 23 chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m2 thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?
Nửa chu vi của thửa ruộng đó là: 400 : 2 = 200 (m).
Coi chiều dài là 3 phần và chiều rộng là 2 phần như thế.
Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 2 = 5 (phần)
Chiều dài thửa ruộng là: 200 : 5 × 3 = 120 (m)
Chiều rộng thửa ruộng là: 200 – 120 = 80(m)
Diện tích thửa ruộng là: 120 × 80 = 9600 (m2)
Trên thửa ruộng đó thu hoạch được:
9600 : 100 × 50 = 4800(kg) = 48 (tạ)
Đáp số: 48 tạ thóc.
Để lát một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 8m, người ta dùng gạch men hình vuông có cạnh 4 dm. Hỏi cần bao nhiêu viên gạch để lát kín căn phòng đó?
Diện tích căn phòng đó là: 12 . 8 = 96 (m²)
Diện tích một viên gạch là: 40 . 40 =1600 (cm²)
Đổi: 1600 cm² = 0,16m²
Số gạch dùng để lát nền là: 96 : 0,16 = 600 (viên).
Đáp số: 600 viên gạch.
Tính (272 . 92 – 1715 : 195) : 20192018.
Ta có: (272 . 92 – 1715 : 195) : 20192018
= [(27.9)2 – (171 : 19)5] : 20192018
= (2432 – 95) : 20192018
= (59 049 – 59 049) : 20192018
= 0.
Tứ giác ABCD có B^=D^=90°. So sánh độ dài AC và BD.
Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
Tứ giác ABCD có B^=D^=90°, mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC.
Xét đường tròn đường kính AC ta có BD là dây cung không đi qua tâm, nên: BD < AC
Ta có: AC = BD khi và chỉ khi BD là đường kính. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Tìm 3 số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
2018x – y2 = 2018y – z2 = 2018z – x2 = 2017.
Ta có: 2018x−y2=2018y−z22018y−z2=2018z−x22018z−x2=2018x−y2⇔2018x−y=y−zy+z 12018y−z=z−xz+x 22018z−x=x−yx+y 32018x−y2=2018y−z22018y−z2=2018z−x22018z−x2=2018x−y2⇔2018x−y=y−zy+z 12018y−z=z−xz+x 22018z−x=x−yx+y 3
Lấy (1) . (2) . (3) ta được:
20183 . (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(z – x)(x + y)(y + z)(z + x)
⇔ 20183 = (x + y)(y + z)(z + x)
⇔ x + y = y + z = z + x = 2018
⇔ x = y = z
Theo đề bài, ta có:
2018x – y2 = 2018y – z2 = 2018z – x2 = 2017
⇔ 2018x – x2 = 2018y – y2 = 2018z – z2 = 2017
Có: 2018x – x2 = 2017
⇔ x2 – 2018x + 2017 = 0
⇔x2 – x – 2017x + 2017 = 0
⇔x(x – 1) – 2017(x – 1) = 0
⇔ (x – 2017)(x – 1) = 0
⇔x = 2017 hoặc x = 1
Vậy x = y = z = 2017 hoặc x = y = z = 1.
Giá bán một chiếc áo khoác là 350 000 đồng. Nhân dịp Nô-en, cửa hàng giảm giá 10% cho khách hàng. Hỏi khách hàng mua chiếc áo đó thì còn phải trả bao nhiêu tiền?
Khách hàng mua chiếc áo đó phải trả số tiền là:
350 000 – (350 000 × 10%) = 315 000 (đồng)
Đáp số: 315 000 đồng
Một cửa hàng bán 1 cái quần với giá 350 000 đồng. Nay giảm 30% giá bán. Hỏi người mua cái quần phải trả bao nhiêu tiền?
Khách hàng mua chiếc quần đó phải trả số tiền là:
350 000 – (350 000 × 30%) = 245 000 (đồng)
Đáp số: 245 000 đồng.
Hình bình hành ABCD có độ dài đáy DC là 14m chiều cao AH là 2 dm 4cm. Tính diện tích hình đó dưới dạng dm.
