50 bài tập Hình khối trong thực tiễn có lời giải
50 câu hỏi
Cho hình trụ có chu vi đáy là \(8\pi \) và chiều cao \(h = 10\). Tính thể tích hình trụ.
\[80\pi \].
\[40\pi \].
\[160\pi \].
\[150\pi \].
Chọn C
Ta có chu vi đáy \[C = 2\pi R = 8\pi \Rightarrow R = 4\]
Thể tích hình trụ là \[V = \pi {R^2}h = \pi {.4^2}.10 = 160\pi \] (đvtt).
Cho hình trụ có bán kính đáy \(R = 3\,(cm)\) và chiều cao \(h = 6\,(cm)\). Diện tích xung quanh của hình trụ là.
\[40\pi \].
\[36\pi \].
\[18\pi \].
\[24\pi \].
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ là \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.6 = 36\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Cho hình trụ có bán kính đáy \(R = 4\,(cm)\) và chiều cao \(h = 5\,\,(cm)\). Diện tích xung quanh của hình trụ là.
\[40\pi \].
\[30\pi \].
\[20\pi \].
\[50\pi \].
Chọn A
Diện tích xung quanh của hình trụ là \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.5 = 40\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Cho hình trụ có bán kính đáy \(R = 12\,\,(cm)\) và diện tích toàn phần \(672\pi \,\,(c{m^2})\). Tính chiều cao của hình trụ.
\[16{\mkern 1mu} cm\].
\[18{\mkern 1mu} cm\].
\[8{\mkern 1mu} cm\].
\[20{\mkern 1mu} cm\].
Chọn A
Ta có diện tích toàn phần của hình trụ \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{2d}} = 24\pi h + 2\pi {.12^2} = 672\pi \Rightarrow h = 16{\mkern 1mu} cm\]
Cho hình trụ có bán kính đáy \(R = 12\,\,(cm)\) và diện tích toàn phần \(672\pi \,\,(c{m^2})\). Tính chiều cao của hình trụ.
\[16{\mkern 1mu} cm\].
\[18{\mkern 1mu} cm\].
\[8{\mkern 1mu} cm\].
\[20{\mkern 1mu} cm\].
Chọn A
Ta có diện tích toàn phần của hình trụ \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{2d}} = 24\pi h + 2\pi {.12^2} = 672\pi \Rightarrow h = 16{\mkern 1mu} cm\]
Chọn câu đúng. Cho hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\). Nếu ta giảm chiều cao đi \[9\] lần và tăng bán kính đáy lên \[3\] lần thì.
Thể tích hình trụ không đổi.
Diện tích toàn phần không đổi.
Diện tích xung quanh không đổi.
Chu vi đáy không đổi.
Chọn A
Chiều cao mới của hình trụ là \[h' = \frac{h}{9}\]; bán kính đáy mới là \[R' = 3R\]
Hình trụ mới có:
Chu vi đáy \[2\pi R' = 2\pi .3R = 6\pi R = 3.2\pi R = 3C\] nên phương án D sai.
Diện tích toàn phần \[2\pi R'h + 2\pi {R^{\prime 2}} = 2\pi 3R\frac{h}{9} + 2\pi .(3R) = \frac{{2\pi Rh}}{3} + 6\pi R \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\] nên phương án B sai.
Thể tích \[\pi {R^{\prime 2}}h' = \pi {(3R)^2}\frac{h}{9} = 9\pi {R^2}\frac{h}{9} = \pi {R^2}h\] nên phương án A đúng.
Diện tích xung quanh \[2\pi R'h' = 2\pi .3R.\frac{h}{9} = \frac{{2\pi Rh}}{3} \ne 2\pi Rh\] nên phương án C sai.
Chọn câu đúng. Cho hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\). Nếu ta tăng chiều cao lên \[2\] lần và giảm bán kính đáy đi \[2\] lần thì.
Thể tích hình trụ không đổi.
Diện tích toàn phần không đổi.
