50 bài tập Hình khối trong thực tiễn có lời giải

Chọn A

Bán kính \[R\] của đường tròn đáy là \[\pi {R^2} = 25\pi \Rightarrow R = 5{\mkern 1mu} cm\]

Diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .5.10 = 100\pi (c{m^2})\]

Vì trục lăn \[12\] vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là \[12.100\pi = 1200\pi (c{m^2})\]

Chọn C

Bán kính \[R\] của đường tròn đáy là \[\pi {R^2} = 36\pi \Rightarrow R = 6{\mkern 1mu} cm\]

Diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .6.8 = 96\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]

Vì trục lăn \[10\] vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là \[10.96\pi = 960\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]

Chọn C

Từ giả thiết ta có \[2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2.2.\pi Rh \Rightarrow Rh = {R^2} \Rightarrow R = h\]

Vậy chiều cao của hình trụ là \[3{\mkern 1mu} \,cm\].

Chọn A

Từ giả thiết ta có \[2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2.2.\pi Rh \Rightarrow Rh = {R^2} \Rightarrow h = R = 4\,cm\]. Vậy chiều cao của hình trụ là \[2{\mkern 1mu} cm\].

Chọn A

Phần hình trụ bị cắt đi chiếm \[\frac{{{{45}^ \circ }}}{{{{360}^ \circ }}} = \frac{1}{8}\] (hình trụ)

Thể tích phần còn lại là \[V = \frac{7}{8}\pi {R^2}h = \frac{7}{8}\pi {.4^2}.5 = 70\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\]

Chọn A

Phần hình trụ bị cắt đi chiếm \[\frac{{{{60}^ \circ }}}{{{{360}^ \circ }}} = \frac{1}{6}\] (hình trụ)

Thể tích phần còn lại là \[V = \frac{5}{6}\pi {R^2}h = \frac{5}{6}\pi {.5^2}.9 = 187,5\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\]

Chọn B

Bán kính đáy hình trụ là \[r = 4:2 = 2\left( {{\rm{dm}}} \right)\], chiều cao \(h = 4\,{\rm{dm}}\).

Suy ra diện tích toàn phần hình trụ là

\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .2.4 + 2\pi {.2^2} = 16\pi + 8\pi = 24\pi \left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Chọn B

Gọi bán kính đáy là \(r\). Suy ra chiều cao \(h = 2r\). Theo giả thiết, ta có \(\pi {r^2} = 20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là

\({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.2r = 4\pi {r^2} = 4.20 = 80\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Chọn C

Gọi bán kính đáy, chiều cao và thể tích của hình trụ thứ nhất và hình trụ thứ hai lần lượt là \({r_1},\,{h_1},\,{V_1}\) và \({r_2},\,{h_2},\,{V_2}\).

Theo giả thiết, ta có \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = 2\) và \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = \frac{1}{4}\).

\({V_1} = \pi {r_1}^2{h_1},\,{V_2} = \pi {r_2}^2{h_2} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi {r_1}^2{h_1}}}{{\pi {r_2}^2{h_2}}} = {\left( {\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}} \right)^2}.\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = {2^2}.\frac{1}{4} = 1\).

Chọn A

Thể tích của viên đá bằng thể tích của một hình trụ có đường kính đáy bằng \(18cm\), chiều cao bằng \(18 - 15 = 3\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy thể tích của viên đá là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.9^2}.3 \approx 763\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Chọn D

Vì \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] suy ra \[{3^2} + {4^2} = {l^2} \Leftrightarrow {l^2} = 25 \Rightarrow l = 5{\mkern 1mu} cm\]

Diện tích xung quanh của hình trụ là \[{S_{xq}} = \pi Rl = \pi .3.5 = 15\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^2})\].

Chọn A

Bán kính đường tròn đáy \[R = \frac{d}{2} = \frac{{10}}{2} = 5{\mkern 1mu} cm\]

Diện tích xung quanh \[{S_{xq}} = \pi Rl\] hay \[\pi .5.l = 65\pi \Rightarrow l = 13{\mkern 1mu} cm\]

Ta có \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] hay \[{5^2} + {h^2} = {13^2}\] nên \[{h^2} = 144 \Rightarrow h = 12{\mkern 1mu} cm\]

Thể tích khối nón \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.12 = 100\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\]

Chọn B

Bán kính đường tròn đáy \[R = \frac{d}{2} = \frac{{18}}{2} = 9{\mkern 1mu} cm\]

Diện tích xung quanh \[{S_{xq}} = \pi Rl\] hay \[\pi .9.l = 135\pi \Rightarrow l = 15{\mkern 1mu} cm\]

Ta có \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] hay \[{9^2} + {R^2} = {15^2}\]suy ra \[{h^2} = 144 \Rightarrow h = 12{\mkern 1mu} cm\]

Thể tích khối nón \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.9^2}.12 = 324\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\]

Chọn B

Ta có \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi {R^2}.10 = 1000\pi \Rightarrow {R^2} = 300 \Rightarrow R = 10\sqrt 3 \]

Và \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] nên \[{10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = {l^2}\] suy ra \[l = 20{\mkern 1mu} cm\]

Diện tích toàn phần của hình nón là \[{S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10\sqrt 3 .20 + \pi .300 = \left( {300 + 200\sqrt 3 } \right)\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]

Chọn D

Ta có \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\] nên \[\frac{1}{3}\pi {R^2}.24 = 800\pi \Rightarrow {R^2} = 100 \Rightarrow R = 10{\mkern 1mu} cm\]

Và \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] hay \[{10^2} + {24^2} = {l^2}\] \[l = 26{\mkern 1mu} cm\]

Chọn D

Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AB\] ta được một hình nón có chiều cao \[AB\] và bán kính đường tròn đáy là cạnh \[AC\].

