63 bài tập Tỉ số lượng giác và ứng dụng có lời giải
63 câu hỏi
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại A có góc nhọn \(C\) bằng \(\alpha \) Khi đó\(\cos \alpha \) bằng
\(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}\)
\(\cos \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}\)
\(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{AC}}\)
\(\cos \alpha = \frac{{AC}}{{AB}}\)
Chọn B
theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Cho \(\alpha \)là góc nhọn bất kì. Khẳng định đúng là
\(\cos \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
\(\sin \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha }}\)
Chọn C
theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Cho tam giác vuông có góc \(\alpha \) là góc nhọn. Khẳng định sai là
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu cos \(\alpha \)
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu cos \(\alpha \)
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc \(\alpha \), kí hiệu tan \(\alpha \)
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu cot \(\alpha \)
Chọn D
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Cho \(\alpha \)là góc nhọn bất kì có \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\), khi đó \(\cot \alpha \)bằng:
\(\cot \alpha = \frac{1}{7}\)
\(\cot \alpha = \frac{{ - 1}}{7}\)
\(\cot \alpha = 7\)
\(\cot \alpha = - 7\)
Chọn C
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Cho \(\alpha ;\,\,\beta \) là hai góc nhọn phụ nhau, khi đó:
\(\sin \alpha = \,\cos \beta \)
\(\sin \alpha = \,\cot \beta \)
\(\sin \alpha = \,\tan \beta \)
\(\cos \alpha = \,\cot \beta \)
Chọn A
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Tỉ số lượng giác của góc nào lớn hơn tỉ số lượng giác của góc \(45^\circ \)?
\(\sin 25^\circ \)
\(\cos 25^\circ \)
\(\cos 30^\circ \)
\(\tan 50^\circ \)
Chọn D
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Tỉ số lượng giác của góc nào nhỏ hơn tỉ số lượng giác của góc \(45^\circ \)?
\(\cos 55^\circ \)
\(\sin 75^\circ \)
\(\cot 30^\circ \)
\(\tan 40^\circ \)
Chọn D
theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A.\). Khi đó, trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}\)
\(\sin B = \cos C\)
\(\sin B = \tan C\)
\(\tan B = \cos C\)
Chọn C
Theo tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại C có\[AC = 1cm,{\rm{ }}BC = 2cm\]. Tính tỉ số lượng giác \[{\rm{sinB, cosB}}\]
\(\sin B = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cos B = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
\(\sin B = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
\(\sin B = \frac{1}{2};\cos B = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
\(\sin B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Chọn B
Theo định lý Pytago, tính được \({\rm{AB = }}\sqrt {\rm{5}} {\rm{cm}}\)
\(\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(C\)có\(AC = 1,2cm,\,BC = 0,9cm\).Tính các tỉ số lượng giác \[{\rm{sinB, cosB}}\]
\(\sin B = 0,6;\,\,\cos B = 0,8\)
\(\sin B = 0,8;\,\,\cos B = 0,6\)
\(\sin B = 0,4;\,\,\cos B = 0,8\)
\(\sin B = 0,6;\,\,\cos B = 0,4\)
Chọn B
Theo định lý Pytago, tính được \({\rm{AB = 1,5cm}}\)
Theo tỉ số lượng giác, ta có: \(\sin B = 0,8;\,\,\cos B = 0,6\)
Cho tam giác \[ABC,\]vuông tại A có \(AB = 3;\,AC = 4\).Chọn khẳng định sai?
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\)
\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\)
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\)
\(\cot B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\)
Chọn D
Vì theo tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\), có \(\widehat B = 34^\circ \). Khi đó:
\(\sin B = \sin 34^\circ = \frac{{AB}}{{BC}}\)
\(\cos B = \cos 34^\circ = \frac{{AB}}{{BC}}\)
\(\tan B = \tan 34^\circ = \frac{{AC}}{{BC}}\)
\(\cot B = \cot 34^\circ = \frac{{AC}}{{AB}}\)
Chọn B
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông
Dùng MTBT, tính giá trị của biểu thức M=sin35°12'−sin20°25' ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba )
\(M = 0,15\)
\(M = 0,154\)
\(M = 0,23\)
\(M = 0,228\)
Bấm máy tính
Dùng MTBT, tìm độ đo của góc nhọn \(x\)( làm tròn đến phút) của \(\cot x = 1,254\)
\(x \approx 51^\circ 25'\)
\(x \approx 51^\circ 52'\)
\(x \approx 38^\circ 34'\)
\(x \approx 38^\circ 43'\)
Chọn B
Bấm máy tính
Không dùng MTBT, tính giá trị của biểu thức \(K = \tan 76^\circ - \cot 14^\circ \)
\(K = 0\)
\(K = 1\)
\(K = 2\)
\(K = 3\)
Chọn A
Vì \(\tan 76^\circ = \cot 14^\circ \) nên \(K = \tan 76^\circ - \cot 14^\circ = 0\)
Không dùng MTBT, tính giá trị của biểu thức \(I = \frac{{\sin 32^\circ }}{{\cos 58^\circ }}\)
\(I = 4\)
\(I = 2\)
\(I = 1\)
\(I = 3\)
Chọn C
Vì \(\)\(\sin 32^\circ = \cos 58^\circ \) nên \(\frac{{\sin 32^\circ }}{{\cos 58^\circ }} = 1\)
Một cái thang dài 6m, được đặt tạo với mặt đất một góc \(60^\circ \), vậy chân thang cách tường bao nhiêu mét?