Diện tích xung quanh không đổi.
Chu vi đáy không đổi.
Chọn C
Chiều cao mới của hình trụ là \[h' = 2h\]; bán kính đáy mới là \[R' = \frac{R}{2}\]
Hình trụ mới có:
Chu vi đáy \[2\pi R' = 2\pi \frac{R}{2} = \pi R < 2\pi R = C\] nên phương án D sai.
Diện tích toàn phần \[2\pi R'h + 2\pi {R^{\prime 2}} = 2\pi Rh + \frac{{\pi {R^2}}}{2} \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\] nên phương án B sai.
Thể tích \[\pi {R^{\prime 2}}h = \frac{{\pi {R^2}h}}{4} \ne \pi {R^2}h\] nên phương án A sai.
Diện tích xung quanh \[2\pi R'h = 2\pi .\frac{R}{2}.2h = 2\pi Rh\] nên phương án C đúng.
Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao \(h = 10(cm)\) và đường kính đáy là \(d = 6cm\). Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy \(\pi \simeq 3,14\).
\[110\pi \,\,(c{m^2})\].
\[129\pi \,\,(c{m^2})\].
\[96\pi {\mkern 1mu} \,\,(c{m^2})\].
\[69\pi {\mkern 1mu} \,\,(c{m^2})\].
Chọn D
Bán kính đường tròn đáy \[R = \frac{6}{2} = 3{\mkern 1mu} cm\] nên diện tích một đáy là
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.10 = 60\pi \,{\mkern 1mu} c{m^2}\]
Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích toàn phần của hộp sữa là \[{S_{tp}} = 9\pi + 60\pi = 69\pi \,\,(c{m^2})\]
Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao \(h = 12\,cm\) và đường kính đáy là \(d = 8\,cm\). Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy \(\pi \simeq 3,14\).
\[110\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[128\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[96\pi (c{m^2})\].
\[112\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Chọn D
Bán kính đường tròn đáy \[R = \frac{8}{2} = 4{\mkern 1mu} cm\] nên diện tích một đáy \[{S_d} = \pi {R^2} = 16\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.12 = 96\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích xung quanh của hộp sữa \[{S_{tp}} = 96\pi + 16\pi = 112\pi (c{m^2})\].
Một trục lăn có dạng hình trụ nằm ngang (như hình vẽ), hình trụ có diện tích một đáy \(S = 25\pi \,c{m^2}\) và chiều cao \(h = 10cm\). Nếu trục lăn đủ \(12\) vòng thì diện tích tạo trên sân phẳng là bao nhiêu?
\[1200\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[600\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[1000\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[1210\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Chọn A
Bán kính \[R\] của đường tròn đáy là \[\pi {R^2} = 25\pi \Rightarrow R = 5{\mkern 1mu} cm\]
Diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .5.10 = 100\pi (c{m^2})\]
Vì trục lăn \[12\] vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là \[12.100\pi = 1200\pi (c{m^2})\]
Một trục lăn có dạng hình trụ nằm ngang (như hình vẽ), hình trụ có diện tích một đáy \(S = 36\pi \,c{m^2}\) và chiều cao \(h = 8\,cm\). Nếu trục lăn đủ \(10\) vòng thì diện tích tạo trên sân phẳng là bao nhiêu?
\(1200\pi (c{m^2})\).
\(480\pi (c{m^2})\).
\[960\pi (c{m^2})\].
\[960{\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Chọn C
Bán kính \[R\] của đường tròn đáy là \[\pi {R^2} = 36\pi \Rightarrow R = 6{\mkern 1mu} cm\]
Diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .6.8 = 96\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Vì trục lăn \[10\] vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là \[10.96\pi = 960\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Tính chiều cao của hình trụ có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh và bán kính đáy là \(3\,cm\).
\[7{\mkern 1mu} cm\].
\[5{\mkern 1mu} cm\].
\[3{\mkern 1mu} cm\].
\[9{\mkern 1mu} cm\].
