7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
304 câu hỏi
Tính nhanh: (–25) . (75 – 45) – 75 . (45 – 25).
Ta có
(–25) . (75 – 45) – 75 . (45 – 25)
= –25 . 75 – (–25) . 45 – 75 . 45 – (–75) . 25
= –25 . 75 + 25 . 45 – 75 . 45 + 75 . 25
= 75 . (–25 + 25) + 45 . (25 – 75)
= 75 . 0 + 45 . (–50)
= 0 + (–2250 )
= –2250.
Chứng tỏ: ab¯.101=abab¯
Ta có: ab¯.101=ab¯.100+1=ab¯.100+ab¯=abab¯
Vậy ab¯.101=abab¯ .
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên (S1=2;S2=2+3=5;S3=2+3+5=10;...).
Chứng minh rằng trong dãy số S1,S2,S3 ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.
Gọi pn là số nguyên tố thứ n
Giả sử tồn tại m mà Sm-1 = k2; Sm = l2; k, l ∈ ℕ*
Vì S2 = 5, S3 = 10, S4 = 17
Suy ra m > 4
Ta có:Pm = Sm – Sm-1 = l2 – k2 = (l – k)(l + k)
Vì pm là số nguyên tố và k + l > 1 nên l−k=1l+k=pm
Suy ra
pm=2l−1=2Sm−1
Suy ra Sm=pm+122 (1)
Do m > 4 nên
Sm ≤ (1 + 3 + 5 + 7 + ... + pm) + 2 – 1 – 9
⇔Sm≤12−02+22−12+32−22+...+pm+122−pm−122−8
⇔Sm≤pm+122−8<pm+122 (mâu thuẫn với (1))
Vậy trong dãy số S1,S2,S3 ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.
Thắng có 25 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Hỏi tỉ số phần trăm của số bi đỏ và số bi xanh.
Tỉ số phần trăm của số bi đỏ và viên bi xanh là:
1525.100=60%
Vậy tỉ số phần trăm của số bi đỏ và số bi xanh là 60%.
Tính hợp lí: 19 . 25 + 9 . 95 + 19 . 30.
19 . 25 + 9 . 95 + 19 . 30
= 19 . 25 + 9 . 5 . 19 + 19 . 30
= 19 . (25 + 45 + 30)
= 19 . 100
= 1 900.
Một thế kỉ rưỡi bằng bao nhiêu năm?
1 thế kỉ = 100 năm
Suy ra một thế kỉ rưỡi bằng
100 + (100 : 2) = 150 (năm)
Vậy một thế kỉ rưỡi bằng 150 năm.
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x3 – (x + y + z)2 = (y + z)3 + 34.
Đặt y + z = a với a ∈ ℤ, a ≥ 2 ta có:
x3 – (x + a)2 = a3 + 34
Û x3 – a3 = (x + a)2 + 34 (1)
Û (x – a)(x2 + xa + a2) = x2 + 2xa + a2 + 34 (2)
Û (x2 + xa + a2)(x – a – 1) = xa + 34
Vì x, a nguyên dương nên x2 + xa + a2 > 0 và xa + 34 > 0
Suy ra x – a – 1 > 0 hay x – a ≥ 2
Kết hợp với (2) suy ra x2 + 2xa + a2 + 34 ≥ 2(x2 + xa + a2)
Û x2 + a2 ≤ 34
Þ x2 ≤ 34 Þ x < 6
Mà x ≥ a + 2 ≥ 4 nên x ∈ {4; 5}
– Xét x = 5, từ x2 + a2 ≤ 34 suy ra a ≤ 3, kết hợp a ∈ ℤ, a ≥ 2 (theo cách đặt) ta được a ∈ {2; 3}.
• Với x = 5, a = 2 thay vào (1) không thỏa mãn.
• Với x = 5, a = 3 thỏa mãn (1) và được y = 1; z = 2 hoặc y = 2; z = 1.
– Xét x = 4, từ x – a ≥ 2 suy ra a ≤ 2 (mà a = 2 loại vì không thỏa mãn (1))
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x; y; z) ∈ {(5; 1; 2); (5; 2; 1)}.
Tìm n để (n2 – 8)2 + 36 là số nguyên tố.
Ta có: (n2 – 8)2 + 36
= n4 – 16n2 + 64 + 36
= n4 – 16n2 + 100
= n4 + 20n2 + 100 – 36n2
= (n2 + 10)2 – (6n)2
= (n2 + 6n + 10)(n2 – 6n + 10)
Để (n2 – 8)2 + 36 là số nguyên tố thì n2 + 6n + 10 = 1 hoặc n2 – 6n + 10 = 1
TH1: n2 + 6n + 10 = 1
⇔ n2 + 6n + 9 = 0
⇔ (n + 3)2 = 0
⇔ n + 3 = 0
⇔ n = –3 (loại)
TH2: n2 – 6n + 10 = 1
⇔ n2 – 6n + 9 = 0
⇔ (n – 3)2 = 0
⇔ n – 3 = 0
⇔ n = 3 (thỏa mãn)
Vậy n = 3 thì (n2 – 8)2 + 36 là số nguyên tố.
Số chẵn bé nhất có 3 chữ số là bao nhiêu?
Số chẵn bé nhất có 3 chữ số là: 100.
Giải phương trình (x – 5)4 + (x – 3)4 = 16.
Đặt x – 4 = t
Ta có phương trình:
(t – 1)4 + (t + 1)4 = 16
⇔ (t2 – 2t + 1)2 + (t2 + 2t + 1)2 = 16
⇔ t4 + 4t2 + 1 + 2t2 – 4t3 – 4t + t4 + 4t2 + 1 + 2t2 + 4t3 + 4t – 16 = 0
⇔ 2t4 + 12t2 – 14 = 0
⇔ t4 + 6t2 – 7 = 0
⇔ t4 + 7t2 – t2 – 7 = 0
⇔ t2(t2 + 7) – (t2 + 7) = 0
⇔ (t2 + 7)(t2 – 1) = 0
⇔ t2 – 1 = 0 (vì t2 + 7 > 0 với mọi t)
⇔ (t – 1)(t + 1) = 0
⇔t−1=0t+1=0
⇔t=1t=−1
⇔x−4=1x−4=−1
⇔x=5x=3
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3; 5}.
Tìm số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn điều kiện: Số đó cộng với tổng các chữ số của nó bằng 2013. Số đó là bao nhiêu?
Số cần tìm nhỏ hơn 2013.
Vì là số lớn nhất nên số đó có 4 chữ số
Gọi số đó là abcd
Theo đề bài abcd + a + b + c + d = 2013
Suy ra abcd < 2013
Do đó a = 1 hoặc a = 2
• Nếu a = 2
Khi đó 2bcd + 2 + b + c +d = 2013
⇔ 2000 + bcd + 2 + b + c + d = 2013
⇔ bcd + b + c + d = 11
⇔ bcd < 11
Suy ra b = 0 khi đó cd + c + d = 11
Do đó cd < 11
Không có chữ số c, d thỏa mãn để cd + c + d = 11 nên a = 2 không tìm được số nào thỏa mãn đề bài
• Nếu a = 1
⇔ 1bcd + 1 + b + c + d = 2013
⇔ 1000 + bcd + 1 + b + c + d = 2013
⇔ bcd + b + c + d = 1012
Vì b + c + d lớn nhất bằng 9 + 9 + 9 = 27 nên bcd nhỏ nhất là 1012 – 27 = 985
⇔ b = 9
⇔ 9cd + 9 + c + d = 1012
⇔ cd + c + d = 103
c + d lớn nhất bằng 9 + 9 = 18 nên cd nhỏ nhất là: 103 – 18 = 85
Suy ra c = 8 hoặc c = 9
c = 8 thì 8d + 8 + d = 103 ⇔ d + d = 15 (loại)
c = 9 thì 9d + 9 + d = 103 ⇔ d + d = 4 ⇔ d = 2
Vậy số cần tìm đó là 1992.
Cho 1 số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp nhau từ 1 đến 2021 được viết theo thứ tự 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 2019 2020 2021 tính tổng các chữ số đó.
Bước 1: Tính tổng các chữ số từ 0 đến 999:
Thêm các chữ số 0 vào trước các số có 1 và 2 chữ số để ta được dãy số gồm toàn các số có 3 chữ số: 000; 001; 002; 003; 004; ...; 999 (Tổng các chữ số vẫn không thay đổi)
Khi này, dãy số trên có 1000 số
Số các chữ số là: 1000 × 3 = 3 000 (chữ số)
Mỗi chữ số 0; 1; 2; ...; 9 xuất hiện số lần là: 3000 : 10 = 300 (lần)
Vậy, tổng các chữ số từ 0 đến 999 là:
(0 + 1 + 2 + ... + 9) × 300 = 45 × 300 = 13 500
Bước 2: Tính tổng các chữ số từ 1000 đến 1999:
So với dãy số 000 đến 999 thì mỗi số tăng thêm 1 ở hàng nghìn
Vậy tổng các chữ số từ 1000 đến 1999 là:
13 500 + 1 × 1000 = 13 500 + 1000 = 14 500
Bước 3: Tính tổng các chữ số từ 2000 đến 2021:
Ta có tổng các chữ số từ 2000 đến 2021 là:
(2 × 21 + 1 × 10 + 2 + 2 × 45) + (2 + 0 + 2 + 1)
= (42 + 10 + 2 + 90) + 5
= 144 + 5
= 149
Vậy, tổng tất cả các chữ số từ 1 đến 2021 là 13 500 + 14 500 + 149 = 28 149.
Có bao nhiêu phân số thập phân lớn hơn 1 và nhỏ hơn 5 có mẫu số là số có hai chữ số.
Phân số thập phân có mẫu số là số có hai chữ số
Suy ra mẫu số là 10
Gọi phân số cần tìm là x10
Ta có: 1<x10<5
⇔1010<x10<5010
⇔ 10 < x < 50
⇔ x ∈ {11; 12; 13; ...; 48; 49} có 49 – 11 + 1 = 39 số
Vậy có 39 phân số thỏa mãn.
Một buổi sáng cửa hàng bán được 45,8kg gạo, buổi chiều cửa hàng bán được ít hơn buổi sáng 5,35kg. Hỏi buổi chiều cửa hàng bán được bao nhiêu kg gạo?
Buồi chiều cửa hàng bán được số kg gạo là:
45,8 – 5,35 = 40,45 (kg)
Đáp số: 40,45 kg.
Khi chia hai số tự nhiên a và b cho 3 thì cùng có số dư là r. Chứng minh rằng (a – b) chia hết cho 3.
Vì a chia 3 dư r nên a = 3p + r
Vì b chia 3 dư r nên b = 3q + r
Xét a – b = (3p + r) – (3q + r)
= 3p + r – 3q – r
= 3p + 3q = 3(p + q)
Vì 3(p + q) ⋮ 3 nên (a – b) ⋮ 3
Vậy (a – b) chia hết cho 3.
Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng tỏ rằng 5a + 2b và 7a + 3b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi d = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).
Suy ra 5a + 2b, 7a + 3b chia hết cho d.
Do đó 7(5a + 2b), 5(7a + 3b) cũng chia hết cho d.
Khi đó, ta có: 5(7a + 3b) – 7(5a + 2b) = 35a + 15b – (35a + 14b) = b chia hết cho d.
Ta lại có 3(5a + 2b), 2(7a + 3b) cũng chia hết cho d.