\(3{\rm{m}}\)
\(3,2\;{\rm{m}}\)
\(7,8{\rm{m}}\)
\(0,4m\)
Chọn A
Theo đề ta có hình vẽ minh họa sau :
Chân thang cách tường số mét là : \(AC = BC.\cos 60^\circ = 6.\cos 60^\circ = 6.\frac{1}{2} = 3\)(m)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là \(30m\), góc giữa đường chéo và chiều dài của mảnh vườn là \(30^\circ \). Tính chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật đó.
\(20\sqrt 3 m\)
\(10\sqrt 3 m\)
\(10\sqrt {6\,} m\)
\(20\sqrt {6\,} m\)
Chọn B
Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là : \(AB = BC.\tan C = 30.\tan 30^\circ = 10\sqrt 3 \)
Cho hình vẽ. Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(b = a\,\sin B\).
\(b = a\,\sin C\).
\(b = a\,\cos B\).
\(b = a\,\tan B\).
Chọn A
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối
Cho hình vẽ.Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(c = a\,\sin B\).
\(c = a\,\sin C\).
\(c = a\,\cos B\).
\(c = a\,\tan B\).
Chọn B
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối
Cho hình vẽ. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
\(c = a\,\sin B\).
\(b = a\,\tan C\).
\(b = c\tan B\).
\(c = a\,\tan B\).
Chọn C
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối
Cho hình vẽ. Hệ hệ thức nào dưới đây đúng?
\(c = b\cot B\).
\(b = a\,\tan C\).
\(b = c\tan C\).
\(c = a\,\tan B\).
Chọn A
Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với cô tang góc kề
Cho hình vẽ. Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(a = b\sin B\).
\(a = \frac{b}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{b}{{\sin C}}\).
\(a = \,\frac{b}{{{\rm{cos}}B}}\).
Chọn B
Xét ∆ABC vuông tại A có \[AC = BC.sinB\] hay \[b = a.sinB\] suy ra \(a = \frac{b}{{\sin B}}\)
Cho hình vẽ. Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(a = \frac{c}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{c}{{\sin C}}\).
\(a = \frac{c}{{\tan C}}\).
\(a = \,\frac{b}{{\cot B}}\).
Chọn B
Xét ∆ABC vuông tại A có \[AB = BC.\sin C\] hay \[c = a.\sin C\] suy ra \(a = \frac{c}{{\sin C}}\)
Cho hình vẽ bên. Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(a = \frac{c}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{b}{{\sin C}}\).
\(a = \frac{c}{{\tan C}}\).
\(c = \,\frac{b}{{\cot C}}\).
Chọn D
Xét ∆ABC vuông tại A có \[AC = AB.\cot C\] hay \[b = c.\cot C\] suy ra \(c = \,\frac{b}{{\cot C}}\)
Cho hình vẽ. Hệ thức nào dưới đây là sai?
\(a = \frac{b}{{\sin B}}\).
\(a = \frac{c}{{\sin C}}\).
\(a = \frac{b}{{cosC}}\).
\(a = \,\frac{b}{{\cot C}}\).
Chọn D
Xét ∆ABC vuông tại A có \[\left\{ \begin{array}{l}AC = BC.\sin B\\AC = BC.\cos C\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}b = a.\sin B\\b = a.\cos C\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{{\sin B}}\\a = \frac{b}{{\cos C}}\end{array} \right.\]
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\). Hệ thức nào sau đây là đúng?
\(MN = MP.\sin P\).
\(MN = MP.\cos P\).
\(MN = MP.\tan P\).
\(MN = MP.\cot P\).
Chọn A
Xét ∆MNP vuông tại N có \(MN = MP.\sin P\). Suy ra đáp án A đúng
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\). Hệ thức nào sau đây là đúng?
\(NP = MP.\cos P\).
\(NP = MN.\cos P\).
\(NP = MN.\tan P\).
\(NP = MP.\cot P\).
Chọn A
Xét ∆MNP vuông tại N có \(NP = MP.\cos P\). Đáp án A
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,AC = b,AB = c\). Chọn khẳng định sai?
\(b = a.\sin B = a.\cos C\).