Chọn C
Từ giả thiết ta có \[2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2.2.\pi Rh \Rightarrow Rh = {R^2} \Rightarrow R = h\]
Vậy chiều cao của hình trụ là \[3{\mkern 1mu} \,cm\].
Tính chiều cao của hình trụ có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh và bán kính đáy là \(4\,cm\).
\[2{\mkern 1mu} cm\].
\[4{\mkern 1mu} cm\].
\[1{\mkern 1mu} cm\].
\[8{\mkern 1mu} cm\].
Chọn A
Từ giả thiết ta có \[2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2.2.\pi Rh \Rightarrow Rh = {R^2} \Rightarrow h = R = 4\,cm\]. Vậy chiều cao của hình trụ là \[2{\mkern 1mu} cm\].
Cho hình trụ bị cắt bỏ một phần \(OABB'A'O'\) như hình vẽ. Thể tích phần còn lại là:
\[70\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[80\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[60\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[10\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Chọn A
Phần hình trụ bị cắt đi chiếm \[\frac{{{{45}^ \circ }}}{{{{360}^ \circ }}} = \frac{1}{8}\] (hình trụ)
Thể tích phần còn lại là \[V = \frac{7}{8}\pi {R^2}h = \frac{7}{8}\pi {.4^2}.5 = 70\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\]
Cho hình trụ bị cắt bỏ một phần \(OABB'A'O'\) như hình vẽ. tính thể tích phần còn lại là:
\[187,5\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[187\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[375\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[75\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Chọn A
Phần hình trụ bị cắt đi chiếm \[\frac{{{{60}^ \circ }}}{{{{360}^ \circ }}} = \frac{1}{6}\] (hình trụ)
Thể tích phần còn lại là \[V = \frac{5}{6}\pi {R^2}h = \frac{5}{6}\pi {.5^2}.9 = 187,5\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\]
Một hình trụ có đường kính đáy và chiều cao đều bằng \[4\,{\rm{dm}}\]. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng
\(12\pi \,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(24\pi \,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(48\pi \,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(64\pi \,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Chọn B
Bán kính đáy hình trụ là \[r = 4:2 = 2\left( {{\rm{dm}}} \right)\], chiều cao \(h = 4\,{\rm{dm}}\).
Suy ra diện tích toàn phần hình trụ là
\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .2.4 + 2\pi {.2^2} = 16\pi + 8\pi = 24\pi \left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Một hình trụ có diện tích đáy bằng \(20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), chiều cao bằng đường kính đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng bao nhiêu?
\(40\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(80\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(40\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\(80\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Chọn B
Gọi bán kính đáy là \(r\). Suy ra chiều cao \(h = 2r\). Theo giả thiết, ta có \(\pi {r^2} = 20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là
\({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.2r = 4\pi {r^2} = 4.20 = 80\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho hai hình trụ. Hình trụ thứ nhất có bán kính đáy gấp 2 lần bán kính đáy của hình trụ thứ hai và có chiều cao bằng \(\frac{1}{4}\) chiều cao của hình trụ thứ hai. Tỉ số các thể tích của hình trụ thứ nhất và hình trụ thứ hai là
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{3}{2}\).
1.
2.
Chọn C
Gọi bán kính đáy, chiều cao và thể tích của hình trụ thứ nhất và hình trụ thứ hai lần lượt là \({r_1},\,{h_1},\,{V_1}\) và \({r_2},\,{h_2},\,{V_2}\).
Theo giả thiết, ta có \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = 2\) và \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = \frac{1}{4}\).
\({V_1} = \pi {r_1}^2{h_1},\,{V_2} = \pi {r_2}^2{h_2} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi {r_1}^2{h_1}}}{{\pi {r_2}^2{h_2}}} = {\left( {\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}} \right)^2}.\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = {2^2}.\frac{1}{4} = 1\).
