52 bài tập Hệ Phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có lời giải

Chọn C
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.\) ta thấy bậc của \(x,y\) là bậc 2
Nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn

Chọn C
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 6\\ - 2x - y = - 5\end{array} \right.\) có hệ số \(a,b,c\) và \(a',b',c'\) là:
\(a = 1;b = 3\); \(c = 6\) và \(a' = - 2;b' = - 1\); \(c' = - 5\)

Chọn D
* Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(2 + 3 \cdot 1 = 5 \ne 6\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {2;1} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {2;1} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 3\) và \(y = 2\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(3 + 3 \cdot 2 = 9 \ne 6\)
Suy ra \(\left( {3;2} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {3;2} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 6\) và \(y = 0\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(6 + 3 \cdot 0 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - 6 - 6 = 12 \ne 0\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {6;0} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {6;0} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = - 3\) và \(y = 3\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \( - 3 + 3 \cdot 3 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - \left( { - 3} \right) - 3 = 0\) (thỏa mãn)
Suy ra \(\left( { - 3;3} \right)\) đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( { - 3;3} \right)\)là nghiệm hệ phương trình.

Chọn B
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + {b_1}y = 1\\ - 3x + {b_2}y = 5\end{array} \right.\)
Ta có: \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) thì hệ có nghiệm duy nhất, mà \(\frac{a}{{a'}} = \frac{{ - 2}}{3}\) suy ra \(\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\)

Chọn A
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\2x - y = - 1\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{3}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1\) hay \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\)
Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Chọn D
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = - 3\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{1}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình vô nghiệm.

Chọn C
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\4x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\4x - 2y = - 6\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chọn A
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua.
Do bác Ngọc chỉ mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên.
Ta có phương trình: \(x + y = 3,5\)
Và giá tiền thịt lợn là \(130\)nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là \(50\) nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi \(295\) nghìn để mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên
Ta có phương trình: \(130x + 50y = 295\)
Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295\end{array} \right.\)

Chọn D
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - m\\ - 4x + 2y = 10\end{array} \right.\) có vô số nghiệm
Khi \(\frac{{ - 2}}{4} = \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{ - m}}{{10}}\) suy ra \( - 2m = - 1 \cdot 10\) suy ra \(m = 5\)

Chọn D
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - my = - 3\\ - 4x + 2y = 6\end{array} \right.\) vô nghiệm khi \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{6}\) suy ra \(m \ne 1\)

Chọn C
Vì \({d_1}\) cắt \({d_2}\) nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{2}x = - x + 3\)
\(x = - 2x + 6\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\) suy \(y = 1\)
Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(M\left( {2;1} \right)\)
Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào
- Phương trình \(x - 2y = 0\) ta được \(2 - 2 \cdot 1 = 0\) (thỏa mãn)
- Phương trình \(x + y = 3\) ta được \(2 + 1 = 3\) (thỏa mãn)
Do cặp số \(\left( {2;1} \right)\) đều thỏa mãn hai phương trình
Nên \(M\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\)

Chọn B
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = - 1;y = 3.\)
Chú ý: Ta cũng có thể thay các giá trị của x và y ở các phương án và các phương trình đã cho. Tuy nhiên, cách này chỉ tối ưu khi việc giải hệ phương trình trên gặp khó khăn.

Chọn A
Giải hệ phương trình trên ta được \({x_0} = 5;\) \({y_0} = - 2\)\( \Rightarrow {x_0} + {y_0} = 3\).

Chọn D
Từ giả thiết ta tính được \(a = 0\), \(b = \frac{2}{3} \Rightarrow P = 0\).

Chọn B
Từ giả thiết ta tính được \[a = - 4\] và \[b = 7\], \(P = - 28\).

Chọn C
Từ giả thiết ta tính được \[x = - 1\] và \[y = 3\]. Hay \(y = - 3x\).

Chọn A
Từ giả thiết ta tính \(x = 1,y = - 4\).

Chọn A
Từ giả thiết ta tính \(x = - 6,\,\,y = 5\).

