Đề thi
67 bài tập Căn thức và các phép toán căn thức có lời giải
AdminToánÔn vào 1085 lượt thi
67 câu hỏi
1. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Căn bậc hai của 9 là:
3
\(\sqrt 3 \)
3 và -3
-3
Xem đáp án
Chọn C
Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3 vì 32=9 và(-3)2=9.
Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3 vì 32=9 và(-3)2=9.
2. Trắc nghiệm
• 1 điểm
\[\frac{1}{9}\] và \[ - \frac{1}{9}\]là căn bậc hai của số nào trong các số dưới đây:
\(\frac{1}{3}\)
\(\)\(\frac{1}{{81}}\)
\( - \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{{18}}\)
Xem đáp án
Chọn B
Ta thấy: \[{\left( {\frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{1}{{81}},{\left( { - \frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{1}{{81}}\]
Ta thấy: \[{\left( {\frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{1}{{81}},{\left( { - \frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{1}{{81}}\]
3. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Căn bậc hai số học của 4 là:
2 và -2
2
-2
16
Xem đáp án
Chọn B
Căn bậc hai số học của một số luôn phải là số dương, số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2. Vậy 2 là căn bậc 2 số học của 4
Căn bậc hai số học của một số luôn phải là số dương, số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2. Vậy 2 là căn bậc 2 số học của 4
4. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Căn bậc ba của -125 là:
5
\(\)-5
25
5 và -5
Xem đáp án
Chọn B
Ta thấy: \[{( - 5)^3} = - 125\]
Ta thấy: \[{( - 5)^3} = - 125\]
5. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Điều kiện xác định của biểu thức \[\sqrt[3]{a}\] là:
\(a > 0\)
\(\)\(a \ge 0\)
\(a \in \mathbb{Z}\)
\(a \in \mathbb{R}\)
Xem đáp án
Chọn D
6. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Điều kiện xác định của biểu thức \[\sqrt a \] là:
\(a > 0\)
\(\)\(a \ge 0\)
\(a \in \mathbb{Z}\)
\(a \in \mathbb{R}\)
Xem đáp án
Chọn A
Số âm không có căn bậc hai.
Số âm không có căn bậc hai.
7. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị của \[\sqrt[3]{{ - 0,125}}\]
-0,5
\(\)0,5
-0,125 < 0 nên không tính được
0,25
Xem đáp án
CHỌN A
8. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khoanh vào khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây:
\[\sqrt[3]{{ - 11,35}} > \sqrt[3]{{ - 13,12}}\]
\(\)Nếu a < b thì \[\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\](a, b là số thực)
Nếu a > b thì \[\sqrt a > \sqrt b \](a,b )
\[3 > \sqrt[3]{{27\frac{1}{4}}}\]
Xem đáp án
Chọn D
Ta có: \[{\left( {\sqrt[3]{{ - 11,35}}} \right)^3} = - 11,35 > {\left( {\sqrt[3]{{ - 13,12}}} \right)^3} = - 13,12\]=> A đúng
B,C đều đúng do tính chất căn bậc hai và căn bậc ba của số thức
Ta có: \[\sqrt[3]{{27\frac{1}{4}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}} < 3\]. => D sai
Ta có: \[{\left( {\sqrt[3]{{ - 11,35}}} \right)^3} = - 11,35 > {\left( {\sqrt[3]{{ - 13,12}}} \right)^3} = - 13,12\]=> A đúng
B,C đều đúng do tính chất căn bậc hai và căn bậc ba của số thức
Ta có: \[\sqrt[3]{{27\frac{1}{4}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}} < 3\]. => D sai
9. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khoanh vào khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
\[\sqrt {\frac{4}{3}} > \sqrt {\frac{3}{4}} \]
\[\sqrt {0,48} > 0,7\]
\[(2 + \sqrt 3 )(2 - \sqrt 3 ) = - 1\]
Số âm không có căn bậc 3
Xem đáp án
Chọn A
Ta thấy: mọi số thực đều có căn bậc 3 nên D sai
\[{\left( {\sqrt {0,48} } \right)^2} = 0,48 < 0,{7^2} = 0,49\] => B sai
\[\left( {2 - \sqrt[3]{3}} \right)\left( {2 + \sqrt[3]{3}} \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^2} = 4 - 3 = 1\]=> C sai
\[{\left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2} = \frac{3}{4} < {\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} } \right)^2} = \frac{4}{3}\]=> A đúng
Ta thấy: mọi số thực đều có căn bậc 3 nên D sai
\[{\left( {\sqrt {0,48} } \right)^2} = 0,48 < 0,{7^2} = 0,49\] => B sai
\[\left( {2 - \sqrt[3]{3}} \right)\left( {2 + \sqrt[3]{3}} \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^2} = 4 - 3 = 1\]=> C sai
\[{\left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2} = \frac{3}{4} < {\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} } \right)^2} = \frac{4}{3}\]=> A đúng
10. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
Mỗi số dương có đúng một căn bậc hai
Số âm và số dương đều có căn bậc 2
Số âm và số dương đều có căn bậc 3
Căn bậc ba của một số âm là số dương
Xem đáp án
Chọn C
Ta có: Mỗi số thực dương đều có hai căn bậc hai => A sai
Số âm không có căn bậc hai > B sai
Căn bậc ba của một số âm là số âm => D sai
Ta có: Mỗi số thực dương đều có hai căn bậc hai => A sai
Số âm không có căn bậc hai > B sai
Căn bậc ba của một số âm là số âm => D sai
11. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau:
\[ - 10 < \sqrt[3]{{ - 999}}\]
\[(\sqrt[3]{2} + 1)[{(\sqrt[3]{2})^2} - \sqrt[3]{2} + 1] = - 3\]
\[(\sqrt 7 - 1)(\sqrt 7 + 1) = 6\]
Căn bậc hai số học của 16 là 4
Xem đáp án
Chọn B
Ta có:
\[{\left( { - 10} \right)^3} = - 1000 < {\left( {\sqrt[3]{{ - 999}}} \right)^3} = - 999\]=> A đúng.