Theo định lý Phytagore ta có \[A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {12^2} \Rightarrow AB = 16\] Thể tích của khối nón là \[V = \frac{1}{3}\pi A{C^2}AB = \frac{1}{3}\pi {.12^2}.16 = 768\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\]

Chọn B

Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AB\] ta được một hình nón có chiều cao \[AB\] và bán kính đường tròn đáy là cạnh \[AC\].

Theo định lý Phytagore ta có \[A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {8^2} \Rightarrow AB = 6\] Thể tích của khối nón là \[V = \frac{1}{3}\pi A{C^2}AB = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\]

Chọn A

Ta có đường sinh mới \[{l^{\prime 2}} = {(2R)^2} + {(2h)^2} = 4({R^2} + {h^2}) = {(2l)^2} \Rightarrow l' = 2l\]

Khi đó diện tích xung quanh mới \[S_{xq}^\prime = \pi .(2R).(2l) = 4.\pi Rl = 4{S_{xq}}\]

Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \[4\] lần.

Chọn C

Ta có đường sinh mới \[{l^{\prime 2}} = {(3R)^2} + {(3h)^2} = 9({R^2} + {h^2}) = {(3l)^2} \Rightarrow l' = 3l\]

Khi đó diện tích xung quanh mới \[S_{xq}^\prime = \pi .(3R).(3l) = 9.\pi Rl = 9{S_{xq}}\]

Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \[9\] lần.

Chọn B

Xét tam giác \[ABC\] đều có \[AM\] vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Nên ta có \[MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\].

Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AM\] ta được hình nón đỉnh \[A\], bán kính đáy là \[MC\], đường sinh \[AC\] và chiều cao \[AM\].

Diện tích toàn phần của hình nón là \[{S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2}\]

\[ = \pi .\frac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3\pi {a^2}}}{4}\].

Chọn C

Xét tam giác \[ABC\] đều có \[AM\] vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Nên ta có \[MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2(cm)\].

Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AM\] ta được hình nón đỉnh \[A\], bán kính đáy là \[MC\], đường sinh \[AC\] và chiều cao \[AM\].

Diện tích toàn phần của hình nón là \[{S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2}\]

\[ = \pi .2.4 + \pi {.2^2} = 12\pi (c{m^2})\]

Chọn A

Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên \[{V_t} = \pi {R^2}h\] và \[{V_n} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\]. Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \[\frac{2}{3}\] thể tích khối trụ Nên thể tích khối trụ là \[{V_t} = 640\pi :\frac{2}{3} = 960\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].

Chọn A

Ta có \[{V_t} = \pi {R^2}h = 960\pi \Leftrightarrow \pi {R^2}.15 = 960\pi \]

\[ \Rightarrow R = 8{\mkern 1mu} cm\] nên bán kính đáy của hình nón là \[R = 8{\mkern 1mu} cm\].

Chiều cao hình nón \[h = 15{\mkern 1mu} cm \Rightarrow \] đường sinh hình nón \[{l^2} = {h^2} + {R^2} \Rightarrow l = 17{\mkern 1mu} cm\].

Diện tích xung quanh hình nón là \[S = \pi Rl = \pi .8.17 = 136\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].

Chọn D

Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên \[{V_t} = \pi {R^2}h\] và \[{V_n} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\]. Do đó phần gỗ bỏ đi chiểm \[\frac{2}{3}\] thể tích khối trụ. Nên thể tích khối trụ là \[{V_t} = 960\pi :\frac{2}{3} = 1440\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].

Chọn C

Ta có \[{V_t} = \pi {R^2}h = 1440\pi \Leftrightarrow \pi {R^2}.24 = 1440\pi \Rightarrow R = 2\sqrt {15} {\mkern 1mu} cm\] nên bán kính đáy của hình nón là \[R = 2\sqrt {15} {\mkern 1mu} cm\], chiều cao hình nón \[h = 24{\mkern 1mu} cm \Rightarrow \] đường sinh hình nón \[{l^2} = {h^2} + {R^2}\] \[ \Rightarrow l = 2\sqrt {159} {\mkern 1mu} cm\]

Diện tích xung quanh hình nón là \[S = \pi Rl = \pi .2\sqrt {15} .2\sqrt {159} = 4\sqrt {2385} \pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]

Chọn A

Thể tích của hình nón có bán kính đáy \[r\], chiều cao \[h\] là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Suy ra \(r = \sqrt {\frac{{3V}}{{\pi h}}} = \sqrt {\frac{{3.\,24\pi }}{{\pi .2}}} = \sqrt {36} = 6\left( {{\rm{dm}}} \right)\).

