63 bài tập Tỉ số lượng giác và ứng dụng có lời giải
63 câu hỏi
\(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}\)
\(\cos \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}\)
\(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{AC}}\)
\(\cos \alpha = \frac{{AC}}{{AB}}\)
theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
\(\cos \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
\(\sin \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha }}\)
theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu cos \(\alpha \)
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu cos \(\alpha \)
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc \(\alpha \), kí hiệu tan \(\alpha \)
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu cot \(\alpha \)
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
\(\cot \alpha = \frac{1}{7}\)
\(\cot \alpha = \frac{{ - 1}}{7}\)
\(\cot \alpha = 7\)
\(\cot \alpha = - 7\)
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
\(\sin \alpha = \,\cos \beta \)
\(\sin \alpha = \,\cot \beta \)
\(\sin \alpha = \,\tan \beta \)
\(\cos \alpha = \,\cot \beta \)
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
\(\sin 25^\circ \)
\(\cos 25^\circ \)
\(\cos 30^\circ \)
\(\tan 50^\circ \)
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
\(\cos 55^\circ \)
\(\sin 75^\circ \)
\(\cot 30^\circ \)
\(\tan 40^\circ \)
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}\)
\(\sin B = \cos C\)
\(\sin B = \tan C\)
\(\tan B = \cos C\)
Theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
\(\sin B = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cos B = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
\(\sin B = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
\(\sin B = \frac{1}{2};\cos B = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
\(\sin B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Theo định lý Pytago, tính được \({\rm{AB = }}\sqrt {\rm{5}} {\rm{cm}}\)
\(\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
\(\sin B = 0,6;\,\,\cos B = 0,8\)
\(\sin B = 0,8;\,\,\cos B = 0,6\)
\(\sin B = 0,4;\,\,\cos B = 0,8\)
\(\sin B = 0,6;\,\,\cos B = 0,4\)
Theo định lý Pytago, tính được \({\rm{AB = 1,5cm}}\)
Theo tỉ số lượng giác, ta có: \(\sin B = 0,8;\,\,\cos B = 0,6\)
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\)
\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\)
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\)
\(\cot B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\)
Vì theo tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
\(\sin B = \sin 34^\circ = \frac{{AB}}{{BC}}\)
\(\cos B = \cos 34^\circ = \frac{{AB}}{{BC}}\)
\(\tan B = \tan 34^\circ = \frac{{AC}}{{BC}}\)
\(\cot B = \cot 34^\circ = \frac{{AC}}{{AB}}\)
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông
\(M = 0,15\)
\(M = 0,154\)
\(M = 0,23\)
\(M = 0,228\)
\(x \approx 51^\circ 25'\)
\(x \approx 51^\circ 52'\)
\(x \approx 38^\circ 34'\)
\(x \approx 38^\circ 43'\)
Bấm máy tính
\(K = 0\)
\(K = 1\)
\(K = 2\)
\(K = 3\)
Vì \(\tan 76^\circ = \cot 14^\circ \) nên \(K = \tan 76^\circ - \cot 14^\circ = 0\)
\(I = 4\)
\(I = 2\)
\(I = 1\)
\(I = 3\)
Vì \(\)\(\sin 32^\circ = \cos 58^\circ \) nên \(\frac{{\sin 32^\circ }}{{\cos 58^\circ }} = 1\)
\(3{\rm{m}}\)
\(3,2\;{\rm{m}}\)
\(7,8{\rm{m}}\)
\(0,4m\)
Chọn A
Theo đề ta có hình vẽ minh họa sau :
Chân thang cách tường số mét là : \(AC = BC.\cos 60^\circ = 6.\cos 60^\circ = 6.\frac{1}{2} = 3\)(m)
\(20\sqrt 3 m\)
\(10\sqrt 3 m\)
\(10\sqrt {6\,} m\)
\(20\sqrt {6\,} m\)
Chọn B
Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là : \(AB = BC.\tan C = 30.\tan 30^\circ = 10\sqrt 3 \)
Cho hình vẽ. Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(b = a\,\sin B\).