\[\left( {\sqrt 7 - 1} \right)\left( {\sqrt 7 + 1} \right) = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - {1^2} = 7 - 1 = 6\]=> C đúng
Căn bậc hai của 16 là 4 => D đúng
\[(\sqrt[3]{2} + 1)[{(\sqrt[3]{2})^2} - \sqrt[3]{2} + 1] = \] \[{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} - {1^3} = 2 - 1 = 1\]=> B sai
Ta có:
\[{\left( { - 10} \right)^3} = - 1000 < {\left( {\sqrt[3]{{ - 999}}} \right)^3} = - 999\]=> A đúng.
\[\left( {\sqrt 7 - 1} \right)\left( {\sqrt 7 + 1} \right) = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - {1^2} = 7 - 1 = 6\]=> C đúng
Căn bậc hai của 16 là 4 => D đúng
\[(\sqrt[3]{2} + 1)[{(\sqrt[3]{2})^2} - \sqrt[3]{2} + 1] = \] \[{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} - {1^3} = 2 - 1 = 1\]=> B sai
12. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm nghiệm của phương trình sau: \[{x^2} = 25\]
\(x = 5\)
\(x = 5;x = - 5\)
\(x = - 5\)
\(x = 25\)
Xem đáp án
Chọn B
\[{x^2}\]=25
\[{x^2}\]=25
\[x = 5\] hoặc \[x = - 5\]vì \[{5^2} = 25\] và \[{\left( { - 5} \right)^2} = 25\]
13. Trắc nghiệm
• 1 điểm
\[\frac{3}{4}\] là căn bậc hai số học của số nào dưới đây:
\[\frac{9}{{16}}\]
\[ - \frac{9}{{16}}\]
\[\frac{6}{8}\]
\[ - \frac{6}{8}\]
Xem đáp án
Chọn A
Ta thấy: \[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\]
Ta thấy: \[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\]
14. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khẳng định nào sau đây sai:
\[3 > 2\sqrt 2 \]
\[11 < \sqrt {99} \]
Căn hai số học của của
Luôn tồn tại căn bậc hai một số luôn là số dương của một số thực dương
Xem đáp án
Chọn B
Ta có: \[{3^2} = 9 > {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\] => A đúng
C, D đúng theo lý thuyết căn bậc hai
.\[{11^2} = 121 > {\left( {\sqrt {99} } \right)^2} = 99\]=> B sai
Ta có: \[{3^2} = 9 > {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\] => A đúng
C, D đúng theo lý thuyết căn bậc hai
.\[{11^2} = 121 > {\left( {\sqrt {99} } \right)^2} = 99\]=> B sai
15. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Định luật thứ ba của Kepler về sự chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời cho biết khoảng cách trung bình d ( triệu dặm ) từ một hành tinh quay xung quanh Mặt Trời được tính bởi công thức: d= \[\sqrt[3]{{6{t^2}}}\] với t( ngày Trái Đất ) là thời gian hành tinh đó quay quanh Mặt trời đúng một vòng. Hỏi Trái Đất cách Mặt Trời bao xa biết Trái Đất ngay một vòng quanh Mặt Trời trong khoảng 365 ngày ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất )
92,1
92,08
92,8
92,008
Xem đáp án
Chọn C
Áp dụng công thức khoảng cách đề bài
Khoảng cách giữa Trái Đất và mặt trời là: d= \[\sqrt[3]{{{{6.365}^2}}} \approx 92,8\] triệu dặm
Áp dụng công thức khoảng cách đề bài
Khoảng cách giữa Trái Đất và mặt trời là: d= \[\sqrt[3]{{{{6.365}^2}}} \approx 92,8\] triệu dặm
16. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Một hình vuông có diện tích 0,0144 cm2. Cạnh của hình vuông đó dài:
0,12 m
0,06 cm
0,12 cm
0,06 m
Xem đáp án
Chọn C
Cạnh của hình vuông = \[\sqrt {0,0144} = 0,12\]cm
17. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết quả thu gọn của biểu thức \[(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)\] là:
\[\sqrt[3]{3}\]
1
9
4
Xem đáp án
Chọn D
Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\[\left( {\sqrt[3]{3} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} \right) = {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^3} + {1^3} = 3 + 1 = 4\]
Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\[\left( {\sqrt[3]{3} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} \right) = {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^3} + {1^3} = 3 + 1 = 4\]
18. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Gọi S là tập các giá trị nguyên của x thỏa mãn biểu thức \(\sqrt x < 7\). Số phần tử của tập S là:
48
35
49
50
Xem đáp án
Chọn C
Ta có: \[\sqrt x < 7 = > {\left( {\sqrt x } \right)^2} < {7^2} \Leftrightarrow x < 49\]
Vì x nguyên và x ≥ 0 => S = { 0; 1; 2;.; 48}
Tập S có 49 phần tử
Ta có: \[\sqrt x < 7 = > {\left( {\sqrt x } \right)^2} < {7^2} \Leftrightarrow x < 49\]
Vì x nguyên và x ≥ 0 => S = { 0; 1; 2;.; 48}
Tập S có 49 phần tử
19. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Điểm A (x,y) thuộc đồ thị hàm số trên sao cho tam giác COB có diện tích là 4 ( biết C là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống trục Ox). Giá trị của y là:
2
3
4
5
Xem đáp án
Chọn B
Ta thấy: OB có độ dài là 1 => SBOC = \[\frac{1}{2}\]. OC. 1 = 4 => OC = 8
Mà C nằm tren trục Ox => C ( 8,0)
Ta lại có: C là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống Ox => xA = xC = 8
Vì A thuộc độ thị hàm số \[y = \sqrt {x + 1} \] => \[{y_A} = \sqrt {{x_A} + 1} = \sqrt {8 + 1} = \sqrt 9 = 3\]
20. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Một cái thang dựa vào tường như hình bên dưới. Tìm khoảng cách từ chân thang tới góc tường biết thang dài 2m và tường cao 1,3m
2,13 m
1,98 m
1,5 m
1,3 m
Xem đáp án
Chọn C
Áp dụng định lý Py- Ta- Go ta có:
\[\begin{array}{l}{x^2} + 1,{3^2} = {2^2}\\{x^2} = {2^2} - 1,{3^2} = 2,31\\ \Rightarrow x = \sqrt {2,31} \approx 1,5m\end{array}\]
Áp dụng định lý Py- Ta- Go ta có:
\[\begin{array}{l}{x^2} + 1,{3^2} = {2^2}\\{x^2} = {2^2} - 1,{3^2} = 2,31\\ \Rightarrow x = \sqrt {2,31} \approx 1,5m\end{array}\]
21. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm số \(x\) không âm thỏa mãn \(\sqrt x = 6\)
\(36\)
\(6\)
\(12\)
\(3\)
Xem đáp án
Chọn A
Căn bậc hai của \(6\)là số \(36\) vì \({6^2} = 36\).