Đổi: 14m= 25 dm ; 2 dm 4 cm = 2,4 dm
Diện tích hình bình hành là: 25 × 2,4 = 33,6 (dm2)
Đáp số: 33,6 dm2.
Tính nhanh: 17 × 26 + 26 × 44 + 39 × 26.
Lời giải
17 × 26 + 26 × 44 + 39 × 26
= 26 × (17 + 44 + 39)
= 26 × 100
= 2 600.
Một khu đất dạng hình bình hành có độ dài đáy 1hm 25m, chiều cao bằng 45m độ dài đáy. Hỏi khu đất đó có diện tích bao nhiêu héc ta?
1hm 25m = 125 m
Chiều cao của khu đất hình bình hành là:
125×45=100(m)
Diện tích khu đất hình bình hành là:
100 × 125 = 12 500 (m2) = 1,25 (ha)
Đáp số: 1,25 ha.
Cho a, b ∈ ℤ thỏa mãn 2a + 3b chia hết cho 11. Chứng minh a + 7b chia hết cho 11.
Ta có: 2(a + 7b) = 2a + 14b = 2a + 3b + 11b.
Vì (2a + 3b) ⋮ 11 và 11b ⋮ 11 nên theo tính chất chia hết của một tổng ta có:
2a + 3b + 11b chia hết cho 11
Hay 2(a + 7b) ⋮ 11
Mà 2⋮11 nên a + 7b chia hết cho 11.
Cho tam giác ABC có các cạnh thoả mãn a4 = b4 + c4.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC có các góc đều nhọn.
a) Ta có: a4 = b4 + c4 < (b2 + c2)2 ⇒ a2 < b2 + c2
Lại có: b4 < b4 + c4 = a4 ⇒ b2 < a2
Theo định lý cosin thì tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Chứng minh 2sin2A = tanB.tanC.
b) Ta có: tanB=sinBcosB=b2R.a2+c2−b22ac=abcRa2+c2−b2
⇒tanB.tanC=a2b2c2R2a4−b2−c22=a2b2c2R2b4+c4−b2−c22=a2b2c2R2.2b2c2=a22R2=2a2R2=2sin2A
Viết số thích hợp vào chỗ chấm:
2 ha = …. m2
39 678 m2 = …. ha … m2
978 m2 = …. ha
690 000 m2 = …. ha
2 ha = 20 000 m2
39 678 m2 = 3 ha 9678 m2
978 m2 = 0,0978 ha
690 000 m2 = 69 ha
Tính: A = 6 + 16 + 30 + 48 +... + 19 998.
A = 6 + 16 + 30 + 48 + ... + 19 600 + 19 998
A : 2 = 3 + 8 + 15 + 24 + . . . + 9 800 + 9 999
A : 2 = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + . . . + 98.100 + 99.101
A : 2 = 1.[1 + 2] + 2.[1 + 3] + 3.[1 + 4] + 4.[1 + 5] + . . . + 98.[1 + 99] + 99.[1 + 100]
A : 2 = 1 + 1 . 2 + 2 + 2 . 3 + 3 + 3 . 4 + 4 + 4 . 5 + . . . + 98 + 98 . 99 + 99 + 99 . 100
A : 2 = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 199 + 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + . . . + 98 . 99 + 99 . 100
A : 2 = 4 950 + 333 300
A = 676 500
Hai cha con có tất cả 53 tuổi. Biết rằng lúc cha 27 tuổi mới sinh con. Tính tuổi của mỗi người?
Lúc cha sinh ra con là 27 tuổi . Vậy cha hơn con 27 tuổi
Tuổi cha là : (53 + 27) : 2 = 40(tuổi)
Tuổi con là : 53 - 40 = 13 (tuổi)
Đáp số: cha: 40 tuổi
con: 13 tuổi
Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c2 = c(a + b) + ab.
Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.
Ta có: 3c2 = c(a + b) + ab ⇒ 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1)
Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3)
Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố
⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1
* Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ)
⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1
Khi đó (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương.
Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp
⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))
* Nếu (a + c, b + c) = 1
Từ (1) ⇒ (2c)2 = (a + c)(b + c)
Đặt a + c = m2 và b + c = n2 (m, n ∈ ℕ)
⇒ m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố.
Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b
Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)2 là số chính phương.
Vậy 8c + 1 là số chính phương.
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M lên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.
Xét tứ giác ADME có A^=D^=E^=90°
Nên ta có tứ giác ADME là hình chữ nhật, do đó DE = AM.
Khi đó DEmin ⇔ AMmin
Kẻ AH ⊥ BC với H ∈ BC, ta được AM ≥ AH
Suy ra: AMmin ⇔ AM = AH ⇔ M ≡ H ⇔ AM ⊥ BC
Vậy DEmin ⇔ AM ⊥ BC
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH biết BH = 2 cm, CH = 8 cm
a) Tính AH, AB, AC.
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác vuông ABC ta được:
AH2 = BH . CH = 2 . 8 = 16 cm
⟹ AH = 4 cm
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H ta được:
AB2 = AH2 + HB2 = 42 + 22 = 20
⇒AB=25cm
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACH vuông tại H ta được:
AC2 = AH2 + HC2 = 42 + 82 = 80
⇒AC=45cm
Vậy: AH = 4 cm, AB=25 cm, AC=45cm.
b) Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh: HE = 2HD.
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC, ta được:
HE . AC = AH . HC
⇔HE. 45= 4 . 8 = 32⇒HE=855 cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH, ta được:
AH . BH = HD . AB
⇔HD.25=2.4=8
⇔HD=455cm
Ta có HE : HD =855:455=855.545=2
Vậy HE = 2HD (điều phải chứng minh).
Chứng minh rằng, với mọi n ∈ ℕ*, ta có:
Cn0−Cn1+Cn2−Cn3+...+−1nCnn=0.
Xét khai triển: (1+x)n=Cn01n+Cn11n−1x+Cn21n−2x2+Cn31n−3x3+...+Cnnxn
=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+...+Cnnxn
Thay x = –1 ta được:
1−1n=Cn0+Cn1−1+Cn2−12+Cn3−13+...+Cnn−1n
=Cn0−Cn1+Cn2−Cn3+...+−1nCnn
⇒Cn0−Cn1+Cn2−Cn3+...+−1nCnn=0
Hiệu hai số 14bằng số bé. Tổng hai số là 279. Tìm hai số đó.
Vì hiệu hai số bằng 14 số bé nên số lớn có số phần là: 1 + 4 = 5 (phần)
Ta coi số bé là 4 phần bằng nhau thì số lớn là 5 phần như thế
Giá trị 1 phần là: 279 : (4 + 5) = 31
Số bé là: 31 × 4 = 124
Số lớn là: 31 × 5 = 155
Đáp số: 124 và 155.
Khi lấy 1 số lớn hơn 0 chia cho 5 ta được số dư gấp 3 lần số thương. Tìm số bị chia trong phép chia đó.
Trong phép chia có dư, ta có: Số bị chia = Thương × số chia + số dư
Theo bài ra ta có:
Số bị chia = thương × 5 + số dư
= thương × 5 + thương × 3
= thương × (5 + 3)
= thương × 8
Vì số dư luôn nhỏ hơn số chia, nên: số dư < 5 hay thương × 3 < 5
Mà theo bài ra, số bị chia lớn hơn 0 nên thương phải khác 0
Vậy số bị chia là 1 × 8 = 8
Đáp số: 8.
Lớp 4A quyên góp được 66 quyển vở, lớp 4B quyên góp được 56 quyển vở, lớp 4C quyên góp được ít hơn tổng số vở của hai lớp 4A và 4B là 52 quyển vở. Hỏi trung bình mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển vở?
Tổng số vở của lớp 4A và 4B là: 66 + 56 = 122 (quyển vở)
Số vở lớp 4C quyên góp được là: 122 – 52 = 70 (quyển vở)
Trung bình mỗi lớp quyên góp được số quyển vở là:
(66 + 56 + 70) : 3 = 64 (quyển vở)
Đáp số: 64 quyển vở.