Khi đó, ta có: 3(5a + 2b) – 2(7a + 3b) = 15a + 6b – (14a + 6b) = a cũng chia hết cho d.
Mà a và b nguyên tố cùng nhau nên d = 1.
Vậy 5a + 2b và 7a + 3b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R) có BC là đường kính và AC = R. Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H.
a) Tính độ dài các cạnh AB, AH theo R;
a)
Vì BC là đường kính của (O; R) nên BC = 2R
Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 (Pythagore)
Hay (2R)2 = AB2 + R2
Suy ra AB=R3
Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AH . BC = AB . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay AH . 2R=R3 . R
Suy ra AH=R32.
b) Chứng minh rằng HA . HD = HB . HC;
b) Xét (O) có BC là đường kính, AD là dây cung suy ra OC ⊥ AD tại H
Do đó H là trung điểm của AD (định lý đường kính vuông góc với dây)
Hay AH = HD
Suy ra AH . HD = AH2
Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra HB . HC = AH2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Do đó HA . HD = HB . HC.
c) Gọi M là giao điểm của AC và BD. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở I, cắt AB ở N. Chứng minh ba điểm N, C, D thẳng hàng;
c) Vì tam giác BCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC nên tam giác BCD vuông ở D, hay BD ⊥ DC
Do đó BM ⊥ DC (1)
Xét DMNB có hai đường cao BI và MA cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác
Suy ra MB ⊥ NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra C, D, N thẳng hàng.
d) Chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
d) Xét tam giác ABC vuông tại A có AC=R=12BC
Suy ra ABC^=30°
Ta có:AD ⊥ BI, MN⊥ BI, suy ra AD // MN
Xét tam giác BMN có AD // MN
Suy ra AHNI=HDIM
Mà AH = HD, suy ra NI = IM
Hay I là trung điểm của MN
Xét tam giác BMN có BI vừa là trung tuyến vừa là đường cao
Suy ra tam giác BMN cân tại B và BI là tia phân giác
Do đó NBM^=2ABC^=2.30°=60°
Suy ra tam giác BMN đều
Lại có C là trực tâm, suy ra C cũng đồng thời là trọng tâm tam giác
Do đó BC = 2CI, hay 2OC = 2CI
Suy ra OC = CI
Mà OC + CI = OI
Suy ra OC = CI = 12OI
Xét tam giác AIO có OC = CI = 12OI
Suy ra tam giác AIO vuông tại A, hay AO ⊥ AI
Xét (O) có OA là bán kính, AO ⊥ AI
Suy ra AI là tiếp tuyến của (O)
Vậy AI là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Điền số thích hợp vào chỗ trống theo quy luật 24, 48, 80, 120, ...
Ta có
48 – 24 = 24;
80 – 48 = 32 = 24 + 8;
120 – 80 = 40 = 32 + 8
Suy ra số tiếp theo là: 40 + 8 + 120 = 168
Vậy số cần tìm là 168.
Cho hàm số y = f(x) = 4x2 – 4mx + m2 – 2m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho min(x) = 3 trên [–2; 0].
Hàm số y = f(x) = 4x2 – 4mx + m2 – 2m có a = 4 > 0, −b2a=m2
•TH1: Nếu m2≤−2⇔m≤−4
Thì f(x) đồng biến trên [–2; 0]
Suy ra f(x)min = f(–2) = 4(–2)2 – 4m . (–2) + m2 – 2m = m2 + 6m + 16 = 3
⇔ m2 + 6m + 13 = 0
⇔ m2 + 6m + 9 + 4 = 0
⇔ (m + 3)2 + 4 = 0
Vì (m + 3)2 ≥ 0 với mọi m
Nên (m + 3)2 + 4 > 0 với mọi m
Suy ra phương trình m2 + 6m + 13 = 0 vô nghiệm
•TH2: Nếu m2≥0⇔m≥0
Thì f(x) nghịch biến trên [–2; 0]
Suy ra f(x)min = f(0) = 4(0)2 – 4m . 0 + m2 – 2m = m2 – 2m = 3
⇔ m2 – 2m – 3 = 0
⇔ m2 + m – 3m – 3 = 0
⇔ m(m + 1) – 3(m + 1) = 0
⇔ (m + 1)(m – 3) = 0
⇔ m=−1m=3
Mà m ≥ 0 nên m = 3
+) TH3: Nếu
Thì f(x) nghịch biến trên [–2; 0]
Suy ra f(x)min=fm2=4m22−4mm2+m2−2m=3
⇔ – 2m = 3
⇔ m=−32 (thỏa mãn)
Vậy m=−32 hoặc m = 3.
Số a chia cho 5 dư 2, số b chia cho 5 dư 3. Hỏi a + b chia 5 dư mấy?
Vì a chia 5 dư 2 nên a = 5x + 2
Vì b chia 5 dưa 3 nên b = 5y + 3
Ta có a + b = 5x + 2 + 5y + 3 = 5x + 5y + 5
Vì 5x ⋮ 5, 5y ⋮ 5, 5 ⋮ 5
Suy ra a + b ⋮ 5
Vậy a + b chia 5 dư 0.
Đổi 2 giờ 45 phút = ... giờ (là số thập phân).
Ta có 1 giờ = 60 phút nên 2 giờ 45 phút = 2,75 giờ.
Một số nếu giảm đi 6 lần rồi thêm 25,71 thì được 88,5. Tìm số đó.
Số cần tìm là:
(88,5 – 25,71 ) × 6 = 376,74
Vậy số cần tìm là 376,74.
Cho a; b; c thõa mãn: a + b + c = 2000 và 1a+1b+1c=12000 thì một trong ba số a; b; c phải có một số bằng 2000.
Ta có 1a+1b+1c=12000
⇔1a+1b+1c=1a+b+c
⇔1a+1b+1c−1a+b+c=0
⇔a+bab+a+b+c−cca+b+c=0
⇔a+bca+b+cabca+b+c+a+bababca+b+c=0
⇔a+bca+b+c+aba+babca+b+c=0
⇔a+bca+b+c+ababca+b+c=0
⇔a+bca+cb+c2+ababca+b+c=0
⇔a+bb+cc+aabca+b+c=0
⇔a+b=0b+c=0a+c=0
⇔c=200c=200b=200
Vậy một trong ba số a, b, c có một số bằng 2000.
Ba công nhân có năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính tổng số tiền ba người được thưởng nếu biết tổng số tiền thưởng của người thứ nhất và thứ hai là 5,6 triệu.
11 triệu;
15 triệu;
10,5 triệu;
10 triệu.
Đáp án đúng là: C
Gọi x, y, z lần lượt là số tiền thưởng của ba công nhân (x, y, z > 0) (triệu đồng)
Giả sử x, y, z tỉ lệ thuận với 3; 5; 7
Ta có x3=y5=z7 và x + y = 5,6
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Do đó tổng số tiền thưởng của ba người là 10,5 triệu
Vậy ta chọn đáp án C.
Một người đi ô tô trong 2 giờ đầu, mỗi giờ đi được 42,5 km; trong 4 giờ sau, mỗi giờ đi được 46,25 km. Hỏi trên cả quãng đường, trung bình mỗi giờ người đó đi được bao nhiêu ki – lô – mét?
Hai giờ đầu người đó đi được:
42,5 × 2 = 85 (km)
Bốn giờ sau người đó đi được:
46,25 × 4 = 185 (km)
Trên cả quãng đường người đó đã đi được:
85 + 185 = 270 (km)
Thời gian ô tô đi trên cả quãng đường là:
2 + 4 = 6 (giờ)
Trung bình mỗi giờ người đó đi được:
270 : 6 = 45 (km)
Vậy trên cả quãng đường, trung bình mỗi giờ người đó đi được 45 km.
Trong một tháng có hai ngày đầu tháng và cuối tháng đều là chủ nhật. Hỏi đó là tháng mấy?
Một tháng có hai ngày đầu tháng và cuối tháng đều là chủ nhật thì số ngày của tháng đó chia cho 7 dư 1.
Mà trong các tháng từ 1 đến 12 thì chỉ có tháng 2 của năm nhuận (29 ngày) có :
29 : 7 = 4 dư 1
Vậy tháng đó là tháng 2 của năm nhuận.
Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh rằng tam giác AQR và tam giác APS là tam giác cân.
a)
Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)
Nên AB = BC = CD = DA, ABC^=BCD^=CDA^=DAB^=90°
Ta có BAR^+RAD^=DAB^=90°
DAQ^+RAD^=RAQ^=90°
Suy ra BAR^=DAQ^
Xét DABR và DADQ có:
ABR^=ADQ^=90°;
AB = AD (chứng minh trên);
BAR^=DAQ^ (chứng minh trên)
Do đó DABR = DADQ (g.c.g)
Suy ra AR = AQ (2 cạnh tương ứng)
Do đó DAQR cân tại A
Chứng minh tương tự ta có DADS = DABP (g.c.g)
Suy ra AS = AP (2 cạnh tương ứng)
Do đó tam giác APS cân tại A.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh rằng tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
b) Xét DAQR cân tại A có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao
Do đó AM⊥ QR, hay AMH^=90°
Xét DAPS cân tại A có AN là trung tuyến nên AN đồng thời là đường cao
Do đó AN ⊥SP, hay ANH^=90°
Vì DAQR vuông cân tại A nên AQR^=ARQ^=45°
Vì DAPS vuông cân tại A nên APS^=ASP^=45°
Xét DPHQ có PQH^+PHQ^+HPQ^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay 45°+PHQ^+45°=180°
Suy ra PHQ^=90°
Xét tứ giác AMHN có: AMH^=ANH^=MHN^=90° (chứng minh trên)
Suy ra AMHN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR.
c) Xét tam giác SQR có:
BC⊥ CD hay RC ⊥SQ nên RC là đường cao
AP ⊥AR hay QA ⊥RS nên QA là đường cao
Mà RC cắt QA tại P
Suy ra P là trực tâm tam giác SQR.
d) Chứng minh rằng MN là đường trung trực của AC.
d) Vì DASP vuông tại A có trung tuyến AN, suy ra AN=12SP
Vì DCSP vuông tại C có trung tuyến CN, suy ra CN=12SP
Do đó AN = CN
Hay N thuộc trung trực của AC (1)
Vì DAQR vuông tại A có trung tuyến AM, suy ra AM=12QR
Vì DCQR vuông tại C có trung tuyến CM, suy ra CM=12QR
Do đó AM = CM
HayM thuộc trung trực của AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN là trung trực của AC
Vậy MN là trung trực của AC.
e) Chứng minh rằng bốn điểm M,B,N,D thẳng hàng.
e) Ta có BA = BC (chứng minh câu a) nên B thuộc trung trực của AC
Mà MN là trung trực của AC (chứng minh câu d)
Suy ra B thuộc MN
Vì DA = DC (chứng minh câu a) nên D thuộc trung trực của AC
Mà MN là trung trực của AC (chứng minh câu d)
Suy ra D thuộc MN
Vậy M, B, N, D thẳng hàng.
Cho hình thoi ABCD có cạnh a, có BAD^=60°. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính AB→+AD→,BA→−BC→,OB→−DC→.
Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a
Suy ra tam giác ABD cân tại A
Mà BAD^=60°, do đó tam giác ABD đều
Suy ra BD = a
Vì ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
Nên AO ⊥ BD, O là trung điểm của AC và BD
Hay tam giác AOB vuông tại O
Suy ra AO=ABsinABD^=ABsin60°=a32
Do đó AC=2AO=2.a32=a3
Ta có AB→+AD→=AC→=AC=a3
BA→−BC→=CA→=CA=a3
OB→−DC→=DO→−DC→=CO→=CO=AO=a32.