Căn bậc hai của \(6\)là số \(36\) vì \({6^2} = 36\).
22. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết quả của phép tính\(\sqrt {36} .\sqrt {64} \) là
\(36\)
\(6\)
\(8\)
\(48\)
Xem đáp án
Chọn D
\(\sqrt {36} .\sqrt {64} = 6.8 = 48\)
\(\sqrt {36} .\sqrt {64} = 6.8 = 48\)
23. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết quả của phép tính \(\frac{{\sqrt {99} }}{{\sqrt {11} }}\) là
\(9\)
\(11\)
\(3\)
\(\sqrt 3 \)
Xem đáp án
Chọn C
\[\frac{{\sqrt {99} }}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {\frac{{99}}{{11}} = } \sqrt 9 = 3\].
\[\frac{{\sqrt {99} }}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {\frac{{99}}{{11}} = } \sqrt 9 = 3\].
24. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trục căn thức ở mẫu của \(\frac{{15}}{{\sqrt 5 }}\) được kết quả là
\(3\)
\(5\)
\(\sqrt 5 \)
\(3\sqrt 5 \)
Xem đáp án
Chọn D
Ta có \(\frac{{15}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{15.\sqrt 5 }}{5} = 3\sqrt 5 \).
Ta có \(\frac{{15}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{15.\sqrt 5 }}{5} = 3\sqrt 5 \).
25. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho \(M = 5\) và \(N = \frac{{\sqrt {50} }}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng.
\(M < N\)
\(M + 2 = N\)
\(M = N\)
\(M > N\)
Xem đáp án
Chọn D
Ta có \(N = \frac{{\sqrt {50} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} < 5 = M\).
Vậy \(M > N\).
Ta có \(N = \frac{{\sqrt {50} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} < 5 = M\).
Vậy \(M > N\).
26. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {125} - \sqrt {80} + \sqrt {20} \) là
\(11\sqrt 5 \)
\(15\)
\(3\sqrt 5 \)
\(6\sqrt 5 \)
Xem đáp án
Chọn C
Ta có \(\sqrt {125} - \sqrt {80} + \sqrt {20} \)\( = 5\sqrt 5 - 4\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 3\sqrt 5 \).
Ta có \(\sqrt {125} - \sqrt {80} + \sqrt {20} \)\( = 5\sqrt 5 - 4\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 3\sqrt 5 \).
27. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khử mẫu của biểu thức \(\sqrt {\frac{3}{{125}}} \) sẽ được kết quả là
\[\frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\]
\[\frac{{\sqrt {25} }}{{15}}\]
\[\frac{{\sqrt 5 }}{{25}}\]
\[\frac{{\sqrt 5 }}{{15}}\]
Xem đáp án
Chọn A
\(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \frac{1}{5}\sqrt {\frac{3}{5}} = \frac{1}{5}\sqrt {\frac{{3.5}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\).
\(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \frac{1}{5}\sqrt {\frac{3}{5}} = \frac{1}{5}\sqrt {\frac{{3.5}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\).
28. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trục căn thức ở mẫu của \(\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\)được kết quả là
\(2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\)
\(2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\)
\(\sqrt 3 + 1\)
\(\sqrt 3 - 1\)
Xem đáp án
Chọn C
\(\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\).
\(\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\).
29. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trục căn thức ở mẫu của \(\frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }}\) được kết quả là
\(\sqrt {10} - \sqrt 7 \)
\(\sqrt {10} + \sqrt 7 \)
\(3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)\)
\(3\left( {\sqrt {10} + \sqrt 7 } \right)\)
Xem đáp án
Chọn A
\(\frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }} = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt {10} + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}\)\( = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{3} = \sqrt {10} - \sqrt 7 \).
\(\frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }} = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt {10} + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}\)\( = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {\sqrt {10} - \sqrt 7 } \right)}}{3} = \sqrt {10} - \sqrt 7 \).
30. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị của biểu thức \(4\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} + 5\sqrt {\frac{9}{{25}}} \) là
\(9\)
\(8\)
\(7\)
\(\frac{5}{4}\)
Xem đáp án
Chọn B
Giá trị của biểu thức \(4\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} + 5\sqrt {\frac{9}{{25}}} = 4\sqrt {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}} + 5\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} \)\( = 4.\frac{5}{4} + 5.\frac{3}{5} = 5 + 3 = 8\).
Giá trị của biểu thức \(4\sqrt {\frac{{25}}{{16}}} + 5\sqrt {\frac{9}{{25}}} = 4\sqrt {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}} + 5\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} \)\( = 4.\frac{5}{4} + 5.\frac{3}{5} = 5 + 3 = 8\).
31. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết quả của phép tính \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} + 1\) là
\(\sqrt 3 - 2\)
\(\sqrt 3 \)
\(2 - \sqrt 3 \)
\( - \sqrt 3 \)
Xem đáp án
Chọn B
Với \(\sqrt 3 - 1 > 0\). Ta có: \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} + 1\)\( = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| + 1\)\( = \sqrt 3 - 1 + 1 = \sqrt 3 \).
Với \(\sqrt 3 - 1 > 0\). Ta có: \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} + 1\)\( = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| + 1\)\( = \sqrt 3 - 1 + 1 = \sqrt 3 \).
32. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết quả của phép tính \(\sqrt {9 - 4\sqrt[{}]{5}} \) là
\(3 - 2\sqrt 5 \)
\(2 - \sqrt 5 \)
\(\sqrt 5 - 2\)
Kết quả khác
Xem đáp án
Chọn C
Ta có \(\sqrt {9 - 4\sqrt[{}]{5}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 2} \right| = \sqrt 5 - 2\) do \(\sqrt 5 > 2\).
Ta có \(\sqrt {9 - 4\sqrt[{}]{5}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 2} \right| = \sqrt 5 - 2\) do \(\sqrt 5 > 2\).
33. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt {45} + \sqrt 5 }}{{\sqrt {125} - \sqrt {80} }}\). Giá trị của \(3A\) là
\(12\)
\(9\)
\(15\)
\(8\)
Xem đáp án
Chọn A
Ta có \(A = \frac{{\sqrt {45} + \sqrt 5 }}{{\sqrt {125} - \sqrt {80} }} = \frac{{3\sqrt 5 + \sqrt 5 }}{{5\sqrt 5 - 4\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = 4\)
Khi đó \(3A = 3.4 = 12\).
Ta có \(A = \frac{{\sqrt {45} + \sqrt 5 }}{{\sqrt {125} - \sqrt {80} }} = \frac{{3\sqrt 5 + \sqrt 5 }}{{5\sqrt 5 - 4\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = 4\)
Khi đó \(3A = 3.4 = 12\).
34. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)\) có kết quả là
\[ - 1\]
\(1\)
\( - 2\)
\( - 3\)
Xem đáp án
Chọn D
Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)\)
\( = 10 + \sqrt {10} + 6\sqrt {10} + 6 - 4 - \sqrt {10} - 6\sqrt {10} - 15\)
\( = - 3\)
Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)\)
\( = 10 + \sqrt {10} + 6\sqrt {10} + 6 - 4 - \sqrt {10} - 6\sqrt {10} - 15\)
\( = - 3\)
35. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị của biểu thức \(N = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } \) bằng
\(N = 4\)
\(N = \sqrt 5 \)
\(N = \sqrt 5 + 4\)
\(N = 2\sqrt 5 \)
Xem đáp án
Chọn D
Ta có: \(9 - 4\sqrt 5 = {\left( {2 - \sqrt 5 } \right)^2};9 + 4\sqrt 5 = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2}\)
\(N = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| + \left| {2 + \sqrt 5 } \right| = 2\sqrt 5 \)
Ta có: \(9 - 4\sqrt 5 = {\left( {2 - \sqrt 5 } \right)^2};9 + 4\sqrt 5 = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2}\)
\(N = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| + \left| {2 + \sqrt 5 } \right| = 2\sqrt 5 \)
36. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho biểu thức \(A = \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + ......} } } \)( có vô hạn số \(\sqrt 4 \)). Giá trị của biểu thức \(A\) là
\(\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}\)
\( - \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}\)
\(\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\)
\(\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}\)
Xem đáp án
Chọn D
Đặt \(x = \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + ...... + \sqrt 4 } } } \). Ta có: \(x > 0\).
Khi đó: \({x^2} = 4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + .... + \sqrt 4 } } } } \)\( \Rightarrow {x^2} = 4 + x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 0\).
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 17 > 0\)\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{2}\).
Vì \(x > 0\) suy ra \(x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}\).
Đặt \(x = \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + ...... + \sqrt 4 } } } \). Ta có: \(x > 0\).
Khi đó: \({x^2} = 4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + \sqrt {4 + .... + \sqrt 4 } } } } \)\( \Rightarrow {x^2} = 4 + x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 0\).
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 17 > 0\)\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{2}\).
Vì \(x > 0\) suy ra \(x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}\).
37. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tốc độ của một chiếc cano và độ dài đường sóng nước để lại sau đuôi của nó được cho bởi công thức \(v = 5\sqrt I \), trong đó \(I\) là độ dài đường nước sau đuôi cano (mét), \(v\) là vận tốc của cano (m/giây). Khi cano chạy với vận tốc \(54\,\,km/h\) thì đường sóng nước để lại sau đuôi chiếc cano dài bao nhiêu mét?
\(5\)
\(5\sqrt 3 \)
\(9\)
\(3\sqrt 5 \)
Xem đáp án
Chọn C
Đổi \(v = 54\,\,(km/h)\,\, = 15\,\,(m/s)\). Thay vào công thức \(v = 5\sqrt I \), ta được: \(5\sqrt I = 15\,\,suy\,\,ra\,\,\sqrt I = 3,\,\,I = 9\,\,(m)\)
Vậy đường sóng nước để lại sau đuôi chiếc cano dài 9m.\(\)
Đổi \(v = 54\,\,(km/h)\,\, = 15\,\,(m/s)\). Thay vào công thức \(v = 5\sqrt I \), ta được: \(5\sqrt I = 15\,\,suy\,\,ra\,\,\sqrt I = 3,\,\,I = 9\,\,(m)\)
Vậy đường sóng nước để lại sau đuôi chiếc cano dài 9m.\(\)
38. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Kết quả của phép tính\(\sqrt {49{a^2}} + 3a\) với \(a \ge 0\) là
\[10a\]
\[4a\]
\[ - 4a\]
\[52a\]
Xem đáp án
Chọn A
Với \(a \ge 0\). Ta có: \(\sqrt {49{a^2}} + 3a = \sqrt {{{\left( {7a} \right)}^2}} + 3a = \left| {7a} \right| + 3a\)\( = 7a + 3a = 10a\).