\(a = c.\tan B = c.\cot C\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\).
\(c = a.\sin C = a.\cos B\).
Chọn B
Ta có \[AB = BC.sinC = BC.cosB\] hay \[c = a.sinC = a.cosB\]
Suy ra \[a = \frac{c}{{\sin C}} = \frac{c}{{\cos B}}\] Suy ra B sai
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,AC = b,AB = c,\widehat {ABC} = 50^\circ \). Chọn khẳng định đúng?
\(b = c.\sin 50^\circ \).
\(b = a.\tan 50^\circ \).
\(b = c.\cot 50^\circ \).
\(c = b.cot50^\circ \).
Chọn D
Ta có \[AB = AC.cotB\]hay \(c = b.cot50^\circ \)Suy ra D đúng
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 10\,cm,\widehat C = 30^\circ \). Tính \(AB;BC\).
\(AB = \frac{{5\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\).
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = 20\sqrt 3 \).
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\);
\(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\). Vậy \(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 20\,cm,\widehat C = 60^\circ \). Tính \(AB;BC\).
\(AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\).
\(AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\sqrt 3 \).
\(AB = 20;BC = 40\).
\(AB = 20;BC = 20\sqrt 3 \).
Chọn A
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 20.\tan 30^\circ = 20\sqrt 3 \);
\(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{20}}{{\frac{1}{2}}} = 40\). Vậy \(AB = 20\sqrt 3 ;BC = 40\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 12\,cm;\widehat B = 40^\circ \). Tính \(AC;\widehat C\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
\(AC \approx 7,71;\widehat C = 40^\circ \).
\(AC \approx 7,72;\widehat C = 50^\circ \).
\(AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ \).
\(AC \approx 7,73;\widehat C = 50^\circ \).
Chọn C
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7,71\).
+ \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ \).
Vậy \(AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 15\,cm,\widehat B = 55^\circ \). Tính \(AC;\widehat C\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
\(AC \approx 12,29;\widehat C = 45^\circ \).
\(AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ \).
\(AC \approx 12,2;\widehat C = 35^\circ \).
\(AC \approx 12,92;\widehat C = 40^\circ \).
Chọn B
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 15.\sin 55^\circ \approx 12,29\).
+ \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 55^\circ - 90^\circ = 35^\circ \).
Vậy \(AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 15\,cm,AB = 12\,cm\). Tính \(AC;\widehat B\).
\(AC = 8(cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'\).
\(AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'\).
\(AC = 9(cm);\widehat B \approx 37^\circ 52'\).
\(AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 55'\).
Chọn B
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\,(cm)\).
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 36^\circ 52'\).
Vậy \(AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có BC=26 cm,AB=10 cm. Tính \(AC;\widehat B\) (làm tròn đến độ).
\(AC = 22;\widehat C \approx 67^\circ \).
\(AC = 24;\widehat C \approx 66^\circ \).
\(AC = 24;\widehat C \approx 67^\circ \).
\(AC = 24;\widehat C \approx 68^\circ \).
Chọn C
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}} = 24\,(cm)\).
+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \widehat B \approx 67^\circ \).
Vậy \(AC = 24;\widehat C \approx 67^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 7cm,AB = 5cm\). Tính \(BC;\widehat C\).
\(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'\).
\(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 36^\circ 32'\).
\(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 33'\).
\(BC = \sqrt {75} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'\).
Chọn A
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)\).
+ \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'\)
Vậy \(BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'\).
Cho tam giác \[ABC\]có \(AB = 16,AB = 14\) và B^=60°. Tính \(BC\).
\(BC = 10\).
\(BC = 11\).
\(BC = 9\).
\(BC = 12\).
Chọn A
Kẻ đường cao \(AH\).
Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos 60^\circ = 16.\frac{1}{2} = 8\)
\(AH = AB.\sin B = AB.\sin 60^\circ = 16.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \).
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có:
\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {(8\sqrt 3 )^2} = 196 - 192 = 4\).
Suy ra \(HC = 2\).
Vậy \(BC = CH + HB = 2 + 8 = 10\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 12,AC = 15\) và B^=60°. Tính \(BC\).
\(BC = 3\sqrt 3 + 6\).
\(BC = 3\sqrt {13} + 6\).
\(BC = 9\).
\(BC = 6\).
Chọn B
Kẻ đường cao \(AH\).
Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos 60^\circ = 12.\frac{1}{2} = 6\)
\(AH = AB.\sin B = AB.\sin 60^\circ = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \).
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có: \(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {(6\sqrt 3 )^2} = 117\).
Suy ra \(HC = 3\sqrt {13} \).
Vậy \(BC = CH + HB = 3\sqrt {13} + 6\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4,\,\,AC = 3,5,\,\,\widehat A = 40^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\)là
\(5\)(đvdt).
\(4,4\)(đvdt).