Tính chu vi và diện tích hình tròn có bán kính 4 cm.
Chu vi hình tròn đó là:
4 × 2 × 3,14 = 25,12 (cm)
Diện tích hình tròn đó là:
4 × 4 × 3,14 = 50,24 (cm2)
Vậy chu vi hình tròn bằng 25,12 cm và diện tích hình tròn là 50,24 cm2.
Hỏi có bao nhiêu phân số thập phân khác 0 mà tổng của mẫu số và tử số là số lẻ nhỏ nhất có tám chữ số?
Số lẻ nhỏ nhất có 8 chữ số là 10 000 001
Gọi phân số cần tìm là ab (0 < a, b < 10 000 001)
Vì ab là phân số thập phân
Nên b ∈ {10; 100; 1 000; 10 000; 100 000; 1 000 000; 10 000 000}
Do đó có 7 cách chọn b
Vì 0 < a < 10 000 001 nên có 10 000 000 cách chọn a
Suy ra có 7 × 10 000 000 = 70 000 000 phân số thỏa mãn
Vậy có 70 000 000 phân số thỏa mãn đề bài.
Số nguyên tố là gì? Ví dụ minh họa.
Số nguyên tố là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1, chia hết cho 1 và chính nó. Hoặc hiểu một cách đơn giản, những số tự nhiên nào lớn hơn 1, không chia được cho số nào khác ngoài số 1 và chính số đó thì đó là số nguyên tố.
Ví dụ số nguyên tố là 3, 5, 7, 13, 17, 23, 29, 97, 101, 997….
Có một cái ao ở giữa một khu đất, diện tích cái ao là 30,6 m2 và nhỏ hơn diện tích của cả khu đất 45,57 m2. Hỏi diện tích khu đất là bao nhiêu m2?
Diện tích khu đất là:
30,6 + 45,57 = 76,17 (m2)
Vậy diện tích khu đất là 76,17 m2.
Có tất cả bao nhiêu cặp số tự nhiên có trung bình cộng là 50?
Tổng của hai số là: 50 × 2 = 100
Ta có: 100 = 0 + 100 = 1 + 99 = 2 + 98 = 3 + 97 = ... = 49 + 51
Từ 0 đến 100 có: (100 – 0) + 1 = 101 số hạng nên có 50 cặp
Vậy có 50 cặp số tự nhiên có trung bình cộng là 50.
Hai căn phòng hình chữ nhật. Căn phòng thứ nhất có chiều dài là 5,2m và chiều rộng 3,4 m. Căn phòng thứ hai có chiều dài là 4,8 m chiều rộng là 3,7 m. Hỏi căn phòng nào có diện tích lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu mét vuông?
Diện tích căn phòng thứ nhất là:
5,2×3,4=17,68 (m2)
Diện tích cân phòng thứ hai là:
4,8×3,7=17,76 (m2)
Suy ra diện tích căn phòng thứ hai lớn hơn phòng thứ nhất là:
17,76–17,68=0,08 (m2)
Vậy diện tích căn phòng thứ hai lớn hơn và hơn 0,08 m2.
Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó.
Theo bài ra ta có:
Số nhỏ là: (33 – 3) : 2 = 15
Số lớn là: 33 + 15 = 48
Vậy hai số cần tìm là 15 và 48.
Lãi suất tiết kiệm là 0,65% / tháng.Để sau một tháng nhận được tiền lãi là 832 000 đồngthì khách hàng phải gửi số tiền gốc là bao nhiêu?
Khách hàng phải gửi số tiền vốn là:
832 000 : 0,65 . 100 = 128 000 000 (đồng)
Vậy khách hàng phải gửi 128 000 000 đồng để sau một tháng nhận 832 000 đồng tiền lãi.
Một người bỏ ra 450 000 đồng tiền vốn để mua một cây quạt. Người đó đã bán cây quạt với giá 486 000 đồng. Hỏi người đó lãi bao nhiêu phần trăm tiền vốn?
Số tiền lãi là:
486 000 – 450 000 = 36 000 (đồng)
Người đó lãi số phần trăm là:
36 000 : 450 000 . 100 = 8%
Vậy người đó lãi 8% tiền vốn.
Một người mua hai hộp kẹo, mỗi hộp chứa 4 túi kẹo, mỗi túi có 125 g kẹo. Hỏi người đó mua mấy kg kẹo? [giải bằng hai cách].
4 túi kẹo nặng số g là:
125 × 4 = 500 (g)
2 hộp kẹo nặng số g là:
500 × 2 = 1000 (g)
Đổi 1000 g = 1 kg
Vậy người đó mua 1 kg kẹo.
Một đoàn tàu gồm 15 toa, mỗi toa dài 14m chạy với vận tốc 43,2km/giờ vượt qua một người đi bộ ngược chiều. Tính thời gian đoàn tàu vượt qua người đi bộ, biết vận tốc của người đi bộ là 4km/giờ.
Đoàn tàu đó dài là:
14 × 15=210(m)
Đổi 210 m =0,21km
Tổng vận tốc của tàu và người đi bộ là:
43,2 + 4 = 47,2 (km/giờ)
Thời gian đoàn tàu vượt qua người đi bộ là:
0,21:47,2=214720 (giờ)
Vậy sau 214720 giờ thì tàu vượt qua người đi bộ.
Một cửa hàng đã bán được 240 kg gạo và số gạo đó bằng 12,5% tổng số gạo trước khi bán. Hỏi trước khi bán cửa hàng có mấy tấn gạo?
Trước khi bán gạo, cửa hàng có số gạo là:
240:12,5 ×100 = 1920 (kg)
Đổi 1920 kg = 1,92 tấn
Vậy trước khi bán cửa hàng có 1,92 tấn gạo.
Tìm các ước của 10.
Ta thấy 10 chia hết cho 1;2;5;10 và các số đối của các số trên là –1; –2; –5; –10.
Suy ra Ư(10) = {1;2;5;10; –1; –2; –5; –10}.
Nêu dấu hiệu chia hết cho cả 3 và 5.
Số chia hết cho cả 3 và 5 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Ví dụ:120;135 ;....
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số.
b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số khác nhau
a) Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số là 100.
b) Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số khác nhau là 102.
Theo kế hoạch, đội sản xuất phải trồng 15 ha rừng trong một năm.
a) Nửa năm đầu đội đã trồng được 7,8 ha rừng. Hỏi trong nửa năm đầu đội đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm kế hoạch cả năm?
a) Nửa năm đầu đội đã thực hiện được số phần trăm kế hoạch là:
7,8 : 15 × 100 = 52%
b) Đến hết năm đội đã trồng được tất cả 16,8 ha rừng. Hỏi đội đó đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm và vượt mức kế hoạch bao nhiêu phần trăm?
b) Đội đó thực hiện được số phần trăm kế hoạch là:
16,8 : 15 × 100 = 112%
Như vậy đội đó đã vượt mức kể hoạch:
112–100 =12%.
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a) 5,2 × 9 + 5,2.
a) 5,2 × 9 + 5,2
= 5,2 × 9 + 5,2 × 1
= 5,2 × (9 + 1)
= 5,2 × 10
= 52.
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
b) 12,3 × 101 – 12,3.
b) 12,3 × 101 – 12,3
= 12,3 × 101 – 12,3 × 1
= 12,3 × (101 – 1)
= 12,3 × 100
= 1230.
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
c) 1,25 × 0,25 × 2,3 × 4 × 8 × 11.
c) 1,25 × 0,25 × 2,3 × 4 × 8 × 11.
= (1,25 × 8) × (0,25 × 4) × (2,3 × 11)
= 10 × 1 × 25,3
= 10 × 25,3
= 253.
0,125 × 6,94 × 80. Tính bằng cách thuận tiện.
Ta có: 0,125 × 80 × 6,94
= 10 × 6,94
= 69,4.
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a) 115,5 × 101 – 91 – 24,5;
b) 0,125 × 6,94 × 80;
a) 115,5 × 101 – 91 – 24,5
= 115,5 × 101 – (91 + 24,5)
= 115,5 × 101 – 115,5
= 115,5 × (101 – 1)
= 115,5 × 100
= 11 550.
b) 0,125 × 6,94 × 80
= (0,125 × 80) × 6,94
= 10 × 6,94
= 69,4.
Tính bằng cách thuận tiện nhất:
c) 32 × 98 + 320 × 0,1 + 3 200 × 0,01;
d) 72,9 ×99 + 72 + 0,9;
e) 0,8 ×96 + 1,6 × 2.
c) 32 × 98 + 320 × 0,1 + 3 200 × 0,01
= 32 × 98 + 32 + 32
= 32 × (98 + 1 + 1)
= 32 × 100
= 3 200.
d) 72,9 × 99 + 72 + 0,9
= 72,9 × 99 + 72,9
= 72,9 × (99 + 1)
= 72,9 × 100
= 7 290.
e) 0,8 × 96 + 1,6 × 2
= 0,8 × 96 + 0,8 × 2 × 2
= 0,8 × 96 + 0,8 × 4
= 0,8 × (96 + 4)
= 0,8 × 100
= 80.
Tính chu vi và diện tích của một hình chữ nhật có chiều dài 7,2 cm và chiều rộng kém chiều dài 3,55 cm.
Chiều rộng hình chữ nhật là:
7,2 – 3,55 = 3,65 (cm)
Chu vi hình chữ nhật là:
(7,2 + 3,65) × 2 = 21,7 (cm)
Diện tích hình chữ nhật là:
7,2 × 3,65 = 26,28 (cm2).
Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng với lãi suất 1 tháng là 0,7%. Hỏi nếu 3 tháng người đó mới rút cả gốc lẫn lãi thì được bao nhiêu tiền? Biết rằng tiền lãi hàng tháng được cộng dồn vào tiền gốc.
Số tiền lãi của tháng thứ nhất là:
100 000 000 × 0,7 : 100 = 700 000 (đồng)
Tổng số tiền lãi và gốc sau khi gửi tiết kiệm 1 tháng là:
100 000 000 + 700 000 = 100 700 000 (đồng)
Số tiền lãi của tháng thứ hai là:
100 700 000 × 0,7 : 100 = 704 900 (đồng)
Tổng số tiền lãi và gốc sau khi gửi tiết kiệm 2 tháng là:
100 700 000 + 704 900 = 101 404 900 (đồng)
Số tiền lãi của tháng thứ ba là:
101 404 900 × 0,7 : 100 = 709 834,3 (đồng)
Tổng số tiền lãi và gốc sau khi gửi tiết kiệm 3 tháng là:
101 404 900 + 709 834,3 = 102 114 734,3 (đồng)
Vậy sau 3 tháng rút cả lãi lần gốc thì người đó được 102 114 734,3 đồng.
Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 20.
(x + 1)(x + 2) = 20
⇔ x2 + 2x + x + 2 – 20 = 0
⇔ x2 + 3x – 18 = 0
⇔ x2 – 6x + 3x – 18 = 0
⇔ x(x – 6) + 3(x – 6) = 0
⇔ (x – 6)(x + 3) = 0
⇔ x=6x=−3
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {– 6; 3}.
Gọi S là tập hợp các ước tự nhiên của 51 251 616. Lấy 1 số thuộc S, xác suất để lấy được 1 số không là bội của 6?