Với \(a \ge 0\). Ta có: \(\sqrt {49{a^2}} + 3a = \sqrt {{{\left( {7a} \right)}^2}} + 3a = \left| {7a} \right| + 3a\)\( = 7a + 3a = 10a\).
39. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biểu thức\(2{b^2}\sqrt {\frac{{{a^4}}}{{4{b^2}}}} \) với \(b > 0\) bằng:
\[\frac{{{a^2}}}{2}\]
\[{a^2}b\]
\[ - {a^2}b\]
\[\frac{{{a^2}{b^2}}}{{{b^2}}}\]
Xem đáp án
Chọn B
Biểu thức \[2{b^2}\sqrt {\frac{{{a^4}}}{{4{b^2}}}} = 2{b^2}\left| {\frac{{{a^2}}}{{2b}}} \right| = 2{b^2}.\frac{{{a^2}}}{{2b}} = {a^2}b\] với \(b > 0\)
Biểu thức \[2{b^2}\sqrt {\frac{{{a^4}}}{{4{b^2}}}} = 2{b^2}\left| {\frac{{{a^2}}}{{2b}}} \right| = 2{b^2}.\frac{{{a^2}}}{{2b}} = {a^2}b\] với \(b > 0\)
40. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Điều kiện xác định của biểu thức \(Z = \sqrt[3]{{3 - x}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\) là:
\(1 \le x \le 3\)
\(1 < x \le 3\)
\(x > 1\)
\(x \ge 1\)
Xem đáp án
Chọn C
Biểu thức \(Z = \sqrt[3]{{3 - x}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\)xác định khi: \(x - 1 > 0\,\,hay\,\,x > 1\)
Biểu thức \(Z = \sqrt[3]{{3 - x}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\)xác định khi: \(x - 1 > 0\,\,hay\,\,x > 1\)
41. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Điều kiện xác định của biểu thức \(K = \sqrt { - {x^2} + 5x - 6} - \frac{1}{{2x + 5}}\) là:
\(2 \le x \le 3\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 3\\x \ne - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
\(x \le 0\)
Xem đáp án
Chọn A
Điều kiện xác định:
\(\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\\2x + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 3\\x \ne - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)
Điều kiện xác định:
\(\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\\2x + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 3\\x \ne - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)
42. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Với giá trị nào của x thì biểu thức \(\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) có nghĩa?
\(x \le 0\)
\(x \ge 1,x \ne 0\)
\(x \ge 0,x \ne 1\)
\(x \ge 1\)
Xem đáp án
Chọn D
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 2\sqrt {x - 1} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\(x - 1) - 2\sqrt {x - 1} + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 2\sqrt {x - 1} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\(x - 1) - 2\sqrt {x - 1} + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)
43. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {9{a^2}({b^2} + 4 - 4b)} \) khi \(a = 2\) và \(b = - \sqrt 3 \) bằng giá trị nào sau đây?
\(3\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
\(6\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)
\(6\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
\(3\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)
Xem đáp án
Chọn C
Ta có: \(\sqrt {9{a^2}({b^2} + 4 - 4b)} = \sqrt {{{(3a)}^2}.{{(b - 2)}^2}} = 3\left| a \right|.\left| {b - 2} \right|\)
Thay \(a = 2\) và \(b = - \sqrt 3 \) vào biểu thức ta được:
\(3\left| a \right|.\left| {b - 2} \right| = 3.\left| 2 \right|.\left| { - \sqrt 3 - 2} \right| = 3.2.\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 6\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
Ta có: \(\sqrt {9{a^2}({b^2} + 4 - 4b)} = \sqrt {{{(3a)}^2}.{{(b - 2)}^2}} = 3\left| a \right|.\left| {b - 2} \right|\)
Thay \(a = 2\) và \(b = - \sqrt 3 \) vào biểu thức ta được:
\(3\left| a \right|.\left| {b - 2} \right| = 3.\left| 2 \right|.\left| { - \sqrt 3 - 2} \right| = 3.2.\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 6\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
44. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biểu thức \(\frac{{ - 3}}{{10 - 5x}}\) có căn bậc hai khi
\(x < 2\)
\(x \le 2\)
\(x > 2\)
\(x \ge 2\)
Xem đáp án
Chọn C
Ta cón biểu thức: \(\frac{{ - 3}}{{10 - 5x}}\) có căn bậc hai khi: \(\left\{ \begin{array}{l}10 - 5x \ne 0\\\frac{{ - 3}}{{10 - 5x}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 10 - 5x < 0 \Leftrightarrow - 5x < - 10 \Leftrightarrow x > 2\)
Ta cón biểu thức: \(\frac{{ - 3}}{{10 - 5x}}\) có căn bậc hai khi: \(\left\{ \begin{array}{l}10 - 5x \ne 0\\\frac{{ - 3}}{{10 - 5x}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 10 - 5x < 0 \Leftrightarrow - 5x < - 10 \Leftrightarrow x > 2\)
45. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm điều kiện để biểu thức \(\sqrt {\left( {5\sqrt x + 7} \right)\left( {5\sqrt x - 7} \right)} \) có nghĩa?
\(x \le - \frac{5}{7}\)
\(x \ge 0\)
\(x \ge \frac{{49}}{{25}}\)
\(x \ge - \frac{5}{7}\)
Xem đáp án
Chọn C
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5\sqrt x - 7 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5\sqrt x \ge 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x \ge \frac{7}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{{49}}{{25}}\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5\sqrt x - 7 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5\sqrt x \ge 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x \ge \frac{7}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{{49}}{{25}}\)
46. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Tìm điều kiện xác định biểu thức \(\frac{{\sqrt {{x^2} - 5x + 6} }}{{{x^2} - 4}}\) có nghĩa?