\(3\)(đvdt).
\(3,5\)(đvdt).
Chọn B
Xét tam giác\(HAC\)vuông tại \(H\), ta có: \(CH = AC.\sin \widehat {HAC} = 3,5.\sin 40^\circ \approx 2,2\)
Diện tích của tam giác \(ABC\)là: \[S = \frac{1}{2}AB.CH = \frac{1}{2}.4.2,2 = 4,4\] (đvdt).
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 9cm,\widehat {ABC} = 50^\circ \) và \[\widehat {ACB} = 35^\circ \]. Gọi \(N\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống cạnh\(BC\). Độ dài \(AN\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(5\).
\(4\).
\(2\).
\(3\).
Chọn B
Đặt \(BN = x\,(0 < x < 11) \Rightarrow NC = 11 - x\).
Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có \(AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ \)
Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(AN = CN.\tan C = (11 - x).\tan 30^\circ \)
Nên \(x\tan 40^\circ = (11 - x).\tan 30^\circ \Rightarrow x \approx 4,48\) (thoả mãn).
Khi đó \(AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ \approx 3,76\,(cm)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 9cm,\widehat {ABC} = 50^\circ \) và \[\widehat {ACB} = 35^\circ \]. Gọi \(N\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống cạnh\(BC\). Độ dài \(AC\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(7\).
\(6\).
\(5\).
\(4\).
Chọn A
Đặt \(BN = x\,(0 < x < 11) \Rightarrow NC = 11 - x\).
Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có \(AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ \)
Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(AN = CN.\tan C = (11 - x).\tan 30^\circ \)
Nên \(x\tan 40^\circ = (11 - x).\tan 30^\circ \Rightarrow x \approx 4,48\) (thoả mãn).
Khi đó \(AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ \approx 3,76\,(cm)\).
Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(\sin C = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{AN}}{{\sin C}} = 7,52\)
Cho hình thang \(ABCD\) có\(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \), \(\widehat C = 50^\circ \). Biết \(AB = 2,\,AD = 1,2\).
Diện tích hình thang\(ABCD\) là
\(3\)(đvdt).
\(2\)(đvdt).
\(4\)(đvdt).
\(5\)(đvdt).
Chọn A
Vì \(BH \bot C{\rm{D}}\)ta có \(ABH{\rm{D}}\)là hình chữ nhật nên \(BH = A{\rm{D}} = 1,2,\,\,\,DH = AB = 2\)
Xét tam giác vuông \(HBC\), \[\widehat H = {90^0}\], ta có:
\(HC = HB.\cot C = 1,2.\cot 50^\circ \approx 1,0\).
\(C{\rm{D}} = CH + H{\rm{D}} \approx 1 + 2 = 3\)
Diện tích hình thang \(ABCD\)là: \[S = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AD}}{2} \approx \frac{{\left( {2 + 3} \right).1,2}}{2} = 3\] (đvdt).
Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với phương ngang một góc bằng \[35^\circ \], khi đó cột \[AH\] có bóng trên mặt đất là đoạn \[BH\]dài \[7,2\,\,{\rm{m}}\]. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng khi tính chiều cao của cột \[AH\]? 
\[AH = 7,2.\cos 35^\circ \].
\[AH = 7,2.\sin 35^\circ \].
\[AH = 7,2.\tan 35^\circ \].
\[AH = 7,2.\cot 55^\circ \].
Chọn C
Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông, ta có \[AH = BH.\tan B\] \[ \Rightarrow AH = 7,2.\tan 35^\circ \].
Một chiếc thang có chiều dài từ chân lên đến nấc thang cuối là \[5\,\,{\rm{m}}\] được đặt vào thân cây cau như hình vẽ dưới đây, người ta đo được khoảng cách từ chân thang đến gốc cây cau là \[2,5\,\,{\rm{m}}\]. Tính góc \[\alpha \] tạo bởi thang và thân cây cau (làm tròn kết quả đến độ).
\[\alpha = 60^\circ \].
\[\alpha = 45^\circ \].
\[\alpha = 40^\circ \].
\[\alpha = 30^\circ \].
Chọn D
Ta có: \[\sin \alpha = \frac{{2,5}}{5} = \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \alpha = 30^\circ \].
Vậy góc hợp bởi thang và thân cây cau là \[\alpha = 30^\circ \].