Ta có: 51 251 616 = 25.36.133
Suy ra số các ước nguyên dương của 51 251 616 là:
n(S) = (5 + 1)(6 + 1)(3 + 1) = 168.
⇒ Số cách chọn một ước nguyên dương: 168 cách
Hay số phần tử của không gian mẫu là 168
Giả sử các ước tự nhiên là bội của 6 trong S có dạng A = 2a.3b.13c
⇒ 1 ≤ a ≤ 5, 1 ≤ b ≤ 6; 0 ≤ c ≤ 3.
Do đó: số các số chia hết cho 6 là: 5.6.4 = 120 (số)
Vậy xác suất cần tìm là: P = 1−120168=27.
Tìm x để |x| > 2.
|x| > 2 ⇔ x>2x<−2.
Vậy tập nghiệm của x là (– ∞; – 2] ∪ [2; +∞).
Rút gọn biểu thức: A = 1 + sin2a.
A = 1 + sin2a
A = sin2a + cos2a + sin2a
A = sin2a + cos2a + 2sina.cosa
A = (sina + cosa)2.
Đặt tính rồi tính: 30,4 : 5.
30,4 0 4 40 056,08
Tìm x biết: 4(x + 2) = 3(x + 1) + 17.
4(x + 2) = 3(x + 1) + 17
4x + 8 = 3x + 3 + 17
4x – 3x = 20 – 8
x = 12
Vậy x = 12.
Các chữ số đôi một khác nhau là gì? Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau?
Chữ số đôi một khác nhau là một nhóm các chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại. Ví dụ: 123456.
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau
Các số tự nhiên được lập từ các chữ số thuộc tập S = {0; 1; 2; 3; …; 9}.
Chọn 6 số bất kì thuộc S, hoán vị có A106 cách
Nếu số 0 đứng đầu, chọn 5 số thuộc S \ {0}, rồi hoán vị có A95 cách
Vậy lập được:A106−A95=136080(số).
Tính bán kính khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a.
Trên hình vẽ là khối cầu (I; R) nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Tâm I là trung điểm của AC’
Theo hình vẽ, ta thấy bán kính của khối cầu là: R=12a
Vậy bán kính khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a là a2.
Giải phương trình: x4−2x2+1=x−1.
Điều kiện: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Ta có:
x4−2x2+1=x−1
⇔ x2−12=x−1
⇔ (x2 – 1)2 = (x – 1)2
⇔ (x – 1)2.(x + 1)2 = (x – 1)2
⇔ (x – 1)2[(x + 1)2 – 1] = 0
⇔ (x – 1)2(x2 + 2x) = 0
⇔ x(x + 2)(x – 1)2 = 0
⇔ x=0x=−2x=1.
Mà theo điều kiện xác định x ≥ 1 nên ta chọn x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai:
12 ∈ B(3).
25 ∉ B(3).
B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; ... }.
B(3) = {3; 6; 9; 12; ... }.
Không có khẳng định nào sai vì:
A. 12 chia hết cho 3 nên 12 ∈ B(3)
B. 25 ∉ B(3): Số 25 không phải là bội số của 3 vì 25 không chia hết cho 3 (25 ÷ 3 = 8 dư 1).
C. B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; ... }: Tập hợp B(3) bao gồm số 0 và tất cả các số nguyên chia hết cho 3, ví dụ như 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
D. Tương tự đáp án C.
Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho:
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau?
b) Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau?
a) Sắp xếp 5 học sinh nữ có 5! cách
Khi đó, giữa các bạn nữ có 6 khoảng trống
Sắp xếp các bạn nam vào những khoảng trống đó có A65 cách.
⇒ Có A65.5!=86400 cách xếp nam nữ xen kẽ
b) Coi 5 học sinh nữ là một nhóm và 5 học sinh nam là một nhóm
⇒ Mỗi nhóm có 5! cách sắp xếp
Sắp xếp hai nhóm với nhau có 2 cách
⇒ Có 5!.5!.2 = 28800 cách sắp xếp những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau.
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Biết b = 7; c = 5, cosA = 45. Tính độ dài của a.
Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC có:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = 72 + 52 – 2.7.5.45 = 18
Suy ra: a=18=32.
Cho cấp số nhân (un) có u5 = 2 và u9 = 6. Tính u21?
Ta có: u5=2u9=6⇔u1.q4=2u1.q8=6⇔u1=23q4=3
Suy ra: u21 = u1.q20 = u1.q45=23.35=162.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 12 và công bội q = 2. Giá trị của u10 bằng?
Ta có: u10 = u1.q9 = 12.29=28=256
Vậy u10 = 256.
Cho dãy số (un) biết un=1n+1,∀n≥1. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
12;13;14
1;12;13
12;14;16
1;13;15
Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là: u1=11+1=12
u2=12+1=13
u3=13+1=14.
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa:
a và hình chiếu vuông góc của a lên (P).
a và một đường thẳng bất kì cắt (P).
avà đường vuông góc với (P).
a và một đường thẳng bất kì nằm trong (P).
Chọn A
Lý thuyết: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu vuông góc của a lên (P).
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo π5. Hỏi trong các số đo 6π5;9π5;−11π5;31π5;14π5, những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đã cho?
Các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là π5+k2π=10k+1π5k∈ℤ
Vậy trong các số đo đã cho chỉ có 31π5k=3 thỏa mãn.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song với nhau. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có đặc điểm gì?
d song song với (Q).
d cắt (Q).
d nằm trong (Q).
d có thể cắt (Q) hoặc nằm trong (Q).
Chọn A
Lý thuyết: theo tính chất hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song mặt phẳng kia.
Áp dụng vào bài ta có:
Vì P//Qd⊂P nên d và (Q) không có điểm chung hay d song song với (Q).
Cho hàm số f(x) = 3 + cosx. Khẳng định nào sau đây đúng:
∫fxdx=3x+sinx+C
∫fxdx=3x−cosx+C
∫fxdx=3x−sinx+C
∫fxdx=3x+cosx+C
Chọn A
∫fxdx=∫3+cosxdx=∫3dx+∫cosxdx=3x+sinx+C.
Cho hàm số f(x) = ex + 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
∫fxdx=ex+C
∫fxdx=ex+2x+C
∫fxdx=ex−2x+C
∫fxdx=ex−2+C
Chọn B
∫fxdx=∫ex+2dx=ex+2x+C.
Cho hàm số y=x−2x+1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞).
Chọn B
TXĐ: D = ℝ\{−1}.
Ta có: y=x−2x+1 ⇒ y'=3x+12>0,∀x.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Từ giả thiết ta có AB // CD nên SC;AB^=SC;CD^=SCD^
Mà hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau nên SC = SD = DC hay tam giác SDC là tam giác đều
Suy ra: SCD^=60°
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°.
Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 1, SB = 2, SC = 3. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính số đo góc giữa cạnh bên với mặt đáy.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD)
Khi đó OB là hình chiếu của SB trên (ABCD)
⇒ SB,ABCD=SB,OB=SBO^=60°
Gọi M là trung điểm BC, dựng OH ⊥ SM
Ta có: OM ⊥ BC (vì OM là đường trung bình trong tam giác ABC nên OM // AB, mà AB ⊥ BC)
Ta có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC
Suy ra: BC ⊥ (SOM) ⇒ BC ⊥ OH
Mà OH ⊥ SM
Nên OH ⊥ (SBC) hay d(O, (SBC)) = OH
AO ∩ (SBC) = {C} nên dA,SBCdO,SBC=ACOC=2
Hay d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH (*)
ABCD là hình vuông cạnh a nên BD=a2⇒BO=a22
OM=12AB=a2
Lại có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OB nên tam giác SOB vuông tại O
Suy ra: SO = OB.tan60° = a22.tan60 °=a62
Xét trong tam giác SOM vuông tại O, có OH là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng và Pytago trong tam giác vuông có: SO.OM = OH.SM
⇒ OH=SO.OMSO2+OM2=a62.a2a622+a22=a4214
Từ (*) suy ra: d(A, (SBC)) = 2OH = a427.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng BC song song với mặt phẳng nào sau đây?
(DD'A').
(DCC').
(A'B'B).
(ABD).
Chọn A
Vì BC // A'D' nên BC // (DD'A').
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Cho hình nón có bán kính bằng 3 và góc ở đỉnh bằng 60 độ. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Ta có hình vẽ của hình nón đã cho như hình trên.
Gọi H là tâm của đường tròn đáy và là trung điểm AB
Góc ở đỉnh bằng 60° nên BSA^=60°
Suy ra tam giác SAB đều ⇒ l = SA = AB = 2R = 2.3 = 6
Diện tích xung quanh hình nón là:
Sxq = πRl = π.3.6 = 18π.
Cho hình nón có đường kính đáy bằng r và độ dài đường sinh ℓ. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Hình nón có đường kính đáy r nên nó có bán kính đáy bằng r2.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:
Sxq = π.r2.l=π2rl.
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 2a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
Giả sử thiết diện qua trục là hình vuông ABCD có cạnh 2a
Hình trụ có bán kính đáy R = a và chiều cao h = 2a.
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Stp = 2πRh + 2πR2 = 2πa.2a + 2πa2 = 6πa2.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a2, ΔSAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông diện tích bằng 36. Tính thể tích khối trụ đó.
Từ giả thiết suy ra chiều cao khối trụ bằng 6
Bán kính bằng 3
Do đó thể tích khối trụ bằng: π.32.6 = 54π.
Cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R). Gọi d là khoảng cách từ I đến (P). Khẳng định nào dưới đây đúng?
d < R.
d > R.
d = R.
d = 0.
Chọn C
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) khi và chỉ khi d = R.
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, và AD hợp với (BCD) một góc 60°. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Gọi H là trung điểm của BC
Vì tam giác BCD cân tại D nên DH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
Suy ra: DH vuông góc BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD)
Mà (ABC) ⊥ (BCD) nên AH ⊥ (BCD)
Ta có: AH ⊥ HD
Suy ra: AH = AD.tan60° = a3
HD = AD.cot60° = a33
Ta lại có tam giác BCD vuông cân tại D nên BC = 2HD = 2a33
Khi đó thể tích VABCD = 13.AH.SBCD=13.a3.12.a33.2a33=a339.
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn trong đó có mặt 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số có dạng abcde¯
Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 9 . 9 . 8 . 7 . 6 = 27216 (để lập ra số có 5 chữ số đôi một khác nhau thì a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 8 cách chọn, d có 7 cách chọn, e có 6 cách chọn)
Trong {0; 1; 2; 3; …; 9} có 5 chữ số chẵn; 5 chữ số lẻ
Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
TH1: Có chữ số 0
Xếp chữ số 0 có 4 cách (vì a khác 0)
Chọn 1 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn còn lại và sắp xếp có C41.4
Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số lẻ và sắp xếp có C53.3!
Khi đó lập được: 4!.C41.4.C53.3!
TH2: Không có chữ số 0 có:
Chọn 2 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn còn lại và sắp xếp có C42
Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số lẻ có C53
Xếp 5 chữ số có 5!
Khi đó lập được: C42.C53.5!
Suy ra: n(E) = 4!.C41.4.C53.3!+C42.C53.5!=11040.
Vậy xác suất cần tìm là: PE=1104027216=230567.
Chữ N có trục đối xứng không?
Chữ N không có trục đối xứng, chỉ có tâm đối xứng
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong tọa độ Oxyz.
