52 bài tập Hệ Phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có lời giải

Chọn C
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.\)ta thấy bậc của \(x,y\)là bậc 2
Nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn

Chọn C
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 6\\ - 2x - y = - 5\end{array} \right.\) có hệ số \(a,b,c\) và \(a',b',c'\) là:
\(a = 1;b = 3\); \(c = 6\) và \(a' = - 2;b' = - 1\); \(c' = - 5\)

Chọn D
* Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(2 + 3 \cdot 1 = 5 \ne 6\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {2;1} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {2;1} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 3\) và \(y = 2\) vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(3 + 3 \cdot 2 = 9 \ne 6\)
Suy ra \(\left( {3;2} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {3;2} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = 6\) và \(y = 0\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \(6 + 3 \cdot 0 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - 6 - 6 = 12 \ne 0\) (không thỏa mãn)
Suy ra \(\left( {6;0} \right)\) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( {6;0} \right)\)không phải là nghiệm hệ phương trình.
* Thay \(x = - 3\) và \(y = 3\)
- Vào phương trình \(x + 3y = 6\) ta được \( - 3 + 3 \cdot 3 = 6\) (thỏa mãn)
- Vào phương trình \( - x - y = 0\) ta được \( - \left( { - 3} \right) - 3 = 0\) (thỏa mãn)
Suy ra \(\left( { - 3;3} \right)\) đồng thời thỏa mãn hai phương trình.
Nên \(\left( { - 3;3} \right)\)là nghiệm hệ phương trình.

Chọn B
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + {b_1}y = 1\\ - 3x + {b_2}y = 5\end{array} \right.\)
Ta có: \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) thì hệ có nghiệm duy nhất, mà \(\frac{a}{{a'}} = \frac{{ - 2}}{3}\) suy ra \(\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\)

Chọn A
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\2x - y = - 1\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{3}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1\) hay \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\)
Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Chọn D
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x - y = - 3\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{1}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{3}\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình vô nghiệm.

Chọn C
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\4x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\4x - 2y = - 6\end{array} \right.\)
Ta có : \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) hay \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)
Nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chọn A
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua.
Do bác Ngọc chỉ mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên.
Ta có phương trình: \(x + y = 3,5\)
Và giá tiền thịt lợn là \(130\)nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là \(50\) nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi \(295\) nghìn để mua \(3,5{\rm{kg}}\) hai loại thực phẩm trên
Ta có phương trình: \(130x + 50y = 295\)
Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\130x + 50y = 295\end{array} \right.\)

Chọn D
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - m\\ - 4x + 2y = 10\end{array} \right.\) có vô số nghiệm
Khi \(\frac{{ - 2}}{4} = \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{ - m}}{{10}}\) suy ra \( - 2m = - 1 \cdot 10\) suy ra \(m = 5\)

Chọn D
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - my = - 3\\ - 4x + 2y = 6\end{array} \right.\) vô nghiệm khi \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{6}\) suy ra \(m \ne 1\)

Chọn C
Vì \({d_1}\) cắt \({d_2}\) nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{2}x = - x + 3\)
\(x = - 2x + 6\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\) suy \(y = 1\)
Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(M\left( {2;1} \right)\)
Thay \(x = 2\) và \(y = 1\) vào
- Phương trình \(x - 2y = 0\) ta được \(2 - 2 \cdot 1 = 0\) (thỏa mãn)
- Phương trình \(x + y = 3\) ta được \(2 + 1 = 3\) (thỏa mãn)
Do cặp số \(\left( {2;1} \right)\) đều thỏa mãn hai phương trình
Nên \(M\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\)

Chọn B
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = - 1;y = 3.\)
Chú ý: Ta cũng có thể thay các giá trị của x và y ở các phương án và các phương trình đã cho. Tuy nhiên, cách này chỉ tối ưu khi việc giải hệ phương trình trên gặp khó khăn.