Tia nắng chiếu qua điểm \[B\] của tòa nhà tạo với mặt đất một góc \[x\] và tạo với cạnh \[AB\] của tòa nhà một góc \[y\] (hình vẽ). Cho biết \[{\rm{cos}}x \approx 0,78\] và \[\cot x \approx 1,25\]. Tính \[\sin y\] và \[\tan y\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Sin y \( \approx \)0,75; tan y \( \approx \) 1,45
Sin y \( \approx \)0,78; tan y \( \approx \) 1,25
Sin y \( \approx \)0,35; tan y \( \approx \) 1,35
Sin y \( \approx \)0,45; tan y \( \approx \) 1,15
Chọn B
Xét ∆ABC vuông tại A
Có góc \[x\] và góc \[y\] là hai góc phụ nhau nên \[\sin y = \cos x \approx 0,78\]
Và \[\tan y = \cot x \approx 1,25\]
Tính chiều cao của tháp canh trong hình bên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
\(10,05\left( m \right)\)
\(10,04\left( m \right)\)
\(10,045\left( m \right)\)
\(10,03\left( m \right)\)
Chọn A
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\]
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác trong tam giác vuông ABC ta có
\[\tan C = \frac{{AB}}{{CB}}\], suy ra \[AB = BC \cdot \tan C\] hay \[AB = 5,8 \cdot \tan 60^\circ = 5,8 \cdot \sqrt 3 \approx 10,05\] (m)
Vậy chiều cao của tháp canh gần bằng \[10,05\] mét.
Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài \[AB = 4\]m được đặt dựa vào tường, khoảng cách từ chân thang đến chân tường là \[BH = 1,5\]m. Tính góc tạo bởi cạnh \[AB\] và phần tường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
\({67^0}\)
\({69^0}\)
\({66^0}\)
\({68^0}\)
Chọn D
Ta có, góc tạo bởi cạnh \[AB\] và phương năm ngang trên mặt đất là \[\widehat {ABH}\]
Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\], ta có: Cos\[\widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{1,5}}{4} = 0,375\]
Vậy \[\widehat {ABH} \approx 68^\circ \].
Tam giác \(ABC\)ở hình bên (có \(\widehat A = 90^\circ \)) mô tả cột cờ \(AB\) và bóng nắng của cột cờ trên mặt đất là \(AC\). Người ta đo được độ dài \(AC = 12m\) và \(\widehat C = 40^\circ \). Tính chiều cao \(AB\) của cột cờ. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét). 
\(10,06\left( m \right)\)
\(10,069\left( m \right)\)
\(10,07\left( m \right)\)
\(10,7\left( m \right)\)
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB = AC.\tan \widehat C = 12.\tan 40^\circ \approx 10,07\left( m \right)\)
Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng \[{\rm{55}}^\circ \], bóng của một cây xanh trên mặt đất dài \[14,25\,\,{\rm{m}}\] (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao \[AH\]của cây ra đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân. 
\[AH \approx 20,00\,\,{\rm{m}}\].
\[AH \approx 20,35\,\,{\rm{m}}\].
\[AH \approx {\rm{11,67}}\,\,{\rm{m}}\].
\[AH \approx 22,50\,\,{\rm{m}}\].
Chọn B
Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông, ta có \[AH = BH.\tan B\] \[ \Rightarrow AH = 14,25.\tan 55^\circ \approx 20,35\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy chiều cao của cây là \[AH \approx 20,35\,\,{\rm{m}}\].
Một cái thang dài \[4,8\,\,{\rm{m}}\] dựa vào tường và tạo với tường một góc \[{\rm{32}}^\circ \]. Chiều cao của thang so với mặt đất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) 
\[3,6\,\,{\rm{m}}\].
\[4,0\,\,{\rm{m}}\].
\[4,1\,\,{\rm{m}}\].
\[4,5\,\,{\rm{m}}\].
Chọn C
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
+ \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BH = AB.\cos \widehat {HBA} = 4,8.\,\cos 32^\circ \approx 4,1\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy chiều cao của thang so với mặt đất là \[{\rm{4,1}}\,\,{\rm{m}}\].
Một cầu thủ sút bóng bị va vào mép bên trên của cầu môn và bị bật ngược trở lại. Biết cầu môn cao \[2,4\,\,{\rm{m}}\]và khoảng cách từ vị trí sút bóng đến chân cầu môn là \[25\,\,{\rm{m}}\]. Tính góc \[\alpha \]tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất (kết quả làm tròn đến phút). 
\[\alpha = {\rm{5}}^\circ {\rm{30'}}\].
\[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 20'\].
\[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 31'\].
\[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'\].
Chọn D
+ Tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\] có \[\tan A = \tan \alpha = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2,4}}{{25}} = \frac{{11}}{{125}}\] \[ \Rightarrow \alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'\].
Vậy góc tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất là \[\alpha \approx {\rm{5}}^\circ 29'\].
Một khúc sông rộng khoảng \[130\,\,{\rm{m}}\]. Một con đò dự định chèo từ bờ bên này sang bờ bên kia theo phương vuông góc với bờ sông, nhưng do bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng \[150\,\,{\rm{m}}\]mới sang được bờ bên kia. Vậy dòng nước đã đẩy con đò lệch đi một góc so với phương dự định ban đầu là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến độ)
\[{\rm{30}}^\circ \].
\[29^\circ \].
\[{\rm{41}}^\circ \].
\[6{\rm{0}}^\circ \].