Trong không gian Oxyz, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB→ và AC→ cùng phương.
Có 12 học sinh gồm 6 nam và 6 nữ ngồi vào hai hàng ghế đối diện nhau tùy ý. Tính xác suất để mỗi một em nam ngồi đối diện với một em nữ.
Xếp 12 học sinh vào 12 ghế có 12! cách.
n(Ω) = 12!
Gọi A là biến cố “Xếp mỗi một em nam ngồi đối diện một em nữ”
Giả sử vị trí 1 là một em học sinh
Thì vị trí 1 có 12 cách chọn
Để ngồi đối diện là 1 em khác giới thì vị trí 2 có 6 cách chọn
Cứ như vậy:
Vị trí 3 có 10 cách chọn (do đã chọn 2 em cho vị trí 1,2)
Vị trí 4 có 5 cách chọn
…..
Nên n(A) = 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1
Suy ra: PA=nAnΩ=16231.
Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người? Biết rằng mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật.
Do mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật nên trong 3 người có: 2 người nhận 1 đồ, 1 người nhận 2 đồ.
Bước 1: Chọn 2 đồ vật trong 4 đồ vật.
Bước 2: Hoán vị : 2 đồ vật + 1 nhóm 2 đồ vật (chia cho 3 người).
Số cách chia là: C42.3!=36.
Có bao nhiêu số có 2 chữ số sao cho số đó lớn hơn 40 và có chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn 2?
Giả sử số có 2 chữ số cần tìm là ab¯a≠0;a,b<10
Theo bài ra ta có: b < 2 nên b = 0 hoặc b = 1
Vì ab¯>40 nên a ∈ {4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Suy ra: ab¯∈41; 50; 51; 60; 61; 70; 71; 80; 81; 90; 91.
Vậy có 11 số thỏa mãn.
Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3x2+y2=4x+y?
Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [− 10; 10] để hàm số y = x4 + (m – 2)x2 đạt cực tiểu tại x = 0?
Ta có: y' = 4x3 + 2(m – 2)x
y'' = 12x2 + 2(m – 2)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ f'0=0f''0>0⇔0=02m−2>0⇔m>2 (*)
Xét m = 2 thì hàm số y = x4 có y' = 4x3; y' = 0 ⇔ x = 0
Ta có bảng biến thiên:
![Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [− 10; 10] để hàm số y = x^4 + (m – 2)x^2 đạt cực tiểu tại x = 0? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/05/blobid3-1716557177.png)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Mà m ∈ [– 10; 10] kết hợp (*) và m = 2 ta được: m ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.
Vậy có 9 giá trị của tham số m.
Giải phương trình: cos(x – 15°) = 22.
cos(x – 15°) = 22
⇔ cos(x – 15°) = cos45°
⇔ x−15°=45°+k360°x−15°=−45°+k360°k∈ℤ
⇔ x=60°+k360°x=−30°+k360°k∈ℤ.
Đạo hàm của cos3x là gì?
(cos3x)' = 3cos2x . (cosx)' = – 3sinx.cos2x.
Tìm đạo hàm của 1lnx.
1lnx'=−1lnx2.lnx'=−1lnx2.1x=−1x.lnx2
Tìm đạo hàm của y=2xx2−9.
y'=2xx2−9'=2x2−9−2x.2xx2−92=2x2−18−4x2x2−92=−2x2−18x2−92=−2x2+9x2−92
Tìm đạo hàm của hàm số y=12x2.
y'=12x2'=−14x4.2x2'=−14x4.4x=−1x3
Tìm đạo hàm của hàm số y=2x2+1.
Áp dụng công thức uv'=u'.v−v'.uv2.
y'=2x2+1'=0−2.2xx2+12=−4xx2+12.
Tìm đạo hàm của hàm số y = x.
Ta có: y' = (x)' = 1.
Tìm đạo hàm của hàm số y=x13.
y'=x13'=13.x13−1=13.x−23
Diện tích của hình thang ABCD lớn hơn diện tích của hình tam giác BAC bao nhiêu đề-xi-mét vuông (xem hình vẽ bên)?
Diện tích hình thang ABCD là:
(3,2 + 6,8) . 2,5 : 2 = 12,5 (cm2)
Diện tích tam giác ADC là:
2,5 . 6,8 : 2 = 8,5 (cm2)
Diện tích tam giác BAC là:
12,5 – 8,5 = 4 (cm2)
Diện tích của hình thang ABCD lớn hơn diện tích của hình tam giác BAC là:
12,5 – 4 = 8,5 (cm2) = 0,085 (dm2).
Đồ thị của hàm số y = 3x đi qua điểm nào sau đây?
M(– 1; 3).
N(1; 3).
P(0; 2).
Q(– 1; 3).
Chọn B
Với N(1;3) thì y = 3x = 31 = 3.
Vậy đồ thị của hàm số y = 3x đi qua điểm N(1; 3).
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định là gì? Nêu ví dụ.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định có ý nghĩa là hàm số tăng hoặc giảm trên mỗi khoảng con của miền xác định.
Ví dụ: Hàm số y=x−1x−1
Xét y' = 1+1x−12>0,∀x≠1
Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Đường thẳng phân biệt là gì? Cho ví dụ.
Hai đường thẳng không trùng nhau gọi là hai đường thẳng phân biệt.
Ví dụ: Hai đường thẳng phân biệt có thể là hai đường thẳng cắt nhau hoặc là hai đường thẳng song song với nhau.
Xem hình vẽ.
Gieo một xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6.
Để thu được mặt có số lớn hơn 4 thì số chấm trên mặt xuất hiện chỉ có thể là 5 hoặc 6
Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4 là: 26=13.
Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc 7π4?
−π4
π4
3π4
13π4
Chọn A
7π4=−π4+2π
Nên góc có cùng điểm cuối với góc 7π4 là −π4.
Gọi M1, M2 là hai điểm lần lượt biểu diễn cho các số phức z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 + 2z + 4 = 0. Tính số đo góc M1OM2^.
M1OM2^=120°.
M1OM2^=90°.
M1OM2^=60°.
M1OM2^=150° .
Trong không gian, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó:
Hoặc song song hoặc trùng nhau.
Chéo nhau.
Trùng nhau.
Song song.
Chọn A
Trong không gian, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó có thể song song hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng cùng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có:
Hai góc so le trong bù nhau.
Hai góc đồng vị phụ nhau.
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
Hai góc đồng vị bù nhau.
Chọn C
Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng cùng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có:
+ Các góc so le trong bằng nhau
+ Các góc đồng vị bằng nhau
+ Các góc so le ngoài bằng nhau
+ Các góc trong cùng phía bù nhau
Hai tập hợp nào dưới đây không bằng nhau?
A=x|x=12k,k∈ℤ,x≥18và B=12;14;18.
A = {3;9;27;81} và B = {3n|n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 4}.
A = {x ∈ ℤ|– 2 < x ≤ 3} và B = {– 1; 0; 1; 2; 3}.
A = {x ∈ ℕ| x < 5} và B = {0; 1; 2; 3; 4}.
Chọn A
A=x|x=12k,k∈ℤ,x≥18⇒A=1;12;14;18.
Mà B=12;14;18
Nên B khác A.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể vòi thứ nhất mỗi phút chảy được 25 lít nước vòi thứ hai mỗi phút chảy được 23 lít nước. Hỏi sau 1 giờ 12 phút cả hai vòi chảy vào bể được bao nhiêu lít nước?
Ta có: 1 giờ 12 phút = 72 phút.
Mỗi phút hai vòi nước cùng chảy vào bể được: 25 + 23 = 48 (lít)
Sau 1 giờ 12 phút cả hai vòi chảy được vào bể được:
48 . 72 = 3456 (lít)
Đáp số: 3456 lít nước.
Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x?
Fx=12x−sin2x2+C
Fx=142x−sinxcosx+C
Fx=12x−sinxcosx+C
Fx=142x−sin2x+C
Chọn D
∫sin2xdx=∫12dx−∫12cos2xdx=12x−14sin2x+C=142x−sin2x+C
Hàm số y = –3x2 + x – 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
16;+∞
−∞;−16
-16;+∞
−∞;16
Hãy cho biết 5 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo ra bao nhiêu hình bình hành?
Mỗi hình bình hành được tạo bởi 2 cặp đường thẳng song song. Việc tạo hình bình hành từ 5 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác được chia làm hai giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Chọn một cặp đường thẳng song song từ 5 đường thẳng song song là tổ hợp chập 5 của 2, do đó có C52 cách.
- Giai đoạn 2: Ứng với cặp đường thẳng vừa chọn, chọn cặp đường thẳng song song từ 5 đường thẳng song song khác là tổ hợp chập 2 của 5, do đó có C52 cách.
Theo quy tắc nhân ta có: C52.C52=100 cách.
Vậy có tất cả 100 hình bình hành được tạo thành.
Hình chóp có các cạnh đôi một vuông góc là gì?
Hình chóp có các cạnh đôi một vuông góc là một loại hình chóp mà các cạnh bên của chóp đều vuông góc với nhau.
Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu đỉnh?
4
6
5
7
Chọn đáp án D.
Hình chóp lục giác đều có đáy là lục giác nên có 6 đỉnh ở đáy
Thêm 1 đỉnh S
Tổng cộng có 7 đỉnh.
Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu đỉnh?
4
6
5
7
Chọn đáp án D.
Hình chóp lục giác đều có đáy là lục giác nên có 6 đỉnh ở đáy
Thêm 1 đỉnh S
Tổng cộng có 7 đỉnh.
Hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?
4
5
6
3
Hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật là hình hộp chữ nhật nên có 6 mặt là hình chữ nhật.
Chọn đáp án C.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=1cos2x.
∫fxdx=∫1cos2xdx=∫sin2x+cos2xcos2xdx=∫1+tan2xdx=tanx+C
Khai triển nhị thức Newton (x + 2)4.
x+24=C40.x4+C41.x3.2+C42.x2.22+C43.x.23+C44.24
= x4 + 8x3 + 12x2 + 32x + 16.
Khi nào tập xác định D = ℝ?
D = ℝ khi D = (−∞; +∞).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(− 2; 3; 4). Khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là:
4
3
5
2
Gọi H là hình chiếu của A lên Ox
⇒ H(−2; 0; 0)
⇒ AH→=0;−3;−4
Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là: AH=−32+−42=5.
Đáp án cần chọn là: C.
Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = 1, AC = 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = 3. Thể tích của khối chóp đó là?
Khối đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là
12
30
8
20
Chọn D
Đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là đa diện 20 mặt và nó có 30 cạnh.
Lập một đề toán theo hình vẽ sau rồi giải:
Đề toán: Một xe máy đi từ Hà Nội đến Ninh Bình. Trong 2 giờ đầu. xe máy đi với vận tốc 33,8km/giờ. Quãng đường còn lại xe máy đi với vận tốc 11,2km/giờ trong 4 giờ thì đi hết quãng đường. Hỏi quãng đường từ Hà Nội đến Ninh Bình dài bao nhiêu km?
Giải:
Quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ đầu là:
33,8 . 2 = 67,6 (km)
Quãng đường xe máy đi được trong những giờ tiếp theo là:
11,2 . 4 = 44,8 (km)
Vậy quãng đường dài là:
67,6 + 44,8 = 112,4 (km).
Tính giới hạn lim1+2+3+...+nn2+2.
Giải bất phương trình: log(3x – 2) > 1.
log(3x – 2) > 1
⇔ log(3x – 2) > log(10)
⇔ 3x – 2 > 10
⇔ 3x > 12
⇔ x > 4.