\(b = a\,\sin C\).
\(b = a\,\cos B\).
\(b = a\,\tan B\).
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối
\(c = a\,\sin B\).
\(c = a\,\sin C\).
\(c = a\,\cos B\).
\(c = a\,\tan B\).
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối
\(c = a\,\sin B\).
\(b = a\,\tan C\).
\(b = c\tan B\).
\(c = a\,\tan B\).
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối
\(c = b\cot B\).
\(b = a\,\tan C\).
\(b = c\tan C\).
\(c = a\,\tan B\).
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với cô tang góc kề
Cho hình vẽ. Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(a = b\sin B\).
\(a = \frac{b}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{b}{{\sin C}}\).
\(a = \,\frac{b}{{{\rm{cos}}B}}\).
Xét ∆ABC vuông tại A có \[AC = BC.sinB\] hay \[b = a.sinB\] suy ra \(a = \frac{b}{{\sin B}}\)
\(a = \frac{c}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{c}{{\sin C}}\).
\(a = \frac{c}{{\tan C}}\).
\(a = \,\frac{b}{{\cot B}}\).
Xét ∆ABC vuông tại A có \[AB = BC.\sin C\] hay \[c = a.\sin C\] suy ra \(a = \frac{c}{{\sin C}}\)
\(a = \frac{c}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{b}{{\sin C}}\).
\(a = \frac{c}{{\tan C}}\).
\(c = \,\frac{b}{{\cot C}}\).
Xét ∆ABC vuông tại A có \[AC = AB.\cot C\] hay \[b = c.\cot C\] suy ra \(c = \,\frac{b}{{\cot C}}\)
\(a = \frac{b}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{c}{{\sin C}}\).
\(a = \frac{b}{{cosC}}\).
\(a = \,\frac{b}{{\cot C}}\).
Xét ∆ABC vuông tại A có \[\left\{ \begin{array}{l}AC = BC.\sin B\\AC = BC.\cos C\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}b = a.\sin B\\b = a.\cos C\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{{\sin B}}\\a = \frac{b}{{\cos C}}\end{array} \right.\]
\(MN = MP.\sin P\).
\(MN = MP.\cos P\).
\(MN = MP.\tan P\).
\(MN = MP.\cot P\).
Xét ∆MNP vuông tại N có \(MN = MP.\sin P\). Suy ra đáp án A đúng
\(NP = MP.\cos P\).
\(NP = MN.\cos P\).
\(NP = MN.\tan P\).
\(NP = MP.\cot P\).
Xét ∆MNP vuông tại N có \(NP = MP.\cos P\). Đáp án A
\(b = a.\sin B = a.\cos C\).
\(a = c.\tan B = c.\cot C\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
\(c = a.\sin C = a.\cos B\).
Ta có \[AB = BC.sinC = BC.cosB\] hay \[c = a.sinC = a.cosB\]
Suy ra \[a = \frac{c}{{\sin C}} = \frac{c}{{\cos B}}\] Suy ra B sai
\(b = c.\sin 50^\circ \).
\(b = a.\tan 50^\circ \).
\(b = c.\cot 50^\circ \).
\(c = b.cot50^\circ \).
Ta có \[AB = AC.cotB\]hay \(c = b.cot50^\circ \)Suy ra D đúng
\(AB = \frac{{5\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\).
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = 20\sqrt 3 \).
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\);
\(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\). Vậy \(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\).
\(AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\sqrt 3 \).
\(AB = 20;BC = 40\).
\(AB = 20;BC = 20\sqrt 3 \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 20.\tan 30^\circ = 20\sqrt 3 \);
\(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{20}}{{\frac{1}{2}}} = 40\). Vậy \(AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\).
\(AC \approx 7,71;\widehat C = 40^\circ \).