Chọn D

Gọi \[h\] và \[l\] theo thứ tự là chiều cao và đường sinh của hình nón. Khi đó:

Diện tích xung quanh của hình nón là \(\pi rl\).

Diện tích đáy của hình nón là \(\pi {r^2}\).

Vì hình nón có diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên \(\pi rl = 2\pi {r^2} \Rightarrow l = 2r\).

Lại có \({l^2} = {h^2} + {r^2} \Rightarrow {h^2} = {l^2} - {r^2} = {\left( {2r} \right)^2} - {r^2} = 3{r^2} \Rightarrow h = r\sqrt 3 \).

Vậy thể tích của hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}.r\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\).

Chọn A

Vì đường kính \[d = 6{\mkern 1mu} cm\] nên bán kính hình cầu \[R = \frac{6}{2} = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\]

Diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^2})\].

Chọn B

Ta có \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi \Rightarrow {R^3} = 216 \Rightarrow R = 6{\mkern 1mu} cm\]

Từ đó đường kính mặt cầu là \[d = 2R = 2.6 = 12{\mkern 1mu} cm\].

Chọn A

Ta có \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 972\pi \Rightarrow {R^3} = 729 \Rightarrow R = 9{\mkern 1mu} cm\]

Từ đó đường kính mặt cầu là \[d = 2R = 2.9 = 18{\mkern 1mu} cm\].

Chọn A

Từ giả thiết ta có \[4\pi {R^2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = 3{R^2} \Rightarrow R = 3{\mkern 1mu} \].

Chọn D

Từ giả thiết ta có \[4\pi {R^2} = 2.\frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = \frac{3}{2}{R^2} \Rightarrow R = \frac{3}{2}\]

Chọn D

Gọi \[l\] là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có

\[4\pi {R^2} = \pi Rl + \pi {R^2}\] hay \[4{R^2} = Rl + {R^2}\]

\[3{R^2} = Rl\]

\[ \Rightarrow l = 3R = 3.3 = 9{\mkern 1mu} cm\]

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có \[{h^2} = {l^2} - {R^2} = {9^2} - {3^2} = 72 \Rightarrow h = 6\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\].

Chọn B

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2}\], diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}\]

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là \[\frac{S}{{{S_{xq}}}} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{4\pi {R^2}}} = 1\].

Chọn C

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2}\], diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}\]

Diện tích toàn phần của hình trụ là \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2\pi {R^2} = 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2}\]

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ là \[\frac{S}{{{S_{tp}}}} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{6\pi {R^2}}} = \frac{2}{3}\].

Chọn A

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích hình cầu \[{V_c} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]; thể tích khối trụ \[{V_t} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}\]

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là \[\frac{{{V_c}}}{{{V_t}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \frac{2}{3}\].

Chọn B

Từ đề bài suy ra chiều cao hình trụ là \[h = 3R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích hình cầu \[{V_c} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]; thể tích khối trụ \[{V_t} = \pi {R^2}.3R = 3\pi {R^3}\]

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là \[\frac{{{V_c}}}{{{V_t}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{3\pi {R^3}}} = \frac{4}{9}\]

Chọn C

Từ đề bài suy ra chiều cao hình trụ là \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích khối cầu \[{S_c} = 4\pi {R^2}\]; diện tích toàn phần hình lập phương \[S = 6{a^2} = 24{R^2}\]

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình lập phương là \(\frac{{4\pi {R^2}}}{{24{R^2}}} = \frac{\pi }{6}\)

Chọn A

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu \[R = \frac{a}{2}\] với \[a\] là cạnh hình lập phương.

Diện tích toàn phần của hình lập phương \[{S_{tp}} = 6{a^2} = 24\] suy ra \[a = 2cm\]

Suy ra \[R = \frac{2}{2} = 1cm\]

Chọn A

Gọi bán kính của hình cầu là \[R\]$c{m}^2$.

Thể tích và diện tích bề mặt của hình cầu đấy lần lượt là \[\frac{4}{3}\pi {R^3}\] và \[4\pi {R^2}\].

Theo giả thiết ta có \[\frac{4}{3}\pi {R^3} = 2.4\pi .{R^2} \Leftrightarrow \frac{R}{3}\, = 2 \Leftrightarrow R = 6\] $c{m}^2$

Vậy bán kính của hình cầu là \[6\]$c{m}^2$.

Chọn C

Giả sử bán kính của hình cầu và bán kính của hình nón là \(R\).

Khi đó diện tích toàn phần của hình nón: \[{S_1} = \pi Rl + \pi {R^2} = 5\pi R + \pi {R^2}\]

Diện tích toàn phần của hình cầu là: \({S_2} = 4\pi {R^2}\)

Theo giả thiết \({S_1} = \frac{2}{3}{S_2}\)

Suy ra \[5\pi R + \pi {R^2} = \frac{2}{3}4\pi {R^2}\] hay \[5 + R = \frac{8}{3}R\] nên \[R = 3\left( {cm} \right)\].