Vậy x > 4.
Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh bằng 2, có bán kính bằng bao nhiêu?
Một cửa hàng có 5 kiện hàng. Mỗi kiện hàng có 10 gói hàng, mỗi gói hàng có 6 sản phẩm. Hỏi trong 5 kiện hàng đó có tất cả bao nhiêu sản phẩm? (giải bằng 2 cách).
Cách 1: 5 kiện hàng đó có số sản phẩm là:
5.10.6 = 300 (sản phẩm)
Cách 2:
5 kiện hàng có số gói hàng là:
5.10 = 50 (gói)
50 gói hàng có số sản phẩm là:
50.6 = 300 (sản phẩm)
Đáp số: 300 sản phẩm.
Một cửa hàng có 6 hộp bút chì như nhau đựng tổng cộng 144 cây bút chì. Cửa hàng đã bán hết 96 cây bút chì. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu hộp bút chì?
Mỗi hộp đựng số bút chì là:
144 : 6 = 24 (cây)
Cửa hàng đã bán hết số hộp bút chì là:
96 : 24 = 4 (hộp)
Cửa hàng còn lại số hộp bút chì là:
6 – 4 = 2 (hộp)
Đáp số: 2 hộp bút chì.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A.A′B′C′.
Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) = 1cos2x.
∫fxdx=∫1cos2xdx=∫sin2x+cos2xcos2xdx=∫tan2x+1dx=tanx+C
Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) = 1xx+1.
∫fxdx=∫1xx+1dx=∫x+1−xxx+1dx=∫1x−1x+1dx=lnx−lnx+1+C
Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos8x.sinx.
Tìm nguyên hàm của hàm số fx=22x−1.
∫fxdx=∫22x−1dx=∫d2x−12x−1=ln2x−1+C
Tìm nguyên hàm của tan2x.
∫tan2xdx=∫sin2xcos2xdx=−12∫dcos2xcos2x=−12lncos2x+C
Tìm nguyên hàm của – cosx.
∫−cosxdx=−∫cosxdx=−sinx+C
Giải phương trình: sin(8cosx) = 1.
Giải phương trình: sin2x + cosx = 0.
sin2x + cosx = 0
⇔ 2sinxcosx + cosx = 0
⇔ cosx(2sinx + 1) = 0
⇔ cosx=0sinx=−12
⇔ x=π2+kπx=−π6+k2πx=7π6+k2πk∈ℤ.
Giải phương trình: sin2x.cotx = 0.
sin2x.cotx = 0
⇔ 2sinxcosx.cosxsinx=0
⇔ 2cos2x = 0
⇔ cosx = 0
⇔ x=π2+kπk∈ℤ.
Tìm tập xác định của hàm số y = 3x + 2.
Hàm số y = 3x + 2 có tập xác định là D = ℝ.
Tìm tập xác định của hàm số y = log2(3 – 2x).
Hàm số y = log2(3 – 2x) xác định khi 3 – 2x > 0 ⇔ x<32
Vậy tập xác định của hàm số là D=−∞;32.
Tìm tập xác định của hàm số y = logx.
Hàm số y = logx xác định khi x > 0
Vậy tập xác định của hàm số là D = (0; +∞).
Tìm tập xác định của hàm số y=log12x+2.
Hàm số y=log12x+2 xác định khi x + 2 > 0 ⇔ x > – 2.
Vậy tập xác định của hàm số là D = (– 2; +∞).
Tổng độ dài l của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.
l = 4a.
l = 6a.
l = 6.
l = 4.
Chọn B.
Tứ diện đều có 6 cạnh bằng nhau.
Suy ra tổng độ dài l của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a là l = 6a.
Trên giá sách có 8 quyển sách tiếng Anh khác nhau, 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau và 6 quyển sách tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ba quyển sách tiếng khác nhau?
Số cách chọn sách tiếng Anh là: 8 cách.
Số cách chọn sách tiếng Việt là: 10 cách.
Số cách chọn sách tiếng Pháp là: 6 cách.
Vậy số cách chọn 3 quyển sách tiếng khác nhau là: 8.10.6 = 480 (cách).
Trên một hòn đảo đang có 420 con cừu. Sau mỗi năm số lượng cừu trên đảo sẽ tăng thêm 180 con. Hỏi sau 2 năm, trên đảo đó sẽ có tất cả bao nhiêu con cừu?
Sau hai năm số cừu trên đảo sẽ tăng thêm là:
180 × 2 = 360 (con cừu)
Sau 2 năm trên đảo sẽ có tất cả số con cừu là:
420 + 360 = 780 (con cừu)
Đáp số: 780 con cừu.
Giải phương trình: x(x – 2) – x + 2 = 0.
x(x – 2) – x + 2 = 0
x(x – 2) – (x – 2) = 0
(x – 2)(x – 1) = 0
Suy ra x = 2 hoặc x = 1.
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1; 2}.
Giải phương trình: x3 – 4x2 + 12x – 27 = 0.
x3 – 4x2 + 12x – 27 = 0.
x3 – 3x2 – x2 + 3x + 9x – 27 = 0
x2(x – 3) – x(x – 3) + 9(x – 3) = 0
(x – 3)(x2 – x + 9) = 0
⇒ x=3x2−x+9=0
Xét x2−x+9=x−122+354>0 nên x2 – x + 9 = 0 vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 2x2 + x.
x3 + 2x2 + x
= x3 + x2 + x2 + x
= x2(x + 1) + x(x + 1)
= (x + 1)(x2 + x)
= x(x + 1)(x + 1)
= x(x + 1)2
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
= (x + y)3.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 27y3.
x3 – 27y3
= x3 – (3y)3
= (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2).
Phân tích đa thức x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 thành nhân tử.
x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
= x3 – 3.x2.(2y) + 3.x.(2y)2 – (2y)3
= (x – 2y)3.
Giải phương trình: x2 + 2x + 3 = 0.
x2 + 2x + 3 = 0
x2 + 2x + 1 + 2 = 0
(x + 1)2 + 2 = 0 (*)
Ta thấy (x + 1)2 ≥ 0 với ∀x nên (x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0, ∀x
Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8. Khi đó cotB bằng:
43
35
53
34
Tìm tập giá trị của hàm số y = ln(3 – x).
(e; +∞).
(0; +∞).
ℝ.
[e; +∞).
Tập giá trị của hàm số y = ln(3 – x) là ℝ.
Tập nghiệm của bất phương trình 22x < 8 là
−∞;32
32;+∞
(– ∞; 2).
0;32
Chọn A
22x < 8 ⇔ 22x < 23 ⇔ 2x < 3 ⇔ x<32
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là −∞;32.
Tập nghiệm của phương trình 2x+1 = 5 có bao nhiêu phần tử?
3
2
0
1
Chọn D
2x+1 = 5
⇔ x + 1 = log25
⇔ x = log25 – 1
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = log25 – 1.
Tính bằng cách thuận tiện nhất: 36 × 2 × 7 × 5.
36 × 2 × 7 × 5
= (36 × 7) × (2 × 5)
= 252 × 10
= 2520.
Tính bằng cách thuận tiện nhất: 4124 × 6 + 4124 × 4.
4124 × 6 + 4124 × 4
= 4124 × (6 + 4)
= 4124 × 10
= 41240.
Tính bằng hai cách: (75 + 25) : 5.
Cách 1: (75 + 25) : 5
= 100 : 5 = 20
Cách 2: (75 + 25) : 5
= 75 : 5 + 25 : 5
= 15 + 5
= 20
Trong không gian, cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.
Có đúng hai mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.
Có vô số mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.
Không tồn tại mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.
Chọn A
Qua hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng.
Trong không gian cho tứ diện ABCD. Hai đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
BC và AC.
AD và BC.
BD và CD.
BC và AB.
Chọn B
Hai đường thẳng AD và BC không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đó là hai đường thẳng chéo nhau.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 4. Tâm của (S) có tọa độ là:
(– 1; 2; 3).
(2; – 4; – 6).
(– 2; 4; 6)
(1; – 2; – 3).
Chọn D
Ta có (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 4 ⇔ (x – 1)2 + [y – (– 2)]2 + [z – (– 3)]2 = 22.
Do đó, tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là: (1; – 2; – 3).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 2z – 7 = 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng?
Ta có:x2 + y2 + z2 + 2x – 2z – 7 = 0 ⇔ (x + 1)2 + y2 + (z – 1)2 = 9.
Suy ra: (S) có bán kính R=9=3.
Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (Oxy) là:
30°.
60°.
90°.
45°.
Chọn C
Vì Oz ⊥ (Oxy) nên góc giữa trục Oz và mặt phẳng (Oxy) là 90°.
Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Ox và mặt phẳng (Oyz) là:
30°.
60°.
90°.
45°.
Đáp án C
Vì Ox ⊥ (Oyz) nên góc giữa trục Ox và mặt phẳng (Oyz) là 90°.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (Oxy)?
(α): z + 1 = 0.
(β): x + z + 1 = 0.
(γ): y + 1 = 0.
(φ): x + 1 = 0.
Mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 cắt trục Oz tại điểm có tọa độ:
(0; 0; −2).
(3; 5; −1).
(3; 5; 0).
(0; 0; 2).
Chọn A
Giả sử mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 cắt trục Oz tại điểm M (0; 0; a).
Thay tọa độ điểm M(0; 0; a) vào mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 ta có:
3.0 + 5.0 – a – 2 = 0 ⇔ a = – 2.
Vậy M(0; 0; – 2).
Trong không gian Oxyz, trục Oz có một vectơ chỉ phương là?
(0;0;1)
(1;0;1)
(1;0;0)
(0;1;0)
Đường thẳng Oz nhận (0;0;1) làm vectơ chỉ phương.
Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề phủ định sai:
∃x ∈ ℝ: x2 + 4x + 5 = 0.
∀x ∈ ℝ: x2 ≥ x.
∃x ∈ ℚ: x2 = 3.
∃x ∈ ℝ: x2 – 3x + 2 = 0.
Chọn D
Xét đáp án D: Mệnh đề phủ định “D¯: ∀x ∈ ℝ: x2 – 3x + 2 ≠ 0”.
Mệnh đề phủ định này sai vì: với x = 1 hoặc x = 2 thì x2 – 3x + 2 = 0.
Một gói mì cân nặng 80g, mỗi quả trứng cân nặng 30g. Hỏi 3 gói mì và 1 quả trứng cân nặng bao nhiêu gam?
Ba gói mì cân nặng là:
80 x 3 = 240 (g)
Tổng số gam mì và trứng là:
240 + 30 = 270 (g)
Đáp số: 270g.
Một bạn muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong 1 ngày nhất định. Biết rằng trong ngày hôm đó từ tỉnh A đến tỉnh B có 14 chuyến ô tô 5 chuyến tàu. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ A đến B?
Ta có 14 chuyến ô tô đi từ tỉnh A tới tỉnh B ⇒ có 14 cách.
Ta có 5 chuyến tàu đi từ tỉnh A tới tỉnh B ⇒ có 5 cách.
Vậy số sự lựa chọn để đi từ tỉnh A tới tỉnh B là:
14 + 5 = 19 (sự lựa chọn).
Một đường tròn có bán kính 36m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là.
a) 3π4
b) 51°
c) 13
Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 98cm, chiều rộng 30cm được uốn lại thành mặt xung quanh của một thùng đựng nước (chiều cao thùng nước bằng với chiều rộng miếng tôn). Biết rằng chỗ mối ghép mất 2cm. Hỏi thùng đựng được tối đa bao nhiêu lít nước?