Chọn A
Giải hệ phương trình trên ta được \({x_0} = 5;\) \({y_0} = - 2\)\( \Rightarrow {x_0} + {y_0} = 3\).

Chọn D
Từ giả thiết ta tính được \(a = 0\), \(b = \frac{2}{3} \Rightarrow P = 0\).

Chọn B
Từ giả thiết ta tính được \[a = - 4\] và \[b = 7\], \(P = - 28\).

Chọn C
Từ giả thiết ta tính được \[x = - 1\] và \[y = 3\]. Hay \(y = - 3x\).

Chọn A
Từ giả thiết ta tính \(x = 1,y = - 4\).

Chọn A
Từ giả thiết ta tính \(x = - 6,\,\,y = 5\).

Chọn C
\(x = - 1,y = 2\) luôn thoả mãn phương trình thứ nhất. Thay \(x = - 1,y = 2\) vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 + \left( {{k^2} - 6k + 4} \right).2 = 7\) hay \({k^2} - 6k + 4 = 4\) nên \[k\left( {k - 6} \right) = 0\]nên \[k = 0\]hoặc \[k = 6\]. Vạy có 2 giá trị của k thoả mãn.

Chọn A
Nhân 2 vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 10\\\left( {{m^2} - 7m + 6} \right)x - 2y = 10\end{array} \right.\)
Hệ có vô số nghiệm khi \({m^2} - 7m + 6 = 6\) nên \(m \in {\rm{\{ }}0;7{\rm{\} }}\).

Chọn C
Giải hệ phương trình (I) ta được nghiệm\[x = 3\]; \[y = - 1\] thay vào hệ (II) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}3.3 + 4.( - 1) = 5\\\left( {k + 2} \right).3 - ( - 1) = 25\end{array} \right.\). Phương trình thứ nhất của hệ (II) đúng, phương trình thứ hai của hệ (II) có \[k + 2 = 8\] nên \[k = 6\].

Chọn A
Thay \(x = 1,y = 4\) ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}2 + (a - 3).4 = - 2\\b - 2 + 12 = 13\end{array} \right.\] ta được \(a = 2,b = 3\)

Chọn D
Giải hệ phương trình trên ta được \(x = 6,\) \(y = 5.\)

Chọn C
Đặt \(a = \sqrt x ,b = \sqrt {y - 3} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 18\\3a - b = 5\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow a = 3,b = 4 \Rightarrow x = 9,y = 19.\)

Chọn B
Biến đổi hệ (I) thành \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 14\\4x + 3y = 0\end{array} \right.\), Khi đó hai hệ phương trình có cùng giá trị nghiệm khi \( - m = 14 \Leftrightarrow m = - 14\).

Chọn D
Thay \(x = 2;y = - 3\) vào hệ\(:\left\{ \begin{array}{l}ax + y = 3\\4x + ay = - 1\end{array} \right.\) ta được \(a = 3\).

Chọn A
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(\frac{k}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1} \Leftrightarrow k \ne - 6\).

Chọn B
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{1}{m} = \frac{m}{4} \ne \frac{3}{{ - 1}} \Leftrightarrow m \ne \pm 2\).

Chọn A
Trừ từng vế ta được \((1 - {m^2})x = 0\) \(\left( 3 \right)\). Hệ phương trình có vô số nghiệm \((1 - {m^2}) = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Chọn D
Từ điều kiện đã cho ta có: \(x = m,y = 3 - 2m\). Để \(M \in d \Leftrightarrow 3 - 2m = m \Rightarrow m = 1\).

Chọn A
Giải phương trình (1) tìm được \(x = 3,y = 16 - {k^2};\) giải phương trình (2) tìm được\(x = k,y = 7\)
Hệ có nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}k = 3\\7 = 16 - {k^2}\end{array} \right.\) suy ra \(k = 3\) thoả mãn.

