67 bài tập Căn thức và các phép toán căn thức có lời giải

Chọn C
Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3 vì 3²=9 và(-3)²=9.

Chọn B
Ta thấy: \[{\left( {\frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{1}{{81}},{\left( { - \frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{1}{{81}}\]

Chọn B
Căn bậc hai số học của một số luôn phải là số dương, số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2. Vậy 2 là căn bậc 2 số học của 4

Chọn B
Ta thấy: \[{( - 5)^3} = - 125\]

Chọn D

Chọn A
Số âm không có căn bậc hai.

CHỌN A

Chọn D
Ta có: \[{\left( {\sqrt[3]{{ - 11,35}}} \right)^3} = - 11,35 > {\left( {\sqrt[3]{{ - 13,12}}} \right)^3} = - 13,12\]=> A đúng
B,C đều đúng do tính chất căn bậc hai và căn bậc ba của số thức
Ta có: \[\sqrt[3]{{27\frac{1}{4}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}} < 3\]. => D sai

Chọn A
Ta thấy: mọi số thực đều có căn bậc 3 nên D sai
\[{\left( {\sqrt {0,48} } \right)^2} = 0,48 < 0,{7^2} = 0,49\] => B sai
\[\left( {2 - \sqrt[3]{3}} \right)\left( {2 + \sqrt[3]{3}} \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^2} = 4 - 3 = 1\]=> C sai
\[{\left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2} = \frac{3}{4} < {\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} } \right)^2} = \frac{4}{3}\]=> A đúng

Chọn C
Ta có: Mỗi số thực dương đều có hai căn bậc hai => A sai
Số âm không có căn bậc hai > B sai
Căn bậc ba của một số âm là số âm => D sai

Chọn B
Ta có:
\[{\left( { - 10} \right)^3} = - 1000 < {\left( {\sqrt[3]{{ - 999}}} \right)^3} = - 999\]=> A đúng.
\[\left( {\sqrt 7 - 1} \right)\left( {\sqrt 7 + 1} \right) = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - {1^2} = 7 - 1 = 6\]=> C đúng
Căn bậc hai của 16 là 4 => D đúng
\[(\sqrt[3]{2} + 1)[{(\sqrt[3]{2})^2} - \sqrt[3]{2} + 1] = \] \[{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} - {1^3} = 2 - 1 = 1\]=> B sai

Chọn B
\[{x^2}\]=25 \[x = 5\] hoặc \[x = - 5\]vì \[{5^2} = 25\] và \[{\left( { - 5} \right)^2} = 25\]

Chọn A
Ta thấy: \[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\]

Chọn B
Ta có: \[{3^2} = 9 > {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\] => A đúng
C, D đúng theo lý thuyết căn bậc hai
.\[{11^2} = 121 > {\left( {\sqrt {99} } \right)^2} = 99\]=> B sai

Chọn C
Áp dụng công thức khoảng cách đề bài
Khoảng cách giữa Trái Đất và mặt trời là: d= \[\sqrt[3]{{{{6.365}^2}}} \approx 92,8\] triệu dặm

Chọn C

Cạnh của hình vuông = \[\sqrt {0,0144} = 0,12\]cm

Chọn D
Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\[\left( {\sqrt[3]{3} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} \right) = {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^3} + {1^3} = 3 + 1 = 4\]

Chọn C
Ta có: \[\sqrt x < 7 = > {\left( {\sqrt x } \right)^2} < {7^2} \Leftrightarrow x < 49\]
Vì x nguyên và x ≥ 0 => S = { 0; 1; 2;.; 48}
Tập S có 49 phần tử

Chọn B

Ta thấy: OB có độ dài là 1 => S_BOC = \[\frac{1}{2}\]. OC. 1 = 4 => OC = 8

Mà C nằm tren trục Ox => C ( 8,0)

Ta lại có: C là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống Ox => x_A = x_C = 8

Vì A thuộc độ thị hàm số \[y = \sqrt {x + 1} \] => \[{y_A} = \sqrt {{x_A} + 1} = \sqrt {8 + 1} = \sqrt 9 = 3\]

Chọn C
Áp dụng định lý Py- Ta- Go ta có:
\[\begin{array}{l}{x^2} + 1,{3^2} = {2^2}\\{x^2} = {2^2} - 1,{3^2} = 2,31\\ \Rightarrow x = \sqrt {2,31} \approx 1,5m\end{array}\]

Chọn A
Căn bậc hai của \(6\)là số \(36\) vì \({6^2} = 36\).