Chọn A
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
+ Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] có \[\cos A = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{130}}{{150}} = \frac{{13}}{{15}}\] \[ \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {30^{\rm{o}}}\]
Vậy dòng nước đã đẩy con đò lệch đi một góc so với phương dự định ban đầu khoảng \[{30^{\rm{o}}}\].
Trên một cái thang dài \[3,5\,\,{\rm{m}}\] người ta ghi: “Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \[6{\rm{0}}^\circ \]đến \[7{\rm{0}}^\circ \]”. Gọi \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] (với \[x > 0\]) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường để đảm bảo an toàn khi sử dụng chiếc thang này, tìm điều kiện của \[x\]. Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng?(làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân).
\[1,20\, < x < 1,75\].
\[1,20\, \le x \le 1,75\].
\[x = 1,20\] hoặc \[x = 1,75\].
\[1,20 \le x < 1,75\].
Chọn B
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
Khi thang tạo với mặt đất một góc có độ lớn \[6{\rm{0}}^\circ \] và \[7{\rm{0}}^\circ \] thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường lần lượt là \[AH\] và \[A'H'\].
+ Tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] có \[AH = AB.\cos A = 3,5.\cos 60^\circ = 1,75\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
+ Tam giác \[A'B'H\] vuông tại \[H\] có \[A'H = A'B'.\cos A' = 3,5.\cos 70^\circ \approx 1,20\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Do đó \[1,20 \le x \le 1,75\].
Một máy bay cất cánh theo phương hợp với mặt đất một góc \[{\rm{23}}^\circ \]. Hỏi muốn đạt độ cao \[2\,500\,\,{\rm{m}}\], máy bay phải bay một đoạn đường \[x\] dài bao nhiêu mét?(làm tròn kết quả đến mét)
\[x \approx 7061\,\,{\rm{m}}\].
\[x \approx 6398\,\,{\rm{m}}\].
\[x \approx 4716\,\,{\rm{m}}\].
\[x \approx 5890\,\,{\rm{m}}\].
Chọn B
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ
Xét tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\], ta có:
\[\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\] \[ \Rightarrow x = AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{{2500}}{{\sin 23^\circ }} \approx 6398\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy \[x \approx 6398\,\,{\rm{m}}\].
Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng. Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm \[A\] của quả cầu cách \[B\] một khoảng \[AB = 60\]cm và cách vị trí cân bằng một khoảng \[AH = 20\]cm. Tính số đo góc \[\alpha \] tạo bởi sợi dây \[BA\] và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ). 
\({18^0}\)
\({19^0}\)
\({20^0}\)
\({21^0}\)
Chọn B
Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có \[\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{20}}{{60}} = \frac{1}{3}\]
Do đó \[\alpha \approx 19^\circ \]
Vậy góc tạo bởi sợi dây \[BA\] và vị trí cân bằng có số đo khoảng \[19^\circ \].
Một người đứng cách chân tháp \[13,65{\rm{ m}}\] nhìn lên đỉnh tháp với phương nhìn hợp với phương nằm ngang một góc bằng \[{\rm{58}}^\circ \]. Biết mắt của người đó cách chân của mình một khoảng \[1,55{\rm{ m}}\], hỏi tháp cao bao nhiêu mét? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) 
\[23,38\,\,{\rm{m}}\].
\[21,84\,\,{\rm{m}}\].
\[23,39\,\,{\rm{m}}\].
\[21,85\,\,{\rm{m}}\].
Chọn C
+ Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ
Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] lên đoạn \[AH\].
Vì \[MN\] và \[BH\] là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang; \[MB\] và \[NH\] nằm trên phương thẳng đứng nên tứ giác \[MBHN\] là hình chữ nhật.
Suy ra: \[NH = MB = 1,55\,\,{\rm{m}}\]; \[MN = BH = 13,65\,\,{\rm{m}}\].
+ Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = MN.\tan M\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
Ta có: \[AH = AN + NH\]
\[ \Rightarrow AH = MN.\tan M + NH\]
\[ \Rightarrow AH = 13,65.\tan 58^\circ + 1,55 \approx 23,39\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy chiều cao của tháp là \[23,39\,\,{\rm{m}}\].
Một con thuyền đi với vận tốc \[2\,\,{\rm{km/h}}\] từ bờ bên này sang bờ bên kia hết \[36\] phút. Do nước chảy mạnh nên đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc \[{\rm{80}}^\circ \](tham khảo hình vẽ). Nếu coi khúc sông đó có hai bờ song song thì chiều rộng của khúc sông đó là bao nhiêu mét ? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). 
\[1218,5\,\,{\rm{m}}\].
\[1181,8\,\,{\rm{m}}\].
\[208,4\,\,{\rm{m}}\].
\[6910,5\,\,{\rm{m}}\].