\(x < 2,x \ge 3\)
\(x \le 2,x \ge 3,x \ne - 2\)
\(x < 2,x > 3,x \ne - 2\)
\(x < 2,x \ge 3,x \ne - 2\)
Xem đáp án
Chọn D
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 \ge 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x - 2)(x - 3) \ge 0\\(x - 2)(x + 2) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\\x \ne \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 2,x \ge 3,x \ne - 2\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 \ge 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x - 2)(x - 3) \ge 0\\(x - 2)(x + 2) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\\x \ne \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 2,x \ge 3,x \ne - 2\)
47. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biểu thức \(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} \) có nghĩa khi:
\(\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 4\end{array} \right.\)
\(x \le - 2\)
\( - 2 \le x \le 4\)
\(x \ge 4\)
Xem đáp án
Chọn A
Ta có: \(\left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\1 - x\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
*) Với \(x \ge 1\), ta có:
\(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} = \sqrt {x - 1 - 3} = \sqrt {x - 4} \)có nghĩa khi: \(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)(nhận).
*) Với \(x < 1\), ta có:
\(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} = \sqrt {1 - x - 3} = \sqrt { - x - 2} \)có nghĩa khi: \( - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 2\)(nhận)
Suy ra \(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} \) có nghĩa khi: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le - 2\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\1 - x\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
*) Với \(x \ge 1\), ta có:
\(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} = \sqrt {x - 1 - 3} = \sqrt {x - 4} \)có nghĩa khi: \(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)(nhận).
*) Với \(x < 1\), ta có:
\(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} = \sqrt {1 - x - 3} = \sqrt { - x - 2} \)có nghĩa khi: \( - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 2\)(nhận)
Suy ra \(\sqrt {\left| {x - 1} \right| - 3} \) có nghĩa khi: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le - 2\end{array} \right.\)
48. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Rút gọn biểu thức\(B = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt 3 \)
\[2\sqrt 3 \]
\[ - 2\sqrt 3 \]
\[ - 2\]
\[2\]
Xem đáp án
Chọn D
\(B = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt 3 = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt 3 = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 2\)
\(B = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt 3 = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt 3 = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 2\)
49. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biểu thức \(\sqrt {{{(3 - 2x)}^2}} \) bằng:
\(3 - 2x\).
\(2x - 3\).
\(\left| {2x - 3} \right|\).
\(3 - 2x\) và \(2x - 3\)
Xem đáp án
Chọn C
\(\sqrt {{{(3 - 2x)}^2}} = \left| {3 - 2x} \right|\)
\(\sqrt {{{(3 - 2x)}^2}} = \left| {3 - 2x} \right|\)
50. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \sqrt {64{a^2}} + 2a\)với \(a \ge 0\)
\(A = 20a\)
\(A = 68a\)
\(A = 10a\)
\(A = 8a\)
Xem đáp án
Chọn C
\(A = \sqrt {64{a^2}} + 2a = \left| {8a} \right| + 2a = 8a + 2a = 10a\) ( vì \(a \ge 0\))
\(A = \sqrt {64{a^2}} + 2a = \left| {8a} \right| + 2a = 8a + 2a = 10a\) ( vì \(a \ge 0\))
51. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Rút gọn biểu thức \[\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} \]với \(x > 0;\,y \ne 0\), ta được
\[ - \frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}\].
\[\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}\].
\[ - \frac{x}{{{y^2}}}\].
\[\frac{x}{{{y^2}}}\].
Xem đáp án
Chọn D
\[\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} = \frac{{\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{y^2}} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| x \right|}}{{{y^2}}} = \frac{x}{{{y^2}}}\] (vì \(x > 0;\,y \ne 0\))
\[\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} = \frac{{\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{y^2}} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| x \right|}}{{{y^2}}} = \frac{x}{{{y^2}}}\] (vì \(x > 0;\,y \ne 0\))
52. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Rút gọn biểu thức \[\frac{{\sqrt {32{a^2}} }}{{\sqrt 2 }}\] với \[a < \,0\] được kết quả là
\[16{a^2}\].
\[4a\].
\[ - 4a\].
\[ - 16{a^2}\].
Xem đáp án
Chọn C
\[\frac{{\sqrt {32{a^2}} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{32{a^2}}}{2}} = \sqrt {16{a^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2}} = \left| {4a} \right| = - 4a\] (vì \[a < \,0\])
\[\frac{{\sqrt {32{a^2}} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{32{a^2}}}{2}} = \sqrt {16{a^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2}} = \left| {4a} \right| = - 4a\] (vì \[a < \,0\])
53. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khử mẫu của biểu thức \(\sqrt {\frac{3}{{125}}} \) sẽ được kết quả là
\[\frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\].
\[\frac{{\sqrt {25} }}{{15}}\].
\[\frac{{\sqrt 5 }}{{25}}\].
\[\frac{{\sqrt 5 }}{{15}}\].
Xem đáp án
Chọn A
\(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \sqrt {\frac{{3\,.5\,}}{{25.5.5}}} = \sqrt {\frac{{15}}{{{{25}^2}}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\)
\(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \sqrt {\frac{{3\,.5\,}}{{25.5.5}}} = \sqrt {\frac{{15}}{{{{25}^2}}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\)
54. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\frac{5}{{2\sqrt 3 }}\) có kết quả là
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{6}\).
\(\frac{{3\sqrt 5 }}{6}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
\(\frac{{3\sqrt 3 }}{6}\).
Xem đáp án
Chọn A
\(\frac{5}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{5\,.\,\,\sqrt 3 }}{{2\,.\,{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\)
\(\frac{5}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{5\,.\,\,\sqrt 3 }}{{2\,.\,{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\)
55. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\frac{6}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\) có kết quả là
\(3\).
\(3.\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\).
\(3.\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\).
\( - 3\).