\(AC \approx 7,72;\widehat C = 50^\circ \).
\(AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ \).
\(AC \approx 7,73;\widehat C = 50^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7,71\).
+ \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ \).
Vậy \(AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ \).
\(AC \approx 12,29;\widehat C = 45^\circ \).
\(AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ \).
\(AC \approx 12,2;\widehat C = 35^\circ \).
\(AC \approx 12,92;\widehat C = 40^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 15.\sin 55^\circ \approx 12,29\).
+ \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 55^\circ - 90^\circ = 35^\circ \).
Vậy \(AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ \).
\(AC = 8(cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'\).
\(AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'\).
\(AC = 9(cm);\widehat B \approx 37^\circ 52'\).
\(AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 55'\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\,(cm)\).
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 36^\circ 52'\).
Vậy \(AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'\).
\(AC = 22;\widehat C \approx 67^\circ \).
\(AC = 24;\widehat C \approx 66^\circ \).
\(AC = 24;\widehat C \approx 67^\circ \).
\(AC = 24;\widehat C \approx 68^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}} = 24\,(cm)\).
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \widehat B \approx 67^\circ \).
Vậy \(AC = 24;\widehat C \approx 67^\circ \).
\(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'\).
\(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 36^\circ 32'\).
\(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 33'\).
\(BC = \sqrt {75} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)\).
+ \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'\)
Vậy \(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'\).
\(BC = 10\).
\(BC = 11\).
\(BC = 9\).
\(BC = 12\).
Kẻ đường cao \(AH\).
Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos 60^\circ = 16.\frac{1}{2} = 8\)
\(AH = AB.\sin B = AB.\sin 60^\circ = 16.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \).
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có:
\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {(8\sqrt 3 )^2} = 196 - 192 = 4\).
Suy ra \(HC = 2\).
Vậy \(BC = CH + HB = 2 + 8 = 10\).
\(BC = 3\sqrt 3 + 6\).
\(BC = 3\sqrt {13} + 6\).
\(BC = 9\).
\(BC = 6\).
Kẻ đường cao \(AH\).
Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos 60^\circ = 12.\frac{1}{2} = 6\)
\(AH = AB.\sin B = AB.\sin 60^\circ = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \).
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có: \(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {(6\sqrt 3 )^2} = 117\).
Suy ra \(HC = 3\sqrt {13} \).
Vậy \(BC = CH + HB = 3\sqrt {13} + 6\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4,\,\,AC = 3,5,\,\,\widehat A = 40^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\)là
\(5\)(đvdt).
\(4,4\)(đvdt).
\(3\)(đvdt).
\(3,5\)(đvdt).
Xét tam giác\(HAC\)vuông tại \(H\), ta có: \(CH = AC.\sin \widehat {HAC} = 3,5.\sin 40^\circ \approx 2,2\)
Diện tích của tam giác \(ABC\)là: \[S = \frac{1}{2}AB.CH = \frac{1}{2}.4.2,2 = 4,4\] (đvdt).
\(5\).
\(4\).
\(2\).
\(3\).
Đặt \(BN = x\,(0 < x < 11) \Rightarrow NC = 11 - x\).
Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có \(AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ \)
Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(AN = CN.\tan C = (11 - x).\tan 30^\circ \)
Nên \(x\tan 40^\circ = (11 - x).\tan 30^\circ \Rightarrow x \approx 4,48\) (thoả mãn).
Khi đó \(AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ \approx 3,76\,(cm)\).
\(7\).
\(6\).
\(5\).
\(4\).
Đặt \(BN = x\,(0 < x < 11) \Rightarrow NC = 11 - x\).
Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có \(AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ \)
Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(AN = CN.\tan C = (11 - x).\tan 30^\circ \)
Nên \(x\tan 40^\circ = (11 - x).\tan 30^\circ \Rightarrow x \approx 4,48\) (thoả mãn).
Khi đó \(AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ \approx 3,76\,(cm)\).
Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(\sin C = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{AN}}{{\sin C}} = 7,52\)
Diện tích hình thang\(ABCD\) là
\(3\)(đvdt).
\(2\)(đvdt).
\(4\)(đvdt).
\(5\)(đvdt).
Vì \(BH \bot C{\rm{D}}\)ta có \(ABH{\rm{D}}\)là hình chữ nhật nên \(BH = A{\rm{D}} = 1,2,\,\,\,DH = AB = 2\)
Xét tam giác vuông \(HBC\), \[\widehat H = {90^0}\], ta có:
\(HC = HB.\cot C = 1,2.\cot 50^\circ \approx 1,0\).
\(C{\rm{D}} = CH + H{\rm{D}} \approx 1 + 2 = 3\)
Diện tích hình thang \(ABCD\)là: \[S = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AD}}{2} \approx \frac{{\left( {2 + 3} \right).1,2}}{2} = 3\] (đvdt).
\[AH = 7,2.\cos 35^\circ \].
\[AH = 7,2.\sin 35^\circ \].
\[AH = 7,2.\tan 35^\circ \].
\[AH = 7,2.\cot 55^\circ \].
Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông, ta có \[AH = BH.\tan B\] \[ \Rightarrow AH = 7,2.\tan 35^\circ \].
\[\alpha = 60^\circ \].
\[\alpha = 45^\circ \].
\[\alpha = 40^\circ \].
\[\alpha = 30^\circ \].
Ta có: \[\sin \alpha = \frac{{2,5}}{5} = \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \alpha = 30^\circ \].
Vậy góc hợp bởi thang và thân cây cau là \[\alpha = 30^\circ \].
Tia nắng chiếu qua điểm \[B\] của tòa nhà tạo với mặt đất một góc \[x\] và tạo với cạnh \[AB\] của tòa nhà một góc \[y\] (hình vẽ). Cho biết \[{\rm{cos}}x \approx 0,78\] và \[\cot x \approx 1,25\]. Tính \[\sin y\] và \[\tan y\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Sin y \( \approx \)0,75; tan y \( \approx \) 1,45
Sin y \( \approx \)0,78; tan y \( \approx \) 1,25
Sin y \( \approx \)0,35; tan y \( \approx \) 1,35
Sin y \( \approx \)0,45; tan y \( \approx \) 1,15
Xét ∆ABC vuông tại A
Có góc \[x\] và góc \[y\] là hai góc phụ nhau nên \[\sin y = \cos x \approx 0,78\]
Và \[\tan y = \cot x \approx 1,25\]
\(10,05\left( m \right)\)
\(10,04\left( m \right)\)
\(10,045\left( m \right)\)
\(10,03\left( m \right)\)
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\]
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác trong tam giác vuông ABC ta có
\[\tan C = \frac{{AB}}{{CB}}\], suy ra \[AB = BC \cdot \tan C\] hay \[AB = 5,8 \cdot \tan 60^\circ = 5,8 \cdot \sqrt 3 \approx 10,05\] (m)
Vậy chiều cao của tháp canh gần bằng \[10,05\] mét.
Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài \[AB = 4\]m được đặt dựa vào tường, khoảng cách từ chân thang đến chân tường là \[BH = 1,5\]m. Tính góc tạo bởi cạnh \[AB\] và phần tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
\({67^0}\)
\({69^0}\)
\({66^0}\)
\({68^0}\)
Ta có, góc tạo bởi cạnh \[AB\] và phương năm ngang trên mặt đất là \[\widehat {ABH}\]
Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\], ta có: Cos\[\widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{1,5}}{4} = 0,375\]
Vậy \[\widehat {ABH} \approx 68^\circ \].