22 lít.
24 lít.
26 lít.
28 lít.
Chọn A.
Theo giả thiết ta có: h = 30 cm.
Chu vi đường tròn 2πr = 98 – 2 = 96 ⇒ r=962π=48π.
Thể tích thùng là V = πr2h = π48π2.30≈22000cm3≈22dm3.
Mà 22dm3 = 22 lít nên thùng đựng được tối đa 22 lít nước.
Phương trình đường tròn tâm I(0; 2), bán kính R = 5 là
x2 + (y – 2)2 = 25.
(x – 2)2 + y2 = 25.
x2 + (y – 2)2 = 5.
x2 + (y + 2)2 = 25.
Chọn đáp án A.
Phương trình đường tròn tâm I(0; 2), bán kính R = 5 là:
x2 + (y – 2)2 = 25.
Viết phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất là (d) : x – y = 0.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Biết A, B, C là số thực khác 0, mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là:
Ax + Bz + C = 0.
Ax + By = 0.
By + Az + C = 0.
Ax + By + C = 0.
Chọn B
Trục Oz là giao tuyến của 2 mặt phẳng (Ozx), (Oyz) nên mặt phẳng chứa Oz thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi 2 mặt (Ozx), (Oyz)
⇒ Mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình: Ax + By = 0.
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = |x2 – 2x – 3|.
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 1 và đường thẳng y = 2x + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường trên là:
x3 + 3x2 + 1 = 2x + 1
⇔ x3 + 3x2 – 2x = 0
⇔ x(x2 + 3x – 2) = 0
⇔ x=0x2+3x−2=0
⇔
Vậy phương trình có 3 nghiệm nên đường cong và đường thẳng đã cho có 3 giao điểm.
Tính đạo hàm của hàm số y = 3x.
y' = (3x)' = 3.
Cho tam giác ABC có B^=60°;C^=45°;ΑΒ=5. Tính độ dài cạnh AC và độ lớn của góc A^.
Vì π2<a<π nên cos a < 0
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
Một nhóm công nhân gồm 8 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Tìm số nghịch đảo của số phức z = 3 – 5i?
Số phức nghịch đảo của số phức z = 3 – 5i là: 13−5i=3+5i32−5i2=3+5i9+25=3+5i34=334+534i.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f(x) – 2 = 0 là:
0
3
1
2
Chọn đáp án B
f(x) – 2 = 0 ⇔ f(x) = 2
Dựa vào bảng biến thiên để xét sự tương giao giữa đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng x = 2, ta thấy phương trình có 3 nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình f(x) – 2 = 0 là 3 nghiệm.
Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp gồm 8 phần tử bằng:
A83
38 – 1.
C83
38.
Chọn C
Lấy đúng 3 phần tử của tập hợp gồm 8 phần tử là một tổ hợp chập 3 của 8.
Do đó, số tập con cần tìm là C83.
Viết tập hợp D các thángdương lịch có 30ngày?
Ta đã biết các tháng (dương lịch) có 30 ngày là tháng 4, tháng 6, tháng 9, tháng 11.
Vậy tập hợp các tháng dương lịch có 30 ngày là:
D = {tháng 4; tháng 6; tháng 9; tháng 11}.
Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm.
Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D ta thực hiện các bước sau:
• Bước 1: Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S).
• Bước 2: Lập hệ phương trình dựa vào tính chất IA = IB = IC = ID.
• Bước 3: Giải hệ pt tìm được tâm I, bán kính R = IA.
• Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I bán kính R.
Viết tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 10 bằng 2 cách.
Cách 1: A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.
Cách 2: A={x∈ℕ| x<10}.
Với ba điểm O, A, B tùy ý. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?
OA→−OB→=BA→
OA→−OB→=AB→
OA→+OB→=AB→
OA→+OB→=BA→
Chọn A
Thật vậy: OA→−OB→=OA→+BO→=BA→.
Thực hiện phép tính: 53 : 5.
5303 30 0510,6
Vậy 53 : 5 = 10,6.
Tích của các số chẵn luôn là số gì?
Tích của các số chẵn luôn là một số chẵn.
Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Bí thư và 8 học sinh nam trong đó có Lớp trưởng. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lý:
∃x ∈ ℕ, x2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3.
∃x ∈ ℕ, x2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3.
∀x ∈ ℕ, x2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9.
∃x ∈ ℕ, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12
Chọn D
D sai vì định lý đúng là ∀x ∈ ℕ, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
Gọi số cần tìm có dạng abc¯ với (a, b, c)∈A={1;2;3;4;5; 6}.
Vì abc¯ chia hết cho 2 nên c ⋮ 2 ⇒c ={2;4; 6}⇒ c có 3 cách chọn.
Khi đó a có 5 cách chọn
b có 4 cách chọn
Vậy có tất cả: 3.5.4 = 60 (số).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA.OB.OC = 12. Tính thể tích VOABC?
Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dài có 8 ghế. Tính xác suất sao cho các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau.
Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 8! = 40320
Gọi A là biến cố “các học sinh nam ngồi cạnh nhau”
Ta coi 5 học sinh nam là 1 vị trí X, ta hoán vị vị trí 5 học sinh cho nhau có 5! cách
Khi đó xếp vị trí X và 3 học sinh nữ, hoán vị cho nhau có 4! cách
Vậy n(A) = 5!.4! = 2880
Suy ra: PA=nAnΩ=288040320=114.
Hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai mặt của một khối lập phương cạnh 4 thì có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu?
Bán kính đáy là: r=422=22
Chiều cao hình trụ là: h = 4
Suy ra: Sxq = 2πrh = 2π.22.4=162π.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối chóp S.ABC là?
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x3+y5+z2=1 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là?
(0;5;0).
(0;3;0).
(0; – 1;0).
(0;2;0).
Chọn A.
Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và trục Oy là M.
Vì M thuộc Oy nên xM=0zM=0
Khi đó thay vào (P) ta có: yM5=1⇒yM=5
Vậy M(0;5;0).
Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc trông giống hệt nhau trong đó chỉ có 1 chiếc mở được kho nhưng anh ta không biết là chiếc nào. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa khóa một, chiếc nào được thử thì không thử lại. Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thử thứ 3?
16
27
1481
781
Số cách sử dụng chìa khóa đến lần thử thứ 3 là: n(Ω) = 9.8.7 = 504
Số cách mở cửa được ở lần thứ ba là: 7.6.2 = 84
Xác suất anh ta mở được cửa ở lần thử thứ 3 là: 84504=16.
Tìm họ nguyên hàm của 1cos22x.
∫1cos22xdx=∫sin22x+cos22xcos22xdx=∫1+tan22xdx=12tan2x+C
Trên khoảng (0; +∞), đạo hàm của hàm số y = lnx là:
1x
x
xlnx – x.
1x2
Chọn A
y' = (lnx)' = 1x.
Cho số phức z = 3 – 4i. Số phức nghịch đảo của số phức z là?
Ta có: z−1=1z=13−4i=325+425i
π có phải là số hữu tỉ không?
Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng ab với a, b ∈ ℤ và b ≠ 0 và được kí hiệu là ℚ
Do đó: π không phải là số hữu tỉ.
Tìm hai số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng bằng 254
Gọi hai số chẵn liên tiếp đó là 2k và 2k + 2 (k ∈ ℕ).
Ta có
2k + 2k + 2 = 254
4k + 2 = 254
4k = 252
k = 63
Hai số chẵn cần tìm là
2 . 63 = 126
2 . 63 + 2 = 128
Vậy hai số chẵn cần tìm là 126 và 128.
Tìm hai số mà tổng và hiệu của chúng đều bằng số lớn nhất có ba chữ số
Gọi hai số cần tìm là a và b (a, b ∈ ℤ)
Ta có:
a+b=999a−b=999⇔2a=999+999a−b=999
2a=2.999a−b=999⇔a=999b=0
Vậy hai số cần tìm là 0 và 999.
Trong không gian oxyz, mặt phẳng nào dưới đây không đi qua gốc tọa độ:
3x + y – z = 0
5x + 3y – 3z = 0
x + 7y + z = 0
–x – y + 20 = 0
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng ax + by + cz + d =0, với a, b, c không đồng thời bằng 0.
Khi d = 0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, d ≠ 0 thì mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ.
Vậy đáp án đúng là D.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi, sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau?
Đánh số các vị trí của ghế lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5.
Có 6 cặp vị trí ngồi của An và Dũng để 2 bạn không ngồi cạnh nhau là (1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 4); (2; 5); (3; 5).
Để sắp xếp 2 bạn An và Dũng vào 2 vị trí có 2! cách sắp xếp
Để sắp xếp 3 bạn còn lại vào 3 ghế còn lại có 3! cách sắp xếp.
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là
6.2!.3! = 72 (cách sắp xếp)
Phát biểu định lý tính chất góc ngoài của tứ giác
Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc trong của tứ giác và có thể tính toán bằng cách lấy 360 độ trừ đi tổng các góc trong còn lại của tứ giác.
Tính thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 2a.
Số tổ hợp chập 2 của 5 phần tử bằng:
5
10
15
20
Ta có
C52=5!2!.3!=10
Vậy đáp án đúng là B
Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x−24−x.
TXĐ: x ≠ 4, x ∈ ℝ
Ta có:
limx→∞x−24−x=limx→∞−1+24−x=−1
limx→−∞x−24−x=limx→−∞−1+24−x=−1
Vậy đồ thị hàm số đồ thị hàm số y=x−24−x có 1 tiệm cận ngang là y = –1.
Trong mặt phẳng Oxy, cho A(m–1; 2) ; B(2; 2–2m) ; C(m+3; 3). Tìm giá trị m để A; B; C là ba điểm thẳng hàng?
Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2x−3x+1 với trục tung.
Với x = 0 ta có:
y=2x−3x+1=2.0−30+1=−31=−3
Vậy tung độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2x−3x+1với trục tung là –3.
Cho 2 số phức z1 = a + bi và z2 = a'+ b'i a, b, a', b'∈ℝ. Tính z1.z2.
Ta có:z1.z2 = (a + bi).(a' + b'i) = aa' – bb' + (ab' +a'b)i.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
Số lập được chia hết cho 2 nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (2, 4, 6).
Số lập được có 3 chữ số khác nhau nên có 5 cách chọn chữ số hàng trăm, 4 cách chọn chữ số hàng chục.
Vậy có thể lập được 5.4.3 = 60 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+2x với trục hoành.
Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x
Ta có: y'=sin2x'=2sinx.sinx'=2sinxcosx=sin2x.
Chọn đáp án không đúng:
Hàm số y=sin2x−π4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây
−π8;3π8
−π4;3π4
−π2;π2
−π4;π4
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng là 10 m, chiều dài gấp 10 lần chiều rộng. Tính diện tích mảnh đất đó.
Chiều dài mảnh đất là:
10 × 10 = 100 (m)
Diện tích mảnh đất là:
100 × 10 = 1000 (m2)
Đáp số: 1000 m2
Khai triển biểu thức x−y+22
Số các chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử là
C123
12!3!
12!9!
12! – 3!
Đáp án đúng là C
Số chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử là
A123=12!12−3!=12!9!
Trên bản đồ tỉ lệ 1/50.000, 1 cm tương đương với độ dài bao nhiêu ngoài thực địa?