Xem đáp án
Chọn B
\(\frac{6}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \frac{{6\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{6\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{2} = 3\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\)
\(\frac{6}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \frac{{6\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{6\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{2} = 3\,.\,\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\)
56. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {0,36{{(a - 1)}^2}} \) với \(a < 1\) ta được kết quả là
\(0,6(a - 1)\)
\(0,36(1 - a)\).
\(0,6(1 - a)\).
\(0,36a\).
Xem đáp án
Chọn C
\(\sqrt {0,36{{\left( {a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {0,6} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2}} = 0,6\,.\,\left| {a - 1} \right| = 0,6\left( {1 - a} \right)\) (vì \[a < \,1\])
\(\sqrt {0,36{{\left( {a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {0,6} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2}} = 0,6\,.\,\left| {a - 1} \right| = 0,6\left( {1 - a} \right)\) (vì \[a < \,1\])
57. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Biểu thức \(\sqrt {25\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} \) khi \(x \ge 2\) bằng
\(5\left( {x - 2} \right)\).
\( - 5\left( {x - 2} \right)\).
\(5\left( {x + 2} \right)\).
\( - 5\left( {x + 2} \right)\).
Xem đáp án
Chọn A
\(\sqrt {25\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} = \sqrt {{5^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = 5\,.\,\left| {x - 2} \right| = 5\left( {x - 2} \right)\) (vì \(x \ge 2\))
\(\sqrt {25\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} = \sqrt {{5^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = 5\,.\,\left| {x - 2} \right| = 5\left( {x - 2} \right)\) (vì \(x \ge 2\))
58. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Với \(y < 0\), kết quả của phép tính \(2y.\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} \) là
\( - {x^2}\).
\({x^2}\).
\(\frac{{{x^2}}}{{2y}}\).
\(\frac{{ - {x^2}}}{{2y}}\).
Xem đáp án
Chọn A
Ta có: \(2y\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} = 2y\sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right)}^2}} = 2y\left| {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right|\)
Vì \(y < 0\) nên \(\frac{{{x^2}}}{{2y}} < 0 \Rightarrow \left| {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right| = \frac{{ - {x^2}}}{{2y}}\). Do đó \(2y\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} = 2y.\left( {\frac{{ - {x^2}}}{{2y}}} \right) = - {x^2}\).
Ta có: \(2y\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} = 2y\sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right)}^2}} = 2y\left| {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right|\)
Vì \(y < 0\) nên \(\frac{{{x^2}}}{{2y}} < 0 \Rightarrow \left| {\frac{{{x^2}}}{{2y}}} \right| = \frac{{ - {x^2}}}{{2y}}\). Do đó \(2y\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} = 2y.\left( {\frac{{ - {x^2}}}{{2y}}} \right) = - {x^2}\).
59. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Rút gọn biểu thức \[\frac{{\sqrt {63{y^3}} }}{{\sqrt {7y} }}\] với \[y\, > \,0\] được kết quả là
\[3{y^2}\].
\[9y\].
\[3y\].
\[ - 3y\].
Xem đáp án
Chọn C
Với \[y\, > \,0\], ta có: \[\frac{{\sqrt {63{y^3}} }}{{\sqrt {7y} }}\, = \,\sqrt {\frac{{63{y^3}}}{{7y}}} \, = \,\sqrt {9{y^2}} \, = \sqrt {{{(3y)}^2}\,} \, = \,\left| {3y} \right|\, = 3y\].
Với \[y\, > \,0\], ta có: \[\frac{{\sqrt {63{y^3}} }}{{\sqrt {7y} }}\, = \,\sqrt {\frac{{63{y^3}}}{{7y}}} \, = \,\sqrt {9{y^2}} \, = \sqrt {{{(3y)}^2}\,} \, = \,\left| {3y} \right|\, = 3y\].
60. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Khử mẫu biểu thức sau \[xy\sqrt {\frac{4}{{{x^2}{y^2}}}} \] với \[x > 0;y > 0\] ta được kết quả là
\[4\].
\[\sqrt { - xy} \].
\[\sqrt 2 \].
\[2\].
Xem đáp án
Chọn D
Vì \[x > 0;y > 0\] nên \[xy > 0\].
Từ đó ta có \[xy\sqrt {\frac{4}{{{x^2}{y^2}}}} = xy.\frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {{x^2}{y^2}} }} = xy.\frac{2}{{xy}} = 2\].
Vì \[x > 0;y > 0\] nên \[xy > 0\].
Từ đó ta có \[xy\sqrt {\frac{4}{{{x^2}{y^2}}}} = xy.\frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {{x^2}{y^2}} }} = xy.\frac{2}{{xy}} = 2\].
61. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \[\frac{3}{{6 + \sqrt {3a} }}\] với \(a \ge 0;a \ne 12\) ta được kết quả là
\[\frac{{6 + \sqrt {3a} }}{{12 + a}}\].
\[\frac{{6 - \sqrt {3a} }}{{12 + a}}\].
\[\frac{{6 + \sqrt {3a} }}{{12 - a}}\].
\[\frac{{6 - \sqrt {3a} }}{{12 - a}}\].
Xem đáp án
Chọn D
Ta có \[\frac{3}{{6 + \sqrt {3a} }} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{\left( {6 + \sqrt {3a} } \right)\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{{6^2} - {{\left( {\sqrt {3a} } \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{36 - 3a}} = \frac{{6 - \sqrt {3a} }}{{12 - a}}\].
Ta có \[\frac{3}{{6 + \sqrt {3a} }} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{\left( {6 + \sqrt {3a} } \right)\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{{6^2} - {{\left( {\sqrt {3a} } \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{36 - 3a}} = \frac{{6 - \sqrt {3a} }}{{12 - a}}\].
62. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Giá trị của biểu thức \[\sqrt {4{x^2}\left( {{y^2} + 6y + 9} \right)} \]tại \(x = 2;\,y = - \sqrt 7 \) là
\(4\sqrt 7 - 3\).
\[4\left( {\sqrt 7 - 3} \right)\].
\[4\left( {3 - \sqrt 7 } \right)\].
\[8\left( {\sqrt 7 - 3} \right)\].