Chọn D
Trừ hai vế của hệ phương trình ta được\((4 - {k^2})y = 8 - 4{k^2}\,\,\,\,(I)\)
(I) có nghiệm duy nhất khi \(4 - {k^2} \ne 0 \Leftrightarrow k \ne \pm 2\).

Chọn D
Giải hệ ta được \[x = k\] và \[y = 2k - 1\]. Do M thuộc \(y = 3x - 7\) nên \[2k - 1 = 3k - 7\]. Ta được \[k = 6\].

Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 1) = xy - 1\\(x - 3)(y - 3) = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 3y - 3y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 6y = - 12\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;2)\]

Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 3) = (x - 1)(y + 3)\\(x - 3)(y + 1) = (x + 1)(y - 3)\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x + y - 3 = xy + 3x - y - 3\\xy + x - 3y - 3 = xy - 3x + y - 3\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 0\\4x - 4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\6y - 2y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = y\\4y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (0;0)\].

Chọn A
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 2) - 2(3n + 2).3 = 6\] hay \[ - 2m - 18n = 18\] vậy \[m + 9n = - 9\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\]vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 2) + 2n.3 = 56\] hay \[ - 6m + 2 + 6n = 56\] vậy \[m - n = - 9\]
Suy ra hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}m + 9n = - 9\\m - n = - 9\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\ - 9 + n + 9n = - 9\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m = - 9\end{array} \right.\] suy ra \[m.n = 0\]. Vậy \[m.n = 0\].

Chọn C
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_1}\] ta được \[m.( - 5) - 2(3n + 2).2 = 18\] hay \[ - 5m - 12n - 8 = 18\] vậy \[5m + 12n = - 26\]
+) Thay tọa độ điểm \[I\] vào phương trình \[{d_2}\] ta được \[(3m - 1).( - 5) + 2n.2 = - 37\] hay \[ - 15m + 5 + 4n = - 37\] vậy \[15m - 4n = 42\]
Suy ra hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\15m - 4n = 42\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\n = \frac{{15m - 42}}{4}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 12.\frac{{15m - 42}}{4} = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\5m + 3(15m - 42) = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{{15m - 42}}{4}\\50m - 126 = - 26\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 3\end{array} \right.\]
Vậy \[m = 2;n = - 3\].

Chọn D
Thay tọa độ điểm \[M\] vào phương trình đường thẳng ta được \[3a + b = - 5\]
Thay tọa độ điểm \[N\] vào phương trình đường thẳng ta được \[a + b = 2\]
Từ đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\3a + 2 - a = - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\2a = - 7\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 7}}{2}\\b = \frac{{11}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy \[a = \frac{{ - 7}}{2};b = \frac{{11}}{2}\].

Chọn C
Ta sử dụng: Đa thức \[P(x)\] chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[P(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề trên với \[a = - 1\], rồi với \[a = 3\], ta có
\[\begin{array}{l}P( - 1) = m{( - 1)^3} + (m - 2).{( - 1)^2} - (3n - 5).( - 1) - 4n = - n - 7\\P(3) = m{.3^3} + (m - 2){.3^2} - (3n - 5).3 - 4n = 36m - 13n - 3\end{array}\]
Theo giả thiết, \[P(x)\]chia hết cho \[x + 1\] nên \[P( - 1) = 0\] tức là \[ - n - 7 = 0\]
Tương tự, vì \[P(x)\]chia hết cho \[x - 3\] nên \[P(3) = 0\] tức là \[36m - 13n - 3 = 0\]
Vậy ta phải giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\36m - 13.( - 7) - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = - \frac{{22}}{9}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = - \frac{{22}}{9};n = - 7\].