Chọn C
\(x = - 1,y = 2\) luôn thoả mãn phương trình thứ nhất. Thay \(x = - 1,y = 2\) vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 + \left( {{k^2} - 6k + 4} \right).2 = 7\) hay \({k^2} - 6k + 4 = 4\) nên \[k\left( {k - 6} \right) = 0\]nên \[k = 0\]hoặc \[k = 6\]. Vạy có 2 giá trị của k thoả mãn.

Chọn A
Nhân 2 vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 10\\\left( {{m^2} - 7m + 6} \right)x - 2y = 10\end{array} \right.\)
Hệ có vô số nghiệm khi \({m^2} - 7m + 6 = 6\) nên \(m \in {\rm{\{ }}0;7{\rm{\} }}\).

Chọn C
Giải hệ phương trình (I) ta được nghiệm\[x = 3\]; \[y = - 1\] thay vào hệ (II) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}3.3 + 4.( - 1) = 5\\\left( {k + 2} \right).3 - ( - 1) = 25\end{array} \right.\). Phương trình thứ nhất của hệ (II) đúng, phương trình thứ hai của hệ (II) có \[k + 2 = 8\] nên \[k = 6\].

Chọn A
Thay \(x = 1,y = 4\) ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}2 + (a - 3).4 = - 2\\b - 2 + 12 = 13\end{array} \right.\] ta được \(a = 2,b = 3\)

Chọn D
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = 6,\) \(y = 5.\)

Chọn C
Đặt \(a = \sqrt x ,b = \sqrt {y - 3} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 18\\3a - b = 5\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 4 \Rightarrow x = 9,y = 19.\)

Chọn B
Biến đổi hệ (I) thành \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 14\\4x + 3y = 0\end{array} \right.\), Khi đó hai hệ phương trình có cùng giá trị nghiệm khi \( - m = 14 \Leftrightarrow m = - 14\).

Chọn D
Thay \(x = 2;y = - 3\) vào hệ\(:\left\{ \begin{array}{l}ax + y = 3\\4x + ay = - 1\end{array} \right.\) ta được \(a = 3\).

Chọn A
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(\frac{k}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1} \Leftrightarrow k \ne - 6\).

Chọn B
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{1}{m} = \frac{m}{4} \ne \frac{3}{{ - 1}} \Leftrightarrow m \ne \pm 2\).

Chọn A
Trừ từng vế ta được \((1 - {m^2})x = 0\) \(\left( 3 \right)\). Hệ phương trình có vô số nghiệm \((1 - {m^2}) = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Chọn D
Từ điều kiện đã cho ta có: \(x = m,y = 3 - 2m\). Để \(M \in d \Leftrightarrow 3 - 2m = m \Rightarrow m = 1\).

Chọn A
Giải phương trình (1) tìm được \(x = 3,y = 16 - {k^2};\) giải phương trình (2) tìm được\(x = k,y = 7\)
Hệ có nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}k = 3\\7 = 16 - {k^2}\end{array} \right.\) suy ra \(k = 3\) thoả mãn.

Chọn D
Trừ hai vế của hệ phương trình ta được\((4 - {k^2})y = 8 - 4{k^2}\,\,\,\,(I)\)
(I) có nghiệm duy nhất khi \(4 - {k^2} \ne 0 \Leftrightarrow k \ne \pm 2\).

Chọn D
Giải hệ ta được \[x = k\] và \[y = 2k - 1\]. Do M thuộc \(y = 3x - 7\) nên \[2k - 1 = 3k - 7\]. Ta được \[k = 6\].

Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 1) = xy - 1\\(x - 3)(y - 3) = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 3y - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 6y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;2)\]

Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 3) = (x - 1)(y + 3)\\(x - 3)(y + 1) = (x + 1)(y - 3)\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x + y - 3 = xy + 3x - y - 3\\xy + x - 3y - 3 = xy - 3x + y - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 0\\4x - 4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\6y - 2y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (0;0)\].

Chọn A
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 2) - 2(3n + 2).3 = 6\] hay \[ - 2m - 18n = 18\] vậy \[m + 9n = - 9\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\]vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 2) + 2n.3 = 56\] hay \[ - 6m + 2 + 6n = 56\] vậy \[m - n = - 9\]
Suy ra hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}m + 9n = - 9\\m - n = - 9\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\ - 9 + n + 9n = - 9\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m = - 9\end{array} \right.\] suy ra \[m.n = 0\]. Vậy \[m.n = 0\].