Để đo thể tích của một viên đá, người ta cho viên đá đó vào trong một chiếc bình hình trụ, rồi đổ nước cho ngập viên đá, khi đó mực nước trong bình cao \(18\,{\rm{cm}}\). Sau đó, người ta lấy viên đá ra khỏi bình, khi đó mực nước trong bình cao \(15\,{\rm{cm}}\). Biết rằng đường kính đáy của hình trụ bằng \(18\,{\rm{cm}}\). Thể tích của viên đá xấp xỉ bằng
\(763\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(679\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(170\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
\(254\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Chọn A
Thể tích của viên đá bằng thể tích của một hình trụ có đường kính đáy bằng \(18cm\), chiều cao bằng \(18 - 15 = 3\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy thể tích của viên đá là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.9^2}.3 \approx 763\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho hình nón có bán kính đáy \(R = 3\,(cm)\) và chiều cao \(h = 4\,(cm)\).
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\[25\pi (c{m^2})\].
\[12\pi (c{m^2})\].
\[20\pi (c{m^2})\].
\[15\pi (c{m^2})\].
Chọn D
Vì \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] suy ra \[{3^2} + {4^2} = {l^2} \Leftrightarrow {l^2} = 25 \Rightarrow l = 5{\mkern 1mu} cm\]
Diện tích xung quanh của hình trụ là \[{S_{xq}} = \pi Rl = \pi .3.5 = 15\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Cho hình nón có đường kính đáy \(d = 10cm\) và diện tích xung quanh\(65\pi \,(c{m^2})\). Tính thể tích khối nón.
\[100\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[120\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[300\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[200\pi (c{m^3})\].
Chọn A
Bán kính đường tròn đáy \[R = \frac{d}{2} = \frac{{10}}{2} = 5{\mkern 1mu} cm\]
Diện tích xung quanh \[{S_{xq}} = \pi Rl\] hay \[\pi .5.l = 65\pi \Rightarrow l = 13{\mkern 1mu} cm\]
Ta có \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] hay \[{5^2} + {h^2} = {13^2}\] nên \[{h^2} = 144 \Rightarrow h = 12{\mkern 1mu} cm\]
Thể tích khối nón \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.12 = 100\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\]
Cho hình nón có đường kính đáy \(d = 18\,cm\) và diện tích xung quanh\(135\pi (c{m^2})\). Tính thể tích khối nón.
\[972\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[324\pi (c{m^3})\].
\[324{\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[234\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Chọn B
Bán kính đường tròn đáy \[R = \frac{d}{2} = \frac{{18}}{2} = 9{\mkern 1mu} cm\]
Diện tích xung quanh \[{S_{xq}} = \pi Rl\] hay \[\pi .9.l = 135\pi \Rightarrow l = 15{\mkern 1mu} cm\]
Ta có \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] hay \[{9^2} + {R^2} = {15^2}\]suy ra \[{h^2} = 144 \Rightarrow h = 12{\mkern 1mu} cm\]
Thể tích khối nón \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.9^2}.12 = 324\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\]
Cho hình nón có chiều cao \(h = 10cm\) và thể tích \(V = 1000\pi (c{m^3})\). Tính diện tích toàn phần của hình nón.
\[100\pi (c{m^2})\].
\[(300 + 200\sqrt 3 )\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[300\pi (c{m^2})\].
\[250\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Chọn B
Ta có \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi {R^2}.10 = 1000\pi \Rightarrow {R^2} = 300 \Rightarrow R = 10\sqrt 3 \]
Và \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] nên \[{10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = {l^2}\] suy ra \[l = 20{\mkern 1mu} cm\]
Diện tích toàn phần của hình nón là \[{S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10\sqrt 3 .20 + \pi .300 = \left( {300 + 200\sqrt 3 } \right)\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Cho hình nón có chiều cao \(h = 24cm\) và thể tích \[V = 800\pi (c{m^3})\]. Tính diện tích toàn phần của hình nón.