Chọn D
Ta sử dụng: Đa thức \(Q(x)\) chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[Q(a) = 0\]
Áp dụng mệnh đề đã cho với \[a = 2\], rồi với \[a = - 3\], ta có
\[\begin{array}{l}Q(2) = (3m - 1){2^3} - (2n - 5){2^2} - n.2 - 9m - 72\\ = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60\\Q( - 3) = (3m - 1){( - 3)^3} - (2n - 5){( - 3)^2} - n.( - 3) - 9m - 72\\ = - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 = - 90m - 15n\end{array}\]
Theo giả thiết, \(Q(x)\)chia hết cho \[x - 2\] nên \[Q(2) = 0\] tức là \[15m - 10n - 60 = 0\] (1)
Tương tự, vì \(Q(x)\)chia hết cho \[x + 3\] nên \[Q( - 3) = 0\] tức là \[ - 90m - 15n = 0\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}n = - 6m\\15m - 10( - 6m) = 60\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{4}{5}\\n = - \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\]
Trả lời: Vậy \[m = \frac{4}{5};n = - \frac{{24}}{5}\].

Chọn B
Điều kiện: \[x \ne 0;y \ne 0\]
Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 1\\3a + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\3(1 + b) + 4b = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\7b = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{2}{7}\\a = 1 + \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{7}\\b = \frac{2}{7}\end{array} \right.\]
Trả lại biến ta được \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{9}{7}\\\frac{1}{y} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{9}\\b = \frac{7}{2}\end{array} \right.\] (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó \[9x + 2y = 9.\frac{7}{9} + 2.\frac{7}{2} = 14\]

Chọn B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}3(y - 5) + 2(x - 3) = 0\\7(x - 4) + 3(x + y - 1) - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y - 15 + 2x - 6 = 0\\7x - 28 + 3x + 3y - 3 - 14 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 21\\10x + 3y = 45\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\8x = 24\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3y = 15\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)\] \[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2} + {5^2} = 34\].

Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) + 3(x - y) = 4\\(x + y) + 2(x - y) = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - (3x - 5) = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - 3x + 5 = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3x - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = 3.\frac{{ - 1}}{2} - 5\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right) \Rightarrow x > y\] và \[x - y = 6\].

Chọn D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{5} = \frac{{x - y}}{3}\\\frac{x}{4} = \frac{y}{2} + 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 5x - 5y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x = 8y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\x = 2y + 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\2y - 4 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 8\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (2;8)\] suy ra \[x > 0;y > 0\].

Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{2} = \frac{{2x - 3}}{2}\\\frac{x}{2} + 3y = \frac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y = - 3\end{array} \right.\]. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = (31; - 3)\] \[ \Rightarrow x > 0;y < 0\].

Chọn B
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[A( - 4; - 2) \Leftrightarrow - 4a + b = - 2\] (1)
Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua điểm \[B(2;1) \Leftrightarrow 2a + b = 1\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 2\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l} - 6a = - 3\\2a + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\2.\frac{1}{2} + b = 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\]. Vậy \[a = \frac{1}{2};b = 0\].

Chọn A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\7y = m + 6\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5m + 9}}{7}\\y = \frac{{m + 6}}{7}\end{array} \right.\]
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x;y) = \left( {\frac{{5m + 9}}{7};\frac{{m + 6}}{7}} \right)\]
Lại có \[x + y = - 3\] hay \[\frac{{5m + 9}}{7} + \frac{{m + 6}}{7} = - 3\]
\[5m + 9 + m + 6 = - 21\]
\[6m = - 36\]
\[m = - 6\]
Vậy với \[m = - 6\] thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(x,y)\] thỏa mãn \[x + y = - 3\].

Chọn C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\x - 2(5m - 1 - 2x) = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1 - 2x\\5x = 10m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = m - 1\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] ta có \[{x^2} - 2{y^2} = - 2\] hay \[{(2m)^2} - 2{(m - 1)^2} = - 2\]
\[2{m^2} + 4m = 0\]. Giải phương trình này ta được\[m = 0\];\[m = - 2\].
Vậy \[m \in \left\{ { - 2;0} \right\}\].