Chọn C
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 5) - 2(3n + 2).2 = 18\] hay \[ - 5m - 12n - 8 = 18\] vậy \[5m + 12n = - 26\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 5) + 2n.2 = - 37\] hay \[ - 15m + 5 + 4n = - 37\] vậy \[15m - 4n = 42\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\15m - 4n = 42\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\n = \frac{{15m - 42}}{4}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 12.\frac{{15m - 42}}{4} = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 3(15m - 42) = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\50m - 126 = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 3\end{array} \right.\]
Vậy \[m = 2;n = - 3\].

Chọn D
Thay tọa độ điểm \[M\] vào phương trình đường thẳng ta được \[3a + b = - 5\]
Thay tọa độ điểm \[N\] vào phương trình đường thẳng ta được \[a + b = 2\]
Từ đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\3a + 2 - a = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\2a = - 7\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 7}}{2}\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy \[a = \frac{{ - 7}}{2};b = \frac{{11}}{2}\].

Chọn C
Ta sử dụng: Đa thức \[P(x)\] chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[P(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề trên với \[a = - 1\], rồi với \[a = 3\], ta có
\[\begin{array}{l}P( - 1) = m{( - 1)^3} + (m - 2).{( - 1)^2} - (3n - 5).( - 1) - 4n = - n - 7\\P(3) = m{.3^3} + (m - 2){.3^2} - (3n - 5).3 - 4n = 36m - 13n - 3\end{array}\]
Theo giả thiết, \[P(x)\]chia hết cho \[x + 1\] nên \[P( - 1) = 0\] tức là \[ - n - 7 = 0\]
Tương tự, vì \[P(x)\]chia hết cho \[x - 3\] nên \[P(3) = 0\] tức là \[36m - 13n - 3 = 0\]
Vậy ta phải giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\36m - 13.( - 7) - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = - \frac{{22}}{9}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = - \frac{{22}}{9};n = - 7\].

Chọn D
Ta sử dụng: Đa thức \(Q(x)\) chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[Q(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề đã cho với \[a = 2\], rồi với \[a = - 3\], ta có
\[\begin{array}{l}Q(2) = (3m - 1){2^3} - (2n - 5){2^2} - n.2 - 9m - 72\\ = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60\\Q( - 3) = (3m - 1){( - 3)^3} - (2n - 5){( - 3)^2} - n.( - 3) - 9m - 72\\ = - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 = - 90m - 15n\end{array}\]
Theo giả thiết, \(Q(x)\)chia hết cho \[x - 2\] nên \[Q(2) = 0\] tức là \[15m - 10n - 60 = 0\] (1)
Tương tự, vì \(Q(x)\)chia hết cho \[x + 3\] nên \[Q( - 3) = 0\] tức là \[ - 90m - 15n = 0\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 6m\\15m - 10( - 6m) = 60\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{4}{5}\\n = - \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = \frac{4}{5};n = - \frac{{24}}{5}\].

Chọn B
Điều kiện: \[x \ne 0;y \ne 0\]
Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 1\\3a + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\3(1 + b) + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\7b = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{2}{7}\\a = 1 + \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{7}\\b = \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
Trả lại biến ta được \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{9}{7}\\\frac{1}{y} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{9}\\b = \frac{7}{2}\end{array} \right.\] (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó \[9x + 2y = 9.\frac{7}{9} + 2.\frac{7}{2} = 14\]

Chọn B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}3(y - 5) + 2(x - 3) = 0\\7(x - 4) + 3(x + y - 1) - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y - 15 + 2x - 6 = 0\\7x - 28 + 3x + 3y - 3 - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 21\\10x + 3y = 45\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\8x = 24\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3y = 15\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)\] \[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2} + {5^2} = 34\].

Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) + 3(x - y) = 4\\(x + y) + 2(x - y) = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - (3x - 5) = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - 3x + 5 = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3.\frac{{ - 1}}{2} - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right) \Rightarrow x > y\] và \[x - y = 6\].

Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{3}\\\frac{x}{4} = \frac{y}{2} + 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 5x - 5y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x = 8y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\2y - 4 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 8\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;8)\] suy ra \[x > 0;y > 0\].

Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{2} = \frac{{2x - 3}}{2}\\\frac{x}{2} + 3y = \frac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y = - 3\end{array} \right.\]. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (31; - 3)\] \[ \Rightarrow x > 0;y < 0\].

Chọn B
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[A( - 4; - 2) \Leftrightarrow - 4a + b = - 2\] (1)
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[B(2;1) \Leftrightarrow 2a + b = 1\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 2\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - 6a = - 3\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\2.\frac{1}{2} + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\]. Vậy \[a = \frac{1}{2};b = 0\].

Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\7y = m + 6\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5m + 9}}{7}\\y = \frac{{m + 6}}{7}\end{array} \right.\]
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( {\frac{{5m + 9}}{7};\frac{{m + 6}}{7}} \right)\]
Lại có \[x + y = - 3\] hay \[\frac{{5m + 9}}{7} + \frac{{m + 6}}{7} = - 3\]
\[5m + 9 + m + 6 = - 21\]
\[6m = - 36\]
\[m = - 6\]
Vậy với \[m = - 6\] thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x,y)\] thỏa mãn \[x + y = - 3\].

Chọn C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\x - 2(5m - 1 - 2x) = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\5x = 10m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = m - 1\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] ta có \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] hay \[{(2m)^2} - 2{(m - 1)^2} = - 2\]
\[2{m^2} + 4m = 0\]. Giải phương trình này ta được\[m = 0\];\[m = - 2\].
Vậy \[m \in \left\{ { - 2;0} \right\}\].

Chọn B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = \frac{7}{2} - m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 7 - 2m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}7y = 7 - 7m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\4x - (1 - m) = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\x = 4m + 14\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\] ta có \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[{\left( {\frac{{4m + 1}}{4}} \right)^2} + {(1 - m)^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[16{m^2} + 8m + 1 + 16{m^2} - 32m + 16 = 25\]
\[32{m^2} - 24m - 8 = 0\]
\[4{m^2} - 3m - 1 = 0\]
\[4{m^2} - 4m + m - 1 = 0\]
\[(4m + 1)(m - 1) = 0\] ta được \[m = 1\]hoặc \[m = - \frac{1}{4}\]
Mà \[m > \frac{1}{2} \Rightarrow m = 1\] thỏa mãn. Vậy \[m = 1\].

Chọn A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right.\)
\[\left\{ \begin{array}{l}x = m + 2\\y = 3 - m\end{array} \right.\]. Suy ra \[A = xy + x - 1 = 8 - {(m - 1)^2}\]\[ \Rightarrow {A_{max}} = 8\] khi \[m = 1\].

Chọn B
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\,\,\,\,\,(1)\\mx + y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Từ (2) suy ra \[y = 2m - mx\] thay vào (1) ta được \[x + m(2m - mx) = m + 1\]
\[2{m^2} - {m^2}x + x = m + 1\]
\[(1 - {m^2})x = - 2{m^2} + m + 1\]
\[({m^2} - 1)x = 2{m^2} - m - 1\]\[(3)\]
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow (3)\]có nghiệm duy nhất \[{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\]
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất \[\;\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{m}{{m + 1}}\end{array} \right.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m + 1}}{{m + 1}} \ge 2\\\frac{m}{{m + 1}} \ge 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\\\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\end{array} \right.\] hay \[m + 1 < 0\] vậy \[m < - 1\]
Kết hợp với \[( * )\] ta được giá trị \[m\] cần tìm là \[m < - 1\].

Chọn C
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu \[a = 0\], hệ có dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}2x = - 4\\ - 3y = 5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\]
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu \[a \ne 0\], hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \[\frac{2}{a} \ne \frac{a}{{ - 3}} \Leftrightarrow {a^2} \ne - 6\] (luôn đúng, vì \[{a^2} \ge 0\] với mọi \[a\])
Do đó, với \[a \ne 0\], hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi \[a\].