Chọn B
Đổi \[36\] phút = \[0,6\]giờ; \[2\,\,{\rm{km/h}} = 2\,\,000\,\,{\rm{m/h}}\].
Quãng đường sông thuyền đã đi là \[AC = 2\,\,000.0,6 = 1\,\,200{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\]
Vì hai bờ được coi là song song nên \[\widehat {ACB} = {80^{\rm{o}}}\]
+ Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[AB = AC.\sin C\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
\[ \Rightarrow AB = 1\,\,200.\sin 80^\circ \approx 1181,8\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy chiều rộng của khúc sông đó là \[1181,8\,\,{\rm{m}}\].
Hai bạn Việt và Nam cùng chơi thả diều trên một bãi đất phẳng, sợi dây diều của bạn Việt có độ dài \[100\,\,{\rm{m}}\] và dây diều tạovới phương ngang một góc \[{\rm{42}}^\circ \] còn sợi dây diều của bạn Nam có độ dài \[96\,\,{\rm{m}}\] và dây diều tạovới phương ngang một góc \[{\rm{45}}^\circ \]. Cho biết tầm mắt của cả hai bạn đều là \[1,55\,\,{\rm{m}}\] và coi các dây diều được thả hết và căng thẳng (tham khảo hình vẽ). Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). 
So với mặt đất thì diều của bạn Việt lên cao hơn diều của bạn Nam và cao hơn \[0,25\,\,{\rm{m}}\].
So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[0,97\,\,{\rm{m}}\].
So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[1,03\,\,{\rm{m}}\].
So với mặt đất thì diều của hai bạn Việt và Nam lên cao bằng nhau.
Chọn B
Theo bài ra ta có \[MC = NB = 1,55\,\,{\rm{m}}\] và \[M'C' = N'B' = 1,55\,\,{\rm{m}}\].
+ Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = AM.\sin M\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là \[AB = AN + NB\]
\[ \Rightarrow AB = 100.\sin 42^\circ + 1,55 \approx 68,46\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] \[\left( 1 \right)\]
+ Tam giác \[A'N'M'\] vuông tại \[N'\] nên \[A'N' = A'M'.\sin M'\]
(áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông)
So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là \[A'B' = A'N' + N'B'\]
\[ \Rightarrow A'B' = 96.\sin 45^\circ + 1,55 \approx 69,43\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[A'B' > AB\], hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn số mét là: \[69,43\, - 68,46\,\, = 0,97\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[0,97\,\,{\rm{m}}\].
Để phục vụ việc di chuyển của khách hàng giữa các tầng hàng trong siêu thị, người chủ đầu tư thường cho lắp hệ thống thang cuốn tự động. Biết rằng thang cuốn có góc nghiêng là \[35^\circ \]so với phương ngang và tốc độ truyền là \[0,65\,\,{\rm{m/s}}\], khoảng cách giữa hai tầng liên tiếp là \[4,2\,\,{\rm{m}}\]. Hỏi một người khi bước vào thang cuốn và đứng yên thì cần bao nhiêu giây để có thể di chuyển từ tầng \[1\] lên tầng \[2\]? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) 
\[11,3\] giây.
\[11,2\] giây.
\[7,9\] giây.
\[7,8\] giây.
Chọn A
Độ dài thang máy từ \[1\] lên tâng \[2\] là đoạn \[AB\].
+ Xét \[\Delta AHB\] vuông tại \[H\] có: \[\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\] \[ \Rightarrow AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{{4,2}}{{\sin 35^\circ }}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vì thang máy có tốc độ truyền là \[0,65\,\,{\rm{m/s}}\] nên thời gian để một người di chuyển từ tầng \[1\] lên tầng \[2\] bằng thang cuốn là: \[\frac{{AB}}{{0,65}} = \frac{{4,2}}{{0,65.\sin 35^\circ }} \approx 11,3\] (giây).
Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng\[30^\circ \]. Sau \[6\] phút, người quan sát vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng\[60^\circ \]. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy không đổi. 
\[5\] phút.
\[4,5\] phút.
\[3,5\] phút.
\[3\] phút.
Chọn D
Do Mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = 60^\circ \].
Gọi \[x\](m/phút) là vận tốc xe máy, điều kiện \[x > 0\].
Vì xe máy đi từ \[C\] đến \[D\] trong \[6\] phút nên \[CD = 6x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác ta có:
\[AC = AB.\,\cot \widehat {BCA} = AB.\,\cot {30^{\rm{o}}} = AB.\tan {60^{\rm{o}}} = \sqrt 3 AB\] (do \[\cot {30^{\rm{o}}} = \tan {60^{\rm{o}}}\]) \[\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác ta có:
\[AD = AB.\,\cot \widehat {BDA} = AB.\,\cot {60^{\rm{o}}} = AB.\tan {30^{\rm{o}}} = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}\] (do \[\cot {60^{\rm{o}}} = \tan {30^{\rm{o}}}\]) \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[AC - AD = AB\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \Rightarrow CD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB\].