\[160\pi (c{m^2})\].
\[260\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[300\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[360\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Chọn D
Ta có \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\] nên \[\frac{1}{3}\pi {R^2}.24 = 800\pi \Rightarrow {R^2} = 100 \Rightarrow R = 10{\mkern 1mu} cm\]
Và \[{R^2} + {h^2} = {l^2}\] hay \[{10^2} + {24^2} = {l^2}\] \[l = 26{\mkern 1mu} cm\]
Cho tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) có \(BC = 20cm;AC = 12cm\). Quay tam giác \(ABC\) cạnh \(AB\) ta được một hình nón có thể tích là:
\[2304{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[1024\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[786\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[768\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Chọn D
Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AB\] ta được một hình nón có chiều cao \[AB\] và bán kính đường tròn đáy là cạnh \[AC\].
Theo định lý Phytagore ta có \[A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {12^2} \Rightarrow AB = 16\] Thể tích của khối nón là \[V = \frac{1}{3}\pi A{C^2}AB = \frac{1}{3}\pi {.12^2}.16 = 768\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\]
Cho tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) có \(BC = 10cm;AC = 8cm\). Quay tam giác \(ABC\) cạnh \(AB\) ta được một hình nón có thể tích là:
\[182{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[128\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[96\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[128{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Chọn B
Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AB\] ta được một hình nón có chiều cao \[AB\] và bán kính đường tròn đáy là cạnh \[AC\].
Theo định lý Phytagore ta có \[A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {8^2} \Rightarrow AB = 6\] Thể tích của khối nón là \[V = \frac{1}{3}\pi A{C^2}AB = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\]
Nếu ta tăng bán kính đáy và chiều cao của một hình nón lên hai lần thì diện tích xung quanh hình nón đó.
Tăng \[4\] lần.
Giảm \[4\] lần.
Tăng \[2\] lần.
Không đổi.
Chọn A
Ta có đường sinh mới \[{l^{\prime 2}} = {(2R)^2} + {(2h)^2} = 4({R^2} + {h^2}) = {(2l)^2} \Rightarrow l' = 2l\]
Khi đó diện tích xung quanh mới \[S_{xq}^\prime = \pi .(2R).(2l) = 4.\pi Rl = 4{S_{xq}}\]
Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \[4\] lần.
Nếu ta tăng bán kính đáy và chiều cao của một hình nón lên ba lần thì diện tích xung quanh hình nón đó.
Tăng \[3\] lần.
Giảm \[3\] lần.
Tăng \[9\] lần.
Không đổi.
Chọn C
Ta có đường sinh mới \[{l^{\prime 2}} = {(3R)^2} + {(3h)^2} = 9({R^2} + {h^2}) = {(3l)^2} \Rightarrow l' = 3l\]
Khi đó diện tích xung quanh mới \[S_{xq}^\prime = \pi .(3R).(3l) = 9.\pi Rl = 9{S_{xq}}\]
Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \[9\] lần.
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), đường trung tuyến \(AM\). Quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AM\). Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành.
\[\frac{{3\pi {a^2}}}{2}\].
\[\frac{{3\pi {a^2}}}{4}\].
\[\frac{{3\pi {a^2}}}{2}\].
\[\frac{{\pi {a^2}}}{2}\].
Chọn B
Xét tam giác \[ABC\] đều có \[AM\] vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.
Nên ta có \[MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\].
Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AM\] ta được hình nón đỉnh \[A\], bán kính đáy là \[MC\], đường sinh \[AC\] và chiều cao \[AM\].
Diện tích toàn phần của hình nón là \[{S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2}\]
\[ = \pi .\frac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3\pi {a^2}}}{4}\].
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(4cm\), đường trung tuyến \(AM\). Quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AM\). Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành (đơn vị \(c{m^2}\)).
\[18\pi (c{m^2})\].
\[12(c{m^2})\].
\[12\pi (c{m^2})\].
\[24\pi (c{m^2})\].