Chọn D
\(\sqrt {36} .\sqrt {64} = 6.8 = 48\)

Chọn C
\[\frac{{\sqrt {99} }}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {\frac{{99}}{{11}} = } \sqrt 9 = 3\].

Chọn D
Ta có \(\frac{{15}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{15.\sqrt 5 }}{5} = 3\sqrt 5 \).

Chọn D
Ta có \(N = \frac{{\sqrt {50} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} < 5 = M\).
Vậy \(M > N\).

Chọn C
Ta có \(\sqrt {125} - \sqrt {80} + \sqrt {20} \)\( = 5\sqrt 5 - 4\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 3\sqrt 5 \).

Chọn A
\(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \frac{1}{5}\sqrt {\frac{3}{5}} = \frac{1}{5}\sqrt {\frac{{3.5}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\).

Chọn C
\(\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\).

Chọn A
\(\frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }} = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt {10} + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}\)\( = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{3} = \sqrt {10} - \sqrt 7 \).

Chọn B
Giá trị của biểu thức \(4\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} + 5\sqrt {\frac{9}{{25}}} = 4\sqrt {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}} + 5\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} \)\( = 4.\frac{5}{4} + 5.\frac{3}{5} = 5 + 3 = 8\).

Chọn B
Với \(\sqrt 3 - 1 > 0\). Ta có: \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} + 1\)\( = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| + 1\)\( = \sqrt 3 - 1 + 1 = \sqrt 3 \).

Chọn C
Ta có \(\sqrt {9 - 4\sqrt[{}]{5}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 2} \right| = \sqrt 5 - 2\) do \(\sqrt 5 > 2\).

Chọn A
Ta có \(A = \frac{{\sqrt {45} + \sqrt 5 }}{{\sqrt {125} - \sqrt {80} }} = \frac{{3\sqrt 5 + \sqrt 5 }}{{5\sqrt 5 - 4\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = 4\)
Khi đó \(3A = 3.4 = 12\).

Chọn D
Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)\)
\( = 10 + \sqrt {10} + 6\sqrt {10} + 6 - 4 - \sqrt {10} - 6\sqrt {10} - 15\)
\( = - 3\)

Chọn D
Ta có: \(9 - 4\sqrt 5 = {\left( {2 - \sqrt 5 } \right)^2};9 + 4\sqrt 5 = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2}\)
\(N = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| + \left| {2 + \sqrt 5 } \right| = 2\sqrt 5 \)

Chọn D
Đặt \(x = \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + ...... + \sqrt 4 } } } \). Ta có: \(x > 0\).
Khi đó: \({x^2} = 4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + .... + \sqrt 4 } } } } \)\( \Rightarrow {x^2} = 4 + x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 0\).
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 17 > 0\)\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{2}\).
Vì \(x > 0\) suy ra \(x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}\).

Chọn C
Đổi \(v = 54\,\,(km/h)\,\, = 15\,\,(m/s)\). Thay vào công thức \(v = 5\sqrt I \), ta được: \(5\sqrt I = 15\,\,suy\,\,ra\,\,\sqrt I = 3,\,\,I = 9\,\,(m)\)
Vậy đường sóng nước để lại sau đuôi chiếc cano dài 9m.\(\)

Chọn A
Với \(a \ge 0\). Ta có: \(\sqrt {49{a^2}} + 3a = \sqrt {{{\left( {7a} \right)}^2}} + 3a = \left| {7a} \right| + 3a\)\( = 7a + 3a = 10a\).