Xét tỉ số \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{\sqrt 3 AB}}{3}:\frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB = \frac{1}{2} \Rightarrow AD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}.6x = 3x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{{3x}}{x} = 3\] (phút).
Để xác định chiều cao \[AH\] của một ngọn núi, người quan sát đứng từ hai vị trí \[B\]và \[C\] cách nhau \[475\,\,{\rm{m}}\] trên Mặt đất. Tại vị trí \[B\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng\[34^\circ \]; tại vị trí \[C\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng\[30^\circ \] (như hình vẽ dưới đây). Tính chiều cao của ngọn núi (đơn vị mét), biết rằng tầm mắt của người quan sát là \[{\rm{1,6}}\,\,{\rm{m}}\] và giả thiết ba điểm \[H\], \[B\], \[C\] thẳng hàng (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất). 
\[1845,5{\rm{ m}}\].
\[2153,8{\rm{ m}}\].
\[1905,5\,\,{\rm{m}}\].
\[219,6{\rm{ m}}\].
Chọn C
Gọi \[D\] và \[E\] lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí \[B\] và \[C\].
Gọi \[I\] là hình chiếu của điểm \[D\] trên \[AH\].
So với mặt đất thì \[BD\] và \[CE\] là phương thẳng đứng; \[HC\] và \[IE\] là phương ngang nên các tứ giác \[IHBD\], \[IHCE\], \[DBCE\] là hình chữ nhật.
Do đó \[DE = BC = \,475\,\,{\rm{m}}\]; \[IH = DB = EC = 1,6\,\,{\rm{m}}\].
\[\Delta AID\] vuông tại \[I\] nên:
\[ID = AI.\,\cot \widehat {ADI} = AI.\,\cot {34^{\rm{o}}} = AI.\tan {56^{\rm{o}}}\] (do \[\cot {34^{\rm{o}}} = \tan {56^{\rm{o}}}\]) \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta AIE\] vuông tại \[I\] nên:
\[IE = AI.\,\cot \widehat {AEI} = AI.\,\cot {30^{\rm{o}}} = AI.\tan {60^{\rm{o}}}\] (do \[\cot {30^{\rm{o}}} = \tan {60^{\rm{o}}}\]) \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[IE - ID = AI.\left( {\tan {{60}^{\rm{o}}} - \tan {{56}^{\rm{o}}}} \right)\]
\[ \Rightarrow 475 = AI.\left( {\tan {{60}^{\rm{o}}} - \tan {{56}^{\rm{o}}}} \right)\] \[ \Rightarrow AI = \frac{{475}}{{\tan {{60}^{\rm{o}}} - \tan {{56}^{\rm{o}}}}} \approx 1903,9\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Do đó chiều cao \[AH\] của ngọn núi là \[AH = AI + IH \approx 1903,9\,\,{\rm{m}} + 1,6\,\,{\rm{m}} = 1905,5\,\,{\rm{m}}\].
Để xác định khoảng cách từ một gốc cây \[A\] trên một hòn đảo nhỏ giữa biển đến vị trí con sao biển \[C\] trên bãi cát (như hình bên dưới), người ta chọn một điểm \[B\] trên bãi biển cách điểm \[C\] một khoảng \[1225\,\,{\rm{m}}\] và dùng giác kế ngắm xác định được \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\]. Tính khoảng cách \[AC\](kết quả làm tròn đến đơn vị mét). 
\[1841{\rm{ m}}\].
\[1783{\rm{ m}}\].
\[1652\,\,{\rm{m}}\].
\[1906{\rm{ m}}\].
Chọn A
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán \[\left( * \right)\]:
Nếu \[\Delta ABC\] là tam giác nhọn thì \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] với \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].
Thật vậy! Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).
\[\Delta ADB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = AB.\,\sin \widehat {BAC} = c.\,\sin A\] \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = BC.\,\sin \widehat {ACB} = a.\,\sin C\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c.\,\sin A = a.\,\sin C\]\[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\]
Chứng minh tương tự, ta được \[b.\,\sin A = a.\,\sin B\] \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\]
Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\].
Bài toán \[\left( * \right)\] được chứng minh.
+) Xét \[\Delta ABC\], có \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\].
Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:
\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {{{75}^{\rm{o}}} + {{65}^{\rm{o}}}} \right) = {40^{\rm{o}}}\]
Vì \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {BAC} = {40^{\rm{o}}}\] nên \[\Delta ABC\] nhọn.
Áp dụng bài toán \[\left( * \right)\] đã chứng ở trên, ta được: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\]\[ \Rightarrow AC = \frac{{1225.\sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].