\(10,06\left( m \right)\)
\(10,069\left( m \right)\)
\(10,07\left( m \right)\)
\(10,7\left( m \right)\)
\[AH \approx 20,00\,\,{\rm{m}}\].
\[AH \approx 20,35\,\,{\rm{m}}\].
\[AH \approx {\rm{11,67}}\,\,{\rm{m}}\].
\[AH \approx 22,50\,\,{\rm{m}}\].
Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông, ta có \[AH = BH.\tan B\] \[ \Rightarrow AH = 14,25.\tan 55^\circ \approx 20,35\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy chiều cao của cây là \[AH \approx 20,35\,\,{\rm{m}}\].
\[3,6\,\,{\rm{m}}\].
\[4,0\,\,{\rm{m}}\].
\[4,1\,\,{\rm{m}}\].
\[4,5\,\,{\rm{m}}\].
Chọn C
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
+ \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BH = AB.\cos \widehat {HBA} = 4,8.\,\cos 32^\circ \approx 4,1\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy chiều cao của thang so với mặt đất là \[{\rm{4,1}}\,\,{\rm{m}}\].
\[\alpha = {\rm{5}}^\circ {\rm{30'}}\].
\[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 20'\].
\[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 31'\].
\[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'\].
Chọn D
+ Tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\] có \[\tan A = \tan \alpha = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2,4}}{{25}} = \frac{{11}}{{125}}\] \[ \Rightarrow \alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'\].
Vậy góc tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất là \[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'\].
\[{\rm{30}}^\circ \].
\[29^\circ \].
\[{\rm{41}}^\circ \].
\[6{\rm{0}}^\circ \].
Chọn A
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
+ Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] có \[\cos A = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{130}}{{150}} = \frac{{13}}{{15}}\] \[ \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {30^{\rm{o}}}\]
Vậy dòng nước đã đẩy con đò lệch đi một góc so với phương dự định ban đầu khoảng \[{30^{\rm{o}}}\].
\[1,20\, < x < 1,75\].
\[1,20\, \le x \le 1,75\].
\[x = 1,20\] hoặc \[x = 1,75\].
\[1,20 \le x < 1,75\].
Chọn B
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
Khi thang tạo với mặt đất một góc có độ lớn \[6{\rm{0}}^\circ \] và \[7{\rm{0}}^\circ \] thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường lần lượt là \[AH\] và \[A'H'\].
+ Tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] có \[AH = AB.\cos A = 3,5.\cos 60^\circ = 1,75\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
+ Tam giác \[A'B'H\] vuông tại \[H\] có \[A'H = A'B'.\cos A' = 3,5.\cos 70^\circ \approx 1,20\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Do đó \[1,20 \le x \le 1,75\].
Một máy bay cất cánh theo phương hợp với mặt đất một góc \[{\rm{23}}^\circ \]. Hỏi muốn đạt độ cao \[2\,500\,\,{\rm{m}}\], máy bay phải bay một đoạn đường \[x\] dài bao nhiêu mét?(làm tròn kết quả đến mét)
\[x \approx 7061\,\,{\rm{m}}\].
\[x \approx 6398\,\,{\rm{m}}\].
\[x \approx 4716\,\,{\rm{m}}\].
\[x \approx 5890\,\,{\rm{m}}\].
Chọn B
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ
Xét tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\], ta có:
\[\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\] \[ \Rightarrow x = AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{{2500}}{{\sin 23^\circ }} \approx 6398\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy \[x \approx 6398\,\,{\rm{m}}\].
\({18^0}\)
\({19^0}\)
\({20^0}\)
\({21^0}\)
Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có \[\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{20}}{{60}} = \frac{1}{3}\]
Do đó \[\alpha \approx 19^\circ \]
Vậy góc tạo bởi sợi dây \[BA\] và vị trí cân bằng có số đo khoảng \[19^\circ \].
\[23,38\,\,{\rm{m}}\].
\[21,84\,\,{\rm{m}}\].
\[23,39\,\,{\rm{m}}\].
\[21,85\,\,{\rm{m}}\].
Chọn C
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ
Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] lên đoạn \[AH\].