Chọn B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = \frac{7}{2} - m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 7 - 2m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}7y = 7 - 7m\\4x - y = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\4x - (1 - m) = 5m\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\x = 4m + 14\end{array} \right.\]
Thay vào \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\] ta có \[{x^2} + {y^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[{\left( {\frac{{4m + 1}}{4}} \right)^2} + {(1 - m)^2} = \frac{{25}}{{16}}\]
\[16{m^2} + 8m + 1 + 16{m^2} - 32m + 16 = 25\]
\[32{m^2} - 24m - 8 = 0\]
\[4{m^2} - 3m - 1 = 0\]
\[4{m^2} - 4m + m - 1 = 0\]
\[(4m + 1)(m - 1) = 0\] ta được \[m = 1\]hoặc \[m = - \frac{1}{4}\]
Mà \[m > \frac{1}{2} \Rightarrow m = 1\] thỏa mãn. Vậy \[m = 1\].

Chọn A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right.\)
\[\left\{ \begin{array}{l}x = m + 2\\y = 3 - m\end{array} \right.\]. Suy ra \[A = xy + x - 1 = 8 - {(m - 1)^2}\]\[ \Rightarrow {A_{max}} = 8\] khi \[m = 1\].

Chọn B
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\,\,\,\,\,(1)\\mx + y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Từ (2) suy ra \[y = 2m - mx\] thay vào (1) ta được \[x + m(2m - mx) = m + 1\]
\[2{m^2} - {m^2}x + x = m + 1\]
\[(1 - {m^2})x = - 2{m^2} + m + 1\]
\[({m^2} - 1)x = 2{m^2} - m - 1\]\[(3)\]
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow (3)\]có nghiệm duy nhất \[{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\]
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất \[\;\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{m}{{m + 1}}\end{array} \right.\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m + 1}}{{m + 1}} \ge 2\\\frac{m}{{m + 1}} \ge 1\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\\\frac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\end{array} \right.\] hay \[m + 1 < 0\] vậy \[m < - 1\]
Kết hợp với \[( * )\] ta được giá trị \[m\] cần tìm là \[m < - 1\].

Chọn C
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu \[a = 0\], hệ có dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}2x = - 4\\ - 3y = 5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\]
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu \[a \ne 0\], hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \[\frac{2}{a} \ne \frac{a}{{ - 3}} \Leftrightarrow {a^2} \ne - 6\] (luôn đúng, vì \[{a^2} \ge 0\] với mọi \[a\])
Do đó, với \[a \ne 0\], hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi \[a\].

Do 21 là số lẻ nên phát biểu ở phương án B là sai. Chọn B.

Phương án A là hình minh họa cho tập hợp $\left[1;4\right]$.

Phương án B là hình minh họa cho tập hợp $\left[1;4\right)$.

Phương án C là hình minh họa cho tập hợp $\left(1;4\right]$.

Phương án D là hình minh họa cho tập hợp $\left(1;4\right)$. Chọn C.

Ta có $N=\left\{x\in \mathbb{N}|x<5\right\}=\left\{0;1;2;3;4\right\}$, tập này có 5 phần tử. Chọn C.

Ở phương án D, lũy thừa của $x$ là bậc hai nên đây không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn D.

Phương án A sai vì có 3 ẩn $x,y,z$.

Phương án B sai vì lũy thừa của $y$ là bậc hai.

Phương án C sai vì hệ gồm một bất phương trình và một phương trình. Chọn D.

Lần lượt thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình. Tọa độ điểm B, C, D không thỏa. Tọa độ điểm A thỏa hệ vì: $\{\begin{array}{l}1>0\\ 1+\left(-1\right)\le 2\\ 1-\left(-1\right)>1\end{array}$. Chọn B.

Câu A đúng theo tính chất của hai góc bù nhau.

Câu B đúng theo hệ thức lượng giác cơ bản.

Câu D đúng vì $VT=cos\alpha +cos\left(180°-\alpha \right)=cos\alpha +\left(-cos\alpha \right)=0=VP$. Chọn C.