Chọn B
Biểu thức \[2{b^2}\sqrt {\frac{{{a^4}}}{{4{b^2}}}} = 2{b^2}\left| {\frac{{{a^2}}}{{2b}}} \right| = 2{b^2}.\frac{{{a^2}}}{{2b}} = {a^2}b\] với \(b > 0\)

Chọn C
Biểu thức \(Z = \sqrt[3]{{3 - x}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\)xác định khi: \(x - 1 > 0\,\,hay\,\,x > 1\)

Chọn A
Điều kiện xác định:
\(\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\\2x + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 3\\x \ne - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)

Chọn D
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 2\sqrt {x - 1} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\(x - 1) - 2\sqrt {x - 1} + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)

Chọn C
Ta có: \(\sqrt {9{a^2}({b^2} + 4 - 4b)} = \sqrt {{{(3a)}^2}.{{(b - 2)}^2}} = 3\left| a \right|.\left| {b - 2} \right|\)
Thay \(a = 2\) và \(b = - \sqrt 3 \) vào biểu thức ta được:
\(3\left| a \right|.\left| {b - 2} \right| = 3.\left| 2 \right|.\left| { - \sqrt 3 - 2} \right| = 3.2.\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 6\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)

Chọn C
Ta cón biểu thức: \(\frac{{ - 3}}{{10 - 5x}}\) có căn bậc hai khi: \(\left\{ \begin{array}{l}10 - 5x \ne 0\\\frac{{ - 3}}{{10 - 5x}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 10 - 5x < 0 \Leftrightarrow - 5x < - 10 \Leftrightarrow x > 2\)

Chọn C
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5\sqrt x - 7 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5\sqrt x \ge 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x \ge \frac{7}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{{49}}{{25}}\)

Chọn D
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 \ge 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x - 2)(x - 3) \ge 0\\(x - 2)(x + 2) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\\x \ne \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 2,x \ge 3,x \ne - 2\)

Chọn A
Ta có: \(\left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\1 - x\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
*) Với \(x \ge 1\), ta có:
\(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} = \sqrt {x - 1 - 3} = \sqrt {x - 4} \)có nghĩa khi: \(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)(nhận).
*) Với \(x < 1\), ta có:
\(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} = \sqrt {1 - x - 3} = \sqrt { - x - 2} \)có nghĩa khi: \( - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 2\)(nhận)
Suy ra \(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} \) có nghĩa khi: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le - 2\end{array} \right.\)

Chọn D
\(B = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt 3 = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt 3 = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 2\)

Chọn C
\(\sqrt {{{(3 - 2x)}^2}} = \left| {3 - 2x} \right|\)

Chọn C
\(A = \sqrt {64{a^2}} + 2a = \left| {8a} \right| + 2a = 8a + 2a = 10a\) ( vì \(a \ge 0\))

Chọn D
\[\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} = \frac{{\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{y^2}} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| x \right|}}{{{y^2}}} = \frac{x}{{{y^2}}}\] (vì \(x > 0;\,y \ne 0\))

Chọn C
\[\frac{{\sqrt {32{a^2}} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{32{a^2}}}{2}} = \sqrt {16{a^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2}} = \left| {4a} \right| = - 4a\] (vì \[a < \,0\])

Chọn A
\(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \sqrt {\frac{{3\,.5\,}}{{25.5.5}}} = \sqrt {\frac{{15}}{{{{25}^2}}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\)

Chọn A
\(\frac{5}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{5\,.\,\,\sqrt 3 }}{{2\,.\,{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\)

Chọn B
\(\frac{6}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \frac{{6\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{6\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{2} = 3\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\)

Chọn C
\(\sqrt {0,36{{\left( {a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {0,6} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2}} = 0,6\,.\,\left| {a - 1} \right| = 0,6\left( {1 - a} \right)\) (vì \[a < \,1\])