Vì \[MN\] và \[BH\] là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang; \[MB\] và \[NH\] nằm trên phương thẳng đứng nên tứ giác \[MBHN\] là hình chữ nhật.
Suy ra: \[NH = MB = 1,55\,\,{\rm{m}}\]; \[MN = BH = 13,65\,\,{\rm{m}}\].
+ Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = MN.\tan M\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
Ta có: \[AH = AN + NH\]
\[ \Rightarrow AH = MN.\tan M + NH\]
\[ \Rightarrow AH = 13,65.\tan 58^\circ + 1,55 \approx 23,39\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy chiều cao của tháp là \[23,39\,\,{\rm{m}}\].
\[1218,5\,\,{\rm{m}}\].
\[1181,8\,\,{\rm{m}}\].
\[208,4\,\,{\rm{m}}\].
\[6910,5\,\,{\rm{m}}\].
Đổi \[36\] phút = \[0,6\]giờ; \[2\,\,{\rm{km/h}} = 2\,\,000\,\,{\rm{m/h}}\].
Quãng đường sông thuyền đã đi là \[AC = 2\,\,000.0,6 = 1\,\,200{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\]
Vì hai bờ được coi là song song nên \[\widehat {ACB} = {80^{\rm{o}}}\]
+ Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[AB = AC.\sin C\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
\[ \Rightarrow AB = 1\,\,200.\sin 80^\circ \approx 1181,8\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy chiều rộng của khúc sông đó là \[1181,8\,\,{\rm{m}}\].
So với mặt đất thì diều của bạn Việt lên cao hơn diều của bạn Nam và cao hơn \[0,25\,\,{\rm{m}}\].
So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[0,97\,\,{\rm{m}}\].
So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[1,03\,\,{\rm{m}}\].
So với mặt đất thì diều của hai bạn Việt và Nam lên cao bằng nhau.
Chọn B
Theo bài ra ta có \[MC = NB = 1,55\,\,{\rm{m}}\] và \[M'C' = N'B' = 1,55\,\,{\rm{m}}\].
+ Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = AM.\sin M\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là \[AB = AN + NB\]
\[ \Rightarrow AB = 100.\sin 42^\circ + 1,55 \approx 68,46\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] \[\left( 1 \right)\]
+ Tam giác \[A'N'M'\] vuông tại \[N'\] nên \[A'N' = A'M'.\sin M'\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là \[A'B' = A'N' + N'B'\]
\[ \Rightarrow A'B' = 96.\sin 45^\circ + 1,55 \approx 69,43\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[A'B' > AB\], hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn số mét là: \[69,43\, - 68,46\,\, = 0,97\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[0,97\,\,{\rm{m}}\].
\[11,3\] giây.
\[11,2\] giây.
\[7,9\] giây.
\[7,8\] giây.
Chọn A
Độ dài thang máy từ \[1\] lên tâng \[2\] là đoạn \[AB\].
+ Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\] có: \[\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\] \[ \Rightarrow AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{{4,2}}{{\sin 35^\circ }}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vì thang máy có tốc độ truyền là \[0,65\,\,{\rm{m/s}}\] nên thời gian để một người di chuyển từ tầng \[1\] lên tầng \[2\] bằng thang cuốn là: \[\frac{{AB}}{{0,65}} = \frac{{4,2}}{{0,65.\sin 35^\circ }} \approx 11,3\] (giây).
\[5\] phút.
\[4,5\] phút.
\[3,5\] phút.
\[3\] phút.
Do Mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = 60^\circ \].
Gọi \[x\](m/phút) là vận tốc xe máy, điều kiện \[x > 0\].