Ta có $cosA=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4^2+9^2-7^2}{2.4.9}=\frac{2}{3}$. Chọn C.

Các công thức A, B, C đúng theo công thức diện tích tam giác

Công thức D sai, sửa lại thành: $S=\frac{abc}{\text{4}\text{R}}$. Chọn D.

Mệnh đề A sai vì ba số tự nhiên liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có ít nhất 1 số chẵn nên tích của chúng là số chẵn.

Mệnh đề B đúng vì $x^2<4\iff \left|x\right|<2\iff -2<x<2\forall x\in ℝ$.

Mệnh đề C sai vì $n^2$ luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 nên $n^2+1$ hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 hay $n^2+1$ không chia hết cho 3 với mọi $n\in \mathbb{N}$.

Mệnh đề D sai vì $x^2\ge 9\iff \left|x\right|\ge 3\iff [\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le -3\end{array}$. Chọn B.

Ta thấy điểm $O\left(0;0\right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình và $\left(0;3\right)\in d:3x-2y=-6$. Chọn C.

Ta có

$\begin{array}{l}A=cos10°+cos20°+...+cos170°+cos180°\\ =cos180°+\left(cos10°+cos170°\right)+\left(cos20°+cos160°\right)+...+\left(cos80°+cos100°\right)+cos90°\\ =-1+\left(cos10°-cos10°\right)+\left(cos20°-cos20°\right)+...+\left(cos80°-cos80°\right)+0\\ =-1.\end{array}$

Chọn D.

B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

a) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” là mệnh đề “$Q\Rightarrow P$” và được phát biểu là: “Nếu $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.

b) Sai. Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương với nhau.

c) Sai. Mệnh đề $P\iff Q$ là mệnh đề đúng.

d) Đúng. Vì $P$ và $Q$ tương đương nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

a) Đúng. Ta có $sin\alpha =\frac{1}{3}>0$.

Do $90°<\alpha <180°$ nên $cos\alpha <0$. Vậy giá trị $sin\alpha \cdot cos\alpha <0$.

b) Đúng. Vì $cos\alpha <0$, mà $sin{}^2\alpha +cos{}^2\alpha =1$, suy ra $cos\alpha =-\sqrt{1-sin{}^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

c) Sai. Ta có $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

d) Đúng. Ta có $cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-2\sqrt{2}.$

Vậy \frac{6sin\alpha +3\sqrt{2}cos\alpha }{2\sqrt{2}tan\alpha +\sqrt{2}cot\alpha }=\frac{6\cdot \frac{1}{3}+3\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}{2\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\sqrt{2}\cdot \left(-2\sqrt{2}\right)}=\frac{2}{5}.

C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời

Ta có: $A=\left\{-4;-2;-1;2;3;4\right\}$, $B=\left\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$ và tập hợp $X$ gồm bốn phần tử.

Suy ra tập hợp $X$ là: $\left\{-4;-3;0;1\right\}$, $\left\{-3;-2;0;1\right\}$, $\left\{-3;-1;0;1\right\}$, $\left\{-3;0;1;2\right\}$, $\left\{-3;0;1;3\right\}$, $\left\{-3;0;1;4\right\}$.

Đáp án: 6.

Gọi x là số quyển tập và y là số cây bút mà bạn Lan mua $\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$.

Bất phương trình biểu diễn số tập và bút có thể mua được phụ thuộc vào số tiền mang theo là $8000x+6000y\le 150000$.

Nếu bạn Lan đã mua 10 cây bút thì $8000x+6000\cdot 10\le 150000\iff x\le 11,25$.

Vì $x\in \mathbb{N}$ nên số quyển tập tối đa bạn Lan mua được là 11 quyển.

Đáp án: 11.

Do $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác) nên ta có: $\{\begin{array}{l}cos\left(B+C\right)=-cosA\\ sin\left(B+C\right)=sinA\end{array}$.