Xem đáp án
Chọn C
Ta có \[\sqrt {4{x^2}\left( {{y^2} + 6y + 9} \right)} \]\[ = \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2}{{\left( {y + 3} \right)}^2}} = \left| {2x} \right|.\left| {y + 3} \right|\].
Thay \(x = 2;\,y = - \sqrt 7 \) vào biểu thức \(\left| {2x} \right|.\left| {y + 3} \right|\) ta được
\(\left| {2.2} \right|.\left| { - \sqrt 7 + 3} \right| = 4\left| {3 - \sqrt 7 } \right|\)\( = 4\left( {3 - \sqrt 7 } \right)\).
Ta có \[\sqrt {4{x^2}\left( {{y^2} + 6y + 9} \right)} \]\[ = \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2}{{\left( {y + 3} \right)}^2}} = \left| {2x} \right|.\left| {y + 3} \right|\].
Thay \(x = 2;\,y = - \sqrt 7 \) vào biểu thức \(\left| {2x} \right|.\left| {y + 3} \right|\) ta được
\(\left| {2.2} \right|.\left| { - \sqrt 7 + 3} \right| = 4\left| {3 - \sqrt 7 } \right|\)\( = 4\left( {3 - \sqrt 7 } \right)\).
63. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {25\left( {x - 1} \right)} = 10\) là
\(x = 2,5\).
\(x = 0,4\).
\(x = 4\).
\(x = 5\).
Xem đáp án
Chọn D
Với \(x \ge 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {25\left( {x - 1} \right)} = 10\\5\sqrt {x - 1} = 10\\\sqrt {x - 1} = 2\\x - 1 = 4\\x = 5(TM)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5\).
Với \(x \ge 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {25\left( {x - 1} \right)} = 10\\5\sqrt {x - 1} = 10\\\sqrt {x - 1} = 2\\x - 1 = 4\\x = 5(TM)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5\).
64. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Rút gọn biểu thức \[\sqrt {27x} - \sqrt {48x} + 4\sqrt {75x} + \sqrt {243x} \] với \(x \ge 0\) ta được
\[40\sqrt {3x} \].
\[28\sqrt {3x} \].
\[39\sqrt x \].
\[28\sqrt x \].
Xem đáp án
Chọn B
Ta có \[\sqrt {27x} - \sqrt {48x} + 4\sqrt {75x} + \sqrt {243x} \] \[ = \sqrt {9.3x} - \sqrt {16.3x} + 4\sqrt {25.3x} + \sqrt {81.3x} \]
\[ = \sqrt {{3^2}.3x} - \sqrt {{4^2}.3x} + 4\sqrt {{5^2}.3x} + \sqrt {{9^2}.3x} \]
\[ = 3\sqrt {3x} - 4\sqrt {3x} + 4.5\sqrt {3x} + 9\sqrt {3x} = \sqrt {3x} (3 - 4 + 20 + 9) = 28\sqrt {3x} \]
Ta có \[\sqrt {27x} - \sqrt {48x} + 4\sqrt {75x} + \sqrt {243x} \] \[ = \sqrt {9.3x} - \sqrt {16.3x} + 4\sqrt {25.3x} + \sqrt {81.3x} \]
\[ = \sqrt {{3^2}.3x} - \sqrt {{4^2}.3x} + 4\sqrt {{5^2}.3x} + \sqrt {{9^2}.3x} \]
\[ = 3\sqrt {3x} - 4\sqrt {3x} + 4.5\sqrt {3x} + 9\sqrt {3x} = \sqrt {3x} (3 - 4 + 20 + 9) = 28\sqrt {3x} \]
65. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho . Nghiệm của phương trình \(2Ax + 3 = 0\) là
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
\(x = 2\).
\(x = - 2\).
Xem đáp án
Chọn B
\(A = \frac{1}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 5 }}\)\( = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\( = \frac{{3 - \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)\( = \frac{6}{{9 - 5}}\)\( = \frac{3}{2}\).
Khi đó: \(2Ax + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2.\frac{3}{2}.x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = - 1\).
\(A = \frac{1}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 5 }}\)\( = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\( = \frac{{3 - \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 }}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)\( = \frac{6}{{9 - 5}}\)\( = \frac{3}{2}\).
Khi đó: \(2Ax + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2.\frac{3}{2}.x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = - 1\).
66. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\). Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên dương.
\(x = 1;\;x = 36\).
\(x = - 1;\;x = 36\).
\(x = 4;\;x = 6\).
\(x = 16;\;x = 36\).
Xem đáp án
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)\(\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \)Ư\[\left( 3 \right)\] \(\left( 1 \right)\) và \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (2)\)
\((1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \{ 1;3\} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16{\mkern 1mu} \\x = 36{\mkern 1mu} \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Nhận thấy \(x = 16;x = 36\) vẫn thỏa mãn \(\left( 2 \right)\)
Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì \(P\) nguyên dương.
Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)\(\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \)Ư\[\left( 3 \right)\] \(\left( 1 \right)\) và \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (2)\)
\((1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \{ 1;3\} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16{\mkern 1mu} \\x = 36{\mkern 1mu} \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Nhận thấy \(x = 16;x = 36\) vẫn thỏa mãn \(\left( 2 \right)\)
Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì \(P\) nguyên dương.
67. Trắc nghiệm
• 1 điểm
Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C\).
\(C = 1\).
\(C = \sqrt 2 \).
\(C = 2\).
\(C = 2\sqrt 2 \).
Xem đáp án
Ta có \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\)
Xét \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được: \(C \ge 2\sqrt 2 \)
Dấu xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\) (thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = 2.\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\)
Xét \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được: \(C \ge 2\sqrt 2 \)
Dấu xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\) (thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = 2.\)