Vì xe máy đi từ \[C\] đến \[D\] trong \[6\] phút nên \[CD = 6x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác ta có:
\[AC = AB.\,\cot \widehat {BCA} = AB.\,\cot {30^{\rm{o}}} = AB.\tan {60^{\rm{o}}} = \sqrt 3 AB\] (do \[\cot {30^{\rm{o}}} = \tan {60^{\rm{o}}}\]) \[\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác ta có:
\[AD = AB.\,\cot \widehat {BDA} = AB.\,\cot {60^{\rm{o}}} = AB.\tan {30^{\rm{o}}} = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}\] (do \[\cot {60^{\rm{o}}} = \tan {30^{\rm{o}}}\]) \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[AC - AD = AB\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \Rightarrow CD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB\].
Xét tỉ số \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}:\frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB = \frac{1}{2} \Rightarrow AD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}.6x = 3x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{{3x}}{x} = 3\] (phút).
\[1845,5{\rm{ m}}\].
\[2153,8{\rm{ m}}\].
\[1905,5\,\,{\rm{m}}\].
\[219,6{\rm{ m}}\].
Chọn C
Gọi \[D\] và \[E\] lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí \[B\] và \[C\].
Gọi \[I\] là hình chiếu của điểm \[D\] trên \[AH\].
So với mặt đất thì \[BD\] và \[CE\] là phương thẳng đứng; \[HC\] và \[IE\] là phương ngang nên các tứ giác \[IHBD\], \[IHCE\], \[DBCE\] là hình chữ nhật.
Do đó \[DE = BC = \,475\,\,{\rm{m}}\]; \[IH = DB = EC = 1,6\,\,{\rm{m}}\].
\[\Delta AID\] vuông tại \[I\] nên:
\[ID = AI.\,\cot \widehat {ADI} = AI.\,\cot {34^{\rm{o}}} = AI.\tan {56^{\rm{o}}}\] (do \[\cot {34^{\rm{o}}} = \tan {56^{\rm{o}}}\]) \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta AIE\] vuông tại \[I\] nên:
\[IE = AI.\,\cot \widehat {AEI} = AI.\,\cot {30^{\rm{o}}} = AI.\tan {60^{\rm{o}}}\] (do \[\cot {30^{\rm{o}}} = \tan {60^{\rm{o}}}\]) \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[IE - ID = AI.\left( {\tan {{60}^{\rm{o}}} - \tan {{56}^{\rm{o}}}} \right)\]
\[ \Rightarrow 475 = AI.\left( {\tan {{60}^{\rm{o}}} - \tan {{56}^{\rm{o}}}} \right)\] \[ \Rightarrow AI = \frac{{475}}{{\tan {{60}^{\rm{o}}} - \tan {{56}^{\rm{o}}}}} \approx 1903,9\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Do đó chiều cao \[AH\] của ngọn núi là \[AH = AI + IH \approx 1903,9\,\,{\rm{m}} + 1,6\,\,{\rm{m}} = 1905,5\,\,{\rm{m}}\].
\[1841{\rm{ m}}\].
\[1783{\rm{ m}}\].
\[1652\,\,{\rm{m}}\].
\[1906{\rm{ m}}\].
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán \[\left( * \right)\]:
Nếu \[\Delta ABC\] là tam giác nhọn thì \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] với \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].
Thật vậy! Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).
\[BD = AB.\,\sin \widehat {BAC} = c.\,\sin A\] \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = BC.\,\sin \widehat {ACB} = a.\,\sin C\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c.\,\sin A = a.\,\sin C\]\[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\]
Chứng minh tương tự, ta được \[b.\,\sin A = a.\,\sin B\] \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\]
Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\].
Bài toán \[\left( * \right)\] được chứng minh.
+) Xét \[\Delta ABC\], có \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\].
Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:
\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {{{75}^{\rm{o}}} + {{65}^{\rm{o}}}} \right) = {40^{\rm{o}}}\]
Vì \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {BAC} = {40^{\rm{o}}}\] nên \[\Delta ABC\] nhọn.
Áp dụng bài toán \[\left( * \right)\] đã chứng ở trên, ta được: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\]\[ \Rightarrow AC = \frac{{1225.\sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].