Vậy $P=sinA\cdot cos\left(B+C\right)+cosA\cdot sin\left(B+C\right)=sinA\cdot \left(-cosA\right)+cosA\cdot sinA$

$=-sinA\cdot cosA+cosA\cdot sinA=0$.

Đáp án: 0.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

cosA=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2AC\cdot AB}=\frac{\sqrt{3}AC\cdot AB}{2AC\cdot AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Suy ra \widehat{A}=30°.

Vậy $sin\left(B+C\right)=sin150°=0,5.$

Đáp án: 0,5.

Số học sinh tham gia môn điền kinh hoặc môn bóng đá là: $40-16=24$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn điền kinh là $24-14=10$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn bóng đá là $24-18=6$ (học sinh).

Vậy số học sinh chỉ tham gia một trong hai môn là $10+6=16$ (học sinh).

Gọi số xe loại A cần thuê là $x\left(x\ge 0\right)$.

Số xe loại B cần thuê là $y\left(y\ge 0\right),x,y\in \mathbb{N}$.

Số người có thể chở tối đa là: $20x+10y$ (người).

Số tấn hàng có thể chở tối đa là: $0,5x+2y$ (tấn).

Theo đề bài, ta có:

- Cần chở ít nhất 100 người: $20x+10y\ge 100$.

- Cần chở ít nhất 6 tấn hàng: $0,5x+2y\ge 6$.

- Có 8 chiếc xe loại A và 6 chiếc xe loại B: $x\le 8$, $y\le 6$.

- Chi phí bỏ ra: $F\left(x;y\right)=4x+3y$ (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình: \{\begin{array}{c}20x+10y\ge 100\\ 0,5x+2y\ge 6\\ 0\le x\le 8\\ 0\le y\le 6\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x+y\ge 10\\ x+4y\ge 12\\ 0\le x\le 8\\ 0\le y\le 6\end{array} (I).

Bài toán trở thành tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) để $F\left(x;y\right)=4x+3y$ nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác ABCD kể cả biên.

Toạ độ 4 đỉnh của miền nghiệm là: $A\left(4;2\right)$, $B\left(8;1\right)$, $C\left(8;6\right)$, $D\left(2;6\right)$.

Suy ra $F\left(x;y\right)=4x+3y$ đạt GTNN bằng 22 tại$\left(4;2\right)$.

Vậy doanh nghiệp nên thuê 4 xe loại A và 2 xe loại B để chi phí thấp nhất, và chi phí thấp nhất là 22 triệu đồng.

Có $\widehat{CAH}={\alpha }_1=30°,\widehat{CBH}={\beta }_1=70°$$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{CAH}=40°$.

Áp dụng định lí sin vào , ta có: $\frac{BC}{sin\widehat{CAH}}=\frac{AB}{sin\widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\frac{20sin30°}{sin40°}$.

Xét vuông tại , ta có: $sin\widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow CH=BCsin\widehat{CBH}=\frac{20sin30°}{sin40°}\cdot sin70°$.

Có $\widehat{OAH}={\alpha }_2=50°,\widehat{OBH}={\beta }_2=80°$$\Rightarrow \widehat{AOB}=30°$.

Áp dụng định lí sin vào , ta có: $\frac{BO}{sin\widehat{OAH}}=\frac{AB}{sin\widehat{AOB}}\Rightarrow BO=\frac{20sin50°}{sin30°}$.

Xét vuông tại , ta có: $sin\widehat{OBH}=\frac{HO}{BO}\Rightarrow HO=BOsin\widehat{OBH}=\frac{20sin50°}{sin30°}\cdot sin80°$.

Vậy $h=OC=HO-CH=\frac{20sin50°}{sin30°}\cdot sin80°-\frac{20sin30°}{sin40°}\cdot sin70°\approx 15,56$ (m).