Chọn C
Xét tam giác \[ABC\] đều có \[AM\] vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.
Nên ta có \[MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2(cm)\].
Khi quay tam giác \[ABC\] quanh cạnh \[AM\] ta được hình nón đỉnh \[A\], bán kính đáy là \[MC\], đường sinh \[AC\] và chiều cao \[AM\].
Diện tích toàn phần của hình nón là \[{S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2}\]
\[ = \pi .2.4 + \pi {.2^2} = 12\pi (c{m^2})\]
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \[15{\mkern 1mu} cm\], người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \[640\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c{m^3}\]. Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
\[960\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[320\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[640\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[690\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Chọn A
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên \[{V_t} = \pi {R^2}h\] và \[{V_n} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\]. Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \[\frac{2}{3}\] thể tích khối trụ Nên thể tích khối trụ là \[{V_t} = 640\pi :\frac{2}{3} = 960\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \[15{\mkern 1mu} cm\], người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \[640\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c{m^3}\]. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
\[136\pi (c{m^2})\].
\[120\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[272\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[163\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Chọn A
Ta có \[{V_t} = \pi {R^2}h = 960\pi \Leftrightarrow \pi {R^2}.15 = 960\pi \]
\[ \Rightarrow R = 8{\mkern 1mu} cm\] nên bán kính đáy của hình nón là \[R = 8{\mkern 1mu} cm\].
Chiều cao hình nón \[h = 15{\mkern 1mu} cm \Rightarrow \] đường sinh hình nón \[{l^2} = {h^2} + {R^2} \Rightarrow l = 17{\mkern 1mu} cm\].
Diện tích xung quanh hình nón là \[S = \pi Rl = \pi .8.17 = 136\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \[24{\mkern 1mu} cm\], người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \[960\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c{m^3}\]. Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
\[960\pi (c{m^3})\].
\[720\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[1920\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
\[1440\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Chọn D
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên \[{V_t} = \pi {R^2}h\] và \[{V_n} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\]. Do đó phần gỗ bỏ đi chiểm \[\frac{2}{3}\] thể tích khối trụ. Nên thể tích khối trụ là \[{V_t} = 960\pi :\frac{2}{3} = 1440\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^3})\].
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \[24{\mkern 1mu} cm\], người ta tiện thành một hình nón (như hình vẽ). Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \[960\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c{m^3}\]. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
\[4\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[4\sqrt {2385} {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[4\sqrt {2385} \pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[2385\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Chọn C
Ta có \[{V_t} = \pi {R^2}h = 1440\pi \Leftrightarrow \pi {R^2}.24 = 1440\pi \Rightarrow R = 2\sqrt {15} {\mkern 1mu} cm\] nên bán kính đáy của hình nón là \[R = 2\sqrt {15} {\mkern 1mu} cm\], chiều cao hình nón \[h = 24{\mkern 1mu} cm \Rightarrow \] đường sinh hình nón \[{l^2} = {h^2} + {R^2}\] \[ \Rightarrow l = 2\sqrt {159} {\mkern 1mu} cm\]
Diện tích xung quanh hình nón là \[S = \pi Rl = \pi .2\sqrt {15} .2\sqrt {159} = 4\sqrt {2385} \pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\]
Một hình nón có thể tích bằng \(24\pi \,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\), chiều cao bằng \(2{\rm{dm}}\). Bán kính đáy của hình nón đó bằng
\[6{\rm{dm}}\].
\[\sqrt {24} {\rm{dm}}\].
\[12{\rm{dm}}\].
\[4{\rm{dm}}\].
Chọn A
Thể tích của hình nón có bán kính đáy \[r\], chiều cao \[h\] là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Suy ra \(r = \sqrt {\frac{{3V}}{{\pi h}}} = \sqrt {\frac{{3.\,24\pi }}{{\pi .2}}} = \sqrt {36} = 6\left( {{\rm{dm}}} \right)\).