500 cm trên thực địa
50 cm trên thực địa
5 km trên thực địa
0,5 km trên thực địa
Đáp án đúng là D
Ta có: 50.000 cm = 0,5 km
Vậy trên bản đồ tỉ lệ 1/50.000, 1 cm tương đương với 0,5 km ngoài thực địa?
Tìm GTNN của biểu thức A=x2−6x+11
Tính nhanh giá trị 1022
Với giá trị nào của x thì (x – 2)(x – 3) < 0?
Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 3 < 0
Ta có:
x – 2 > 0 khi x > 2
x – 3 < 0 khi x < 3
Suy ra: 2 < x < 3
Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 3 > 0
Ta có:
x – 2 < 0 khi x < 2
x – 3 > 0 khi x > 3
Không có giá trị x thỏa mãn
Vậy (x – 2)(x – 3) < 0 khi 2 < x < 3
Tìm nguyên hàm của hàm số y=12x
y=12x=2−x
Đặt u = –x, du = –dx nên –du = dx.
Ta có:
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và chia hết cho hai?
Số lập được chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị có 3 cách chọn là 2, 4, 6.
Chữ số hàng trăm có 5 cách chọn (khác chữ số đã chọn ở hàng đơn vị)
Chữ số hàng chục có 4 cách chọn (khác chữ số đã chọn ở hàng đơn vị và hàng trăm)
Vậy số các số có thể lập được là 3 . 5 . 4 = 60 (số).
Chữ số hàng trăm là gì?
Chữ số hàng trăm là chữ số thứ 3 tính từ bên phải của 1 số tự nhiên có nhiều hơn 3 chữ số.
Ví dụ: chữ số hàng trăm của số 1234 là chữ số 2, chữ số hàng trăm của số 12345 là chữ số 3.
Tính nguyên hàm của hàm số y=ln2x
Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để tập hợp con chọn được có tổng các phần tử chia hết cho 3.
Không gian mẫu của phép thử: nΩ=C172
Trường hợp 1: Có 5 số trong tập hợp chia hết cho 3.
Trường hợp 2: Có 6 số trong tập hợp chia cho 3 dư 1.
Trường hợp 3: Có 6 số trong tập hợp chia cho 3 dư 2.
Ta có thể chọn ra 2 số trong trường hợp 1 hoặc 1 số trong trường hợp 2 và 1 số trong trường hợp 3.
Số cách chọn là: C52+C61.C61
Vậy xác suất cần tìm là: PA=C52+C61.C61C172=2368
Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một đa giác đều?
Chọn 3 đỉnh của đa giác đều ta được 1 tam giác.
Vậy số tam giác tạo được là Cn3 tam giác (với n là số đỉnh của đa giác đều).
Phân tích đa thức thành nhân tử: x4−8x
x4−8x=xx3−8=xx3−23=xx−2x2+2x+4
Hiện nay, mẹ hơn con 36 tuổi và tuổi con bằng 14 tuổi mẹ. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi?
Tuổi mẹ hiện nay là:
36 : 34 = 48 (tuổi)
Đáp số: 48 tuổi
Tính đạo hàm của hàm số y=x2+3x+1
y'=2x−3x2
Trung bình cộng của hai số là 220. Hai số đó hơn kém nhau 2 đơn vị. Tìm hai số đó.
Số lớn là:
(220 + 2) : 2 = 111
Số bé là:
220 – 111 = 109
Đáp số: Số lớn là 111
Số bé là 109.
Tính đạo hàm của hàm số y=4x2
y'=4.−2x3=−8x3
Số phức đối là gì?
Cho số phức z = a + bi (a; b ∈ ℝ). Khi đó: –z = –a – bi là số phức đối của z = a + bi Hay z + (–z) = (–z) + z = 0
Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1 + 2cos2x
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA=a2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
2a323
2a32
a323
a32
Tìm đạo hàm của hàm số y=x−1e
y'=ex−1e−1x−1'=ex−1e−1
Tìm đạo hàm của hàm số y=3x+4x2
y'=3+4.−2x3=3−8x3
Tìm tập xác định của hàm số fx=x−1−3
fx=x−1−3=1x−13
DKXD: x ∈ ℝ, x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1
Số nghiệm thực của phương trình 3x2 + 1 = 9 là
1
2
3
4
3x2 + 1 = 9
3x2 = 9 – 1
3x2 = 8
x2=83
x=±83=±263
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực.
Đáp án đúng là B
Tìm đạo hàm của hàm số y=sin2x
y'=2sinxsinx'=2sinxcosx=sin2x
Góc giữa hai trục ox và oz bằng
900
450
600
300
Đáp án đúng là A
Trong hệ trục tọa độ, các trục tọa độ vuông góc với nhau.
Cho cấp số nhân (un) có u3=2 và u6=16 . Số hàng thứ 10 của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng căn 3 độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
2a
2a
10a
D, 4a
Đáp án đúng là B
Độ dài đường sinh là:
l=r2+h2=a2+3a2=2a
Tìm đạo hàm của hàm số y=9x
y'=9lnx
Tìm GTLN của hàm số y=7cos2x−2sin2x
Số chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử bằng
C63
6!3!
6!2
6! – 3!
Đáp án đúng là B
Số chỉnh hợp chập 3 của 6 là A63=6!6−3!=6!3!
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + 2x với trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm:
x2 + 2x = 0 hay x(x + 2) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = –2
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + 2x với trục hoành là 2.
Khai triển biểu thức (x1 – x2)2
(x1 – x2)2 = x12 – 2x1x2 + x22
Tính kết quả phép tính 2912 : 28.
2912 : 28 = 104.
Một xuồng máy đi trong nước yên lặng với vận tốc 30km/h. Khi xuôi dòng từ A đến B mất 2h và khi ngược dòng từ B đến A mất 3h. Hãy tính vận tốc dòng nước đối với bờ sông và quãng đường AB.
Theo bài ra ta có vận tốc của xuồng máy là 30 km/h
Gọi vận tốc của dòng nước là v (km/h) ( v > 0)
Ta có vận tốc của đi xuôi dòng là 30 + v
Vận tốc khi đi ngược dòng là 30 – v
Vì người này cùng đi trên một quãng đường AB nên ta có:
AB = 2(30 + v) (1)
AB = 3(30 – v) (2)
Từ (1) và (2) ta có pt như sau:
2(30 + v) = 3(30 – v)
60 + 2v = 90 – 3v
5v = 30
v = 6 (km/h)
Do đó AB = 2 . (30 + v) = 2 . (30 + 6) = 72 (km)
Vậy vận tốc của dòng nước so với bờ sông là 6km/h và quãng đường AB dài là 72km
Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a biết tan a = 2
Giá trị của limx→+∞x−1 là
0
1
+∞
–∞
Đáp án đúng là C
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos2x
Tính nguyên hàm của hàm số y=ln2x
Tính chu vi hình chữ nhật có chiều dài 45cm và chiều rộng 20cm.
Chu vi hình chữ nhật đó là:
(45 + 20) × 2 = 130 (cm)
Đáp án: 130 cm
Số dư trong phép chia 53 chia 5 là
1
2
3
4
Đáp án đúng là C
Rút gọn biểu thức A=23−1−23+1
Cho 7π4<α<2π. Nhận xét nào sau đây là đúng?
tan α > 0
cot α > 0
cos α > 0
sin α > 0
Đáp án đúng là C
Do 7π4<α<2π nên 3π2+π4<α<2π nên α thuộc cung phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là C.
Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó lấy được từ các đỉnh của một lục giác đều?
Số tam giác mà ba đỉnh của nó lấy được từ các đỉnh của một lục giác đều là C63=20 (tam giác).
Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1 + 2cos2x
Cho tập hợp M gồm 4 phần tử, số tập hợp con gồm 3 phần tử của M là
1
2
3
4
Đáp án đúng là D
Gọi 4 tập con của M là : a , b, c, d
M có các tập con có 3 phần tử là :
{ a , b ,c }
{ a , b , d }
{ a , c , d }
{ b ,c ,d }
Vậy M có 4 tập hợp con có 3 phần tử.
Tìm đạo hàm của hàm số y=x−3
y'=−3x−4=−3x4
Năm 1225 thuộc thế kỷ thứ mấy?
Năm 1225 thuộc thế kỷ XIII.
Tìm đạo hàm của hàm số y=sin2x
y'=2sinxsinx'=2sinxcosx=sin2x
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 18 m, chiều dài hơn chiều rộng 5m. Tính chu vi và diện tích mảnh vườn đó.
Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật đó là:
18 – 5 = 13 (m)
Chu vi của mảnh vườn đó là:
(18 + 13) × 2 = 62 (m)
Diện tích của mảnh vườn đó là:
18 × 13 = 234 (m2)
Đáp số: Chu vi: 62 m
Diện tích: 234 m2
Thực hiện phép chia 53 cho 5.
Phép chia 53 cho 5 có số bị chia 53, số chia 5, thương số 10 và số dư là 3.
Tìm nguyên hàm của hàm số y=1sin2x
∫1sin2xdx=−cotx+C
Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của 1 lục giác đều?
Số tam giác mà 3 đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của 1 lục giác đều là C63=20 tam giác.
Tính kết quả của phép chia 2912 : 18
2912 : 18 = 104
Chứng minh a+bb=c+dd biết ab=cd.
Ta có:
ab=cd=k⇒a=bk,c=dk
a+bb=bk+bb=bk+1b=k+1
c+dd=dk+dd=dk+1d=k+1
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
Vì các vị trí cần xếp thuộc 1 bàn tròn nên ta cố định 1 người, xếp 3 người còn lại.
Có 3! = 6 (cách xếp)
Tìm đạo hàm của hàm số y=1cos2x
y'=−2cosx'cos3x=−2sinxcos3x=−2tanxcos2x
Tìm đạo hàm của hàm số y=4x2
y'=4.−2x3=−8x3
Tìm đạo hàm của hàm số y=x44
y'=4x34=x3
Tìm đạo hàm của hàm số y=sin2x
y'=2sinxsinx'=2sinxcosx=sin2x
Tìm đạo hàm của hàm số y=sin3x
y'=3sin2xsinx'=3sin2xcosx
Tìm nguyên hàm của hàm số y=1x
Ký hiệu tập nghiệm của phương trình vô nghiệm là gì?
S = ∅
Tính limn→+∞n+2
limn→+∞n+2=+∞
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos2x
Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ?
Số cách chọn thỏa mạn yêu cầu đề bài là 6.4=24 (cách chọn)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1, 0, 0), B(0; –2, 0), C(0, 0, 3). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C là
6x – 3y + 2z = 0
6x + 3y + 2z – 6 = 0
6x + 3y + 2z + 6 = 0
6x – 3y + 2z – 6 = 0
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0; –2, 0), C(0, 0, 3) là: x1+y−2+z3=1⇔6x−3y+2z−6=0
Đáp án đúng là D.
Từ các chữ số 0 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn (trừ chữ số 0)
Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm
Có 3 cách chọn chữ số hàng chục
Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Vậy số các số có thể lập được là 4.4.3.2 = 96 (số)
Năm nay 17 tuổi bố bằng 12 tuổi con. Biết bố hơn con 30 tuổi. Tính tuổi của bố.
Tìm nguyên hàm của hàm số y=1x2
Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng
30°
45°
C, 60°
90°
Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều?
Số tam giác tạo được là C63=20 (tam giác)
Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1 + 2cos2x