Chọn A
\(\sqrt {25\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} = \sqrt {{5^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = 5\,.\,\left| {x - 2} \right| = 5\left( {x - 2} \right)\) (vì \(x \ge 2\))

Chọn A
Ta có: \(2y\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} = 2y\sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right)}^2}} = 2y\left| {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right|\)
Vì \(y < 0\) nên \(\frac{{{x^2}}}{{2y}} < 0 \Rightarrow \left| {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right| = \frac{{ - {x^2}}}{{2y}}\). Do đó \(2y\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} = 2y.\left( {\frac{{ - {x^2}}}{{2y}}} \right) = - {x^2}\).

Chọn C
Với \[y\, > \,0\], ta có: \[\frac{{\sqrt {63{y^3}} }}{{\sqrt {7y} }}\, = \,\sqrt {\frac{{63{y^3}}}{{7y}}} \, = \,\sqrt {9{y^2}} \, = \sqrt {{{(3y)}^2}\,} \, = \,\left| {3y} \right|\, = 3y\].

Chọn D
Vì \[x > 0;y > 0\] nên \[xy > 0\].
Từ đó ta có \[xy\sqrt {\frac{4}{{{x^2}{y^2}}}} = xy.\frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {{x^2}{y^2}} }} = xy.\frac{2}{{xy}} = 2\].

Chọn D
Ta có \[\frac{3}{{6 + \sqrt {3a} }} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{\left( {6 + \sqrt {3a} } \right)\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{{6^2} - {{\left( {\sqrt {3a} } \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{36 - 3a}} = \frac{{6 - \sqrt {3a} }}{{12 - a}}\].

Chọn C
Ta có \[\sqrt {4{x^2}\left( {{y^2} + 6y + 9} \right)} \]\[ = \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2}{{\left( {y + 3} \right)}^2}} = \left| {2x} \right|.\left| {y + 3} \right|\].
Thay \(x = 2;\,y = - \sqrt 7 \) vào biểu thức \(\left| {2x} \right|.\left| {y + 3} \right|\) ta được
\(\left| {2.2} \right|.\left| { - \sqrt 7 + 3} \right| = 4\left| {3 - \sqrt 7 } \right|\)\( = 4\left( {3 - \sqrt 7 } \right)\).

Chọn D
Với \(x \ge 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {25\left( {x - 1} \right)} = 10\\5\sqrt {x - 1} = 10\\\sqrt {x - 1} = 2\\x - 1 = 4\\x = 5(TM)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5\).

Chọn B
Ta có \[\sqrt {27x} - \sqrt {48x} + 4\sqrt {75x} + \sqrt {243x} \] \[ = \sqrt {9.3x} - \sqrt {16.3x} + 4\sqrt {25.3x} + \sqrt {81.3x} \]
\[ = \sqrt {{3^2}.3x} - \sqrt {{4^2}.3x} + 4\sqrt {{5^2}.3x} + \sqrt {{9^2}.3x} \]
\[ = 3\sqrt {3x} - 4\sqrt {3x} + 4.5\sqrt {3x} + 9\sqrt {3x} = \sqrt {3x} (3 - 4 + 20 + 9) = 28\sqrt {3x} \]

Chọn B
\(A = \frac{1}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 5 }}\)\( = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\( = \frac{{3 - \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)\( = \frac{6}{{9 - 5}}\)\( = \frac{3}{2}\).
Khi đó: \(2Ax + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2.\frac{3}{2}.x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = - 1\).

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)\(\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \)Ư\[\left( 3 \right)\] \(\left( 1 \right)\) và \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (2)\)
\((1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \{ 1;3\} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16{\mkern 1mu} \\x = 36{\mkern 1mu} \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Nhận thấy \(x = 16;x = 36\) vẫn thỏa mãn \(\left( 2 \right)\)
Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì \(P\) nguyên dương.

Ta có \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\)
Xét \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được: \(C \ge 2\sqrt 2 \)
Dấu xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\) (thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = 2.\)