Một hình nón có diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Thể tích của hình nón đó tính theo bán kính đáy \[r\] là
\(\frac{1}{3}\pi {r^3}\).
\(\frac{2}{3}\pi {r^3}\).
\(\sqrt 3 \pi {r^3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\).
Chọn D
Gọi \[h\] và \[l\] theo thứ tự là chiều cao và đường sinh của hình nón. Khi đó:
Diện tích xung quanh của hình nón là \(\pi rl\).
Diện tích đáy của hình nón là \(\pi {r^2}\).
Vì hình nón có diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên \(\pi rl = 2\pi {r^2} \Rightarrow l = 2r\).
Lại có \({l^2} = {h^2} + {r^2} \Rightarrow {h^2} = {l^2} - {r^2} = {\left( {2r} \right)^2} - {r^2} = 3{r^2} \Rightarrow h = r\sqrt 3 \).
Vậy thể tích của hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}.r\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\).
Cho hình cầu có đường kính \(d = 6cm\). Diện tích mặt cầu là.
\[36\pi \,(c{m^2})\].
\[9\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[12\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
\[36\pi {\mkern 1mu} (cm)\].
Chọn A
Vì đường kính \[d = 6{\mkern 1mu} cm\] nên bán kính hình cầu \[R = \frac{6}{2} = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\]
Diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (c{m^2})\].
Cho mặt cầu có thể tích \(V = 288\pi (c{m^3})\). Tính đường kính mặt cầu.
\[6{\mkern 1mu} cm\].
\[12{\mkern 1mu} cm\].
\[8{\mkern 1mu} cm\].
\[16{\mkern 1mu} cm\].
Chọn B
Ta có \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi \Rightarrow {R^3} = 216 \Rightarrow R = 6{\mkern 1mu} cm\]
Từ đó đường kính mặt cầu là \[d = 2R = 2.6 = 12{\mkern 1mu} cm\].
Cho mặt cầu có thể tích \(V = 972\pi (c{m^3})\). Tính đường kính mặt cầu.
\[18{\mkern 1mu} cm\].
\[12{\mkern 1mu} cm\].
\[9{\mkern 1mu} cm\].
\[16{\mkern 1mu} cm\].
Chọn A
Ta có \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 972\pi \Rightarrow {R^3} = 729 \Rightarrow R = 9{\mkern 1mu} cm\]
Từ đó đường kính mặt cầu là \[d = 2R = 2.9 = 18{\mkern 1mu} cm\].
Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.
\(3\).
\(6\).
\(9\).
\(12\).
Chọn A
Từ giả thiết ta có \[4\pi {R^2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = 3{R^2} \Rightarrow R = 3{\mkern 1mu} \].
Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng hai lần với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.
\(3\).
\(6\).
\(9\).
\(\frac{3}{2}\).
Chọn D
Từ giả thiết ta có \[4\pi {R^2} = 2.\frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = \frac{3}{2}{R^2} \Rightarrow R = \frac{3}{2}\]
Cho mặt cầu có bán kính \(3cm\). Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng \(3cm\) và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.
\(3\).
\[6\sqrt 3 \].
\[72\].
\[6\sqrt 2 \].
Chọn D
Gọi \[l\] là độ dài đường sinh của hình nón.
Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có
\[4\pi {R^2} = \pi Rl + \pi {R^2}\] hay \[4{R^2} = Rl + {R^2}\]
\[3{R^2} = Rl\]
\[ \Rightarrow l = 3R = 3.3 = 9{\mkern 1mu} cm\]
Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có \[{h^2} = {l^2} - {R^2} = {9^2} - {3^2} = 72 \Rightarrow h = 6\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\].
Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
\(3\).
\(1\).
\(\frac{1}{2}\).
\(2\).
Chọn B
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2}\], diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}\]
Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là \[\frac{S}{{{S_{xq}}}} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{4\pi {R^2}}} = 1\].
Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ.
\[\frac{3}{2}\].
\(1\).
\[\frac{2}{3}\].
\(2\).
Chọn C
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2}\], diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}\]
Diện tích toàn phần của hình trụ là \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2\pi {R^2} = 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2}\]
Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ là \[\frac{S}{{{S_{tp}}}} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{6\pi {R^2}}} = \frac{2}{3}\].
Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{3}{2}\].
\(\frac{1}{2}\).
\(2\).
Chọn A
Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Thể tích hình cầu \[{V_c} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]; thể tích khối trụ \[{V_t} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}\]
Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là \[\frac{{{V_c}}}{{{V_t}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \frac{2}{3}\].
Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng chiều cao của hình trụ bằng ba lần bán kính đáy và bán kính đáy của hình trụ bằng bán kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.
\[\frac{4}{3}\].
\[\frac{4}{9}\].
\[\frac{9}{4}\].
\[2\].
Chọn B
Từ đề bài suy ra chiều cao hình trụ là \[h = 3R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Thể tích hình cầu \[{V_c} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]; thể tích khối trụ \[{V_t} = \pi {R^2}.3R = 3\pi {R^3}\]
Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là \[\frac{{{V_c}}}{{{V_t}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{3\pi {R^3}}} = \frac{4}{9}\]
Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình lập phương.
\[\frac{6}{\pi }\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{\pi }{6}\].
\[\frac{1}{3}\].
Chọn C
Từ đề bài suy ra chiều cao hình trụ là \[h = 2R\] với \[R\] là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.
Diện tích khối cầu \[{S_c} = 4\pi {R^2}\]; diện tích toàn phần hình lập phương \[S = 6{a^2} = 24{R^2}\]
Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình lập phương là \(\frac{{4\pi {R^2}}}{{24{R^2}}} = \frac{\pi }{6}\)
Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích toàn phần của hình lập phương là \[24c{m^2}\] thì diện tích mặt cầu là:
\[4\pi \].
\(4\).
\(2\pi \).
\(2\).
Chọn A
Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu \[R = \frac{a}{2}\] với \[a\] là cạnh hình lập phương.
Diện tích toàn phần của hình lập phương \[{S_{tp}} = 6{a^2} = 24\] suy ra \[a = 2cm\]
Suy ra \[R = \frac{2}{2} = 1cm\]
Một hình cầu có số đo thể tích (tính bằng ) gấp đôi số đo diện tích bề mặt (tính bằng ) Bán kính của hình cầu đó bằng
\[6cm\].
\[3cm\].
\[8cm\].
\[12cm\].
Chọn A
Gọi bán kính của hình cầu là \[R\].
Thể tích và diện tích bề mặt của hình cầu đấy lần lượt là \[\frac{4}{3}\pi {R^3}\] và \[4\pi {R^2}\].
Theo giả thiết ta có \[\frac{4}{3}\pi {R^3} = 2.4\pi .{R^2} \Leftrightarrow \frac{R}{3}\, = 2 \Leftrightarrow R = 6\]
Vậy bán kính của hình cầu là \[6\].
Một hình nón có đường sinh bằng \(5cm\), bán kính đáy bằng bán kính của một hình cầu. Diện tích toàn phần hình nón bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích hình cầu. Bán kính hình cầu bằng
\(1cm\).
\(\frac{{15}}{8}cm\).
\(3cm\).
\(15cm\).
Chọn C
Giả sử bán kính của hình cầu và bán kính của hình nón là \(R\).
Khi đó diện tích toàn phần của hình nón: \[{S_1} = \pi Rl + \pi {R^2} = 5\pi R + \pi {R^2}\]
Diện tích toàn phần của hình cầu là: \({S_2} = 4\pi {R^2}\)
Theo giả thiết \({S_1} = \frac{2}{3}{S_2}\)
Suy ra \[5\pi R + \pi {R^2} = \frac{2}{3}4\pi {R^2}\] hay \[5 + R = \frac{8}{3}R\] nên \[R = 3\left( {cm} \right)\].
